cấu trúc một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn

Luận văn này sẽ mô tả một số nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn.. Chủ yếu dựa trên ứng dụng của Định lí Sylow; Định lí Jordan – Dickson về tính đơn của nhóm tuyến tính xạ ảnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Trải qua thời gian nghiên cứu, cùng với những kiến thức mà thầy cô đã trao dồi cho tôi trong suốt thời gian học tại trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đến nay tôi đã hoàn thành cuốn luận văn của mình Để đạt được kết

quả này không chỉ nhờ sự nổ lực của cá nhân mà còn có sự động viên giúp đở

của gia đình, thầy cô, bạn bè và tập thể lớp Đại số và Lý thuyết số K22, đặc

biệt là PGS TS Bùi Xuân Hải

Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

tới PGS.TS Bùi Xuân Hải đã khuyến khích, chỉ dẫn tận tình cho tôi trong

suốt thời gian nghiên cứu luận văn

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể quý Thầy Cô khoa Toán – Tin, các cán bộ phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, … đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong trong suốt quá trình

học tập tại trường Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ và cho tôi những lời khuyên bổ ích trong suốt thời gian thực hiện đề tài

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013

Học viên thực hiện

Võ Thị Phương Thảo

𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 trên 𝐾

𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính đặc biệt bậc 𝑛 trên 𝐾

PGL(n,K) – nhóm tuy ến tính xạ ảnh tổng quát bậc n trên K

PSL(n,K) – nhóm tuy ến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n trên K

𝑦𝑥 ≔ 𝑥−1𝑦𝑥 −phần tử liên hợp với 𝑦 trong một nhóm

𝐻𝑥 ≔ 𝑥−1𝐻𝑥 −nhóm con liên hợp với 𝐻

𝐺 𝐻⁄ − nhóm thương của G theo 𝐻

[𝑎, 𝑏] ≔ 𝑎−1𝑏−1𝑎𝑏 −giao hoán tử của 𝑎 và 𝑏

M Ở ĐẦU

Các nhóm tuyến tính đóng một vai trò quang trọng trong Lý thuyết nhóm nói riêng và trong toán học nói chung Đó là lí do em chọn đề tài “Cấu

trúc một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn” Luận văn này sẽ mô tả

một số nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn Chủ yếu dựa trên ứng

dụng của Định lí Sylow; Định lí Jordan – Dickson về tính đơn của nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt; tính đơn của nhóm thay phiên 𝐴𝑛 Luận văn sẽ đề

cập đến các p- nhóm con Sylow và tính đơn của một số nhóm tuyến tính Từ

đó tìm được mối liên hệ giữa các nhóm này với một số đối xứng và nhóm thay phiên đặc biệt Trong các nhóm tuyến tính cùng cấp với nhóm thay phiên tương ứng, có những nhóm đẳng cấu và cũng có những nhóm không đẳng cấu

với các nhóm thay phiên

Nội dung luận văn gồm hai chương:

Chương một: Kiến thức cơ sở Chương này chủ yếu trình bày các kiến

thức cơ bản về nhóm đơn, nhóm tuyến tính, nhóm đối xứng và nhóm thay phiên

Chương hai: Cấu trúc một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn Chương này mô tả các p- nhóm con Sylow và tính đơn của một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn Từ đó tìm được mối liên hệ giữa các nhóm này với các nhóm thay phiên có cùng cấp

Định lý 1.1.1.3 Cho G là nhóm cấp n, p là một ước nguyên tố của n Khi đó,

s ố các p- nhóm con Sylow của G là một ước của n và nguyên tố cùng nhau

v ới p

Ch ứng minh Gọi 𝑛𝑝 là số các p- nhóm con Sylow của G Kí hiệu 𝑆 ={𝑥𝑃𝑥−1: 𝑥 ∈ 𝐺} là tập các nhóm con liên hợp với P Theo Định lí Sylow, S có

𝑛𝑝 phần tử Xét tác động của G lên S bằng phép liên hợp Tác động này chỉ có

một quỹ đạo, chính là S Theo công thức các lớp, |𝑆| = 𝑛𝑝 = [𝐺: 𝑁𝐺(𝑃)], Do

đó 𝑛𝑝 là ước của n Vì 𝑛𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) nên 𝑛𝑝 nguyên tố cùng nhau với p

Định lý 1.1.1.4 Cho G là nhóm đơn có cấp n và p là ước nguyên tố của n

Khi đó, số các p– nhóm con Sylow của G nhiều hơn 1

Ch ứng minh Giả sử P là p – nhóm con Sylow duy nhất của G Theo chứng

minh của Định lí 1.1.1.3, [𝐺: 𝑁𝐺(𝑃)] = 𝑛𝑝 = 1, hay 𝐺 = 𝑁𝐺(𝑃), do đó 𝑥𝑃𝑥−1 = 𝑃 với mọi 𝑥 ∈ 𝐺 Như vậy P phải là nhóm con chuẩn tắc thực sự

của G, điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm đơn Do đó số các p– nhóm con Sylow của G phải nhiều hơn 1

Định lý 1.1.1.5 Cho nhóm G có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố Khi đó

i) N ếu 𝑝 = 𝑞 thì G là nhóm aben Hơn nữa, G đẳng cấu với 𝑍𝑝2 n ếu G chứa

ph ần tử cấp 𝑝2 và đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 n ếu G không chứa phần tử cấp 𝑝2

ii) N ếu 𝑝 ≠ 𝑞 thì G không là nhóm đơn Hơn nữa, nếu 𝑞 ≢ 1(𝑚𝑜𝑑𝑝) thì G

có p – nhóm con Sylow chu ẩn tắc Trong trường hợp này G là nhóm cyclic

Ch ứng minh i) Với p = q, G là nhóm aben Thật vậy, gọi 𝑍(𝐺) = {𝑎 ∈

𝐺: 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, ∀𝑥 ∈ 𝐺} là tâm của G và C(a) = {x∈G: xa = ax} Trước hết ta

chứng minh công thức: |𝐺| = |𝑍(𝐺)| + ∑ [𝐺: 𝐶(𝑥𝑚𝑖=1 𝑖)], trong đó {xR i R}R i∈I Rlà các phần tử không nằm trong tâm Xét tác động * : G×G→G, x*g = xgxP

trong đó {xR i R}R i∈I Rlà các phần tử không nằm trong tâm Suy ra |𝑍(𝐺)| = |𝐺| −

∑ [𝐺: 𝐶(𝑥𝑚𝑖=1 𝑖)], do đó |𝑍(𝐺)| chia hết cho p Mặt khác, 𝑍(𝐺) ≠ ∅ nên |𝑍(𝐺)|

Mặt khác |𝑍(𝐺)| = 𝑝 nên 𝑍(𝐺) =< 𝑦 >, do đó mỗi phần tử của G có dạng

𝑔 = 𝑥𝑢𝑦𝑣 Do tính giao hoán của x và y nên G giao hoán Còn nếu |𝑍(𝐺)| =

𝑝2 thì dễ thấy 𝑍(𝐺) = 𝐺 nên G giao hoán Vậy, G đẳng cấu với Z p2nếu G

ii) Giả sử p < q Theo Định lý Sylow, tồn tại các nhóm con A, B của G sao cho |𝐴| = 𝑝 và |𝐵| = 𝑞 Hơn nữa, A chính là một p – nhóm con Sylow của G,

B chính là m ột q – nhóm con Sylow của G Mà mọi nhóm hữu hạn có cấp

nguyên tố đều là nhóm cyclic, nên ta có thể xem A= a B; = b với a b, ∈G,

cấp của a là p, cấp của b là q

Gọi n là s p ố các p – nhóm con Sylow của G, n là s q ố các q – nhóm Sylow

của G Ta có n q = +1 kq n, q | p (do nR q R |pq, (nR q R,q) = 1 và theo Định lý Sylow) và

p< nên q n q = Khi đó:1 BG Vậy G không là nhóm đơn

Tương tự n p = +1 kp n, p |q Khi đó, ta có hai trường hợp Nếu 𝑛𝑝 = 1 thì A là nhóm con chuẩn tắc của G Ta sẽ chứng minh ab có cấp là pq Thật

vậy, ta có A∩ =B { }e (do p và q nguyên tố cùng nhau), mà 1 1

aba b− − ∈ ∩A B

(do A và B là các nhóm con chu ẩn tắc của G) nên ab=ba Khi đó, do cấp của

a và b nguyên t ố cùng nhau nên ab có cấp là pq Như vậy 𝐺 = 〈𝑎𝑏〉 = 𝑍𝑝𝑞

(do G có c ấp là pq) Trong trường hợp n p = , G không phải là nhóm Abel Ta q

có tập tích AB là một nhóm con của G và |𝐴𝐵| = |𝐴|.|𝐵||𝐴∩𝐵| = 𝑝𝑞 Do đó G = AB

Như vậy, ta vừa chứng minh được G không là nhóm đơn do G có q- nhóm con Sylow chuẩn tắc; nếu q≡/1 mod( p)thì G có một p- nhóm con Sylow chuẩn tắc Trong trường hợp này G là nhóm cyclic

Định lý 1.1.1.6 Cho G là nhóm cấp pP

2

P

q, trong đó p, q là các số nguyên tố phân bi ệt Khi đó G không là nhóm đơn và G có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc

ho ặc G có q- nhóm con Sylow chuẩn tắc

Ch ứng minh Gọi 𝑛𝑝, 𝑛𝑞 lần lượt là số các p- nhóm con Sylow và số các q- nhóm con Sylow Giả sử G không có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc và q-

nhóm con Sylow chuẩn tắc Khi đó 𝑛𝑝 > 1 và 𝑛𝑞 > 1 Ta có, 𝑛𝑞 là ước của

𝑝2𝑞 và 𝑛𝑞 nguyên tố cùng nhau với q Vì thế nR q R = pP

thế, mỗi q- nhóm con Sylow chứa đúng 𝑞 − 1 phần tử cấp q Dễ thấy hai q- nhóm con Sylow tuỳ ý hoặc là bằng nhau, hoặc có giao là nhóm con tầm thường Do đó số phần tử có cấp q của G là nR q(𝑞 − 1) Gọi L là tập các phần

phần tử của P đều không có cấp q Suy ra P = L Do đó G

chỉ có duy nhất một p- nhóm con Sylow, tức là nR p R = 1, vô lí Trường hợp nR q R =

p Theo Định lí Sylow, nR q R≡ 1(mod q), vì thế 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑞) Suy ra p > q Ta

Định lí 1.1.1.8 Nếu 𝐻 ≤ 𝐺 và [𝐺: 𝐻] = 𝑛 thì tồn tại một đồng cấu 𝜑: 𝐺 ⟶

𝑆𝑛 sao cho 𝑘𝑒𝑟 𝜑 ≤ 𝐻

Ch ứng minh Cho 𝑎 ∈ 𝐺 và X là họ tất cả các lớp ghép trái của H trong G

Khi đó ta định nghĩa hàm số 𝜑𝑎: 𝑋 ⟶ 𝑋 xác định như sau 𝑔𝐻 ⟼ 𝑎𝑔𝐻, ∀𝑔 ∈

𝐺 Dễ kiểm tra được mỗi 𝜑𝑎 là một hoán vị của X Khi đó, 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝑆𝑋 ≅ 𝑆𝑛xác định 𝑎 ⟼ 𝜑𝑎 là một đồng cấu Nếu 𝑎 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝜑 thì 𝑎𝑔𝐻 = 𝑔𝐻, ∀𝑔 ∈ 𝐺

Đặc biệt, 𝑎𝐻 = 𝐻, nên 𝑎 ∈ 𝐻 Do đó 𝑘𝑒𝑟𝜑 ≤ 𝐻

Hệ quả 1.1.1.9 Cho G là nhóm đơn, H là nhóm con của G có chỉ số n trong

G Khi đó, G nhúng được vào 𝑆𝑛 T ừ đó suy ra cấp của G là ước của n!

Mệnh đề 1.1.1.10 Mọi nhóm cấp p n(n> 1)đều không là nhóm đơn

Ch ứng minh Lấy G là nhóm cấp p n(n> 1) Giả sử G là nhóm đơn Theo Định lí Sylow, G có nhóm con H cấp n 1

p − , [G H: ]= p Theo Hệ quả 1.1.1.9,

| !

G p nên p n | !p , suy ra n= Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy G 1không là nhóm đơn

Định lí 1.1.1.12 Không tồn tại các nhóm đơn không abel cấp nhỏ hơn 60

Ch ứng minh Ta cần chứng minh các nhóm cấp nhỏ hơn 60 chỉ gồm nhóm

abel; nhóm không đơn (có thể là nhóm abel) Trước hết, các nhóm có cấp p,

Theo Định lí 1.1.1.5, mọi nhóm cấp 𝑝𝑞 đều không là nhóm đơn Do đó các nhóm có cấp 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 46, 51, 55, 57, 58 không đơn

Theo Định lí 1.1.1.6, mọi nhóm cấp 𝑝2𝑞 đều không là nhóm đơn Do

Nhóm cấp 36 không là nhóm đơn.Thật vậy, gọi G là nhóm cấp

36 = 22 32 Giả sử G đơn thì n > 1 nhưng theo Định lý Sylow, nR 3 R4 và

nR 3 R≡1(mod 2) suy ra nR 3 R = 4 Gọi H là 3- nhóm con Sylow của G Khi đó [G:NR G R(H)] = nR 3 R = 4, nên G= 36 chia hết cho 4! (vô lý) Vậy G không là nhóm đơn

Nhóm cấp 40 không là nhóm đơn Thật vậy, lấy nhóm G cấp 40 = 2P

𝑛7≡ 1(𝑚𝑜𝑑 7) nên 𝑛7 = 8 Để ý rằng nếu có hai nhóm con khác nhau của G

có cấp 7 thì giao của chúng là nhóm con đơn vị Do đó, số các phần tử cấp 7

là 8(7 – 1) = 48 hay số các phần tử cấp khác 7 là 56 – 48 = 8 Nhưng mỗi 2- nhóm con Sylow của G có 2P

Định nghĩa 1.1.2.1 Tập các song ánh từ tập 𝑋 = {1, 2, … , 𝑛} vào chính nó là

một nhóm với phép nhân là phép hợp nối ánh xạ, được gọi là nhóm đối xứng

b ậc n trên tập X, kí hiệu là 𝑆𝑛

Mỗi phần tử của 𝑆𝑛 được gọi là một hoán vị bậc n thường được viết dưới

dạng ma trận như sau: 𝜎 = � 1 2 … 𝑛 𝑖

1 𝑖2 … 𝑖𝑛�

trong đó 𝑖𝑘 = 𝜎(𝑘), ∀𝑘 ∈ 1, 𝑛�����

Định nghĩa 1.1.2.2 Phần tử 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 được gọi là một k- chu trình hay một chu

trình độ dài k, nếu tồn tại một tập con {𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘} ⊆ {1,2, … , n} sao cho 𝜎(𝑖1) = 𝑖2, 𝜎(𝑖2) = 𝑖3, … , 𝜎(𝑖𝑘−1) = 𝑖𝑘, 𝜎(𝑖𝑘) = 𝑖1, và 𝜎(𝑗) = 𝑗,

∀𝑗∉{ 𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘}

Ta viết đơn giản một chu trình độ dài k là (𝑖1𝑖2 … 𝑖𝑘) Chu trình có độ dài 2

được gọi là một chuyển vị

Định nghĩa 1.1.2.3 Ta nói 𝜎 = (𝑖1𝑖2 … 𝑖𝑘) và 𝜏 = (𝑗1𝑗2 … 𝑗𝑙) là hai chu trình độc lập hay không giao nhau, nếu

{𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘} ∩ {𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑙} = ∅

Định lí 1.1.2.4 Mỗi phép hoán vị khác phép đồng nhất là tích của các chu

trình đôi một độc lập với nhau

Ch ứng minh Xét phép hoán vị

𝜎 = � 1 2 … 𝑛𝜎(1) 𝜎(2) … 𝜎(𝑛)�

Dòng trên ta lấy một phần tử tùy ý, chẳng hạn 𝑖1, rồi lấy ảnh liên tiếp ta được

𝑖2 là ảnh của 𝑖1, 𝑖3 là ảnh của 𝑖2, …, 𝑖𝑚 là ảnh của 𝑖𝑚−1 và 𝑖1 là ảnh của

𝑖𝑚 Thế thì ta được một chu trình (𝑖1𝑖2 … 𝑖𝑚)

Tiếp tục cách làm đó với các phần tử còn lại của tập 1, 2, … , 𝑛 cho tới

hết ta thu được các chu trình độc lập mà tích của chúng bằng 𝜎

Hệ quả 1.1.2.5 Cấp của một hoán vị bằng bội số chung nhỏ nhất (BSCNN)

của các chiều dài của các chu trình trong sự phân tích hoán vị thành tích

nh ững chu trình đôi một độc lập nhau

Định lí 1.1.2.6 Mỗi hoán vị khác phép đồng nhất đều phân tích thành tích

Định nghĩa 1.1.2.7 Phép hoán vị được gọi là chẵn nếu nó được phân tích

thành tích của một số chẵn các chuyển vị và gọi là lẻ trong trường hợp ngược

1.1.3 Tính đơn của nhóm thay phiên

Định lý 1.1.3.1 Với n >1, 𝐴𝑛 là m ột nhóm con chuẩn tắc của 𝑆𝑛 có c ấp n!/2

|𝜑(𝐺)∩𝐴 𝑛 | =|𝜑(𝐺)|.n! 21 � ⇒ |𝜑(𝐺)| ≤ 2 ⇒ |G| ≤ 2 (trái giả thuyết

𝑛 > 2) Vậy nhóm đơn G có nhóm con H có chỉ số n > 2 thì G nhúng được vào 𝐴𝑛

Định lý 1.1.3.3 Với mọi 𝑛 ≥ 5, 𝐴𝑛 là nhóm đơn

Ch ứng minh Lưu ý rằng 𝐴𝑛 được sinh bởi các chu trình độ dài 3 Giả sử

1 ≠ 𝑁𝐴𝑛 Trước hết, ta chứng minh nếu N chứa một chu trình độ dài 3 thì

N chứa tất cả các chu trình độ dài 3, do đó 𝑁 = 𝐴𝑛 Sau đó, ta sẽ chứng minh

N nhất định chứa một chu trình độ dài 3 Điều này tất nhiên sẽ kết thúc việc

chứng minh 𝐴𝑛 là nhóm đơn

Giả sử N chứa một chu trình độ dài 3 Không mất tính tổng quát, có thể giả

sử N chứa chu trình (123) Với mọi 𝑘 > 3, chu trình (23𝑘) ∈ 𝐴𝑛, do đó (23𝑘)−1(123)(23𝑘) = (1𝑘2) ∈ 𝑁

Từ đó suy ra (12𝑘) = (1𝑘2)2 ∈ 𝑁.Vậy (12𝑘) ∈ 𝑁, ∀𝑘 ≠ 1,2

Bây giờ, bằng cách tương tự như trên, từ điều kiện (12𝑘) ∈ 𝑁 suy ra (1𝑘𝑙) ∈

𝑁, ∀𝑙 ≠ 1, 𝑘 Nhưng (1𝑘𝑙) = (𝑘𝑙1), nên cũng bằng cách như trên suy ra (𝑘𝑙𝑗) ∈ 𝑁, ∀𝑗 ≠ 𝑘, 𝑙 Tóm lại, ta đã chứng minh N chứa mọi chu trình độ dài

Ta có 𝑧𝑥−1 = (𝑡−1𝑎𝑡)𝑎−1 = 𝑡−1(𝑎𝑡𝑎−1) = (𝑎1𝑎3𝑎2)(𝑎2𝑎3𝑎4) =(𝑎1𝑎3𝑎4) ∈ 𝑁

Vậy, trong trường hợp này N chứa mọi chu trình độ dài 3

2* Giả sử N chứa một phần tử mà trong sự phân tích thành tích các chu trình độc lập có ít nhất hai chu trình độ dài 3

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử N chứa phần tử 𝑥 = (123)(456)𝑦 Trong đó y là một hoán vị cố định các phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6.Đặt 𝑡 = (234),

ta có (𝑡−1𝑥𝑡)𝑥−1 = (15243) ∈ 𝑁 Theo 1*, N chứa một chu trình độ dài 3 3* Trong trường hợp còn lại, ta giả sử N không chứa những phần tử như đã nêu trong 1* và 2* Khi đó, mỗi một phần tử của N sẽ hoặc là tích của một chu trình độ dài 3 với các chuyển vị hoặc là tích của những chuyển vị trong sự phân tích của nó thành tích những chu trình độc lập

Nếu 𝑥 = (123)𝑝 ∈ 𝑁, 𝑝2 = 1, thì 𝑥2 = (123) là một chu trình độ dài 3 Vậy,

Giả sử N chứa phần tử x dạng 𝑥 = (12)(34)𝑝, trong đó 𝑝 cố định 1, 2, 3, 4 Đặt 𝑢 = (145), ta có (𝑢−1𝑥𝑢)𝑥−1 ∈ 𝑁

Nếu 𝑥(5) = 5 thì (𝑢−1𝑥𝑢)𝑥−1 = 𝑢−1(𝑥𝑢𝑥−1) = (154)(235) = (15243) ∈

𝑁, nên theo 1*, N chứa một chu trình độ dài 3

Nếu 𝑥(5) = 𝑘 ≠ 5 thì trong N có phần tử (154)(23𝑘), nên theo 2*, N chứa

một chu trình độ dài 3

Vậy, định lí được chứng minh xong

Định lý 1.1.3.4 Nhóm đối xứng 𝑆𝑛 được sinh bởi các chu trình (1 2… n) và (12)

Ch ứng minh Đặt 𝑎 = (12 … 𝑛) và 𝑏 = (12) Gọi G là nhóm con của 𝑆𝑛 sinh

bởi a và b Khi đó G chứa 𝑎𝑏𝑎−1 = (23), do đó G chứa 𝑎(23)𝑎−1 = (34), …

Một cách tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng (𝑗 𝑗 + 1) Từ đó thấy

G chứa các chuyển vị (13) = (12)(23)(12), (14) = (13)(34)(13), … Tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng (1 𝑗), 𝑗 ∈ 2, 𝑛 Nhưng ∀𝑖, 𝑗 ≠ 1, ta có (𝑖𝑗) = (1𝑖)(1𝑗)(1𝑖), nên G chứa mọi chuyển vị Vậy 𝐺 = 𝑆𝑛

Định lý 1.1.3.5 Mọi nhóm đơn cấp 60 đều đẳng cấu với 𝐴5

Trước khi chứng minh định lí này ta cần sử dụng Định lí Burnside Do việc

chứng minh Định lí này tương đối dài nên trong phần này tôi sẽ không trình bày chứng minh Định lí Burnside

Định lý 1.1.3.6 (Định lí Burnside) Cho G là một nhóm hữu hạn, P là một p-

nhóm con Sylow c ủa G và 𝑁𝐺(𝑃) = 𝐶𝐺(𝑃) Khi đó, P có phần bù chuẩn tắc

trong G (t ức, tồn tại nhóm K sao cho 𝐺 = 𝐾𝑃) Nói riêng, G không là nhóm đơn

Ch ứng minh Định lí 1.1.1.5 Giả sử G là nhóm đơn cấp 60 = 22 3.5 Gọi 𝑛2

là số các 2- nhóm con Sylow của G Theo Định lý Sylow, 𝑛215 và 𝑛2 ≡1(𝑚𝑜𝑑 2) G là nhóm đơn nên 𝑛2 ≠ 1

Gọi P là một 2- nhóm con Sylow của G Khi đó, Nếu 𝑛2 = 3 thì [𝐺: 𝑁𝐺(𝑃)] = 3 Do đó G có nhóm con có chỉ số 3 Theo Định lí 1.1.3.2, G nhúng được vào 𝐴3(vô lí vì |𝐺| = 60 > 6 = 3! = |𝐴3|) Nếu 𝑛2 = 5 thì [𝐺: 𝑁𝐺(𝑃)] = 5 Do đó G có nhóm con có chỉ số 5 Theo Định lí 1.1.3.2, G nhúng được vào 𝐴5 mà |𝐺| = 60 = |𝐴5| Do đó 𝐺 ≅ 𝐴5 Nếu 𝑛2 = 15 thì [𝐺: 𝑁𝐺(𝑃)] = 15 hay |𝑁𝐺(𝑃)| = 4 = |𝑃| Hơn nữa, 𝑃 ≤ 𝑁𝐺(𝑃) nên 𝑃 =

𝑁𝐺(𝑃) Vì |𝑃| = 4 nên P là nhóm aben do đó 𝑃 ≥ 𝐶𝐺(𝑃) Do đó, 𝑁𝐺(𝑃) =

𝑃 = 𝐶𝐺(𝑃)

Theo Định lí Burnside, suy ra G không là nhóm đơn (trái giả thiết) Vậy mọi nhóm đơn cấp 60 đều đẳng cấu với 𝐴5

1.2 Nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn

1.2.1 Định nghĩa nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn

Cho K là trường hữu hạn, V là một không gian vectơ m- chiều trên K

Định nghĩa 1.2.1.1

Nhóm tuy ến tính tổng quát 𝐺𝐿(𝑉) là nhóm tất cả các phép biến đổi

tuyến tính không suy biến trên V

Một phép biến đổi tuyến tính có định thức bằng 1 được gọi là một phép

biến đổi unimodular

Nhóm tuy ến tính đặc biệt 𝑆𝐿(𝑉) là nhóm con của 𝐺𝐿(𝑉) gồm tất cả các

phép biến đổi unimodular

Ký hiệu Z(V) gồm tất cả các phép biến đổi vô hướng, 𝑆𝑍(𝑉) gồm tất

cả các phép biến đổi vô hướng unimodular Ta nhận xét rằng tâm của 𝐺𝐿(𝑉)

là 𝑍(𝑉) và tâm của 𝑆𝐿(𝑉) là SZ(𝑉) Khi đó, ta định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1.2

Nhóm tuy ến tính tổng quát 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗� ∈ 𝑀𝑛(𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗� ≠ 0}

Nhóm tuy ến tính đặc biệt 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗� ∈ 𝑀𝑛(𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗� = 1}

Nhóm tuy ến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾)/𝑍(𝑛, 𝐾) Nhóm tuy ến tính xạ ảnh đặc biệt 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) = 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾)/𝑆𝑍(𝑛, 𝐾)

Trong đó 𝑍(𝑛, 𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛(𝐾), 𝛼 ≠ 0}

𝑆𝑍(𝑛, 𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛(𝐾), 𝛼𝑛 = 1}

Với 𝐾 = 𝐹𝑞 là trường hữu hạn với 𝑞 = 𝑝𝑛 phần tử, ta có thể thay các

ký hiệu 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾), 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾), 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝐾), 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) lần lượt là 𝐺𝐿(𝑛, 𝑞), 𝑆𝐿(𝑛, 𝑞), 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝑞), 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝑞)

Hiển nhiên, nếu 𝜏 là phép co thì 𝜏−1 cũng là phép co

Cho 0 ≠ 𝑎 𝜖 𝐾 và 𝑖 ≠ 𝑗 là các số nguyên 1 < 𝑖, 𝑗 < 𝑛, một phép co sơ

c ấp 𝑡𝑖𝑗(𝑎) là một ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 có dạng E + 𝑎𝐸𝑖𝑗

Phép co sơ cấp chỉ khác ma trận đơn vị là a ở vị trí thứ (i, j) Các phép

sơ cấp nằm trong 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) và có vai trò tương tự như các 3- chu trình

trong 𝐴𝑛 Tầm quan trọng của chúng là do phép nhân trái của một ma trận với phép co sơ cấp là cộng a lần dòng thứ j vào dòng thứ i, vì thế được gọi là phép toán dòng

Định nghĩa 1.2.1.4 Dạng chính tắc hữu tỉ của một ma trận 𝐴 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾)

Cho 𝐴 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) Dạng chính tắc hữu tỉ của ma trận A là một ma trận đồng

dạng với A (tức, liên hợp trong GL(n,K)), có dạng một ma trận khối

Ch ứng minh i) Cho 𝐾 = 𝐹𝑞 Khi đó, với mọi 𝛼 ∈ 𝐾∗, 𝛼𝑛 = 1 khi và chỉ khi

𝛼𝑑 = 1 Thật vậy, vì d chia hết n, 𝛼𝑑 = 1 suy ra 𝛼𝑛 = 1 Ngược lại, có 2 số

nguyên a và b sao cho 𝑑 = 𝑎𝑛 + 𝑏(𝑞 − 1) Như vậy 𝛼𝑑 = 𝛼𝑎𝑛+𝑏(𝑞−1) =

𝛼𝑛𝑎𝛼𝑏(𝑞−1) = 𝛼𝑛𝑎, Vì 𝛼𝑞−1 = 1 Do đó 𝛼𝑛 = 1 suy ra 1 = 𝛼𝑛𝑎 = 𝛼𝑑

Vậy 𝑆𝑍(𝑛, 𝑞) ≅ {𝛼 ∈ 𝐾∗: 𝛼𝑛 = 1} ≅ {𝛼 ∈ 𝐾∗: 𝛼𝑑 = 1} Hơn nữa, nếu 𝜋 là

một phần tử sinh của 𝐾∗, khi đó S𝑍(𝑛, 𝑞) ≅< 𝜋𝑛/𝑑 > và do đó |𝑆𝑍(𝑛, 𝑞)| =

𝑑

ii) Với hình thức một ma trận trong 𝐺𝐿(𝑛, 𝑞) ta có thể chọn dòng đầu tiên trong 𝑞𝑛− 1 cách, không chọn dòng không, chọn dòng thứ hai trong 𝑞𝑛 − 𝑞 cách, khác tích của dòng đầu, chọn dòng thứ ba trong 𝑞𝑛− 𝑞2 cách, khác tổ

hợp tuyến tính của hai dòng đầu, và tương tự như vậy Nhân các số với nhau

ta thu được cấp của 𝐺𝐿(𝑛, 𝑞)

iii) 𝐴 → det 𝐴 là một toàn cấu từ 𝐺𝐿(𝑛, 𝑞) tới 𝐺𝑞∗ có hạt nhân là 𝑆𝐿(𝑛, 𝑞) Vì

�𝐺𝑞∗� = 𝑝 − 1, công thức tính |𝑆𝐿(𝑛, 𝑞)| có được trực tiếp từ định lí đẳng cấu

thứ nhất

iv) Số các nghiệm của 𝑎𝑛 = 1 trong 𝐺𝑞 là (𝑛, 𝑞 − 1) Suy ra 𝐺𝑞∗ là cyclic cấp

𝑞 − 1

1.2.3 Một số tính chất của các nhóm tuyến tính

Định lý 1.2.3.1 Với 𝑛 > 1, 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) được sinh bởi các phép co sơ cấp

Ch ứng minh Cho 𝐴 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) Ta đưa A về 𝐸 bằng phép toán dòng Cộng

một dòng vào dòng thứ hai nếu cần thiết, ta có thể giả sử 𝑎21 ≠ 0 Cộng

𝑎21−1(1 − 𝑎11) lần dòng thứ hai vào dòng đầu ta được 1 ở vị trí (1, 1) Trừ đi

bội của dòng đầu ta nhận được 0 ở cột đầu bên dưới dường chéo Định thức con thứ (1, 1) thuộc vào 𝑆𝐿(𝑛 − 1, 𝐾) và có thể xử lí tương tự cho đến khi ta thu được một ma trận với 1 trên dường chéo và 0 bên dưới Hơn nữa các phép toán dòng đưa ma trận về dạng đồng nhất Do đó 𝑇𝑘𝑇𝑘−1… 𝑇1𝐴 = 𝐸 với phép