cấu trúc tập nghiệm của phương trình logistic tựa tuyến tính

Đặc biệt, cô Lê Thị Kiều Nga – người thầy, người lãnh đạo đánh kính đã luôn động viên cũng như cho tôi rất nhiều lời khuyên bổ ích; dưới cương vị Tổ trưởng tổ chuyên môn, cô cũng đã dành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đặng Hải Long

Chuyên ngành: TOÁN GI ẢI TÍCH

L ời cám ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Phó giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy đã dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu, đã hết lòng chỉ bảo, hướng dẫn giúp tôi hoàn thiện luận văn này

Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cám ơn:

• Ban giám hiệu trường Đại học Tiền Giang, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể

thầy cô tổ Tự nhiên và các bạn đồng nghiệp đã luôn tạo điều kiện, đỡ đần tôi trong công tác để tôi có thể hoàn thành tối khóa học Cao học vừa qua Đặc

biệt, cô Lê Thị Kiều Nga – người thầy, người lãnh đạo đánh kính đã luôn động viên cũng như cho tôi rất nhiều lời khuyên bổ ích; dưới cương vị Tổ trưởng tổ chuyên môn, cô cũng đã dành rất nhiều ưu ái trong phân công công tác để tôi có thể tập trung học tâp và hoàn thành luận văn

• Các giảng viên trường Đại học Tiền Giang và Đại học Sư phạm Thành phố

Hồ Chí Minh đã dẫn dắt tôi đến với Toán học, truyền cảm hứng cho tôi, dạy

bảo tôi những kiến thức chuyên môn quí báo để hôm nay tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã san sẽ với tôi

những vất vả, lo toan của cuộc sống, hổ trợ tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tôi

học Cao học và làm luận văn

Đặng Hải Long

Mục lục

L ời cám ơn 3

M ục lục 4

M ở đầu 5

Chương 1: Các kết quả được sử dụng 8

1.1 Phương trình trong không gian có thứ tự 8

1.1.1 Điểm bất động của ánh xạ tăng 8

1.1.2 Nhánh liên tục của tập nghiệm 10

1.2 Không gian Sobolev 12

1.2.2 Khái niệm và vài tính chất cơ bản 12

1.2.2 Nghiệm yếu dương của phương trình elliptic 25

Chương 2: Sự tồn tại nghiệm của phương trình logistic 27

2.1 Đưa về bài toán điểm bất động 27

2.2 Sự tồn tại nghiệm lớn nhất 33

Chương 3: Cấu trúc của tập nghiệm 37

3.1 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm 37

3.2 Nhánh liên tục của tập nghiệm 39

3.3 Sự phân nhánh nghiệm 41

K ết luận 45

Tài li ệu tham khảo 47

dưới các giả thiết khác nhau lên toán tử A, các hàm m(x), a(x) và các số mũ α, β thu

hút nhiều sự quan tâm của các nhà toán học bởi vì những ứng dụng của nó trong toán sinh học Với bài toán

sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu dương đã được nghiên cứu trong [3, 9, 11, 13]

với m(x) ∈ L q(Ω) Trong [6, 7, 8], tác giả đã nghiên cứu (1)-(2) khi A là toán tử elliptic tuyến tính đều bậc hai, m(x) = 1, a(x) ∈ C γ(Ω ) với γ ∈ (0,1) và 0 < α < β, β <

1 Với trường hợp supa(x) < 0 họ đã tìm ra sự tồn tại, sự phân nhánh và dáng điệu

tiệm cận của các nghiệm cổ điển, trong khi với trường hợp a(x) đổi dấu họ có được

sự phân nhánh, sự ổn định và tính bội của các nghiệm không âm Sự phân nhánh

của các nghiệm không âm và các kết quả có liên quan được nghiên cứu ở [1] khi

Au=div(A(x,u) ∇u) và vế phải là f(λ,x,u) tổng quát Tuy nhiên, hầu hết các bài viết

được trích dẫn ở trên chỉ đề cập đến nghiệm bị chặn của (1)-(2) (tức là nghiệm thuộc 1,

0 p( )

W Ω ∩L ∞(Ω)) Chỉ có các bài viết [3, 9, 11, 13] có xét một phần về sự tồn

tại nghiệm không bị chặn của (3), (4) Trong [3], tác giả đã chứng minh được rằng

với λ cố định phương trình (4) có nghiệm thuộc 1,

N q

β β

W Ω Do đó, nghiệm không bị chặn của (3), (4) có thể

được tìm thấy khi m(x)∈ L q(Ω) với q đủ nhỏ

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết lại các kết quả nghiên cứu của Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh về sự tồn tại và cấu trúc nghiệm yếu dương mà không nhất thiết bị chặn của bài toán (3)-(2) (bài viết [14]) Bài luận văn có bố cục như sau:

M ở đầu: Giới thiệu sơ lược lịch sử vấn đề và nêu mục tiêu của luận văn

N ội dung:

• Chương 1 – Các kết quả được sử dụng: trình bày các kiến thức nền tảng mà

từ đó xây dựng nên các kết luận chính của luận văn, bao gồm:

− định lý điểm bất động của ánh xạ tăng, định lý về nhánh liên tục của

tập nghiệm của phương trình trong không gian có thứ tự

− các khái niệm và một số tinh chất quan trọng của không gian Sobolev,

giới thiệu định lý Brezis-Browder

• Chương 2 – Sự tồn tại nghiệm của phương trình logistic: chứng minh sự tồn

tại nghiệm yếu dương lớn nhất của bài toán (3)-(2) bằng cách đưa bài toán này về bài toán điểm bất động

• Chương 3 – Cấu trúc của tập nghiệm: nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của

(3)-(2) bao gồm:

− dáng điệu tiệm cận

− nhánh liên tục của tập nghiệm

− sự phân nhánh nghiệm

K ết luận: Tổng kết lại các kết quả nghiên cứu, đưa ra nhận xét và vài gợi mở cho

những nghiên cứu tiếp theo

Chương 1: Các kết quả được sử dụng

1.1 Phương trình trong không gian có thứ tự

Trong phần này ta sẽ xét (X, ) là một không gian Banach thục với thứ tự được

Bổ đề 1.1 (Nguyên lý Entropy) Giả sử

(i) X là t ập được sắp sao cho mọi dãy đơn điệu tăng trong X đều bị chặn trên (ii) S: X → [-∞, ∞) là hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên

Khi đó, tồn tại u 0 ∈ X th ỏa S(u) = S(u 0 ) v ới mọi u ∈X mà u ≥ u 0

Ch ứng minh Nếu S(X) = {-∞} thì ta chọn u0 ∈ X tùy ý

Nếu S(X) ≠ {-∞}, ta chọn u1 sao cho S(u1) ≠ -∞ và xây dựng dãy tăng {u n} như sau Giả sử đã có u n ∈ X, đặt β n = sup{S(u) : u ≥ u n } Ta xét trường hợp β n ≥ S(u n) (vì nếu β n = S(u n) thì ta chỉ cần chọn u0 = u n ), khi đó tồn tại u n+1 ∈ X sao cho

Vì dãy {u n} ⊂ X đơn điệu tăng nên tồn tại c ∈ X sao cho u n ≤ c với mọi n Do đó,

bởi tính đơn điệu tăng của S nên {S(u n)} là dãy số tăng và bị chặn trên bởi S(c)

Với u ∈ X, u ≥ c, từ cách xây dựng {u n} ta có

S(u) ≤ β n < 2S(u n+1 ) – S(u n), ∀n ∈ ℕ*

Cho n → ∞ ta được S(u) ≤ lim ( n)

(i) T ập M 0 = {u ∈M : u ≤ F(u)} khác rỗng và hướng lên

(ii) Dãy {F(u n )} h ội tụ mỗi khi {u n } ⊂ M 0 tăng

Khi đó, F có một điểm bất động lớn nhất trong M

• Với {xn} ⊂ M0, {x n } tăng thì {F(x n)} hội tụ tới a ∈ M nào đó (do M đóng)

Vì dãy {F(x n )} tăng nên với mọi n ta có a ≥ F(x n ) ≥ x n và F(a ) ≥ F(x n) Cho

n → ∞ ta được F(a) ≥ a hay a ∈ M0 Như vậy {x n} bị chặn trên

• Rõ ràng S tăng và bị chặn trên bởi 0

Theo nguyên lý Entropy, tồn tại u0 ∈ M0 thỏa S(u) = S(u0) với mọi u ∈ X mà u ≥

u0

Ta đi chứng minh S(u0) = 0 Giả sử nguôc lại S(u0) < -ϵ với ϵ > 0 nào đó Khi

đó, tồn tại u1,u2 ∈ M0 sao cho u2 ≥ u1 ≥ u0 và F u( 2)−F u( )1 >ϵ Vì S(u2) = S(u)

< -ϵ (do u2 ≥ u0) nên ta cũng tìm được u3,u4 ∈ M0 sao cho u4 ≥ u3 ≥ u2 và

F u −F u − > ϵ với mọi n ∈ N* Điều này mâu thuẫn với giả thiết của định

lý Như vậy S(u0) = 0 và F(u) = F(u0) với bất kỳ u ∈ M0 mà u ≥ u0

Vì u0 ∈ M0 nên F(u0) ≥ u0 Suy ra F(F(u n )) = F(u0) hay x0 = F(u0) là điểm bất

động của F

Giả sử x1 ∈ M cũng là một điểm bất động của F Vì M0 hướng lên nên tồn tại w ∈

M0 sao cho x1 ≤ w Khi đó, ta có x0 = F(u0) = F(w) = F(x1) = x1 Vậy x0 là điểm bất động duy nhất

1.1.2 Nhánh liên t ục của tập nghiệm

Cho toán tử F: [0,∞) × K → K thỏa F(λ,θ) = θ Xét bài toán tìm cặp (λ,u), u ≠ θ thỏa

Bổ đề 1.3 Cho A: K∩∂G → K là ánh xạ compact

1 N ếu A(x) ≠ λx, ∀x ∈K∩∂G, ∀λ ≥ 1 thì i K (A,G) = 1

2 N ếu tồn tại x 0 ∈ K \ {θ} sao cho x – A(x) ≠ λ x 0 , ∀x ∈ K∩∂G, ∀λ > 0 thì

i K (A,G) = 0

Định lý 1.2 Cho F: [0,∞) × K → K là toán tử compact thỏa

(i) tu = F(0,u), u ∈ K\ {θ} kéo theo t < 1

(ii) T ồn tại toán tử tăng G: K → K và hàm φ: [0,∞) → [0,∞) sao cho F(λ,u) ≥

G(φ(λ)u)

Hơn nữa tồn tại u 0 ∈ K\ {θ}, các số a,b,c > 0 và chuẩn sao cho *

Khi đó S là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ θ

Ch ứng minh Với G là tập mở bất kỳ chứa θ ta đi chứng minh S∩∂G ≠ ∅ Giả sử

ngược lại thì ta có F(λ,x) ≠ x, ∀x ∈ K∩∂G, ∀x ∈ [0,∞)

Với mỗi λ ∈ [0,∞), đặt F λ : K ∩∂G → K định bởi F λ (x) = F( λ,x) thì F λ là ánh xạ compact

Vì F compact và gi ả thiết phản chứng nên với λ1,λ2 ∈ [0,∞) bất kỳ ta luôn có Fλ1

đồng luân dương với

Từ giả thiết tu = F0(u), u ∈ K\{θ} ⇒ t < 1 ta suy ra i K (F0,G) = 1

Để dẫn đến mâu thuẫn ta đi chứng minh i K (F λ ,G) = 0 v ới λ > 0 nào đó Ta sẽ

chứng minh tồn tại λ > 0, x0 ∈ K\{θ} sao cho u ≠ F λ (u) + tx0, ∀u ∈ K∩∂G, ∀t >0

Giả sử ngược lại, ta chọn được dãy λ n → ∞, u n ∈ K∩∂G, t n > 0 sao cho u n =

n

Fλ (u n)

+ t n u0 Gọi s n là số cực đại thỏa u n ≥ s n u0, đặt N1 = {n ∈ N : φ(λ n )s n ≤ b} và N 2 =

{n ∈ N : φ(λ n )s n > b} thì xảy ra hai trường hợp như sau:

∈ →∞ = ∞ Điều này vô lý vì u n ∈ ∂G ∀n

Vậy S là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ θ

1.2 Không gian Sobolev

1.2.2 Khái ni ệm và vài tính chất cơ bản

Cho Ω ⊂ RN là tập mở, ta ký hiệu:

• C0∞( )Ω (C0m( )Ω ) là tập hợp các hàm có giá compact và có đạo hàm riêng

mọi hạng trên Ω (có đạo hàm riêng liên tục đến cấp m trên Ω)

• L loc(Ω) là tập hợp các hàm đo được trên Ω và khả tích trên mọi tập compact

K⊂Ω

Định nghĩa 1.3

1 Hàm g ∈ L loc (Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến x i của hàm f

∈ L loc (Ω) (ký hiệu g = D i f) nếu

( )

0,

Nếu f có Dif với i =1,N, ta ký hiệu ∇f = (D1f,…,DNf)

2 Với p ∈ [1,∞] ta ký hiệu W 1,p (Ω) là tập hợp các hàm f ∈ L p(Ω) có mọi đạo hàm riêng suy rộng D i f ∈ Lp(Ω) , i =1,N

Trong W 1,p(Ω) ta xét chuẩn

1,

1

N i

W Ω là các không gian Banach, khả ly khi p < ∞, phản xạ

và lồi đều khi 1 < p <∞

Ch ứng minh Xét {f n } là dãy Cauchy trong W 1,p (Ω) Khi đó {f n }, {D i f n} (i =1,N)

là các dãy Cauchy trong L p(Ω) nên tồn tại các giới hạn

i i

i n i k

i i

Với Ω’ ⊂⊂ Ω, 0 < h < 1

2dist(Ω’,∂Ω) bởi bổ đề 1.4 ta có h

h i

f g x

f g x

W Ω , đặt Ω’ = suppφ Ta tìm được dãy con { f } n k

lim

k k

k

n n

n k

f

D f x

n

i i

g

D g x

∂ trong L p(Ω’), ∀Ω’ ⊂ ⊂ Ω

Với φ ∈ C0∞( )Ω , đặt Ω’ = suppφ, sử dụng định lý hội tụ bị chặn (xét dãy con nếu

cần) ta có

( )

lim

lim

n n n

Ch ứng minh Theo định lý số gia giới nội ta được |G(t)| ≤ M|t| với mọi t ∈ R Vì

|G(f )| ≤ M|f|, |G’(f)D i f | ≤ M|D i f| nên G(f),G’(f)D i f ∈ L p(Ω) Ta còn phải chứng minh

∂ trong L p(Ω’) với mọi Ω’ ⊂⊂ Ω

Với φ ∈ C0∞( )Ω , đặt Ω’ = suppφ, sử dụng định lý hội tụ bị chặn (xét dãy con nếu

D i f + = sign(f + )D i f, D i f - = -sign(f - )D i f, D i |f| = sign(f)D i f

trong đó f + = max{f, 0}, f - = - min{f,0}

2 '

01

i i

D f

D f

Ω

=+

Y với X là không gian vector con của

Y Ánh x ạ i: X → Y định bởi i(x) = x gọi là phép nhúng Ta nói phép nhúng liên tục

(compact) nếu i là ánh xạ liên tục (compact)

i i N i i i

f

x f

1 1 1

1( )

N N

i i i

N

i i i

1 1

1

2( )

N

i i i

1 2 3

( )

N N

i i i

1 1

Qua giới hạn trong bất đẳng

N

N N

q N

Bởi tính trù mật, ta suy ra bất đẳng thức trên cũng đúng trong

1 1 0 1

1 1

i Q N

N

N N p

1

N p

p

r

N p

1

N p

p

r

N p

−

−

(1.9)

C∞  sao cho f n → Pf trong W 1,p(Ω)

Theo chứng minh ở trên ta có

Trường hợp p = N chứng minh tương tự khi p < N

Giả sử p < N, ký hiệu 𝒯 là quả cầu đơn vị trong W 1,p(Ω) ta có

( ) ( )

N

p i

1.2.2 Nghi ệm yếu dương của phương trình elliptic

Cho Ω ⊂ ℝN là miền bị chặn biên trơn, Δp u = div(| ∇u| p – 2 ∇u) là toán tử p-Laplace

với 1 < p < N và f: Ω × ℝ → ℝ là một hàm Caratheodory Xét bài toán biên tựa

Để đơn giản việc trình bày, ta sẽ ký hiệu vế trái của (1.11) là <Au,φ> Định

lý sau đây là công cụ bổ trợ chính mà chúng ta sẽ sử dụng để chứng minh sự

tồn tại nghiệm yếu dương

Định lý 1.7 (Brezis-Browder) Cho g: Ω × ℝ → ℝ là hàm Caratheodory th ỏa mãn các điều kiện sau

• g(x,0) = 0, g(x,u) tăng theo u với h.k.n x ∈Ω

v ới mọi φ ∈ C0∞( )Ω và φ = z Hơn nữa, nếu z 1 , z 2 l ần lượt là nghiệm tương ứng với

0 p( )

W Ω Do đó, z là nghiệm yếu của bài toán

-Δp u + g(x,u) = h trong Ω, u = 0 trên ∂Ω

Chương 2: Sự tồn tại nghiệm của phương trình logistic

2.1 Đưa về bài toán điểm bất động

Xét phương trình logistic với dạng p-Laplace

trong đó Ω ⊂  là miền bị chặn với biên trơn, λ là một tham số dương, hàm m(x) N

và các số dương α, β thỏa các giả thiết sau

(H1) m(x ) ≥ 0, m(x) ∈ L q (Ω) với q thích hợp và tồn tại miền trơn Ω’⊂⊂ Ω, m0 >

W Ω : v ≤ u trong Ω} và xét w là nghiệm của bất

phương trình biến phân

Vậy bổ đề đã được chứng minh

Mệnh đề 2.1 Lấy λ1 là giá tr ị riêng thứ nhất và u 1 là hàm riêng tương ứng của bài toán

1trong , 0 rt nê

p

p u λu − ′ u ′

Ta định nghĩa u0 =cu1 trong Ω và ′ u0 = trên 0 ΩΩ′ v ới c > 0 đủ nhỏ Khi

đó u là nghi0 ệm dưới của bài toán (2.1) trong các trường hợp sau

( )

z∈L+β Ω và

1, 0

p

h∈L+ ′ Ω (nón các hàm không âm trong *

( )( )

p

L ′ Ω ) với nghiệm duy nhất của (2.9) có các tính chất sau

u ≤ h − ′ Ω u và ta suy ra được tính bị chặn của tặp ( )P M trong

là tập compact tương đối trong ( )Lγ Ω

(iii) Để chứng minh P liên tục ta chứng minh rằng nếu lim n

thì dãy u n =P h( n) có dãy con hội tụ tới ( )P h

Dãy { }h n hội tụ nên bị chặn, theo câu b) ta có dãy { }u n bị chặn trong 1,

Sử dụng định lý hội tụ bị chặn ta được vế phải của (2.12) tiến về 0 Chú ý

W Ω là không gian lồi đều)

Ta còn phải chứng minh u0 = P h( ) Ánh xạ Nemyskii uuβ liên tục từ

Toán tử F có các tính chất như sau

Mệnh đề 2.3 Nếu (2.14) được thỏa thì F tác động từ [0, )∞ ×L r+( )Ω vào

(ii) Do tính đơn điệu của hàm t qt

F λ là hoàn toàn liên tục từ 1,

bởi nón các hàm không âm)

Cố định λ> ta s0 ẽ dùng ký hiệu ( )F u thay cho F( , )λ u

Với u 0 được nói đến trong mệnh đề 2.1 thì theo các mệnh đề 2.1, 2.3 ta có ( )

u ≤F u Với u u, ∈M tùy ý, đặt u=max{ ,u u } thì ta cóu ≤ , u u ≤ và u

Bây giờ xét { }u n ⊂M0 là dãy tăng Do F tăng nên { ( )} F u n cũng là dãy tăng và

tồn tại giới hạn lim ( n) 0

Vậy theo định lý 1.1, F có điểm bất động cực đại và điểm bất động này chính là

nghiệm yếu dương cực đại của (2.1)

Định lý 2.2 Giả sử rằng λ1 là s ố được định nghĩa trong bổ đề 2.1 và các giả thiết (H 1 ), (H 2 ) và (H 4 ) sau được thỏa

(H 4 ) α = − , p 1 * *

11

p q

F =F λ thỏa điều kiện (i) của định lý 1.1

Từ chứng minh định lý 2.1 ta thấy rằng để kiểm tra điều kiện (ii) của định lý 1.1

ta chỉ cần đi chứng minh F M( 0) bị chặn trong 1

( )

L+β Ω Thật vậy, với u∈M0 và ( )

v=F u theo (2.20) ta có (với α = − ) p 1

1 1

p

β α> = − ) Bây giờ, ta xét trường hợp 1+ <β pq′ Từ (H4) ta có

pq pq pq

− +

( )

L+β Ω Vậy định lý đã được chứng minh

Chương 3: Cấu trúc của tập nghiệm

3.1 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm cực đại khi λ → 0

hoặc λ → ∞

Định lý 3.1 Giả sử các giả thiết (H1), (H2), (H3) được thỏa, lấy uλ là nghiệm dương

cực đại của (2.1) và

1 1

)(,

p p

t

β

α

λ =λ + −− −

1 Vì β > − nên ta có p 1 tλ → khi 0 λ→ và 0 λ µ< kéo theo tλ <tµ, khi đó

vµ là nghiệm dưới của (3.3) và vì thế vµ ≤vλ Do đó tồn tại giới hạn

λ →

= h.k.n trong Ω Để có được kết luận ta sẽ chứng minh rằng v là

nghiệm của (3.1) và với mọi dãy λn → t0 ồn tại dãy con của dãy { }vλn hội tụ

W Ω và vì thế nó có dãy con, vẫn ký hiệu

là { }v n , hội tụ yếu và h.k.n về một hàm trong 1,

Ω

Vì vậy v là nghiệm của (3.1)

2 Trường hợp β < − thì ta có limp 1 tλ 0,tλ tµ

λ →∞ = > nếu λ µ< và ta có thể sử

dụng lập luận tương tự như ở trên để có kết luận

Nh ận xét 3.1 Nếu β = − thì p 1 tλ = và 1 vλ = vu1 ới mọi λ> 0

3.2 Nhánh liên t ục của tập nghiệm

Định lý 3.2 Giả sử (H 1 ) th ỏa và

(H 5 ) α β< ≤ − , p 1 *

1

p q

S = u∈W Ω  θ u≥ ∃ >λ λ u

là nhánh liên t ục không bị chặn phát ra từ θ

Ch ứng minh Trong phần 2.1 ta đã đưa bài toán (2.1) về phương trình toán tử (2.15),

vì thế ta chỉ cần chứng minh toán tử ( , )F λ u thỏa tất cả các điều kiện của định lý 1.2 Từ (H5) ta thấy rằng (2.14) thỏa với *

r = p , kết hợp với bổ đề 2.3 ta có ( , )F λ u

là hoàn toàn liên tục từ 1,

0 p( )

W Ω vào chính nó

Điều kiện (i) của định lý 1.2 được thỏa vì (0, )F u = θ

Ta sẽ chứng minh điều kiện (ii) của định lý \ref{dlb}1.2 thỏa với ( )G u =F(1, )u ,