bài toán dạng cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều

15 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU .... 22 2.3 Tính giải được của bài toán biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ

MINH

Đoàn Thị Ri A

Chuyên ngành: Toán Gi ải Tích

Mã s ố: 60 46 01

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

PGS TS NGUY ỄN ANH TUẤN

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa toán tin và các giảng viên trường Đại học Sư phạm – Đại học Tiền Giang đã nhiệt tình truyền đạt những kiến

thức quý báo và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Luận văn Thạc sĩ

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn – Người

trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn Thạc sĩ

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Xin chân thành c ảm ơn

Thành ph ố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

2012

Tác gi ả

Đoàn Thị Ri A

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

CÁC KÍ HIỆU 5

MỞ ĐẦU 7

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN 9

1.1 Giới thiệu bài toán: 9

1.2 Tính giải được của bài toán (1.1), (1.2): 12

1.3 Các hệ quả về tính giải được của bài toán (1.1), (1.2): 15

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU 18

2.1 Giới thiệu bài toán: 18

2.2 Các định lí về tính giải được của bài toán (2.1), (2.2): 22

2.3 Tính giải được của bài toán biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến đối số lệch hai chiều: 52

2.4 Các ví dụ và phản ví dụ: 58

KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

x ∈ i k = n và chuẩn:

n ik

i k

=

= ∑ [ ]

L a b  : Không gian Banach những hàm khả tích Lebesgue h: ,[ ]a b →

được trang bị chuẩn L a ( )

ii) f t( ), : A→ là hàm liên tB ục với mỗi t∈[ ]a b,

iii) Với mỗi r> , tồn tại một hàm 0 q r ∈L a b( [ ], ; sao cho: +)

MỞ ĐẦU

Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân hàm được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong những năm đầu thế kỷ XX Song phát triển theo hướng này là các tác giả Ivan Kiguradze và Bedrich Puza trong những năm từ 1997 đến 2003, các ông đã thiết lập các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, sau đó phát triển cho bài toán phi tuyến Song các kết quả cụ thể cho các bài toán biên như: Bài toán biên nhiều điểm, Bài toán biên dạng tuần hoàn,… cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến, cũng như cho phương trình vi phân hàm bậc cao phi tuyến vẫn chưa đạt được nhiều kết

quả, cần phải tiếp tục mở rộng và xem xét Cụ thể là: “ Bài toán dạng Cauchy cho

hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều” còn chưa được xem xét

Mục đích chính của luận văn là thiết lập các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán sau:

Xét trên đoạn [ ]a b, , bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hai chiều phi tuyến:

Nghiệm của bài toán trên là cặp (x x1, 2) là hàm liên tục tuyệt đối trên [ ]a b,

thỏa mãn x t1′( )=F x x1( 1, 2)( )t ; x t2′( )=F x x2( 1, 2)( )t hầu khắp nơi trên [ ]a b, và thoả điều kiện biên x a1( )=ϕ1(x x1, 2); x a2( )=ϕ2(x x1, 2)

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến

Trong chương 2, dựa trên các kết quả của chương 1, chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của “Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều”

Luận văn là tài liệu tham khảo cho những người quan tâm nghiên cứu về bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều Những kết

quả chính có thể được ứng dụng cho trường hợp hệ được xét đến là hệ phương trình

vi phân với đối số chậm và đối số lệch

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN

1.1 Gi ới thiệu bài toán:

Giả sử n là số tự nhiên, I =[ ]a b, là một đoạn của trục số thực và giả sử

C

ρρ

Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến:

y t là một nghiệm tùy ý của bài toán biên:

được thực hiện, với : Iα → là hàm khả tích và + α0∈  +

(iii’) Với mỗi (p l0, 0)∈εp l n, bài toán:

Định nghĩa 1.4:

Toán tử tuyến tính p0:C I( ;n)→L I( ; được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn n)

tại một hàm khả tích α : I→+ sao cho: với mọi y∈C I( ; , bất đẳng thức n)

( )( ) ( )

p y t ≤α t y được thực hiện hầu khắp nơi trên I

1.2 Tính gi ải được của bài toán (1.1), (1.2):

q x t x f x t p x x t

c x x l x x h x

σσ

Với x tùy ý thuộc C I( ; cố định, xét bài toán biên cho hệ phương trình tuyến n)

tính:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0( )

,

dy t

p x y t q x t dt

l x y c x

=

Do ( )p l, là cặp nhất quán nên theo điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.1, tồn tại β >0

sao cho với mỗi x∈C I( ; , n) q x( )∈C I( ; , n) 0( )

n

c x ∈  , và y t( ) là một nghiệm tùy ý của bài toán trên thì y t th( ) ỏa đánh giá:

y ≤β c + q Khi đó, bài toán thuần nhất:

Mặt khác, do điều kiện (i), (ii) từ Định nghĩa 1.1 và bất đẳng thức (1.11), nghiệm

y của bài toán (1.12) thỏa đánh giá:

Ta xây dựng toán tử u C I: ( ;n)→C I( ; , với mỗi n) x∈C I( ; thì n) u x( )= y

, với y của bài toán (1.12)

Theo Hệ quả 1.6 của [16], toán tử u là liên tục

u x t =x t , với t I∈ Vậy x là nghiệm của bài toán (1.12)

Từ đẳng thức (1.10) và bài toán (1.12), rõ ràng x là một nghiệm của bài toán (1.6),

Do Bổ đề 2.2 từ [20], nếu ( )p l, ∈00n thì cặp ( )p l là nh, ất quán

Do đó các giả thiết của Định lí 1.5 được thỏa mãn

Vậy bài toán (1.1), (1.2) là giải được 

H ệ quả 1.7:

Giả sử tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn mạnh p0:C I( ;n)→L I( ; , n)

một toán tử tuyến tính bị chặn l0:C I( ;n)→ sao cho bài toán: n

Do giả thiết p là toán t0 ử tuyến tính bị chặn và l là toán t0 ử tuyến tính bị chặn nên theo Định nghĩa 1.4 thì p x y t và ( )( ), l x y t th( )( ), ỏa điều kiện (i), (ii’) của Định nghĩa 1.3

Mặt khác, (p l0, 0)∈εn p l, (do p x y và ( ), l x y không ph( ), ụ thuộc vào x) và (p l0, 0)

thỏa điều kiện bài toán (1.5) chỉ có nghiệm tầm thường, suy ra (p l th0, 0) ỏa điều

kiện (iii’) của Định nghĩa 1.3

Do đó ( )p l, ∈00n Từ đó theo Hệ quả 1.6 thì bài toán (1.1), (1.2) là giải được 

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU

2.1 Gi ới thiệu bài toán:

Trong chương 2 ta áp dụng các kết quả của chương 1 để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều Trên đoạn [ ]a b , xét bài toán: ,

Nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) là cặp (x x1, 2) là hàm liên tục tuyệt đối trên

[ ]a b th, ỏa mãn (2.1) hầu khắp nơi trên [ ]a b và tho, ả điều kiện biên (2.2)

Các kết quả chính của chương này được trình trích dẫn từ các kết quả của nhà toán học Cộng Hòa Séc Jiri Sremr, trong tài liệu [25] Ngoài ra chúng ta công nhận

một số kết quả trích từ các tài liệu [15], [26] không chứng minh

Định nghĩa 2.1:

Toán tử l∈  được gọi là không giảm nếu nó là một ánh xạ từ tập ab C a b( [ ], ; +)vàoL a b( [ ], ; Tập các toán tử tuyến tính không giảm kí hiệu là +)  Ta nói rằng ab

toán tử l∈  là không tăng nếu ab − ∈  l ab

Ví d ụ : Giả sử l∈  được định nghĩa như sau:

( )( ) ( ) ( ( ) )

l z t =h t z τ t với mỗi t∈[ ]a b, và ∀ ∈z C a b( [ ], ; )

Với h∈L a b( [ ], : và ) τ: ,[ ]a b →[ ]a b, là hàm đo được

Thì l∈  khi và chỉ khi ab h t( )≥0 với mỗi t∈[ ]a b,

với h∈L a b( [ ], : và ) τ: ,[ ]a b →[ ]a b, là hàm đo được

là một toán tử a – Volterra khi và chỉ khi h t( ) ( ) (τ t − ≤ vt) 0 ới mỗi t∈[ ]a b,

Định nghĩa 2.5: (xem [26], định nghĩa 3.2)

Một cặp (p g, )∈ab× được gọi là thuộc tập ab 2 ( )

u t′( )≥ p v t( )( ), hầu khắp nơi trên [ ]a b ,

v t′( )≥g u t( )( ), hầu khắp nơi trên [ ]a b ,

với l l1, 2:C a b( [ ], ;)→L a b( [ ], ; là toán tử tuyến tính bị chặn, )

Bao hàm thức ( ) 2 ( )

l l ∈S a bảo đảm thêm rằng nghiệm duy nhất (x x1, 2)của bài toán này thoả mãn x t1( )≥ với 0 t∈[ ]a b, , q t k( )≥ với mỗi 0 t∈[ ]a b, , c k ≥ 0(k =1, 2)

( * * ) ( * * )

x + x ≤ c + q + c + q (2.8)

Xuyên su ốt phần này những giả thiết sau được sử dụng:

( )H 1 F F C a b1, 2: ( [ ], ;)×C a b( [ ], ;)→L a b( [ ], ; là toán tử liên tục sao )cho:

được thoả mãn với mỗi r > và0 i=1, 2

( )H2 ϕ ϕ1, 2:C a b( [ ], ;)×C a b( [ ], ;)→ là hàm liên tục sao cho:

được thoả mãn với mỗi r > và 0 i=1, 2

2.2 Các định lí về tính giải được của bài toán (2.1), (2.2):

( )

x a = x a2( )= 0 (2.16)

chỉ có nghiệm tầm thường và với mỗi σ∈[ ]0,1 , x x1, ,2∈ C( [ ]a b ;) là nghiệm tùy

ý của hệ phương trình vi phân hàm:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

x t′ = p x t + σF x x t − p x t  , với mỗi t∈[ ]a b, (2.17) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Khi đó bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm

Ch ứng minh: Kết quả trên được suy trực tiếp từ Hệ quả 1.7, Chương 1, cụ thể

B ổ đề 2.10:

Giả sử các giả thiết ( )H1 và ( )H2 được thỏa mãn và tồn tại một bộ ba

(p g l, , )∈ sao cho với ab u u1, 2∈C( [ ]a b, ; bất kỳ, các bất đẳng thức sau được )

i a

thỏa các giả thiết (2.5), (2.6), (2.7) của Định nghĩa 2.7

Hơn nữa, do (p g l, , )∈ab nên x x th1, 2 ỏa đánh giá:

Vì  không phụ thuộc vào x x và 1, 2 σ nên từ Bổ đề 2.9 suy ra rằng bài toán (2.1),

( ) ( )( ) ( )

x t′ = p x t +q t , với mỗi ,t∈[ ]a b (2.26) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

Để làm rõ ràng, chúng ta sẽ phân chia những trường hợp sau để thảo luận:

(a) Hàm x x 1, 2 không đổi dấu và x t x t1( ) ( )2 ≥ , với 0 ,t∈[ ]a b (2.29) (b) Hàm x x 1, 2 không đổi dấu và x t x t1( ) ( )2 ≤0 , với ,t∈[ ]a b (2.30) (c) Hàm x 1 đổi dấu Hàm x x2 ảy ra những trường hợp sau:

Vì hàm x x 1, 2 không đổi dấu và x x1, 2∈ C( [ ]a b, ; nên tồn tại )

1

1 1

1 1

t t

1 1

C

t

L a

C C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

Do đó, đánh giá (2.8) thỏa với 𝜚1, 𝜚2được cho bởi (2.24) và (2.25)

Trường hợp (b): Hàm x x 1, 2 không đổi dấu vàx t x t1( ) ( )2 ≤0, với ,t∈[ ]a b

Do đó, đánh giá (2.8) thỏa với  1, 2 được cho bởi (2.24) và (2.25)

Trường hợp (c): Hàm x 1 đổi dấu Với i =1, 2, ta đặt:

1 3

1 4

Vậy đánh giá (2.8) được thỏa mãn với 𝜚1, 𝜚2được cho bởi (2.24) và (2.25)

Trường hợp (c3): Hàm x 2 đổi dấu

Rõ ràng M2 > và 0 m2 >0 Do đó, theo (2.5), tồn tại t5∈[a,α2] và t6∈[a,β2] sao cho:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng k=1

Theo giả thiết (2.13) và (2.14) của Định lí ta có:

Giả thiết (2.60) trong Định lí trên không thể được thay thế bởi giả thiết:

1−ε p, 1−ε g ∈S ab a , ,p −g ∈S ab a (2.61) Cũng không được thay thế bởi giả thiết:

x t′ = −g x t +q t , với mỗi t∈[ ]a b, (2.66)

với q t1( )=x t1′( ) ( )( )−p x2 t , q t2( )=x t2′( )+g x1( )( )1 t , với mỗi t∈[ ]a b,

Sử dụng (2.6) và (2.7), ta có:

( ) ( ) *( )

q t x t ≤q t , với mỗi t∈[ ]a b, (2.67) ( ) ( ) ( ) ( ) *( )

,với G G0, 1được định nghĩa bởi (2.14)

Khi đó, từ (2.78) và (2.79) suy ra:

Vậy đánh giá (2.8) thỏa mãn, với 𝜚1, 𝜚2được cho bởi (2.65) 

Do đó theo Bổ đề 2.10 suy ra bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm 

Giả sử các giả thiết ( )H1 và ( )H2 được thỏa mãn và tồn tại một bộ ba

(p g l, , )∈ sao cho ab u u v v1, 2, ,1 2∈C a b( [ ], ; bất kỳ, các bất đẳng thức sau được )

Khi đó các giả thiết (2.9), (2.21), (2.22) của Bổ đề 2.10 được thỏa mãn

Suy ra bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm

Giả sử (x x1, 2) và (y y là nghi1, 2) ệm của bài toán (2.1), (2.2):

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng k = 1

Theo giả thiết (2.13) và (2.14) của Định lí ta có:

0 1, 1 4 1 0

PG < PG < −PG

Khi đó các giả thiết của Bổ đề 2.16 được thỏa mãn với p= p g, =g0−g1, l = 0

Vậy theo Bổ đề 2.16 suy ra bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất 

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng k =1 Do điều kiện (2.60) của Định

lí 2.17 thỏa các giả thiết của Bổ đề 2.14 suy ra (p,−g g1, 0)∈  Do đó Định lí ab

2.3 Tính gi ải được của bài toán biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuy ến đối số lệch hai chiều:

Trong mục 2.3, ta áp dụng các kết quả của mục 2.2 để nghiên cứu sự tồn tại và duy

nhất nghiệm của bài toán biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến đối số lệch hai chiều như sau:

với η η1, : 2 + → và + ω ω1, 2∈K( [ ]a b, ×  là hàm hai đối số không giảm +; +)

thỏa (2.12)

Hơn nữa, nếu điều kiện (2.13) thỏa với P G G, , 0 1được định nghĩa bởi:

( ) , ( ) , 1, 2

b b

i i

P=∫ f s ds G =∫h s ds i = (2.86) Thì bài toán (2.84), (2.2) có ít nhất một nghiệm

Đặt:

( )( ) ( ) ( ( ) )

p z t = f t z µ t , với mỗi t∈[ ]a b, và ∀ ∈z C a b( [ ], ; ) (2.89) ( )( ) ( ) ( ( ) )

g z t =h t z τ t , với mỗi t∈[ ]a b, và ∀ ∈z C a b( [ ], ; , 1,2) i = (2.90) Khi đó, từ (2.85), (2.89) và (2.90) suy ra rằng với u u1, 2∈C a b( [ ], ; bất kỳ, các )

bất đẳng thức (2.10) và (2.11) với k = được thỏa mãn 1

Hơn nữa, p( )1 ≡ f, g0( )1 ≡h0 và g1( )1 ≡h1, và do đó các giả thiết của Định lí 2.8

với k = 1 được thỏa mãn

Vậy theo Định lí 2.8 suy ra bài toán (2.84), (2.2) có ít nhất một nghiệm 

H ệ quả 2.19:

Giả sử giả thiết ( )H2 được thoả mãn, điều kiện (2.9) thoả với u u1, 2∈C( [ ]a b, ; )

tùy ý và bất đẳng thức (2.85) được thực hiện với η η1, : 2 + → , +

[ ]

ω ω ∈ × + + là hàm hai đối số không giảm thỏa (2.12)

Giả sử µ ( )t ≤t, τ1( )t ≤t với mỗi t∈[ ]a b, và hàm f, , , µ h0 τ0 thỏa ít nhất một trong

số những điều kiện từ (a) – (c) như sau:

b a ds

s s

b s b s

λ ν

λ µ

Thì bài toán (2.84), (1.2) có ít nhất một nghiệm

Để chứng minh hệ quả trên ta thừa nhận những kết quả sau trong [26]:

Vì có thể γ2( )t → −∞ khi t→b−, điều kiện (2.91) của mệnh đề trước được hiểu

với ý nghĩa rằng với b0∈[ ]a b bất kỳ quan hệ sau thỏa mãn:

p là một sự thu hẹp của toán tử p vào không gian C a b( [ , 0]; )

Chọn hàm γ1và γ2thích hợp trong Mệnh đề phát biểu ở trên, nó có thể suy ra vài điều kiện đủ có tính có hiệu lực của bao hàm thức ( ) 2 ( )

, ab

p g ∈S a Chúng ta không thiết lập công thức tổng quát cho những điều kiện ở đây; Tuy nhiên, chúng ta có vài

hệ quả cho “những toán tử đối số lệch”

Hàm ω được định nghĩa bởi (2.92) và ( ) 1( ( ( ) ) )

1 sgn2

1

b a ds

( ) ( ) ( )

( )

( ) 1

2

t t

b s b s

λ ν

λ τ

Giả sử F và 1 F 2 được định nghĩa bởi (2.87) và (2.88) theo thứ tự Rõ ràng F và 1 F2

thỏa điều kiện ( )H1

Hơn nữa, từ (2.85) suy ra rằng với u u1, 2∈C a b( [ ], ; bất kỳ, bất đẳng thức (2.10) )

và (2.59) được thực hiện với k = , v1 ới p và g g 0, 1 được định nghĩa bởi (2.89) và (2.90) theo thứ tự

Do điều kiện (a) (tương tự (b), (c)) của hệ quả, từ Mệnh đề 2.22 (tương tự Mệnh đề 2.23, Mệnh đề 2.24) suy ra rằng( ) 2 ( )

p g g ∈  và toán tử π p g là toán t, 1 ử 0 – Volterra

(a) Giả sử rằng τ ( )t ≤ với mỗi t 0,

có một nghiệm không tầm thường,

Thì tồn tại q q1, 2∈L a b( [ ], ; và ) c c1, 2∈  sao cho bài toán:

g z t =h t z τ t , với mỗi t∈[ ]a b, và ∀ ∈z C a b( [ ], ; , 1,2) i = (2.90) ,với f h, 1∈L a b( [ ], ; và +) µ τ, 1:[ ]a b, →[ ]a b, là hàm đo được sao cho: