chỉnh hóa tikhonov cho bài toán giải chập

Tuy nhiên, dạng Fourier ft g t của hàm mật độ g trong các bài báo này thường được giả định là khác 0 với mọi t∈, điều kiện này không tự nhiên trong một số trường hợp.. Trong luận văn n

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

H ồ Hoàng Yến

CH ỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP

Chuyên ngành: Toán giải tích

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan :

1 Những nội dung trong luận văn này là do tôi tự thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Gs.Ts Đặng Đức Trọng

2 Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và được ghi cụ thể trong phần tài liệu tham khảo

3 Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, chúng tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2014

Học viên

Hồ Hoàng Yến

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tất cả các quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quan trọng suốt thời gian tôi học tại khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn của tôi là Gs.Ts Đặng Đức Trọng, người đã tận tình hướng dẫn, động viên, lo lắng, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi vô cùng biết ơn ba mẹ tôi đã luôn bên tôi, động viên, khích lệ, chăm lo cho tôi để tôi có mọi điều kiện tốt nhất về vật chất lẫn tinh thần trong học tập và trong cuộc sống

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý cho những điểm còn thiếu sót để tôi rút được kinh nghiệm cho luận văn cũng như cho quá trình học tập sau này Rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của quý Thầy Cô và sự đóng góp chân thành của quý bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn

Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2014

Học viên

Hồ Hoàng Yến

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 2

M ỤC LỤC 3

M Ở ĐẦU 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12

1.1 Không gian đo - Tích phân Lebesgue 12

1.2 Biến số ngẫu nhiên 15

1.3 Không gian định chuẩn 21

1.4 Không gian L , 1 p p<+∞ 22

1.5 Không gian Hilbert 23

1.6 Biến đổi Fourier 25

1.7 Không gian Sobolev 28

1.8 Bài toán không chỉnh 31

1.9 Tính không chỉnh của bài toán giải chập 32

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV 38

2.1 Bổ đề 2.1.1 39

2.2 Định lý 2.2.1 42

2.3 Định lý 2.3.1 43

Chương 3 CHẶN TRÊN VÀ CHẶN DƯỚI CỦA SAI SỐ XẤP XỈ 45

3.1 Chặn trên của sai số xấp xỉ 47

3.2 Chặn dưới của sai số xấp xỉ 51

3.3 Chứng minh bổ đề 3.1.1 54

K ẾT LUẬN 59

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 60

M Ở ĐẦU

Thống kê phi tham số là một phương pháp thống kê không dựa trên các yếu tố được tham số hóa của các phân bố xác suất Các yếu tố này bao gồm các số liệu thống kê dựa trên mô tả và suy luận Thống kê phi tham số cũng giống như thống kê đơn thuần mà ta đã biết, cũng có các thông số đặc trưng: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn Tuy nhiên, không giống như thống kê có tham số, thống kê phi tham số không giả định hay đặt điều kiện

về phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên được đánh giá

Thống kê phi tham số thường được sử dụng rộng rãi nhằm nghiên cứu các đối tượng để đưa ra đánh giá mang tính chất phân cấp hoặc sắp xếp các đối tượng Phương pháp phi tham số này hữu ích khi dữ liệu nghiên cứu dù được sắp xếp nhưng lại không có sự rõ ràng về mặt số học Nếu xét về mức

độ đo lường, phương pháp phi tham số thường cho ra các dữ liệu có thứ tự

Tích chập và các phép toán liên quan được sử dụng nhiều trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đặc biệt là toán học Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết xác suất, phân phối xác suất của tổng hai biến ngẫu nhiên bất kỳ chính

là tích chập của hai phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên đó Trong việc ước lượng mật độ hạt nhân, hàm phân phối sẽ được ước lượng dựa trên các điểm mẫu bởi phép tích chập với hạt nhân

Giải chập là thuật ngữ chỉ việc giải phương trình tích chập Một phương trình tích chập thường có dạng * =f g h Thông thường h là một

hàm có trước, f là hàm chúng ta cần tìm ra sau khi giải phương trình tích

chập, tuy nhiên f lại có quan hệ chặt chẽ xác định với g Nếu chúng ta biết được g, hoặc ít nhất là dạng của g thì ta có thể dễ dàng giải phương trình tích chập để tìm ra f Nếu ta không có hàm g, ta có thể sử dụng phương pháp ước lượng trong thống kê nhằm ước lượng hàm g Phương trình tích

chập được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật điện, phương trình vi tích

phân, xử lý ảnh và xử lý tín hiệu, thị giác máy tính và đặc biệt là thống kê trong việc ước lượng hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên rời rạc Bài toán

giải chập thường là bài toán không chỉnh Các phương pháp để giải bài toán này hiện nay vẫn chưa được nghiên cứu nhiều

Gần đây, nhiều tác giả quan tâm về việc ước lượng hàm mật độ xác

1, 2, , n

X X X từ mô hình =Y j X j +Z j, trong đó là biến ngẫu nhiên không

khảo sát được sai số, được phân phối bởi hàm mật độ xác suất g và độc lập

với X j Bài toán này được biết đến như bài toán giải chập trong thống kê phi tham số Một trong những phương pháp phổ biến nhất để giải bài toán này

là phương pháp ước lượng hạt nhân Phương pháp này được đề cập đến trong các bài báo Stefanski và Carroll [18], Fan [15], [16], và Goldenshluger [6] Tuy nhiên, dạng Fourier ft( )

g t của hàm mật độ g trong các bài báo này thường được giả định là khác 0 với mọi t∈, điều kiện này không tự nhiên trong một số trường hợp Trường hợp nhận giá trị 0 chỉ mới được đề cập đến trong một vài bài báo

Ta đã biết bài toán giải chập là bài toán không chỉnh và cần phải chỉnh hóa Trong lý thuyết bài toán không chỉnh, một phương pháp chỉnh hóa thường dùng là phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong luận văn này, chúng tôi sẽ làm rõ các ý của bài báo Tikhonov's regularization to Deconvolution problem của tác giả Đặng Đức Trọng, Cao Xuân Phương, Trương Trung Tuyến và Đinh Ngọc Thanh (trong [14] phần tài liệu tham khảo) về trường hợp đã đề cập ở trên

Trong bài báo này, các tác giả quan tâm đến việc ước lượng hàm mật

độ f của các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối đồng nhất

Ở đây Z là các bi j ến ngẫu nhiên không quan sát được sai số, được phân phối bởi hàm mật độ g và độc lập với biến X Chúng ta bi j ết nếu h

là hàm mật độ xác suất của Y thì chúng ta có quan h j ệ

h f

sau đó sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta tìm được f Đây là bài toán cổ

điển trong giải tích Trong thực tế, chúng ta không có hàm mật độ h, chúng

ta chỉ có các biến khảo sát Y , j j= 1, ,n Bài toán tìm ngược lại hàm f từ

các biến khảo sát Y j được phân phối phụ thuộc vào h được gọi là bài toán

giải chập trong thống kê hay ngắn gọn là bài toán giải chập Phương trình (2)

là phương trình tích phân và việc giải (2) là một bài toán không chỉnh điển hình

Một bài toán giải chập cụ thể là bài toán hội tụ Để chứng minh một bài toán giải chập là hội tụ, chúng ta chỉ ra rằng tồn tại một dãy xấp xỉ f n

sao cho

trong đó X là một không gian Banach thích hợp

Thực tế, trường hợp đơn giản nhất là NZg = Trong trường hợp này, có nhiều phương pháp để xây dựng các ước lượng f x Y n( ; , ,1 Y n) Như đã đề

cập ở trên, ước lượng hạt nhân là một trong những cách tiếp cận phổ biến để nói về bài toán giải chập Trong phương pháp này, ta xấp xỉ hàm mật độ f

bởi ước lượng

Phương pháp này lần đầu được giới thiệu trong bài báo của Stefanski

và Carroll [18], Fan[15],[16] Ước lượng (5) được biết đến như hàm mật độ

hạt nhân giải chập tiêu chuẩn Chúng ta chú ý rằng ước lượng (5) có ý nghĩa như là g ft( )t ≠ với mọi 0 t∈, và vì vậy điều kiện NZg = trở thành điều kiện phổ biến cho các đề tài về giải chập Thực chất, điều kiện của g

Tuy nhiên, có nhiều hàm mật độ quan trọng không thỏa NZg =, ví dụ

những hàm mật độ đều g trên đoạn [−a a a, ], > 0, hàm mật độ đều tự tích

chập hoặc tích chập của một hàm mật độ tùy ý với một hàm mật độ đều

Bài toán giải chập trong trường hợp NZg ≠ là rất khó Theo chúng

tôi biết, chỉ có một vài bài báo đề cập đến trường hợp này Bài báo đầu tiên xem xét vấn đề này là Devroye [17] Tính hội tụ được lập theo chuẩn trong không gian 1( )

L  Sử dụng kỹ thuật chặt cụt, ông xây dựng một ước lượng

n

f hội tụ về hàm mật độ cần tìm f khi dạng Fourier ft

g bị triệt tiêu trong

tập có độ đo Lebesgue bằng không,

, < ,2

Trong bài báo của Meister [8], hàm mật độ của bài toán giải chập cũng

được xem xét trong trường hợp hàm mật độ cần tìm f được chứa trong

, ,

S C

S S

thước mẫu n được chọn đủ lớn để điểm cuối ( )

Thực sự điều kiện này không tự nhiên bởi vì S không được biết chính xác

và vì vậy thông thường chúng ta không thể chọn n một cách chính xác

Tính hội tụ của MISE f( n, f ) cũng được nghiên cứu trong bài báo của ông

khi f có giá trên một đoạn [−S S, ] cố định, nhưng không có sự hội tụ trong trường hợp này Kết quả của bài báo [8] được xây dựng dựa trên sự giả định là hàm mật độ cần tìm có giá compact trong khi giá trị 0 trong biến đối Fourier của hàm mật độ sai số được thừa nhận

Cũng tương tự các đề tài trên, trong Groeneboom và Tongbloed [19], các tác giả tập trung xem xét bài toán giải chập trên mô hình hàm mật độ đồng đều Họ chỉ ra rằng bằng cách chọn một dãy sóng phù hợp, có thể xây

dựng một ước lượng của hàm mật độ cần tìm f nếu f có điểm cuối bên

trái hữu hạn Trong bài báo của Hall và Meister [20], các tác giả cũng đưa ra

một hướng tiếp cận bài toán giải chập trong trường hợp NZg ≠ Để tránh

việc chia cho 0, các tác giả đã sử dụng hàm h t n( )=n−ξ t p với > 0, > 0ξ p

và thay g b ft ởi cực đại của hai hàm ft( )

( ) ( ) ( )

C λt t−  g t C λt t− t T (7)

với u , 1 v> 0, 0 C 1 C2, λ > 0, T > 0

Các tỉ lệ tối ưu của việc ước lượng cũng đồng thời được trình bày Sử

dụng phương pháp biến đổi hạt nhân, Delaige và Meister [10] cũng cho kết

quả tương tự Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng điều kiện (7) áp đặt lên ft

Để trình bày về vấn đề trên, trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày

việc xem xét bài toán giải chập trong trường hợp dạng Fourier của phân phối sai số nhận giá trị 0 trên đường thẳng thực, không chỉ trên một số hạn chế

đặc biệt trong NZg Sử dụng các tính chất của các hàm nguyên và một vài

kết quả của giải tích điều hòa, chúng tôi xem xét các tập dưới mức của phân

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ phát biểu các định nghĩa, định lý sẽ được áp dụng trong quá trình chứng minh ở hai chương còn lại như định nghĩa không gian đo, biến đổi Fourier, bài toán không chỉnh Ngoài ra trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh tính không chỉnh của bài toán giải chập và từ đó đưa ra yêu cầu phải chỉnh hóa trong chương 2, sau đó đánh giá sai số xấp xỉ trong chương 3

Chương 2: Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Trong chương này chúng tôi

sẽ trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và việc sử dụng nó để đưa ra một xấp xỉ cho hàm mật độ xác suất

Chương 3: Chặn trên và chặn dưới của sai số xấp xỉ Chúng tôi sẽ trình bày các phát biểu và chứng minh các định lý liên quan đến sai số xấp xỉ Ngoài

ra, chúng tôi cũng sẽ cung cấp một chặn dưới và chặn trên của sai số xấp xỉ

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn

Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2014

Hồ Hoàng Yến

Chương 1

1.1 Không gian đo - Tích phân Lebesgue

Định nghĩa 1.1.1 Cho M là m ột họ các tập con của một tập X Ta

nói M là m ột σ − đại số trên X n ếu M thỏa các tiên đề sau

Định nghĩa 1.1.3 Cho (X,τ) là m ột không gian tôpô σ − đại số

B sinh b ởi τ được gọi là σ − đại số Borel trên X , ký hi ệu B( )X Khi

đó, phần tử của B được gọi là tập con Borel của X

Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian đo được (X,M Ta xét m) ột ánh

xạ µ:M→(0,∞) không t ầm thường, nghĩa là tồn tại A∈M sao cho

A ∩A ∅ khi i≠ ), được gọi là một độ đo (dương) trên không gian đo j

được (X,M Khi ) đó (X,M,µ) được gọi là không gian đo

Cho (X,M , ) (Y,N ) là hai không gian đo được và ánh xạ :

Định lý 1.1.1 Với mọi hàm đo được f X: →(0,∞ , tồn tại các hàm )

đơn giản đo được không âm s n trên X sao cho

a) 0   s1 s2 f ,

b) s n( )x → f x( ) khi n→ ∞ , với mọi x∈X

Định nghĩa 1.1.6 Với hàm đo được đơn giản s X: →(0,∞ , cho )

E

sdµ ∑α µ A ∩E

∫

Tổng quát, với hàm đo được f X: →(0,∞ và với ) E∈M, ta đặt

Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu) Cho { }f n là một dãy các hàm

đo được trên X sao cho

Định lý 1.1.3 (Định lý Radon – Nikodym) Cho µ là một độ đo

dương σ − hữa hạn trên một σ − đại số M c ủa X , nghĩa là X có thể

viết thành hội đếm được các E i∈M v ới µ( )E i <∞ N ếu λ là một độ đo

dương trên M, liên t ục tuyệt đối đối với µ thì tồn tại hàm đo được dương

h sao cho dλ=hdµ, nghĩa là

Định lý 1.1.4 (Định lý hội tụ bị chận Lebesgue) Giả sử { }f n là dãy

các hàm đo được trên X sao cho

( )= lim n( )

n

→∞

tồn tại với mọi x∈X Nếu tồn tại hàm 1( )

Định lý 1.1.5 (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên Ω × Ω1 2 Khi

đó với hầu hết x thuộc Ω1, ta có

Định nghĩa 1.2.1 Cho (M,Ω) và (M', ′Ω) là hai không gian đo

được Xét ánh xạ : X Ω → Ω N′ ếu X là ánh x ạ đo được, ta nói X là một

biến ngẫu nhiên Đặc biệt, khi (M',Ω′) (= ,B,), ta g ọi X là biến ngẫu nhiên thực hay vắn tắt là biến số ngẫu nhiên và khi (M',Ω′)=(k,B,k),

ta g ọi X là vectơ ngẫu nhiên

Định lý 1.2.1 Cho (Ω M, , P) là m ột không gian xác suất và

Ta có P X là một độ đo xác suất trên (B,k)

( 1, , )= ( 1, , )= ( 1 1, , ),

được gọi là hàm phân phối tích lũy của X

Mệnh đề 1.2.1 Cho X là một biến số ngẫu nhiên có hàm phân phối

tích lũy F X : → Ta có

a) 0F X ( )x  , 1 ∀ ∈x 

b) F X là hàm tăng, nghĩa là F X ( )x F X ( )y khi x< y

c) F X liên tục bên phải tại mọi điểm, nghĩa là lim X ( )= X ( )

X Ω → có phân phối P X là độ đo

liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue m k trên  , ký hiệu k P X m k, nghĩa là với mọi tập Borel đo được B trong  sao cho k m B k( )= 0, ta có

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có các kết quả quan trọng sau

Mệnh đề 1.2.2 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác

suất f X và hàm phân ph ối tích lũy F X Ta có,

c) F X′ ( )X = f X ( )X tại mọi điểm liên tục của hàm f X

Định nghĩa 1.2.3 Cho (Ω M, , P) là không gian xác su ất và X là

một biến số ngẫu nhiên xác định trên Ω N ếu 1( )

Hơn nữa, với mỗi hàm Borel đo được :g  , hàm số g X→  lại là

một biến số ngẫu nhiên trên Ω mà ta ký hiệu là g X Trung bình c( ) ủa biến

số ngẫu nhiên này, nếu có được ký hiệu là E g X ( )

Nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình là µX =E X[ ] thì với hàm số

bình của biến số ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là phương sai của X , ký

hiệu var X , ( ) được cho bởi công thức

và với hàm số g x( )= x n n, ∈, ta được biến ngẫu nhiên g X( )= X và n

trung bình của biến ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là mômen thứ n của

X ,

( )n = n

E X X dP

Ω∫

Do định nghĩa, trung bình hay trung bình của X chính là mômen thứ nhất

của X Ngoài ra, căn bậc hai của phương sai của X được gọi là độ lệch chuẩn của X , ký hiệu σ , X

g E X E g X f) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau thì

Tương tự, ta có các tính chất cho phương sai, độ lệch chuẩn như sau

Định lý 1.2.4 Cho X là bi ến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác su ất (Ω M, , P) Gi ả sử 2( )

X∈L P Ta có

a) Với mọi α∈,

=

var αX α var X , var X( +α)=var X( ), var C( )= 0

• var X( +Y)=var X( )+var Y( ), Với ,X Y là hai biến độc lập

Ta có một số phân phối liên tục sẽ được sử dụng trong luận văn

Định nghĩa 1.2.4 Phân phối đều

• Hàm m ật độ: ( ) 1

b−a   với , a b∈, <a b

• Trung bình: ( )= ( ) = =

2

b a

b a varX −

1

=2

x

µ σ

thỏa mãn các tiên đề sau

i) x  với mọi 0 x∈ Và x = 0 khi và chỉ khi x= 0

ii) αx = α x với mọi x∈ và α∈

iii) x+ y  x + y với mọi ,x y∈

Khi đó là một chuẩn trên X , và (X, ) được gọi là một không

gian tuyến tính định chuẩn

Giả sử (X, ) là một không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó ánh

là một mêtric Ta gọi d là mêtric được sinh ra từ chuẩn hay chuẩn cảm sinh mêtric trên X Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn là một không

xác định trên tập hợp A∈ gọi là đo được trên A nếu u v, là hai hàm số

thực đo được trên A Nếu f là một hàm số phức đo được trên A thì f

là một hàm số thực đo được trên A

Cho 1p<+∞, gọi L p(X,µ) là tập hợp tất cả các hàm đo được trên

Định lý 1.4.2 (Bất đẳng thức Holder) Giả sử 1< < p ∞ và q th ỏa

Định lý 1.4.5 Không gian L p(X,µ), 1≤ p<+∞ là một không gian

Định lý 1.4.7 Cho dãy { }f n ⊂L p(X,µ), 1p<+∞ N ếu dãy { }f n

đơn điệu tăng và hội tụ hầu khắp nơi về f trên X thì lim n = 0

vô hướng xác định trên H là m ột ánh xạ xác định như sau

ii) x+ y z, = x z, + y z, với mọi , ,x y z∈ , H

iii) λx y, =λ x y, với mọi ,x y∈ và H λ∈,

iv) x x,  với mọi 0 x∈H và x x, = 0 khi và chỉ khi x= 0,

,

x y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y

Cặp (H, , ) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian

Unita)

Từ định nghĩa ta thấy rằng khi  là trường thực thì tích vô hướng là

một dạng song tuyến tính xác định dương trên H

Định lý 1.5.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Cho H là không gian tiền

Hilbert, với mọi , x y ∈ ta luôn có bất đẳng thức H

2

x y  x x y y

Dấu "= " xảy ra khi x và y phụ thuộc tuyến tính

Định lý 1.5.2 Cho H là không gian ti ền Hilbert Khi đó

1 2

x x x x∈ H

xác định một chuẩn trên H

Định nghĩa 1.5.2 Cho không gian tiền Hilbert H , theo định lý trên

thì H là m ột không gian tuyến tính định chuẩn Nếu H là không gian đầy

đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.5.3 (Toán tử liên hợp) Cho , X Y là hai không gian

tuy ến tính định chuẩn và A X: →Y là một toán tử tuyến tính liên tục Toán

:

A Y → X xác định như sau

Dễ dàng kiểm tra được *

A là toán tử tuyến tính trên *

Y và A*  A Suy

ra A liên t* ục Toán tử *

A được gọi là toán tử liên hợp của A

Định lý 1.5.3 Giả sử , , X Y Z là các không gian tuy ến tính định chuẩn trên trường , A B, ∈A(X Y, ) và C∈A(Y Z, ) và λ∈ Khi đó

được gọi là biến đổi Fourier của f

Định lý 1.6.1 Giả sử 1( )

f ∈L  thì là không gian các hàm số liên tục

tiến dần về 0 t ại vô cực Hơn nữa

1

1

.2

ft

π

∞

Bổ đề 1.6.1 Cho hàm f xác định trên  và v ới mọi y ∈ , đặt f y

là tịnh tiến của f định bởi

(tích phân trên được hiểu theo nghĩa Lebesgue) Khi đó

a) g∈C0 Với C0 là không gian các hàm số liên tục trên  và tiến

Fourier ngược của F Tích phân (theo nghĩa Lebesgue) ở trên là xác định

F∈L 

Tính ch ất 1.6.1 Tính chất của biến đổi Fourier

1.7 Không gian Sobolev

Cho k, N là các số nguyên dương và Ω là tập mở trong  N

chuẩn với chuẩn

L Ω là tập hợp các hàm giá trị phức đo được

(theo nghĩa độ đo Lebesgue) u sao cho u x( ) p <