các khái niệm cơ bản của giải tích đa trị và ứng dụng

Trong luận văn này, chúng ta sẽ xem xét một số khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị dưới góc độ, công cụ quen thuộc của ánh xạ đơn trị.. Luận văn được trình bày gồm hai chương: Chươn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

M ỤC LỤC

M ỤC LỤC 1

DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU 3

M Ở ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Cơ sở của không gian topo – Topo yếu 5

1.1.1 Cơ sở của không gian topo 5

1.1.2 Topo yếu 5

1.2 Các topo đặc biệt cảm sinh từ một topo cho trước 5

1.3 Nón l ồi – Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến 7

1.3.1 Nón lồi 7

1.3.2 Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến 7

1.4 Hàm l ồi – Định lí tách tập lồi 7

1.5 Tính liên t ục của ánh xạ đơn trị 7

1.6 Phân ho ạch đơn vị 8

1.6.1 Giá của một hàm số 8

1.6.2 Phân hoạch đơn vị 8

1.7 Ánh x ạ đa trị – Một số ánh xạ đa trị đặc biệt 9

1.7.1 Ánh xạ hợp 9

1.7.2 Ánh xạ đa trị có giá trị đóng – Miền vững 9

1.7.3 Ánh xạ đa trị có giá trị lồi 10

1.7.4 Ánh xạ đa trị đóng 10

1.7.5 Ánh xạ đa trị lồi 10

1.7.6 Quá trình lồi 10

1.7.7 Ánh xạ đa trị Lipschitz địa phương 13

1.7.8 Hàm tựa của ánh xạ đa trị – Ánh xạ đa trị hemi liên tục 13

1.7.9 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 13

CHƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ 17

2.1 Các tính ch ất về tính liên tục, liên thông, compact 17

2.2 Các tính ch ất về tính đóng – mở, lồi 23

2.2.1 Định lí ánh xạ mở 23

2.2.2 Định lí đồ thị đóng 24

2.2.3 Nguyên lí bị chặn đều 26

2.2.4 Định lí về sự tồn tại điểm cân bằng 28

2.2.5 Định lí điểm bất động Ky Fan – Định lí điểm bất động Kakutani 29

K ẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 36

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 37

rgeF Miền ảnh của F

domF Miền hữu hiệu của F

gphF Đồ thị của F

*

X Không gian liên hợp của X

F Chuẩn của ánh xạ đa trị F

MỞ ĐẦU

Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới mặc dù từ những năm 30 của thế kỷ XX, các nhà toán học đã nhận ra tầm quan trọng của chúng Sự ra đời của tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysis” vào năm 1993 là một mốc lớn trong quá trình phát triển của

hướng nghiên cứu này

Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lí thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiên, tối ưu đa mục tiêu và toán kinh tế Hiện nay hầu như các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của các bài toán tối ưu phụ thuộc tham

số đều được viết bằng ngôn ngữ giải tích đa trị

Trong luận văn này, chúng ta sẽ xem xét một số khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị dưới góc độ, công cụ quen thuộc của ánh xạ đơn trị Từ đó có thể tìm ra những kết quả, chứng minh tương tự như việc chứng minh các tính chất của ánh xạ đơn trị Luận văn được trình bày gồm hai chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức về ánh xạ đơn trị Đồng thời giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ bản về ánh xạ đa trị

Chương II: Mối quan hệ giữa ánh xạ đa trị và ánh xạ đơn trị

Chương này giới thiệu một cách nhìn khác về ánh xạ đa trị Bằng các công cụ của ánh xạ đơn trị, chúng ta sẽ xem xét các tính chất, các chứng minh tính chất của ánh xạ

đa trị Ngược lại khi ta xem ánh xạ đơn trị là một ánh xạ đa trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những kết quả đã biết của ánh xạ đơn trị

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Cơ sở của không gian topo – Topo yếu

1.1.1 Cơ sở của không gian topo

Định nghĩa 1.1 Cho không gian topo (X,τ) Một họ B các tập con của X gọi là

cơ sở của topo τ nếu mọi tập mở V chứa x đều có một tập mở G thoả mãn G B∈ và

1.2 Các topo đặc biệt cảm sinh từ một topo cho trước

Cho không gian topo (X,τ) và ( )X là họ tất cả các tập con của X Với mỗi tập

Để hiểu rõ hơn về các định nghĩa trên, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.1 Cho không gian  với topo τ thông thường

1 Với một khoảng mở G tuỳ ý, họ ( )G tất cả các tập con của nó là một tập

mở trongτ

 Hơn nữa, một tập mở tuỳ ý trong τ

 luôn được biểu diễn dưới dạng hợp của các tập mở có dạng nói trên

2 Với một khoảng mở ( )a b , tuỳ ý, họ tất cả các tập có dạng A { }x là một tập

mở trong τ

 trong đó x∈( )a b, và A⊂  bất kì Hơn nữa, một tập mở tuỳ ý trong τ

 luôn được biểu diễn dưới dạng hợp của các tập mở có dạng nói trên

1.3 Nón l ồi – Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến

1.3.1 Nón lồi

Định nghĩa 1.3 Trong một không gian định chuẩn, tập K được gọi là nón lồi nếu:

i 0∈ K

ii ∀x y, ∈K;∀λ µ, >0 :λx+µy∈ K

1.3.2 Nón tiếp tuyến – Nón pháp tuyến

Định nghĩa 1.4 Cho K là một tập lồi trong không gian tuyến tính topo X Nón tiếp

tuyến T K( )x của K tại x K∈ là tập hợp được cho bởi công thức:

( ) { ( ): , 0}

K

T x = t y−x y∈K t≥

Định nghĩa 1.5 Cho K là một tập lồi trong không gian tuyến tính topo X Nón

pháp tuyến N K ( )x của K tại x K∈ là tập hợp được cho bởi công thức:

Định nghĩa 1.6 Cho X là không gian tuyến tính và : f X →  Khi đó f được gọi

là hàm lồi nếu với mọi λ∈[ ]0,1 và với mọi ,x y∈ ta đều có: X

(1 ) ( ) (1 ) ( )

f λx+ −λ y ≤ λf x + −λ f y

Nếu f − là hàm lồi thì ta nói f là hàm lõm

Định lí 1.2 Cho X là không gian Banach và , A B là hai tập lồi đóng có giao bằng

rỗng Khi đó, nếu A là tập compact thì tồn tại * { }

1.5 Tính liên t ục của ánh xạ đơn trị

Định nghĩa 1.7 Cho không gian topo (X,τX) Hàm f X: →  được gọi là nửa liên tục trên tại x 0 nếu với mọi α > f x( )0 , tồn tại U∈ τX chứa x sao cho: 0

( ) ,

f x < ∀ ∈ α x U

Định nghĩa 1.8 Cho không gian topo (X,τX) Hàm f X: →  được gọi là nửa liên tục dưới tại x 0 nếu với mọi α < f x( )0 , tồn tại U∈ τX chứa x sao cho: 0

( ) ,

f x > ∀ ∈ α x U

Định nghĩa 1.9 Ánh xạ f đi từ không gian topo (X,τX) đến không gian topo

(Y,τY ) được gọi là liên tục tại x0∈ X nếu với mọi V∈ τY chứa f x( )0 , tồn tại U∈ τX

chứa x sao cho0 f U( )⊂ V

1.6.2 Phân hoạch đơn vị

Định lí 1.3 Cho K là không gian metric compact và { }Vα α∈A là một phủ mở của K

Khi đó tồn tại hữu hạn các hàm liên tục f i :K →(i=1, 2, ,n) thoả mãn:

f x x K

=

= ∀ ∈

∑

iii Với mỗi i∈{1, 2, n}, tồn tại α∈ sao cho suppA f i ⊂Vα

Chứng minh chi tiết của định lí trên có thể xem trong [1, trang 28 ]

Định nghĩa 1.11 Họ các hàm liên tục { }f i i=1, ,n có các tính chất ( ) ( ) ( )i , ii , iii trong

định lí trên được gọi là một phân hoạch đơn vị của K tương thích với phủ mở { }Vα α∈A

Định lí 1.4(Bất đẳng thức Ky Fan) Cho K là tập lồi, compact trong không gian

Banach X và f K: × →  là hàm số thoả mãn các điều kiện: K

i ∀ ∈y K f, ( ),y là hàm số nửa liên tục dưới

ii ∀ ∈x K f x, ( ), là hàm lõm

iii ∀ ∈x K f x x, ( ), ≤ 0

Khi đó, tồn tại x0∈ sao cho K f x y( 0, )≤ ∀ ∈ 0, y K

Chứng minh chi tiết của định lí trên có thể xem trong [1, trang 31 ]

1.7 Ánh x ạ đa trị – Một số ánh xạ đa trị đặc biệt

Cho X Y là h, ai tập hợp bất kì Một ánh xạ F đi từ X vào tập hợp ( )Y gồm toàn

bộ các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị, kí hiệu : F X  Như vậy với mỗi Y

Định nghĩa 1.13 Cho :F X  và :Y G Y  là hai ánh xạ đa trị Ánh xạ đa trị Z

G F được cho bởi công thức ( )( )

1.7.2 Ánh xạ đa trị có giá trị đóng – Miền vững

Định nghĩa 1.14 Cho hai không gian topo (X,τX) (, Y,τY) và ánh xạ đa trị :

F X  Nếu Y F x ( ) là tập đóng với mọi x X ∈ thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng

Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian Banach và : F X  là ánh xạ đa trị có X

giá trị đóng Tập lồi K ⊂domF được gọi là một miền vững của F nếu với mọi x X∈ , ta

có F x( ) T K ( )x ≠ ∅

1.7.3 Ánh xạ đa trị có giá trị lồi

Định nghĩa 1.16 Cho X là không gian topo và Y là không gian tuyến tính topo

Ánh xạ đa trị :F X  được gọi là ánh xạ có giá trị lồi nếu Y F x ( ) là tập lồi với mọi

Định nghĩa 1.18 Cho ,X Y là các không gian định chuẩn Ánh xạ :F X  được Y

gọi là một quá trình lồi nếu gphF là nón lồi trong không gian tích X Y× Hơn nữa, nếu

gphF là nón lồi đóng trong X Y × thì F được gọi là một quá trình lồi đóng

Mệnh đề 1.2 Cho hai không gian Banach ,X Y và F X:  là một quá trình lồi Y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

Định nghĩa 1.19 Cho :F X  là một quá trình lồi đóng Chuẩn của F là một số Y

thực suy rộng được cho bởi công thức:

x F

F x F

Ví dụ sau đây cho thấy một trường hợp vô hạn của F

Ví dụ 1.2 Cho [0,+∞ là không gian định chuẩn với chuẩn Euclid, ) C( [0,+∞  là ), )

không gian các hàm số liên tục trên [0,+∞ ) với chuẩn

là một quá trình lồi đóng với F là vô hạn

Ta sẽ chứng minh F là quá trình lồi đóng:

+ Lấy ,λ µ≥ và 0 (x f1, α1) (, x2, fα2 )∈gphF tuỳ ý Khi đó ta có:

∈ là dãy các đơn thức bậc hai, hội tụ về

y theo chuẩn sup nên y cũng là một đơn thức bậc hai Do đó, tồn tại α∈ sao cho

sup

t

t t

d 0,sup

x

F x F

1.7.7 Ánh xạ đa trị Lipschitz địa phương

Định nghĩa 1.20 Cho ,X Y là các không gian định chuẩn và ánh xạ đa trị :

F X  Ta nói F là Lipschitz địa phương tại Y x∈int dom( F) nếu tồn tại >0 và δ > 0sao cho:

( )2 ( )1 2 1 (0 ,1Y )

F x ⊂F x + x −x B

với mọi x x1, 2∈B x( ),δ

1.7.8 Hàm tựa của ánh xạ đa trị – Ánh xạ đa trị hemi liên tục

Định nghĩa 1.21 Cho X là không gian metric và Y là không gian định chuẩn Hàm

tựa của ánh xạ đa trị :F X  là hàm số đi từ Y *

Y × vào  được cho bởi công thức: X

( , ) sup{ ( ): ( ) }

F

C p x = p y y∈F x

trong đó *

Y là không gian đối ngẫu của Y , = −∞ +∞[ , ]

Định nghĩa 1.22 Cho X là không gian metric và Y là không gian định chuẩn Ánh

xạ đa trị :F X  được gọi là hemi liên tục trên tại Y x∈domF nếu với mỗi *

p∈ , hàm Y

số C p( )p, là nửa liên tục trên tại x Ta nói F là hemi liên tục trên ở trong X nếu nó là hemi liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF

1.7.9 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.23 Cho hai không gian topo (X,τX) (, Y,τY) và ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.25 Cho hai không gian topo (X,τX) (, Y,τY) và ánh xạ đa trị:

F X  F được gọi là liên tục tại Y x0∈domF nếu F là nửa liên tục trên tại x0và nửa liên tục dưới tại x 0

Để hiểu rõ hơn về các định nghĩa trên, ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 1.3 Ánh xạ đa trị :F  được cho bởi công thức: 

( ) { } [ ]

{ }

0 , 01,1 , 0

là nửa liên tục trên ở trong  nhưng không nửa liên tục dưới tại x= 0

Ví dụ 1.4 Ánh xạ đa trị :F  được cho bởi công thức: 

là ánh xạ đa trị không nửa liên tục trên, không nửa liên tục dưới ở bất kì điểm x∈ nào

Ví dụ 1.5 Cho ánh xạ đa trị :F  được cho bởi công thức: 

( ) [ )

, 1 , 01,1 , 0

Với topo thông thường trên , ánh xạ đa trị F được cho như trên là nửa liên tục

dưới tại mỗi x∈\ 0{ } và nửa liên tục trên tại mỗi x∈(0,+∞ Thật vậy: )

Hình 1.1 Biểu diễn của F trên mặt phẳng toạ độ

i Tính nửa liên tục dưới của F

+ Lấy x0 < 0 và tập V mở tuỳ ý thoả mãn VF x( )0 ≠ ∅ Khi đó, tồn tại khoảng mở ( )a b , chứa trong V [x x0, 0 +1) Với ε > thoả mãn: 0

Do đó, F nửa liên tục dưới tại x0∈\ 0{ } tuỳ ý Tuy nhiên tại x = , F không 0nửa liên tục dưới vì (−1, 0) F( )0 ≠ ∅ nhưng với mọi x> , 0 (−1, 0) F x( )= ∅

ii Tính nửa liên tục trên của F

Với x0 > 0 tuỳ ý và với tập mở bất kì V thoả mãn [x,+∞ ⊂) V, tồn tại a< x thoả mãn [x,+∞ ⊂) (a,+∞ ⊂ Khi đó với mỗi ) V 0

,2

x a

x∈ + +∞

 , ta có F x( ) (⊂ a,+∞ Do đó )

F nửa liên tục trên tại x0∈(0,+∞ tuỳ ý Tuy nhiên: )

+ Với x0 < 0 bất kì, F không nửa liên tục trên tại x 0 vì với tập mở

( , 0 1)

V = −∞ x + , ta có F x( )0 ⊂ nhưng V F x( ) với mọi V x> x0

+ Với x0 =0, F không nửa liên tục trên tại x 0 vì với V = −( 2, 2), ta có

( )0

F ⊂ nhưng V F x( ) với mọi V x> x0

CH ƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁNH XẠ

ĐƠN TRỊ

2.1 Các tính ch ất về tính liên tục, liên thông, compact

Mệnh đề 2.1 Cho hai không gian topo (X,τX) (, Y,τY), ánh xạ đa trị :F X  và Y

V

I τ

⇔ ∀ ∈  chứa F x( )0 ,∃ ∈ chứa U τX x sao cho 0 F U( )⊂ I V

⇔Ánh xạ đơn trị F:(X,τX )→(0( )Y ,τY) là liên tục tại x 0

Mệnh đề 2.2 Cho hai không gian topo (X,τX ) (, Y,τY ), ánh xạ đa trị :F X  Y

Khi đó, F là nửa liên tục trên tại x0∈ X khi và chỉ khi ánh xạ đơn trị

V

I τ

⇔ ∀ ∈  chứa F x( )0 ,∃ ∈ chứa U τX x sao cho 0 F U( )⊂ [ ],V

⇔Ánh xạ đơn trị F:(X,τX )→(0( )Y ,τY ) là liên tục tại x 0

Mệnh đề 2.3 Cho hai không gian topo (X,τX) (, Y,τY ), ánh xạ đa trị :F X  Y

Khi đó, F là liên tục tại x 0 khi và chỉ khi ánh xạ đơn trị F:(X,τX)→(0( )Y ,τY) biến

mỗi x X∈ thành F x( )∈0( )Y là liên tục tại x 0

Chứng minh: Mệnh đề này được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.25 , Mệnh đề 2.1 và

Mệnh đề 2.2

Hệ quả 2.1 Cho ánh xạ đơn trị f :(X,τX) (→ Y,τY ) Khi đó, f liên tục tại x khi 0

và chỉ khi ánh xạ đa trị :F X  biến mỗi x X Y ∈ thành F x( )={f x( ) } là liên tục tại x 0

Mệnh đề 2.4 Cho các không gian topo (X,τX ) (, Y,τY) và các ánh xạ đa trị

:

F X  , :Y G Y Khi đó: Z

a Nếu ,F G lần lượt là các ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên ,X Y thì ánh xạ

hợp G F  cũng là nửa liên tục trên ở trên X

b F G , lần lượt là các ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên ,X Y thì ánh xạ hợp

G F  cũng là nửa liên tục dưới ở trên X

y F x

G y

∈

= 

Mệnh đề 2.5 Cho các không gian topo (X,τX ) (, Y,τY) và ánh xạ đa trị :F X  Y

Giả sử với mọi x X∈ , F x ( ) là tập liên thông (có thể rỗng) Khi đó:

a Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên X và A là tập liên thông trong

(X,τX) thì F A ( ) là tập liên thông trong (Y,τY )

b Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X và A là tập liên thông trong

(X,τX) thì F A ( ) là tập liên thông trong (Y,τY )

iii V1 ≠ ∅ và V2 ≠ ∅

a Do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên X nên theo Mệnh đề 2.2, ánh xạ

( ) ( 0( ) )

: , X , Y

F X τ →  Y τ biến mỗi x X∈ thành F x( )∈0( )Y là ánh xạ đơn trị liên tục

trên X Do F liên tục nên các tập sau là tập mở trong (X,τX ):

Hơn nữa, vì ( )i nên F x( )⊂V1V2 với mọi x A ∈ Do đó với x A∈ tuỳ ý, ta luôn

có F x( ) V1 ≠ ∅ hay F x( ) V2 ≠ ∅ Tuy nhiên, không thể xảy ra đồng thời cả hai điều trên vì nếu tồn tại x0∈ sao cho A F x( ) V1≠ ∅ và F x( ) V2 ≠ ∅ thì suy ra F x( )0

không là tập liên thông trong (Y,τY ), mâu thuẫn với giả thiết F x ( ) là tập liên thông với

mọi x X ∈ Vì vậy với mọi x X∈ , ta có hoặc F x( ) V1≠ ∅ hoặc F x( ) V2 ≠ ∅ Khi đó:

+ A⊂U1U2

+ U1U2 = ∅+ U1 ≠ ∅ và U2 ≠ ∅

Điều này cho thấy A không là tập liên thông, mâu thuẫn với giả thiết Do đó, F A ( )

là tập liên thông trong (Y,τY )

b Do F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X nên theo Mệnh đề 2.1, ánh xạ

( ) ( 0( ) )

: , X , Y

F X τ →  Y τ biến mỗi x X∈ thành F x( )∈0( )Y là ánh xạ đơn trị liên tục

trên X Do F liên tục nên các tập sau là tập mở trong (X,τX ):

Hơn nữa, vì ( )i nên F x( )⊂V1V2 với mọi x A ∈ Do đó với x A∈ tuỳ ý, ta luôn

có F x( ) V1≠ ∅ hay F x( ) V2 ≠ ∅ Từ đó suy ra A⊂U1U2 Khi đó:

+ A⊂U1U2

+ U1U2 = ∅+ U1 ≠ ∅ và U2 ≠ ∅

Điều này cho thấy A không là tập liên thông, mâu thuẫn với giả thiết Do đó, F A ( )

là tập liên thông trong (Y,τY )

Hệ quả 2.2 Cho f là ánh xạ đơn trị liên tục đi từ (X,τX ) vào (Y,τY) Khi đó, nếu

A là tập liên thông trong (X,τX) thì f A ( ) là tập liên thông trong (Y,τY )

Chứng minh: Đặt :F X  là ánh xạ đa trị được xác định bởi công thức: Y

( ) { ( ) },

F x = f x ∀ ∈ x X

Khi đó, do f liên tục trên X nên theo Hệ quả 2.1, F là ánh xạ đa trị liên tục trên

X H ơn nữa với mọi x X∈ , tập {f x( ) } là tập liên thông trong (Y,τY) Vậy F thoả mãn

các giả thiết được nêu trong phát biểu ( )a hay ( )b của mệnh đề trên Do đó, F A ( ) là tập liên thông trong (Y,τY) Điều này cho thấy f A ( ) cũng là tập liên thông trong (Y,τY )vì

( ) ( )

F A = f A

Mệnh đề 2.6 Cho (X,τX ) (, Y,τY) là hai không gian topo và ánh xạ đa trị :

F X  Giả sử với mọi x X Y ∈ , F x ( ) là tập compact Khi đó:

a Nếu F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ở trên X và A là tập compact trong

F X τ →  Y τ biến mỗi x X∈ thành F x( )∈0( )Y là ánh xạ đơn trị liên tục

trên X Lấy họ ( )V i i I∈ là một phủ mở tuỳ ý của F A( ), ta cần chứng minh tồn tại tập hữu