Về một cấu trúc tổng quát của mã tựa ngẫu nhiên phi tuyến đa cấp đa chiều theo kiểu lồng ghép

Đánh giá đặc tính của mã phi tuyến lồng ghép theo các tiêu chí hàm tương quan,kích thước tập hợp, khả năng ngẫu nghiên hóa, ảnh hưởng của nhiễu đa truy nhập.Phương pháp nghiên cứu: là dự

MỤC LỤC

THUẬT NGỮ VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ iii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU iv

Phụ lục 115

THUẬT NGỮ VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

A-CDMA Asynchronous-CDMA Hệ thống CDMA không đồng bộACFs Autocorrelation functions Hàm tự tương quan

CCFs Cross Correlation Functions Hàm tương quan chéo

CLT Central Limit Theorem Định lý giới hạn trung tâm

DS Direct Sequences Dãy trải phổ trực tiếp

DS-CDMA Direct Sequences-CDMA CDMA trải phổ trực tiếp

ELS Equivelent Linear Span Khoảng tuyến tính tương đươngFH/SS Frequency Hopping /Spreading

Spectrum

Hệ thống trải phổ nhảy tần

GO Generalized Orthogonality Trực giao suy rộng

GQO Generalized

Quasi-Orthogonality

Xấp xỉ trực giao suy rộng

IGA Improved Gaussian

Approximation

Gần đúng hơn Gauss cải tiến

IFW Free Window Interference Cửa sổ không giao thoa

LAS Large Area Synchoronous Đồng bộ vùng rộng

Lcz Low corelation zone Vùng tương quan chéo thấp LFSR Linear Feedback Shift Register Bộ ghi dịch phản hồi tuyến tính

MAI Multiple Access Interference Nhiễu đa truy nhập

QS - CDMA Quasi Synchronous CDMA Hệ thống CDMA xấp xỉ đồng bộ

SGA Standard Gaussian

Approximation

Gần đúng hơn Gauss tiêu chuẩn

TH/SS Time Hopping Spreading

Hình 2.2: Ví dụ dãy ghi dịch với g(d) =d5 + d4 + d2 + d +1 32

Hình 2.3: Bộ tạo dãy Gold đối với g1(d)=d3+d+a và g2(d)=d3+d2+1 36

Hình 2.5: Biểu đồ véc tơ mô tả phân hoạch dãy {b n} 4 cấp 48

Hình 2.6: Biểu đồ véc tơ mô tả phân hoạch dãy L=224-1 thành 4 cấp 51

Hình 2.8: Thủ tục tìm các cấu trúc cấp k theo giá trị n 53Hình 2.9: Các giao diện của phần mềm tính cấu trúc đa cấp 54

Hình 3.4: Biểu diễn các véc tơ thành phần của mã đa cấp đa chiều 67

Hình 3.5: Mô phỏng tính K(d) cho đa thức bậc 73

Hình 3.6: Mô phỏng tính G(d), I T

Hình 4.1: Đồ thị P e phụ thuộc vào B, K và N 87Hình 4.2: Các đặc tính của dãy bít NRZ 10110010 tuần hoàn 91Hình 4.3: Các đặc tính của dãy tín hiệu sau xáo trộn 92Hình 4.4: Một số dạng đặc biệt của dữ liệu vào 96

Hình 4.7: Phổ biên độ đầu vào và đầu ra bộ trộn 105

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1: Các đặc tính của dãy tuyến tính có chu kỳ 2m-1 38

Bảng 2.2: Phân tích thừa số nguyên tố của n ≤42 43

Bảng 2.3: Phân tích các thừa số nguyên tố của các dãy L=2 n -1 với n ≤42 49

Bảng 2.4: Cấu trúc mã lồng ghép đa cấp của dãy L=224-1 50

Bảng 3.1: Biến đổi d của dãy M bậc 2 và bậc 3 60

Bảng 3.2: Biến đổi d của các dãy M có đa thức sinh 1+d2+d3 71Bảng 3.3: Ma trận trùng để tính hàm tương quan 77

Bảng 4.1: Biến đổi trạng thái B của dãy phi tuyến với bậc n=8, B= 127 85

Bảng 4.2: Tính P e của dãy phi tuyến với bậc n=8, B= 127 86

Bảng 4.3: Tính P e của dãy phi tuyến với bậc n=6, B= 31 86

Bảng 4.4: Tính P e của dãy phi tuyến với bậc n=9, B= 255 86

Bảng 4.6: Các đa thức đặc trưng của LFSR dùng trong mô phỏng 96Bảng 4.7: Tín hiệu vào ở trường hợp 1 sau xáo trộn 98Bảng 4.8: Tín hiệu vào ở trường hợp 2 sau xáo trộn 99Bảng 4.9: Tín hiệu vào ở trường hợp 3 sau xáo trộn 101Bảng 4.10: Tín hiệu vào ở trường hợp 4 sau xáo trộn 102

MỞ ĐẦU

Công nghệ đa truy nhập là nền tảng của các hệ thống thông tin cho nhiềungười sử dụng nói chung và thông tin di động nói riêng Công nghệ này cho phépcác hệ thống đa truy nhập vô tuyến tiết kiệm hiệu quả nguồn tài nguyên để tăng tốc

độ truyền tải thông tin Tuy nhiên, khi số người sử dụng đồng thời càng lớn, tốc độ

dữ liệu người dùng càng cao thì nhiễu đa truy nhập càng lớn Công nghệ CDMAbăng rộng với triển vọng và những thành công bước đầu đã được khẳng định củagiao tiếp không gian vô tuyến thế hệ 3, 4, đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhàkhoa học, các hãng viễn thông lớn trên thế giới Dãy trải phổ, một trong những nhân

tố quyết định trong công nghệ CDMA cần tiếp tục thay đổi nhằm đáp ứng nhữngyêu cầu cao hơn của hệ thống CDMA băng rộng thế hệ mới

Các tín hiệu trải phổ băng rộng tựa tạp âm được tạo ra bằng cách sử dụng cácdãy giả tạp âm PN (Pseudo-Noise) hay giả ngẫu nhiên Các dãy trải phổ trên đều cócác đặc tính cơ bản là đặc tính cân bằng, đặc tính chạy và đặc tính tương quan Dựatrên các thuật toán tạo dãy từ dãy M sẽ tổ hợp nên hai loại dãy tuyến tính và phituyến Trong tập hợp các dãy nhị phân tuyến tính, hai dãy nổi bật nhất là dãy Gold

và dãy Kasami Các dãy phi tuyến bao gồm các dãy tích, dãy hàm Bent, dãy lồngghép và dãy có vùng tương quan thấp… Mã PN phi tuyến có cấu trúc lồng ghép đãđược nhiều tác giả đề cập và những đặc tính ưu việt của nó cũng đã được chứngminh [13], [15], là có nhiều khả năng lựa chọn, khoảng tuyến tính tương đương lớn(độ phức tạp lớn), hàm tự tương quan ACF nhọn và một số họ dãy có vùng tươngquan chéo thấp (Low cross correlation zone), thích hợp cho các hệ thống CDMAtựa đồng bộ (Quasi Synchronized CDMA) và chống hiệu ứng đa đường, lệch đồng

bộ một cách hiệu quả, [7], [17], [24], [27], [34], [36], [37], [50], [54] Dãy giả ngẫunhiên lồng ghép 2 chiều được đề xuất trong [21] Đây là loại dãy trải phổ tốc độcao, hàm tương quan tốt và có cấu trúc lồng ghép

Có thể nói kỹ thuật lồng ghép là một giải pháp công nghệ hữu hiệu để xâydựng các dãy với các tính chất mong muốn và vì thế được nghiên cứu sâu rộngtrong thời gian gần đây Về mặt toán học, có thể biểu diễn và phân tích dãy có cấu

trúc lồng ghép bằng hai công cụ trên trường hữu hạn là dùng hàm vết (Trace

Function) hoặc dùng biến đổi d (d-Transform) Các giải thuật biến đổi d và hàm vết được sử dụng để biểu diễn và phân tích dãy lồng ghép Giải thuật biến đổi d trong

khảo sát ACF, tính ELS, phân tích trạng thái của LFSR giúp chúng ta có thể mởrộng các lớp dãy lồng ghép thành các dãy lồng ghép tổng quát (dãy con cân bằnghay lồng ghép nhiều cấp) Do đó mở ra khả năng tìm kiếm thành công các họ mã cócấu trúc lồng ghép nhiều cấp, nhiều chiều hơn nhằm ứng dụng cho thông tin thế hệmới Tuy nhiên, đến nay việc tổng quát hóa cấu trúc lồng ghép (số cấp >2) chưađược mô tả một cách đầy đủ Hơn nữa việc tìm kiếm và xây dựng các họ dãy lồngghép đa chiều chưa được giới thiệu và khảo sát kỹ lưỡng (trong các tài liệu thường

giới thiệu các minh họa có độ dài L<100) Trong thực tế thì chiều dài dãy lớn hơn rất nhiều, L=225-1 cho tới 232-1, thậm chí là 242-1 Tức là khoảng 33 triệu bít; 4,2 tỷbít; 4.400 tỷ bít trong W-CDMA

Để xây dựng các dãy có độ dài lớn như trên thì cần phải có cách phân tích

biểu diễn tổng quát hơn và thực hiện tìm kiếm dãy trải phổ mới bằng mô phỏng.

Đây chính là các yêu cầu bức thiết đặt ra cho những người thiết kế dãy CDMA thế

hệ mới Đã có không ít công trình và giải pháp công nghệ để tìm kiếm, xây dựngcác dãy trải phổ mới nhằm đáp ứng những yêu cầu của công nghệ CDMA ở mức độcao hơn được công bố trong những năm gần đây

Mục đích nghiên cứu của luận án là đề xuất và xây dựng cấu trúc tổng quát của dãy

trải phổ phi tuyến đa cấp-đa chiều theo kiểu lồng ghép, làm tiền đề cho việc thiết kếcác dãy trải phổ phi tuyến mới Thực hiện phân tích và đánh giá dãy trải phổ phituyến đa cấp-đa chiều theo kiểu lồng ghép về các đặc tính của dãy trải phổ Từ đóđánh giá khả năng ứng dụng trong thông tin thế hệ mới

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án là đề xuất, xây dựng cấu trúc tổng

quát của mã tựa ngẫu nhiên phi tuyến đa cấp-đa chiều theo kiểu lồng ghép

Phạm vi nghiên cứu bao gồm mô hình toán học, xây dựng họ dãy PN phi tuyến có

cấu trúc lồng ghép hai, ba chiều hoặc lớn hơn và tiến tới cấu trúc đa cấp tổng quát

Đánh giá đặc tính của mã phi tuyến lồng ghép theo các tiêu chí hàm tương quan,kích thước tập hợp, khả năng ngẫu nghiên hóa, ảnh hưởng của nhiễu đa truy nhập.

Phương pháp nghiên cứu: là dựa trên các công cụ toán học, lý thuyết đại số, lý

thuyết trường hữu hạn với các giải thuật như Hàm vết và biến đổi d để xây dựng cấu

trúc tổng quát của mã phi tuyến đa cấp theo kiểu lồng ghép và đánh giá các đặc tính

cơ bản theo các tiêu chí trải phổ Các kết quả nghiên cứu được kiểm chứng bằng môphỏng

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:

Về mặt lý thuyết, luận án đã đề xuất và xây dựng một cấu trúc tổng quát mới về mã

lồng ghép đa cấp và phân tích đánh giá các đặc tính cơ bản của dãy trải phổ đa

cấp-đa chiều theo kiểu lồng ghép Các cấu trúc tổng quát, cấu trúc cấp 2, cấp k sẽ là tiền

đề và công cụ hỗ trợ các nhà thiết kế mã xây dựng các dãy mã trải phổ có độ dài và

độ phức tạp như mong muốn Với giải thuật ghép đa cấp và lồng phi tuyến theo cấutrúc tổng quát, người thiết kế mã sẽ xây dựng được các mã phi tuyến đa cấp lồngghép mới với các tiêu chí thiết kế khác nhau

Về ý nghĩa thực tiễn, luận án đã đưa ra một cấu trúc tổng quát, phương pháp biểu

diễn và cách thức xây dựng, mô phỏng đánh giá các đặc tính họ dãy phi tuyến cócấu trúc lồng ghép đa cấp, tạo điều kiện thuận lợi cho người thiết kế mã tìm kiếmdãy mã trải phổ đa cấp lồng ghép mới có khả năng ứng dụng cho thông tin thế hệmới

Nội dung của luận án bao gồm:

Chương 1: "Tổng quan về dãy trải phổ " Giới thiệu những khái niệm cơ bản

về công nghệ CDMA, các kỹ thuật trải phổ, các đặc tính yêu cầu đối với dãy trảiphổ trong CDMA Đồng thời các dãy phi tuyến, dãy có tương quan đặc biệt, dãy cócấu trúc lồng ghép hai cấp, biểu diễn dãy trên trường GF(2) cũng được giới thiệu.Qua đây, những yêu cầu và thách thức đối với việc thiết kế dãy trải phổ phi tuyến

đa cấp-đa chiều đã được nêu rõ Trên cơ sở đó các nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể củaluận án đã được đề ra

Chương 2: "Thuật toán tìm cấu trúc của mã lồng ghép đa cấp" Chương này

đề cập đến những kiến thức cơ bản về dãy M, đặc tính trải phổ và các ứng dụng củadãy M Từ các đặc tính phổ quát của dãy M và sử dụng công cụ toán học để xâydựng cấu trúc lồng ghép đa cấp mới Các định nghĩa mới dãy đa cấp lồng ghép đượcđưa ra, các định lý về cấu trúc đa cấp của dãy được thành lập Từ các cấu trúc của

dãy cấp 2, cấp k và cấu trúc tổng quát sẽ xây dựng thủ tục xác định cấu trúc cấp k,

cấu trúc đa cấp khi biết độ dài dãy lớn hoặc độ dài dãy con cơ sở Vì vậy, có thể xâydựng được các dãy có cấu trúc lồng ghép với độ dài và số cấp mong muốn

Chương 3: "Phân tích và đánh giá dãy phi tuyến lồng ghép đa cấp" Hai

công cụ toán học trên trường hữu hạn là hàm vết và biến đổi d đã được sử dụng để

biểu diễn và phân tích dãy lồng ghép trên trường hữu hạn Đây là tiền đề cho việcthiết kế các dãy lồng ghép đa có vùng tương quan thấp Lcz Mã lồng ghép đa cấp sẽđược đánh giá theo các đặc tính khoảng tuyến tính tương đương (ELS) và đặc tínhtương quan ACF và CCF Đồng thời tính chất đa chiều của dãy phi tuyến lồng ghépphi đa cấp cũng được minh họa

Chương 4: "Mã trải phổ với mã lồng ghép đa cấp" Chương này thực hiện

đánh giá mã trải phổ phi tuyến lồng ghép đa cấp theo hai góc độ là nhiễu đa truynhập (MAI) và khả năng “ngẫu nhiên hóa” tín hiệu của mã Từ các kết quả củaChương 3, kết hợp đánh giá nhiễu đa truy nhập, khả năng xử lý, đưa ra một số kếtluận về khả năng ứng dụng của mã theo cấu trúc tổng quát và cấu trúc đa cấp được

đề xuất ở Chương 2

Kết luận: Phần này tổng kết các kết quả chính đã đạt được và hướng phát

triển tiếp theo từ luận án này

Chương 1

TỔNG QUAN CÁC DÃY TRẢI PHỔ

1.1 Mở đầu

Trước khi tiếp cận xây dựng cấu trúc tổng quát của họ mã phi

tuyến đa cấp-đa chiều theo kiểu lồng nghép, Chương này sẽ điểm qua

các nội dung liên quan trong CDMA, kỹ thuật trải phổ, đặc tính của

dãy trải phổ, các dãy trải phổ phi tuyến, dãy có tính chất tương quan

đặc biệt và những phát hiện và công bố mới trong các nghiên cứu của

các tác giả về mã lồng ghép hai chiều Từ đó giúp cho việc định dạng

bài toán xây dựng cấu trúc tổng quát cho mã lồng ghép đa cấp

Trong các hệ thống trải phổ trực tiếp (DS-CDMA), một số liệu băng gốc

dạng nhị phân lưỡng cực điển hình có tốc độ ký hiệu (1/T s) sẽ được nhân với một

dãy nhị phân lưỡng cực giả ngẫu nhiên có tốc độ "chip " (1/T c) lớn hơn nhiều so với

tốc độ ký hiệu (T s = NT c) Kết quả của quá trình này là phổ của tín hiệu được mở

rộng theo hệ số N, mật độ phổ công suất của tín hiệu trở nên khá thấp và giống như

“tạp âm" Tại phía máy thu, thực hiện giải trải phổ bằng cách nhân tín hiệu thu đượcvới cùng một dãy nhị phân được dùng để trải phổ ở phía máy phát Quá trình giảiđiều chế sẽ khôi phục lại được số liệu băng gốc nguyên thuỷ, cho phép máy thu lọc

bỏ phần lớn nhiễu băng rộng Sau khi trải phổ, độ rộng băng của tín hiệu cần thu

giảm đến giá trị ban đầu B, trong khi độ rộng băng của nhiễu vẫn là W Vì vậy, quá

trình lọc đối với độ rộng băng tần tín hiệu có thể được sử dụng để loại bỏ công suất

nhiễu trong SNR của số liệu băng gốc Độ lợi xử lý N = W/B là tỷ số của tốc độ

chíp và tốc độ ký hiệu, còn được gọi là hệ số trải phổ (SF) Nó thể hiện mức độchống nhiễu băng rộng sẽ đạt được nhờ sử dụng quá trình trộn (nhân) và lọc (tươngquan) Như vậy, hệ thống trải phổ DS thu được một độ lợi xử lý chống nhiễu dohiện tượng nhiều tia từ tín hiệu cần thu và có khả năng chống hiện tượng jamminghoặc nhiễu từ những thuê bao khác Hệ thống trải phổ trực tiếp có thể tách ra tínhiệu cần thu và khử nhiễu do hiện tượng nhiều tia đã được khai thác bởi kỹ thuật

"rake", kỹ thuật này sẽ thu các tia sóng đến máy thu qua nhiều đường khác nhau(multipath) sử dụng các mạch phát dãy PN có các thời gian trễ khác nhau, sắp xếplại các tia sóng này theo thời gian và sau đó kết hợp chúng để thu được một độ lợiphân tập Như vậy, mã trải phổ giả ngẫu nhiên PN có vai trò rất quan trọng trong kỹthuật trải phổ.

Đối với hệ thống CDMA không đồng bộ (A-CDMA, asynchronous CDMA),không yêu cầu có sự đồng bộ giữa các dãy trải phổ được truyền, độ trễ giữa các dãytrải phổ được truyền là bất kỳ Do đó, để loại bỏ giao thoa đa truy nhập, cần thiết kếmột tập dãy trải phổ có hàm tự tương quan (ACFs-autocorrelation functions) dạngđầu đinh và các mức tương quan chéo (CCFs-crosscorrelation functions) bằng 0.Tuy nhiên, theo các định lý biên Welch và các lý thuyết giới hạn khác, về mặt lýthuyết, không thể thiết kế các dãy có thuộc tính lý tưởng như vậy Do đó, trong hệthống A-CDMA, dãy trải phổ thông thường được thiết kế sao cho có mức tự tươngquan và tương quan chéo thấp, ví dụ như dãy Gold, dãy Kasami,… Trong hệ thốngCDMA xấp xỉ đồng bộ (QS-CDMA, quasi-synchronous CDMA), các dãy trực giaosuy rộng (GO-generalized orthogonality) và xấp xỉ trực giao suy rộng (GQO-generalized quasi-orthogonality) [26], đã được đề xuất, áp dụng Trong hệ thốngQS-CDMA, các hàm tương quan của các dãy trải GO được đảm bảo nhận giá trị 0hoặc giá trị rất thấp trong một miền tương quan (miền GO hoặc GQO) xung quanhgốc thời gian 0 Ý nghĩa của dãy GO đối với hệ thống QS-CDMA là dù độ trễ giữacác tín hiệu trải nhận được do bị ảnh hưởng của truy nhập đồng bộ và truyền dẫn đađường thì tính trực giao giữa các tín hiệu vẫn được duy trì miễn là độ trễ khôngvượt quá giới hạn cho phép Một ví dụ điển hình về hệ thống QS-CDMA có thể kểđến là hệ thống CDMA đồng bộ vùng rộng (LAS-CDMA, large area synchoronousCDMA), sử dụng các dãy trải tam phân (-1, 0, 1) LA (large area ternary sequences)

và LS (loosely synchronous), hay các dãy thông minh (smart code sequences).Những nỗ lực nghiên cứu về dãy trải phổ đều hướng tới việc tìm ra các dãy trải phổ

có tương quan thấp và tập hợp mã lớn Theo các đặc tính của dãy trải phổ, các dãytuyến tính cấu tạo nên từ dãy M như dãy Gold, dãy Kasami đều có đặc tính tương

quan tốt nhưng khoảng tuyến tính tương đương thấp [6], [56], [57] Với yêu cầungày một cao về dung lượng hệ thống và hiệu quả sử dụng phổ, các dãy phi tuyến

có đặc tính tương quan giống như các dãy tuyến tính nhưng có khoảng tuyến tínhtương đương, kích thước tập hợp lớn là một trong các hướng nghiên cứu nhằm tìmkiếm ứng dụng cho hệ thống CDMA thế hệ mới [37], [59], [60] Các dãy trải phổphi tuyến bao gồm các dãy tích, dãy hàm Bent, dãy có vùng tương quan thấp và dãylồng ghép Để có tổng quan về các dãy trải phổ phi tuyến, các phần tiếp theo sẽtrình bày vắn tắt về CDMA và kỹ thuật trải phổ, các dãy trải phổ tuyến tính và phituyến, một số nội dung về dãy lồng ghép đang được nghiên cứu và công bố trongthời gian gần đây

1.2 Công nghệ CDMA và các kỹ thuật trải phổ

Kỹ thuật trải phổ (SS), về lý thuyết bắt nguồn từ những ý tưởng củaC.Shannow, J.Pierce từ những năm 50 của thế kỷ trước [43], đã đi qua quãngđường phát triển dài Về thực tiễn, kỹ thuật SS được sử dụng từ thời trướcchiến tranh Thế giới II, đồng thời ở Mỹ và Đức Vào thời gian đó nó là hoạtđộng tối mật Những cải tiến sau đó, đặc biệt là trong lĩnh vực CDMA, đều xảy rasau Thế chiến II Gần đây SS/CDMA được xem xét lại và tỏ ra là phương tiện hấpdẫn để xác định vị trí xe cộ, nhờ khả năng xác định cự li đồng thời của nó trongkhi đang sử dụng kênh Ngoài ra nó còn cung cấp giải pháp cho vấn đề tắcnghẽn phổ Đến nay (năm 2011), công nghệ 3G dựa trên WCDMA và CDMA2000

đã và đang được triển khai ở nhiều nước trên thế giới, cung cấp các dịch vụ: thoại,điện thoại thấy hình, video (phim), thư điện tử, truyền dữ liệu, truy cập internet.Một hệ thống thông tin số được coi là hệ thống SS nếu tín hiệu phát chiếm dảithông lớn hơn nhiều dải thông tối thiểu cần thiết để truyền tin tức và sự mở rộngdải thông được thực hiện nhờ một mã không phụ thuộc vào dữ liệu Khi mới đưavào ứng dụng, các kĩ thuật SS được dùng trong các hệ thống thông tin quân sự Ýtưởng là làm cho tín hiệu phát có dạng giống như tạp âm đối với máy thu khôngchủ định, làm cho máy thu này khó phát hiện và lấy ra tin tức Để biến đổi tin tứcthành tín hiệu giống như tạp âm, ta dùng mã được giả thiết là ngẫu nhiên để mã

hóa tin tức và mong muốn mã này càng ngẫu nhiên càng tốt Tuy nhiên, máy thuchủ định phải biết được đó là mã nào để tạo ra một mã y hệt và đồng bộ với mãphát đi để giải mã tin tức Tín hiệu giả ngẫu nhiên được thiết kế để có dải thôngrộng hơn nhiều dải thông của tin tức Tin tức được biến đổi bởi mã sao cho tínhiệu nhận được có dải thông xấp xỉ dải thông của tín hiệu ngẫu nhiên Có thểxem việc biến đổi như là quá trình mã hóa và được gọi là trải phổ Ta nói rằng tintức được trải ra bởi mã giả ngẫu nhiên tại máy phát Máy thu phải giải trải tínhiệu tới để đưa dải thông về dải thông ban đầu của tin tức [57] Kỹ thuật SS đãphát triển từ các ý tưởng có liên quan trong các hệ thống rada, thông tin mật vàcác hệ thống dẫn đường tên lửa

Trong thông tin CDMA, mỗi thuê bao được cấp một dãy trải phổ giả ngẫunhiên (PN) duy nhất để mã hóa tín hiệu mang tin Phía thu do biết được mã củaphía phát nên máy thu sẽ có khả năng thu và giải mã tín hiệu Điều đó thực hiệnđược nhờ tương quan chéo thấp của các PN khác nhau Quá trình trải phổ bằng dãy

PN làm cho độ rộng băng tần được sử dụng lớn hơn gấp nhiều lần (GP) tín hiệumang tin; tỷ số đó còn gọi là tăng ích trải phổ Dãy trải phổ tạo cho CDMA khảnăng tổ chức đa truy nhập Nếu nhiều thuê bao truyền tín hiệu trải phổ một lúc, phíathu vẫn còn có thể phân biệt được các thuê bao đó nếu hàm tương quan chéo giữacác dãy PN tương ứng của chúng đủ thấp Khi thực hiện lấy tương quan giữa tínhiệu thu được với dãy PN của thuê bao mong muốn sẽ nén phổ trở lại tín hiệu củathuê bao đó trong khi tín hiệu của thuê bao khác bị tiếp tục trải phổ Kỹ thuật trải

phổ CDMA tạo khả năng chống giao thoa đa đường và bảo đảm tính riêng tư Chỉ

có thể thu được thông tin khi bên thu biết dãy trải phổ của bên phát Việc thực hiệnlấy tương quan dãy trải phổ với tín hiệu băng hẹp sẽ trải phổ tín hiệu đó, làm chobăng tần cần thiết tăng lên, năng lượng giao thoa sẽ bị nhỏ đi Đây chính là khảnăng chống giao thoa đa đường Cũng do tính chất này mà CDMA có khả năngchống chèn phá Nhờ mật độ công suất rất thấp nên tín hiệu khó bị phát hiện vànghe trộm (nếu không biết trước dãy PN của thuê bao)

Hình 1.1 mô tả sự phân loại các công nghệ CDMA Có 3 loại hệ thống trảiphổ cơ bản thuộc dòng thuần CDMA là dãy trực tiếp (Direct Sequence- DS), nhảytần (Frequency Hopping-FH) và nhảy thời gian (Time Hopping-TH) Phối hợpcác kỹ thuật DS, TH, FH sẽ tạo được dòng lai ghép CDMA Hoặc phối hợp côngnghệ CDMA và công nghệ khác như TDMA-CDMA tạo TDMA/CDMA, OFDM-CDMA tạo MC-CDMA hoặc đa tần tone và CDMA tạo MT-CDMA.

Khi thực hiện trải phổ trực tiếp (Direct sequences, DS-CDMA), mỗi người

sử dụng được gán một mã trải phổ, mã này là một tín hiệu được tạo ra bởi quá trìnhđiều chế tuyến tính một dãy tín hiệu giả ngẫu nhiên có tốc độ cao Số liệu (tín hiệumang tin) được nhân với mã trải phổ này để tạo ra một dãy tín hiệu có tốc độ caohơn rất nhiều so với tốc độ ban đầu, và do đó phổ tín hiệu cũng rộng ra tương ứng.Trong DS-CDMA, nhiều người sử dụng cùng dùng chung một băng tần và phát tínhiệu của họ đồng thời Máy thu sử dụng tín hiệu giả ngẫu nhiên chính xác để lấy ratín hiệu mong muốn bằng cách giải trải phổ Các tín hiệu khác xuất hiện ở dạngnhiễu phổ rộng công suất thấp tựa tạp âm Tín hiệu trải phổ phản ứng tốt với kênh

đa đường Trong kênh truyền đa đường, tín hiệu gốc bị phản xạ bởi những chướngngại như các công trình, đồi núi Do đó, máy thu nhận được những bản sao của tínhiệu gốc với độ trễ khác nhau Nếu mức độ trễ các bản sao lớn hơn một chip, máythu có thể phân tách chúng (bằng máy thu Rake)

Trải phổ nhảy tần (Frequency hopping FH-CDMA), bản chất của công nghệnày là tần số mang tín hiệu thay đổi một cách tuần hoàn Kiểu thay đổi tần số đượcxác định bởi dãy M, tập hợp dãy tần số mã sóng mang có thể chiếm được gọi là tậphợp nhảy Băng tần mà hệ thống nhảy tần chiếm khác với băng tần của hệ thống trảiphổ trực tiếp Hệ thống trải phổ chiếm toàn bộ dải tần, còn hệ thống nhảy tần chỉchiếm một phần nhỏ băng tần nhưng vị trí của phần băng tần đó thay đổi theo thờigian So sánh với DS-CDMA, FH-CDMA có một số đặc điểm khác biệt Đó là FH-CDMA dễ đồng bộ hơn Do tập hợp nhảy rất lớn, thời gian nhảy cũng sẽ dài hơn độrộng chip của DS-CDMA, nên sai số đồng bộ cho phép lớn hơn Mặt khác, băng tầnFH-CDMA bị chiếm không liên tục nên có thể cho phép bộ tổng hợp tần số bỏ quanhiều đoạn của băng tần Điều đó có nghĩa là hiệu suất sử dụng băng tần lớn hơn.Xác suất nhiều người sử dụng phát cùng một tần số, cùng một thời gian là rất bé.Nên tín hiệu của người sử dụng ở xa trạm gốc cũng có thể được trạm gốc thu tốt vìngười ở gần có thể phát ở tần số khác Tác động của hiệu ứng xa-gần được hạn chếbớt so với DS-CDMA Tần số phát FH-CDMA thay đổi theo thời gian nên nhiễu đađường được hạn chế Tuy nhiên, bộ tổng hợp tần số khá phức tạp Do phải sử dụngphương pháp thu kết hợp (Coherent: Có sóng mang ổn định) trong FH-CDMA nên

sẽ phức tạp vì phải duy trì quan hệ pha trong quá trình nhảy tần

Trải phổ nhảy thời gian (Time hopping: TH-CDMA), tín hiệu mang tin đượcphát thành những xung hẹp trong quá trình nhảy thời gian (được xác định bằng dãy

M gán cho người sử dụng) Trục thời gian được chia thành các khung, mỗi khungđược chia thành M khe thời gian Trong mỗi khung, người sử dụng sẽ được phân bổmột khe thời gian (do dãy PN tương ứng quyết định) Vì người sử dụng phải phát

hết thông tin trong một khe thời gian thay vì M khe thời gian, băng tần cần thiết phải tăng lên M lần Công nghệ nhảy thời gian được thực hiện đơn giản hơn nhảy

tần Tác động của hiệu ứng gần xa được hạn chế vì trong phần lớn thời gian ở xatrạm gốc, thời điểm người sử dụng phát sóng không trùng với thời điểm phát củangười ở gần trạm Thời gian thiết lập đồng bộ lớn hơn trong FH-CDMA, do đó phải

có cơ chế mã sửa sai, lồng ghép (interleave) để tránh trường hợp nhiều người phát

một lúc, mất số liệu Hiệu quả chống giao thoa đa đường của TH-CDMA khôngcao, vì thời gian phát tín hiệu rút ngắn lại, phổ tín hiệu rộng ra và dễ bị trùm nhau

Đi đôi với kỹ thuật trải phổ, các nghiên cứu về dãy trải phổ nhằm đáp ứngnhững yêu cầu cao hơn của hệ thống CDMA thế hệ mới cũng được các nhà khoahọc quan tâm nghiên cứu Các dãy tuyến tính được tạo nên từ dãy M đã đượcnghiên cứu kỹ lưỡng và được ứng dụng rộng rãi trong CDMA Tuy nhiên các dãytuyến tính này có đặc tính tương quan tốt nhưng khoảng tuyến tính tương đương củachúng thấp Đây chính là lý do tại sao các dãy phi tuyến với đặc tính tương quangiống như vậy nhưng có khoảng tuyến tính tương đương, kích thước tập hợp lớnđược ưa chuộng trong các nghiên cứu ứng dụng cho mã và CDMA trong thời giangần đây

1.3 Các đặc tính của mã trải phổ

Mã PN trải phổ được xem là khả dụng nếu nó có được đặc tính quan trọng làgiống như dãy ngẫu nhiên, hàm tự tương quan phải nhọn, tương quan chéo ở mứcthấp, số lượng tổ hợp mã lớn đáp ứng yêu cầu, độ phức tạp của mã đủ đáp ứng choviệc khó thám mã, giải mã với đối tượng không mong muốn Đồng thời phải đảmbảo các yếu tố của công nghệ thiết kế, tạo mã

1.3.1 Các đặc tính ngẫu nhiên của dãy trải phổ

Theo các tài liệu đã mô tả, dãy giả ngẫu nhiên nhị phân tuần hoàn có 3 đặctính cơ bản Đặc tính cân bằng, trong mỗi chu kỳ của dãy, xác suất xuất hiện của bit

1 và 0 là bằng nhau (mỗi loại bằng 1/2) Thực tế trong mỗi chu kỳ, số bit 1 và 0 saikhác nhau là một đơn vị, sở dĩ như vậy là do bộ tạo dãy loại trừ trạng thái tất cả cácbit bằng zero, và sự sai khác nhau 1 bit này không có ý nghĩa gì khi dãy cực dài.Đặc tính chạy (Run), sự kéo dài của bit 0 hoặc 1 liên tiếp trong dãy được định nghĩa

là bước chạy Một bước chạy được định nghĩa là một nhóm bit cùng loại (1 hoặc 0)liên tiếp tồn tại trong dãy Trường hợp có một bit 0 hay bit 1 xen giữa các bit 1 hay

0 liên tiếp cũng được xem là kết thúc một bước chạy và bắt đầu một bước chạy mới

Độ dài bước chạy là số bit trong bước chạy Đặc tính chạy trong dãy giả ngẫu nhiênphải thỏa mãn là trong một chu kỳ của dãy số và tổng quát có: 1/2n số bước chạy có

độ dài là n Đặc tính tương quan, từ một dãy giả ngẫu nhiên đã có, nếu ta dịch

chuyển theo cách dịch đi lần lượt từng vị trí bit sang phải hoặc sang trái, ta sẽ thuđược dãy M mới có số phần tử trùng hợp và không trùng hợp với dãy ban đầu Tínhtương quan của dãy thỏa mãn nếu so sánh trong một chu kỳ các dãy tạo ra và cácdãy dịch chuyển, nếu các số hạng trùng hợp và các số hạng không trùng hợp saikhác nhau không quá một đơn vị đếm Các dãy số được tạo ra có các tính chất thỏamãn được cả 3 đặc tính trên được gọi là dãy giả ngẫu nhiên

/ 2 / 2 0

Về ý nghĩa, hàm tự tương quan đo mức độ giống nhau giữa tín hiệu và phiên

bản dịch thời của nó Nó là hàm của độ dịch τ Nếu x(t) là hàm phức, thì hàm dưới dấu tích phân x(t +τ ) x(t) được thay bằng x(t +τ ) x*(t), ở đây x*(t) là kí hiệu liên hợp phức của x(t) Nói chung ta chỉ đề cập đến tín hiệu thực nên định nghĩa (1.1) là

đủ Nếu x(t) tuần hoàn với chu kì T p thì phép lấy trung bình (1.1) có thể thực hiệntrên một chu kì tức là :

' 0

Với t' là hằng số bất kì Chú ý rằng R x (τ ) trong (1.1) cũng tuần hoàn với chu

kì T p Mã ngẫu nhiên đóng vai trò rất quan trọng trong các hệ thống SS, vì chúngkhông chỉ xác định mức nhiễu đa truy nhập, chẳng hạn nhiễu của nhiều người sửdụng cùng kênh và tự nhiễu do đa đường mà còn phải đáp ứng các thuộc tính khác

về mã Chúng phải đáp ứng được các thuộc tính tương quan chéo giữa các dãy khácnhau trong cùng một tập hợp và đáp ứng thuộc tính tự tương quan giữa các dịch phacủa chính dãy đó Tuy nhiên nếu mã này là ngẫu nhiên thực sự, thì ngay cả máythu mong muốn cũng không thể lấy được tin tức vì chưa có phương pháp nào đểđồng bộ với mã ngẫu nhiên thực sự, như vậy hệ thống trở nên vô dụng Thay

là dãy giả ngẫu nhiên tốt, giá trị của a i phải độc lập với giá trị a j với bất kì i ≠ j.

Để điều này xảy ra thì dãy không được lặp lại tức chu kì phải là ∞ Vì dãy PN làtuần hoàn, chu kì của nó phải lớn để nhận được tính chất ngẫu nhiên tốt Trong hệthống DS/SS, tín hiệu liên tục thời gian (gọi là tín hiệu PN) được tạo ra từ dãy

PN để trải phổ Giả sử dãy PN là nhị phân, tức c i = ±1, thì tín hiệu PN là :

) (

ở đây p T (t) là xung vuông biên độ bằng 1 Số c k được gọi là chíp và độ dài thời gian T c giây được gọi là thời gian chíp Để ý rằng tín hiệu PN có chu kì NT c vàđược biểu diễn trong Hình 1.2

Hình 1.2: Một ví dụ của tín hiệu PN c(t), tạo nên từ dãy PN có chu kì N = 15

Như vậy, với 2 dãy số khác nhau c(t) và c'(t) hàm tương quan chéo liên tục được

định nghĩa:

dt t c t c T Rcc

T

)()

('

1)(

Rcc

0

)()

(

1)()

Trong trường hợp c(t) là dãy giả ngẫu nhiên tuần hoàn với chu kỳ T, hàm tương

quan rời rạc được định nghĩa như sau:

1

1( )

khoảng thời gian τ) là:

D A

D A R

+

−

= (1.7)

Với A là số phần tử giống nhau, D là số phần tử khác nhau Hình 1.3a, 1.3b, biểu

diễn hàm tự tương quan chuẩn hóa của dãy M và của dãy PN tạo từ dãy M

Trong quá trình thiết kế mã, yêu cầu về đặc tính tương quan và các yêu cầukhác như đặc tính tương quan, độ phức tạp, độ dài từ mã, số lượng tổ hợp mã phảiđược xem xét và được thỏa hiệp ở một giới hạn nhất định

1.4 Các dãy trải phổ phi tuyến và dãy có tương quan đặc biệt

Các dãy tuyến tính được tạo ra bằng thuật toán cộng modulo 2 là thuật toántuyến tính trong trường nhị phân GF(2) Các dãy này có các đặc tính tương quan tốt,

trong đó dãy bé Kasami là tốt nhất Các dãy khác như dãy Gold, dãy Kasami lớnđều có kích thước tương đối lớn Tuy nhiên, giá trị ELS của chúng thấp, khoảngcùng bậc với ELS của dãy M trong khi các giá trị ACF và CCF kém hơn dãy Mnhiều lần Nguyên nhân chính dẫn tới ELS thấp là do phương pháp tuyến tính đểcấu tạo dãy Để nâng cao ELS, các nghiên cứu thường dựa trên các thuật toán phituyến, ví dụ như thuật toán Bool, thuật toán lồng ghép Phần tiếp theo sẽ giới thiệu

về một số dãy phi tuyến như dãy tích, dãy hàm Bent, dãy tương quan đặc biệt vàdãy được sử dụng trong Cryptography

a) Dãy tích của các dãy M khác (dãy tích loại 1)

Nếu u 1 u 2 u 3 u i u t lànhững dãy M có chu kỳ N 1 , N 2 , N 3 Nt với N i , N j

nguyên tố cùng nhau cho mọi giá trị của i,j (1,2, ,t) thì chu kỳ của dãy tích sẽ là:

Do chu kỳ của các dãy thành phần khác nhau, người ta đánh giá tính chất

tương quan bằng hàm tương quan chuẩn hoá: r(l) = θ(l) /θ(0) (1.10)

Giới hạn trên của ACF chuẩn hoá [37], là:

i i t

i t i

i t

i

t

N

N l

R N

2)(

14

1 ) 1 ( 1

+Π

≤

≤

+Π

= +

−

=

−

, ∀l ≠ 0 mod N 1 , N 2 , N 3 N t (1.11)

Giới hạn trên này liên quan chặt chẽ tới tần suất của giá trị logic "1" trong

dãy tích, được cho bởi:

i i t i

=

=

−

(1.12) Nói chung, giá trị trung bình của ACF chuẩn hoá của mọi dãy M nhị phân

đều liên quan chặt chẽ với bình phương của tần suất này, cho nên khi n>>1, giá trị

cực tiểu (hoặc giới hạn dưới) cũng như ACF chuẩn hoá khi lệch pha (l≠ 0) có thể

coi gần đúng là 4-t

Do đó đại bộ phận giá trị l, dãy tích có thể coi như là ít tương quan Tuy

nhiên, giới hạn trên của ACF rất cao, cụ thể là bằng 1/2 tần suất tại logic "1" Như

vậy tồn tại những pha tương quan chặt chẽ và điều này có thể giải thích bằng hiệntượng phân bố "1" và "0" không đồng đều Hầu như chưa có cách tổng quát để xácđịnh ELS của dãy tích Trong một số trường hợp cụ thể, có thể tính ELS của dãytích bằng tích ELS của các dãy thành phần

b) Dãy tích được tạo nên từ một dãy M (dãy tích loại 2)

Dãy tích này được cấu tạo từ các pha khác nhau của một dãy M Dãy ra u của

bộ ghi dịch phản hồi tuyến tính (LFSR) được đặc trưng bởi một đa thức tối giản cho

bởi: =∑=−1

0

2 ) (

m

i

n i n

i A

m

i

n i

n

i A

2 2

i n

n

j i

A A u

Nếu không có hệ số ai nào bằng 0, dãy tích sẽ có ELS = (m+1) /2.

Nói chung, một số hệ số có thể bằng 0 Do đó giá trị này chỉ là giới hạn trêncủa dãy tích nhận được bằng thuật toán phi tuyến bậc 2 Có thể mở rộng phươngpháp trên cho các dãy tích nhận được bằng thuật toán phi tuyến bậc cao hơn

Dãy tích bậc r được mô tả :

số A i nào bằng 0, giới hạn trên của ELS sẽ là:

0

r

r N i

m m

phức tạp được đo bởi ELS khá lớn Đặt n=m/2, k=n/2 và gọi d là tham số về bậc

của hàm Bent được sử dụng để cấu trúc dãy, ta có:

1 [

1

1 1

d

i d d

n i d

n i

n

, với m > 8, 2 < d ≤ k (1.20)

n

n m d

1min , với m ≥ 8, d =2. (1.21)

82

Nếu m đủ lớn, các giới hạn này đạt giá trị khá lớn làm cho các dãy hàm Bent

thích hợp cho thông tin vũ trụ dải rộng, đặc biệt là các hệ thống chống nghe trộm.Trong [32], phương pháp thiết kế hàm Bent theo mô hình tiến hóa được đề xuất, đãđem lại họ hàm Bent có độ phức tạp lớn, đặc tính tương quan tốt

1.4.3 Các dãy có đặc tính tương quan đặc biệt

Nhằm xử lý nhiễu giao thoa và xác suất lỗi bit [16], [47], một số dãy có các tínhchất tương quan đặc biệt cũng được quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây

a) Mã trực giao và các dãy có vùng không tương quan ZCZ

Một trong những dãy sớm có ý nghĩa thực tiễn nhất là "Dãy trực giao N

nhịp" của N.Suehiro [36], từ cơ sở toán học của các công trình của Tyryn [56]vào

những năm 1960 Dãy trực giao N nhịp được định nghĩa :

Cho S là một dãy có độ dài L: S =(S1, ,S j, ,S L) (1.23)

−

=

∗ +

S S L

S S L i

−

=

∗ +

L

i j

i j j

L

j

i j j

S S L

S S L i S S

1

, 2 1

1 1

, 2 1 2

1

,1

,,

Một dãy trực giao N-nhịp độ dài L được định nghĩa là dãy S (định nghĩa bởi

(1.23), (1.24) ) có hàm tự tương quan được định nghĩa như (1.25), lấy các giá trị 0

tại độ lệch một số nguyên lần N (i=nN) trừ độ lệch 0.

ρ(S,i) =0 với i = ± N, ± 2N, (1.28)

Một cặp dãy trực giao có độ dài L (S 1 và S 2 ) được định nghĩa như (1.23),

(1.24) có hàm tương quan chéo được định nghĩa như (1.26) lấy giá trị 0 cho các độ

lệch một số nguyên lần N ( kể cả i=0) :

ρ(S 1 , S 2 ;i) =0 với i = 0, ± N, ± 2N, (1.29)

với i= 0,1, ,L-1 với i= -1, ,-L+1

với i= 0,1, ,L-1 với i= -1, ,-L+1

Tập hợp dãy M (S 1 , ,S M ) được gọi là tập hợp của N dãy trực giao N-nhịp, nếu như bất kỳ cặp nào của M cũng là cặp trực giao N-nhịp.

ρ (S j , S k ; i) = 0 với i = 0, ± N, ± 2N… (1.30)

S j , S k ∈ (S 1, S 2, …,S M ), j ≠ k

Khi dùng các ma trận Hadamard bậc N để tạo các dãy trực giao thì độ dài là

N n Các dãy này có hàm tương quan nhọn và tương quan chéo bằng 0 (Zcz: zero

correlation zone), nếu phía thu lấy mẫu tín hiệu theo N nhịp Tương quan chéo bằng

0 sẽ có nghĩa là giao thoa bằng 0 Đây là một trong số ưu điểm so với các dãy tuyếntính như dãy Gold, Kasami

b) Các dãy có cửa sổ không giao thoa IWF

Khái niệm cửa sổ không giao thoa (Interference-Free Window IFW) [33],được đưa ra để chỉ vùng xê dịch (mất đồng bộ) cho phép mà không sinh giao thoa.Trong đó, sau khi chỉ ra những hạn chế của các dãy PN truyền thống như dãy M,dãy Gold, Kasami ở chỗ tồn tại những đỉnh phụ của hàm tương quan chéo, dẫn đếngiao thoa và hạn chế dung lượng, các tác giả đã giới thiệu một số dãy có IFW Họcác dãy IFW có phạm vi đồng bộ rộng (LAS) được tạo ra bởi sự kết hợp giữa các

họ có phạm vi đồng bộ rộng (LAS) và các dãy “đồng bộ lỏng lẻo” (LS) Nếu độ trễđược giữ trong phạm vi bằng độ rộng cửa sổ IFW (khoảng một vài chips) thì sẽ đảmbảo không có giao thoa Lúc đó, máy di động cũng phải làm việc ở chế độ tựa đồng

bộ (quasi synchronuos: QS-CDMA)

Các dãy LAS được giới thiệu ở [17], [33], với độ rộng cửa sổ bé: 2÷3 độ rộng chips, khoảng 3Tc=3.50ns=150ns, nếu tốc độ chips là: 20Mchip/s Khi đó độ trễ là T M =3µs (khá nhỏ và thường gặp trong điều kiện đô thị, trong nhà) Số tia sóng có độ trễ khác nhau có thể phân giải được khi kênh có Fading là:

L p = [ T M /T c ] + 1 = 21

Trong đó, chỉ có 3 tia nằm trong IFW, 18 tia còn lại ngoài IFW Điều này dẫn đến xuất hiện giao thoa Về ý nghĩa vật lý, điều này là do độ trễ truyền sóng lớn hơn 20 lần khung cửa sổ đồng bộ

Theo tính toán ở [17], [33], loại mã LAS trên ưu việt khi tốc độ số liệu là

1,2288Mchips/s đến 3,84Mchips/s Nếu tốc độ là 30Mchips/s thì hiệu năng kém hơn

loại bình thường Có 2 cách khắc phục nhược điểm đó:

- Chia ra nhiều băng sóng mang, mỗi sóng có tốc độ chips 3,84 Mbit/s

- Mở rộng khoảng xê dịch đồng bộ cho phép - trả giá bằng hàm tương quan.Lúc đó, không phải là ZCZ (zero correlation zone) mà là Lcz (low corelation zone)

c) Dãy có vùng tương quan thấp Lcz [15], [20], [49],[56], [58], [59].

Với một tập hợp các dãy a, b trên GF(p), mỗi dãy có độ dài n, cho a,b∈ A, a

= (a 0 , a 1 , a n-1 ), b = (b 0 , b 1 , b n-1 ) và δ là một số nguyên khá bé (1,3 ) Vùng tương quan thấp L cz được định nghĩa là:

0 , (τ)=∑=− ˆ+τ.ˆ với ˆi exp( 2 a i),

p j

; và (*) là

ký hiệu liên hiệp phức Các chỉ số (i+τ) được tính theo mod N Giữa hai dãy a, b

trên, có thể có nhiều vùng tương quan thấp và thông thường δ có giá trị rất nhỏ

(0,1,2 ), khiδ =0 dãy Lcz trở thành ZcZ.

1.4.4 Các dãy được sử dụng trong Cryptography

Với sự phát triển mạnh mẽ của Internet, các mạng thông tin vô tuyến băngrộng, nhu cầu bảo mật trở nên vô cùng cấp thiết Nhiều công trình nghiên cứu tạo racác dãy có độ phức tạp lớn, tốc độ cao được công bố Trong [21], các tác giả đã đềxuất dãy giả ngẫu nhiên hai chiều, tốc độ cao, hàm tương quan tốt và có cấu trúclồng ghép Các dãy có độ phức tạp lớn và hàm tương quan tốt dùng cho CDMA vàGSM được giới thiệu trong [18] Để nâng cao tốc độ dãy hơn nữa, một phươngpháp mới được [51] giới thiệu Một giải pháp khác để nâng cao tốc độ, độ phức tạpcủa dãy do LFSR tạo ra là dựa trên kỹ thuật nhảy theo chỉ số [52], được giải thíchđơn giản như sau:

Giả sử c(x) là đa thức sinh của LFSR và c(x) chia hết cho x j +x+1, j được gọi

là chỉ số nhảy của LFSR Về mặt kỹ thuật, điều này được thực hiện bằng cách tăng

tốc độ xung nhịp lên j lần, hoặc sau mỗi nhịp thì XOR cả trạng thái LFSR.

Các nghiên cứu về dãy sử dụng trong Crytography đều hướng tới mục tiêutăng độ phức tạp của dãy Hơn nữa phải là độ phức tạp khó tiên nghiệm Các dãytuyến tính khó đạt được tiêu chí này Vì như chúng ta đã biết, dãy tuyến tính có độphức tạp thấp, không đủ tin cậy để sử dụng cho bảo mật Một điều khá chắc chắn lànếu sử dụng giải thuật tạo mã phi tuyến, lồng ghép đa cấp sẽ hứa hẹn về khả năngxây dựng được họ mã có tốc độ cao, độ phức tạp rất lớn, rất có khả năng ứng dụngtrong Cryptography

1.5 Dãy có cấu trúc lồng ghép

1.5.1 Phương pháp lồng ghép

Ý tưởng cơ bản của kỹ thuật lồng ghép là dựa trên các dãy M có độ dài phântích được thành tích và có ít nhất một nhân tử dạng 2m-1 Thứ tự lồng ghép và cácdãy con sẽ được xác định và quyết định cấu trúc của mã Sau đó, chuyển đổi cấutrúc đó thành phi tuyến để tăng tổ hợp mã và độ phức tạp, có thể theo các cách sau:

- Giữ nguyên thứ tự lồng ghép nhưng thay dãy M con thành phần bằng dãy

M khác cùng độ dài

- Giữ nguyên thứ tự lồng ghép nhưng thay dãy M con thành phần bằng dãy

có phân bố tựa ngẫu nhiên cùng độ dài

- Dùng dãy tích của T i dãy M con thành phần tạo dãy lớn (Dãy tích loại 2

độ dài k.L (k nguyên dương tùy ý, L=2 m-1), còn khi tạo mã lồng ghép đa cấp phi

tuyến được trình bày trong luận án này, giá trị độ dài của dãy tích là k.L = 2 n-1

Cấu trúc lồng ghép cấp 2 điển hình đã được [6], mô tả qua định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1: Cho {b n } là một dãy M, có độ dài: L=2 n -1= T.L b với L b=2m

-1, m|n, (n, m là những số nguyên) Dãy {b n } có thể phân hoạch thành P dãy con có

độ dài N và (T-P) dãy L b bits 0 Ta gọi {b n} có cấu trúc lồng ghép

Mọi dãy U n có độ dài L phân tích được thành các thừa số L = 2 n -1 = T.L b (T,

L b là các số nguyên, L b = 2 m -1, với m|n) đều có thể biểu diễn dưới dạng cấu trúc lồng ghép 2 chiều qua ma trận M có kích thước L b xT Trong ma trận M đó, mỗi cột

là một dãy con ℓn có độ dài L b, các hàng biểu diễn quan hệ pha (thứ tự lồng ghép)

giữa các dãy PN con L 1 …L s , và hiển nhiên, các cột của M biểu diễn các dãy L i Nếu

coi L b = 2 m -1 là độ dài của dãy con ký hiệu là {e n }, ta thấy dãy lớn {b n } có độ dài L=

2n -1 là sự lồng ghép các pha của dãy con {e n } đối với (T-1) pha theo một thứ tự lồng

ghép được lựa chọn [37] Như vậy, dãy có cấu trúc lồng ghép hai chiều sẽ được đặctrưng bởi thứ tự lồng ghép các dãy con và cấu trúc dãy con thành phần

Về mặt toán học, có thể biểu diễn và phân tích dãy có cấu trúc lồng ghép

bằng hai công cụ trên trường hữu hạn là hàm vết hoặc dùng biến đổi d Hai công cụ

này tương đương và đều là cách biểu diễn các phần tử của trường hữu hạn

Hàm vết đã được nhiều tác giả sử dụng để phân tích và thiết kế dãy trong cáccông trình nghiên cứu [13], [42], [44], [56], vì các công thức biểu diễn ngắn gọn.Các tính chất của hàm vết đã được nghiên cứu rất kỹ trong lý thuyết trường hữu

hạn Tuy nhiên, biến đổi d lại có lợi thế khi mô tả được dãy có độ dài bất kỳ (L khác

2n-1) [7], [11], [40], [45], mô tả được phần cứng và tín hiệu của LFSR ngay cả khi

không mô tả được bằng hàm vết Ngoài ra biến đổi d còn rất thuận tiện để đánh giá

hàm tự tương quan ACF và khoảng tuyến tính tương đương ELS cho mọi loại dãy

1.5.2 Biểu diễn dãy lồng ghép

a) Biểu diễn bằng hàm vết

Trước hết xin điểm lại một số nội dung về lý thuyết trường Galois [9, 10].Như chúng ta đã biết, bất cứ phần tử nào của trường Galois bất kỳ đều là lũy thừa

của số nguyên tố Như vậy sẽ chỉ có duy nhất một trường GF(ps) với p s phần tử.

Trường GF(ps) được xem là mở rộng của trường GF(p) và trường GF(p) là trường con của GF(ps), các phần tử của GF(p) là một tập con của GF(ps) Chú ý rằng,

trường GF(ps) có thể mở rộng hơn thành trường GF[(ps)r] Có một số chú ý đặc biệt

đối với GF(p), GF(ps), GF[(ps)r] như sau:

- Phần tử α của trường GF(p) là một số nguyên trong tập {0, 1, 2,…, p-1} với các phép cộng và nhân modulo Mod(p).

- Phần tử α bất kỳ của trường GF(ps) là một đa thức bậc nhỏ hơn s-1 trên trường GF(p) Các hệ số của đa thức là số nguyên trong tập {0, 1, 2,…, p-1} Phép cộng và nhân theo modulo Mod(g(x), p), với g(x) là đa thức tối giản bậc s trên GF(p).

- Phần tử α bất kỳ của trường GF[(ps)r] là một đa thức bậc nhỏ hơn r-1 trên trường GF(p s) Các hệ số của đa thức là các phần tử (cũng là đa thức) trong trường

GF(p s ) Phép cộng và nhân theo modulo Mod f(x), g(x), p), với f(x) là đa thức tối

giản bậc r trên GF(ps), g(x) là đa thức tối giản bậc s trên GF(p) Mod(f(x), g(x), p) là phép toán trong GF[(ps)r], GF(ps) và GF(p) và có thể được thực hiện phép toán

modulo riêng rẽ

Phần tử γ ∈GF(ps) nằm trong trường con GF(p) khi và chỉ khi γs=γ và phần tử β

∈GF[(p s)r ] nằm trong trường con GF(ps) khi và chỉ khi βr.s =β

Ví dụ 1.1: Xét trường GF(2), mở rộng GF(2) lên GF(22), tiếp tục mở rộnglên GF[(22)2] Ở đây, p=2, s=2, r=2.

Trước hết ta có cấu trúc trường GF(2)={0,1}, với 0+0=1+1=0, 1+0=0+1=1,0x0=0x1=1x0=0, 1x1=1

Tiếp theo, chọn một đa thức tối giản g(a)=a2+a+1 Trường GF(22) gồm các phần tử

{0, 1, a, a+1} (Chú ý rằng từ đây ta sử dụng ký hiệu x cho biến đa thức trên

GF[(22)2] và a cho biến đa thức trên GF(22)) Các phép toán cộng và nhân thể hiệntrên bảng 1 và 2

Từ bảng 2, hiển nhiên là phần tử β= a+1 là phần tử nguyên thủy, có thể tạo tất cả

các phần tử khác 0 khác: β0=1, β1=a +1, β2=a, β3=1 Đa thức nguyên thủy của phần

tử β= a+1 là g(a)=a2+a+1.

Cuối cùng, ta chọn đa thức tối giản f(x)=x2+x+a trên trường GF[(22)2] và thu được:

Hàm vết (Trace Function) là một ánh xạ tuyến tính từ trường lớn GF(p s.r)

xuống trường con GF(p s) và được định nghĩa một cách tổng quát [13], [33], [37],[42], [44] Cho α là phần tử thuộc trường GF[(2s)r], ánh xạ vết (trace) của nó xuốngtrường con GF(2s) được định nghĩa như sau:

(a+1)x, (a+1)x+1, (a+1)x+a, (a+1)x+a+1}

Như vậy, mỗi phần tử α ∈ GF[(p s)r] có vết rs( )

s

Tr α trong trường GF(p s) Điều này

có nghĩa hàm vết ánh xạ phần tử α ∈ GF[(p s)r ] vào phần tử b của trường con GF(p s)

ii) Với mọi phần tử α∈ GF[(p s)r] đều thỏa mãn:

Điều này có nghĩa làαp s =α

iii) Với mọi phần tử α, β ∈ GF[(p s)r] , ta có (α β+ )p ks =αp ks +βp ks , k nguyên

dương tùy ý, do vậy :

Ví dụ 1.2: Trường GF(24) được xác định bởi f(x) = x4+x+1 Mỗi phần tử

α∈GF(24) được biểu diễn bằng các thành phần cơ bản (α3, α2, α, 1) (Chú ý rằng α4

= α+1) Trường GF(2 2 ) được cấu trúc bởi đa thức h(x) = x 2 +x+a từ các phần tử

nguyên thủy β∈GF[(22)2] Mỗi phần tử thuộc GF[(22)2] có thể được biểu diễn bằngcác thành phần cơ bản ( β,1), (Chú ý rằng β2 = β+a) Từ định nghĩa của hàm vết, ta

0 1 2

2 , 1

m

m m

b) Biểu diễn bằng biến đổi d (d-Transform) :

Có thể biểu diễn một cách thuận tiện dãy nhị phân: u 0 , u 1 , u n bằng biến đổi

d của nó, được định nghĩa như sau [7], [40], [44], [45]:

u(d) = u 0 + u 1 d + + u n d n (1.40) hoặc có thể viết:

u u

D

0)(]

[ , (D[u] là biến đổi d của u) (1.41)

Biến đổi d của một dãy nhị phân tuần hoàn có dạng:

)(

)()

(

d q

d r d

Điều kiện: q(d) không chia hết cho r(d) và bậc của r(d) nhỏ hơn bậc của q(d).

Nếu r(d) và q(d) nguyên tố cùng nhau thì chu kỳ của u là luỹ thừa của q(d), nghĩa là chu kỳ của u là số t nhỏ nhất sao cho (1+d t ) chia hết q(d).

Các dãy do một LFSR m tầng có đa thức nguyên thủy g(d) tạo nên và ký hiệu

là tập u có thể biểu diễn trong không gian d như sau:

)()

(

d g

d s d

u , trong đó s(d) là đa thức bậc <m (1.43)

Đa thức s(d) đặc trưng trạng thái ban đầu của LFSR Nếu s(d) và g(d) là nguyên tố cùng nhau và g(d) không chia hết cho d thì g(d) là đa thức sinh của LFSR tạo ra dãy u có biến đổi d dạng:

)(

)()

(

d g

d s d

Nếu g(d) là đa thức sinh của một LFSR thì u(d) là biến đổi d của dãy M có chu kỳ: T=2 m -1 với m là bậc của g(d) Với mỗi đa thức sinh g(d) đã xác định, ta sẽ

có tập hợp 2m -1 pha khác nhau của một dãy M, cùng độ dài là 2 m-1

Gọi T j u là dãy dịch pha j nhịp so với u ta có:

Hai công cụ toán học, hàm vết và biễn đổi d đều rất hữu ích cho việc biểu

diễn, phân tích, tổng hợp mã lồng ghép đa cấp, đối tượng nghiên cứu chính trongluận án này

Phần trên đã trình bày các nội dung về kỹ thuật trải phổ trong CDMA, cácyêu cầu về đặc tính của dãy trải giả ngẫu nhiên, giới thiệu các dãy trải phổ phituyến, dãy có tính chất tương quan đặc biệt và những phát hiện và công bố mới củacác tác giả về mã lồng ghép hai chiều Đặc biệt hai công cụ toán học quen thuộc là

hàm vết và biến đổi d dùng để mô tả phân tích dãy lồng ghép cũng đã được giới

thiệu Đây là tiền đề để tiếp tục có nghiên cứu, xây dựng cấu trúc tổng quát của mã

đa cấp-đa chiều kiểu lồng ghép Các nội dung cụ thể về cấu trúc tổng quát, cấu trúccác cấp trong cấu trúc tổng quát, đan xen và lồng ghép dãy sẽ được trình bày trongChương 2 tiếp theo

1.6 Nhiệm vụ nghiên cứu của luận án

Để đáp ứng những yêu cầu cao hơn của hệ thống CDMA băng rộng thế hệ mới,thì dãy trải phổ, một trong những yếu tố đem lại sự thành công cho CDMA cũngcần thay đổi theo kịp những yêu cầu khắt khe hơn Ngoài việc đảm bảo các tiêu chí

giả tạp âm dùng cho trải phổ (Cân bằng P 0 ≈P 1) và hàm tự tương quan tốt (ACF)),các dãy này còn phải thỏa mãn thêm các yêu cầu về khả năng thu nhận một sốlượng thuê bao lớn để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của xã hội; khả năng chốngchèn phá, nghe trộm cao để chống nhiễu và đảm bảo an toàn cho khối lượng thôngtin ngày càng lớn truyền trên mạng; chống nhiễu đa đường hiệu quả hơn để nângcao chất lượng dịch vụ cho thuê bao có tốc độ di động lớn trong địa hình phức tạp.Đây cũng là yêu cầu đặt ra cho những người thiết kế dãy CDMA thế hệ mới Đã cókhông ít công trình và giải pháp công nghệ để tìm kiếm và thực hiện các dãy trảiphổ mới nhằm đáp ứng những yêu cầu của công nghệ CDMA ở mức độ cao hơnđược công bố trong những năm gần đây Những dãy trải phổ mới, đa phần là cácdãy lồng ghép (tuyến tính hoặc phi tuyến, một cấp hoặc nhiều cấp) Tuy nhiên việctổng quát hóa cấu trúc lồng ghép (số cấp, chiều lớn hơn 2) chưa được mô tả mộtcách đầy đủ Hơn nữa việc tìm kiếm và xây dựng các họ dãy lồng ghép đa chiềuchưa được giới thiệu và khảo sát kỹ lưỡng với dãy mã có độ dài lớn

Để giải quyết vấn đề trên, luận án này tập trung xây dựng cấu trúc tổng quátcủa mã giả ngẫu nhiên phi tuyến đa cấp-đa chiều theo kiểu lồng ghép và đánh giácác đặc tính cơ bản theo mục đích trải phổ Từ đó đánh giá khả năng ứng dụng của

nó trong thông tin thế hệ mới

Chương 2 THUẬT TOÁN TÌM CẤU TRÚC TỔNG QUÁT

CỦA DÃY LỒNG GHÉP ĐA CẤP 2.1 Mở đầu

Trong Chương này, tác giả sẽ đề xuất và chứng minh bốn định lý

quan trọng về cấu trúc của dãy lồng ghép từ cấp 2 đến cấp k và cấu

trúc tổng quát Các định lý này là tiền đề để xây dựng thuật toán tìm

cấu trúc tổng quát của mã lồng ghép đa cấp Đồng thời đề xuất và

chứng minh các thủ tục để xác định cấu trúc đa cấp của mã Sử dụng

cấu trúc tổng quát tìm được và áp dụng các thủ tục xác định cấu trúc

đa cấp để thiết kế xây dựng các cấc trúc mã đa cấp lồng ghép Các cấu

trúc này có số cấp và chiều dài mong muốn với hai bài toán tiêu chuẩn

là tìm các dãy con theo chiều dài của dãy lớn và tìm các lớp dãy con

theo bậc của dãy lớn.

Mã lồng ghép 2 cấp đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tácgiả [21] Tuy vậy, hầu hết các dãy mô tả đều được tìm kiếm bằng phương pháp thựcnghiệm với các dãy “ưa thích” được lựa chọn cụ thể và các kết quả đưa ra chưa mô

tả rõ ràng về cấu trúc đa cấp Đặc biệt là cấu trúc dạng đa cấp lồng ghép chưa đượctổng quát hóa Để xây dựng được thuật toán tìm cấu trúc tổng quá mã đa cấp lồngghép, Chương 2 sẽ bắt đầu với việc phân tích các dãy tuyến tính làm đối tượng để

so sánh với dãy phi tuyến đa cấp lồng ghép theo đặc tính của dãy trải phổ, các nộidung về dãy M, thuộc tính và ứng dụng của dãy M Đây chính là thành phần cơ sởcho việc kiến tạo cấu trúc đa cấp lồng ghép Từ đó đề xuất và xây dựng được cấutrúc tổng quát mới của dãy lồng ghép phi tuyến đa cấp-đa chiều Các định nghĩa

mới mô tả cấu trúc cấp 2, cấp k và cấu trúc tổng quát của lồng ghép đa cấp sẽ được

đưa ra Các định lý cơ bản về điều kiện cần và đủ để phân hoạch dãy lớn được thành

đa cấp của các dãy M con thành phần, số lượng các cấu trúc cấp 2 có thể có, điều

kiện để một dãy M có thể trở thành dãy con cơ sở cho dãy L=2n-1 có chiều dài lớn

hơn, cấu trúc đa cấp của mã lồng ghép sẽ được thành lập Các định lý này là phátbiểu hoàn toàn mới về dãy trải phổ phi tuyến đa cấp-đa chiều theo kiểu lồng ghép.Dựa trên các định lý trên, có thể xác định kích thước tập hợp mã lồng ghép phi

tuyến theo giá trị bậc m j của dãy con và xây dựng các thủ tục tính toán phân hoạch,tổng hợp dãy đa cấp

Mã PN có cấu trúc lồng ghép đã được nhiều tác giả đề cập và chứng minh làmột loại mã có nhiều đặc tính ưu việt như nhiều khả năng lựa chọn, khoảng tuyếntính tương đương (ELS) lớn, hàm tự tương quan (ACF) nhọn Đặc biệt, một số họdãy có vùng tương quan chéo thấp rất thích hợp đối với các hệ thống thông tin trảiphổ tựa đồng bộ (Quasi Synchronized, CDMA), với khả năng chống hiệu ứng đađường, hiệu quả xử lí lệch đồng cao [33], [43], [47], [54] Đại bộ phận các dãy cónhững tính chất hữu ích đều có cấu trúc lồng ghép và được xây dựng dựa trên kỹthuật lồng ghép [13], [37], [43], [47] Kỹ thuật lồng ghép tạo dãy tuyến tính có độdài lớn, ELS cao, tăng tổ hợp mã đã được ứng dụng và tạo nên các dãy nổi tiếngnhư dãy Gold, Kasami Các dãy tích loại 1, loại 2 cũng là một ví dụ khác về lồngghép dãy, nhưng kết quả sẽ tạo được dãy phi tuyến Tuy nhiên các nghiên cứu vàứng dụng trên là lồng ghép hai cấp (Gold và Kasami) hoặc một cấp nhiều bậc (dãytích loại 1, loại 2) Như vậy một vấn đề được đặt ra là nếu lồng ghép cấp cao hơn thìchắc chắn sẽ tạo được các dãy phi tuyến mới, ELS và tổ hợp mã sẽ rất lớn Để xâydựng họ mã lồng ghép nhiều cấp như vậy thì sẽ phải dựa trên cấu trúc thuận tiệncho việc tính toán lý thuyết đồng thời phải có khả năng thực hiện về mặt vật lý Mộtcấu trúc tổng quát mã PN phi tuyến đa cấp sẽ được đề xuất trong Chương này theo

ý tưởng là sử dụng lồng ghép liên tiếp các dãy M có độ dài nhỏ (có đa thức sinh bậcthấp) theo nhiều cấp, tạo thành dãy có độ dài lớn hơn rất nhiều lần Sau đó, với cáchlồng các dãy M con cùng độ dài, khác đa thức sinh để tạo phi tuyến Các nội dungliên quan được trình bày là dãy M, các dãy tuyến tính tạo từ dãy M, với hai dãy tiêubiểu là dãy Gold và Kasami Từ kết quả phân tích đặc tính của mã trải phổ tuyếntính, sử dụng các giải thuật lồng ghép ta sẽ xây dựng thuật toán tìm cấu trúc đa cấplồng ghép từ các dãy M cơ sở Nếu biết độ dài dãy lớn, có thể thực hiện phân hoạch

thành các lớp dãy con Khi biết độ dài dãy con, có thể tổng hợp nhiều cấp tạo dãylớn Trong quá trình tính toán, ta có thể sử dụng một trong hai thông số tươngđương nhau đó là độ dài dãy hoặc bậc của đa thức sinh tạo dãy Tuy nhiên, việc tínhtoán theo bậc của đa thức sinh sẽ đơn giản và thuận tiện hơn tính theo độ dài của

dãy Vì với bậc cao thì con số về độ dài dãy sẽ rất lớn Chẳng hạn với m=42, dãy L=2 m-1 có độ dài đến 4.400 tỷ bít Nên khi tính với giá trị độ dài ta sẽ làm việc vớicác số lớn cỡ vài nghìn tỷ, còn khi làm việc với bậc đa thức ta chỉ cần thực hiện trên

các số nhỏ hai ba chữ số Sau khi tìm được cấu trúc cấp 2, cấp k và cấu trúc tổng

quát đa cấp, các lưu đồ thuật toán được xây dựng để tạo phần mềm sẽ trợ giúp choviệc phân tích và tính toán đơn giản và thuận tiện hơn

2.2 Dãy M, đặc tính trải phổ và ứng dụng

2.2.1 Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính LFSR

Lý thuyết và phương pháp\ tạo dãy nhị phân có chu kỳ và phi chu kỳ được

mô tả kỹ lưỡng trong [8] Các dãy M được tạo ra bằng cách sử dụng một thanh ghidịch phản hồi tuyến tính LFSR Các dãy M nhị phân được tạo ra bằng thanh ghidịch hồi tiếp tuyến tính và các mạch “hoặc loại trừ” Dãy ghi dịch nhị phân tuyến

tính được xác định bởi đa thức sinh tuyến tính g(d) bậc m > 0

g(d) = c m d m + c m-1 d m-1 + + c 1 d + c 0 , với c m = c 0 =1 (2.1) Đối với các dãy nhị phân (có giá trị {0,1}), c i bằng 0 hay 1.

Hình 2.1: Mô tả sơ đồ của thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính LFSR

Đặt g(d) = 0 ta được phương trình hồi quy sau:

d m = c m-1 d m-1 +c m-2 d m-2 +…+d+1(mod 2) (2.2)

vì -1 = 1 (mod 2) Với “d k ” thể hiện k đơn vị trễ, phương trình hồi quy trên xác định

các kết nối hồi tiếp trong mạch thanh ghi dịch nhị phân của hình 2.1

Ví dụ 2.1: g(d) = d4 +d2 + d + 1, ta có:

Với s0=(0,0,0,0,1), dãy ra : 1000011100110111110100010010101

Với s0=(1,0,1,0,1), dãy ra: 1010110000111001101111101000100

Dãy ghi dịch chu kỳ N có N phép dịch hay pha Với m phần tử nhớ, số lượng

trạng thái khác 0 cực đại là 2m -1, bằng chu kỳ cực đại dãy ra c =(c 0 , c 2 , , KK ) Trạng thái của thanh ghi dịch tại xung đồng hồ thứ i là véc tơ độ dài hữu hạn

s i =(s i (m-1), s i (m-2), …, s i (0)) Đầu ra tại xung đồng hồ thứ i là c i =s i (0).

Dãy ghi dịch chu kỳ N có N phép dịch hay pha Kí hiệu T -j c là sự dịch trái đi

j Với m=5, ta có T -4 c, T -3 c, T -2 c, T -1 c, c Các dịch khác là tổ hợp tuyến tính của 5 dãy

ra này Trên mặt chắn AND, nếu thay đổi trạng thái ta sẽ nhận được các dãy ra khácnhau Vì vậy có hai cách thay đổi dãy đầu ra là thay đổi trạng thái ban đầu và dịch

dãy Dãy c = (c 0 , c 1 , ….K, c N-1 ) Toán tử dịch T±j là toán tử tuần hoàn (vòng):

T -j c = (c j , c j+1 , K, C N-1 , c 0 , K, c j-1) (2.3)

T +j c = (c N-j , c N-j+1 , K, c N-1 , c 0 , K, c N-j-1) (2.4)

Đa thức sinh của dãy M là đa thức nguyên thủy Đa thức g(d) được gọi là đa thức nguyên thủy bậc m nếu số nguyên nhỏ nhất n sao cho d n +1 chia hết g(d) và n=2 m -1.

Hình 2.2 Ví dụ dãy ghi dịch với g(d) = d5 + d4 + d2 + d +1

Ví dụ 2.2: Cho g(d) = d4 +d3+1 Tồn tại một giá trị bé nhất n=15=24-1 thỏa mãn g(d) |(d15+1) Vậy g(d) là đa thức nguyên thủy bậc 4.

Số lượng các đa thức nguyên thủy bậc m được xác định bởi công thức:

và φ(2m -1) =6, 8, 30, 36, 126, 128, 432, 600 tương ứng với m=3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Các đa thức nguyên thủy là không rút gọn được, tức là không thể phân tíchthành các đa thức có bậc nhỏ hơn, nhưng điều ngược lại thì không đúng

Ví dụ đa thức g(d) = d 5 + d 3 +d 2 +d+1 là đa thức nguyên thủy và cho dãy M

có chu kỳ 25-1=31, trong khi đó đa thức g(d) = d 4 + d 3 +d 2 +d+1 không phải là

nguyên thủy, mặc dù nó không chứa thừa số là đa thức có bậc nhỏ hơn 4 nên khôngrút gọn được, nó được gọi là đa thức tối giản và cho ra dãy có chu kỳ 5

Có một loại đa thức sinh đặc biệt có dạng d m + d k +1, 1<k<m, được gọi là

tam thức Các tam thức sinh có tốc độ cao vì chỉ cần một cổng “hoặc loại trừ” trong

mạch hồi tiếp bộ ghi dịch tuyến tính không phụ thuộc vào bậc m, do đó chúng rất

được quan tâm trong thực tế

Với LFSR, nếu sử dụng 2m -1 nội dung ban đầu khác 0 trong m ghi dịch, ta sẽ

nhận được 2m -1 dãy M khác nhau, tất cả đều dịch vòng đối với nhau Ký hiệu S m làtập hợp của 2m-1 dãy M và dãy toàn 0 có độ dài 2m-1 Tập hợp này tạo thành không

gian véc tơ gồm 2m =N+1 dãy Tham khảo phụ lục 3, giới thiệu Chương trình tạo

dãy M bằng Matlab

Ví dụ 2.4: g(d) =d 3 + d +1 Tập S m được xác định như sau:

1 2 3 4 5 6

1110010 1100101 1001011 0010111 0101110 1011100 0111001 0000000 0

với 2 véc tơ bất kỳ trong tập S m trên đều có khảng cách Hamming bằng (N+1) /2=4.

2.2.2 Các thuộc tính của dãy M

Dãy M có các đặc tính:

i) Tính chất dịch: Dịch vòng trái hoặc phải của dãy M cũng là dãy M Nếu c

thuộc Sm thì dịch vòng của nó cũng thuộc S m

ii) Tính chất hồi qui: dãy M bất kỳ trong S m đều thỏa mãn sự hồi qui:

C i+m =g m-1 c i+m-1 + g m-2 c i+m-2 +K + g1c i+1 c i mod 2, i=0,1,2,… (2.7) Ngược lại, bất cứ nghiệm nào của phương trình hồi qui này cũng là dãy M

trong tập S m Có m nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình hồi qui này, do đó

có dãy M độc lập tuyến tính trong S m

iii) Tính chất cửa sổ: Nếu trượt một cửa sổ có độ rộng m dọc theo dãy M

trong S m thì ta nhìn thấy đúng 1 lần mỗi bộ m nhị phân khác 0 trong 2 m -1 bộ

iv) Tính chất số lượng số ‘1’, số ‘0’ : số 1 nhiều hơn số số 0 một đơn vị: Bất

kì dãy M nào trong S m cũng chứa 2m-1 số 1 và 2m-1-1 số 0

v) Tính chất cộng: Tổng của 2 dãy M trong S m (mod 2, từng số hạng một) làdãy M khác trong S m

vi) Tính chất dịch và cộng: Tổng của dãy M và dịch vòng của chính nó(mod 2, từng số hạng một) là dãy M khác

vii) Tính chất tự tương quan có dạng nhọn: Hàm tự tương quan tuần hoànchuẩn hóa của dãy M được xác định bởi:

1 0

1

N

e c j

và bằng 1 khi i=0(modN) và bằng -1/N khi i ≠ 0(mod N).

viii) Tính chất hành trình: Hành trình là 1 dãy các số 1 liên tiếp hoặc các số

0 liên tiếp Trong dãy M bất kì, một nửa các hành trình có độ dài 1, một phần tư có

độ dài 2, 1/8 có độ dài 3 v.v đến khi nào các phân số này còn cho số nguyên cáchành trình Cụ thể, có 1/ 2m hành trình có độ dài m các số 1, 1/ 2m hành trình có độ

dài m -1 các số 0 Đối với độ dài hành trình k, 0 < k < m -1, số các hành trình của số

0 bằng số hành trình của số 1 và bằng 2m-k-2

ix) Tính chất pha đặc trưng: Có đúng một dãy M trong tập S m thỏa mãn c i =

c2i , i ∈ Ζ dãy M này được gọi là dãy M đặc trưng, hoặc pha đặc trưng của các dãy

M trong S m

x) Tính chất phép chia: Phép chia cho n > 0 của dãy M (tức lấy mẫu c cứ mỗi n bít mã) kí hiệu là c[n], có chu kì bằng N/gcd(N, n) nếu nó không phải là dãy toàn 0 Đa thức sinh của nó g(d) có nghiệm là các lũy thừa bậc n của các nghiệm của g(d)

2.2.3 Các dãy tuyến tính tạo từ dãy M

a) Các dãy Gold

Để tạo dãy tuyến tính có khoảng tuyến tính và kích thước tập hợp lớn, thôngthường sử dụng giải pháp ghép tuyến tính các dãy M Các ứng dụng của mã PNtrong thông tin vũ trụ, vệ tinh dải rộng, thông tin di động nhiều địa chỉ , thì yêu cầu

về số dãy cần thiết trong tập hợp sẽ rất lớn Trong một hệ thống truy nhập ngẫunhiên hoặc các hệ thống hỗn hợp, kích thước yêu cầu của tập hợp có thể đến vài

trăm Tập hợp Gold chứa đựng một số lớn các dãy thoả mãn hai tính chất ACF và

CCF đến một mức độ chấp nhận được Tập gồm N+2 các dãy Gold với độ dài N

bằng 2m -1 có thể được xây dựng từ cặp ưa thích các dãy M có chu kì N giống nhau.

Cặp dãy M ưa thích, chẳng hạn x và y, có hàm tương quan chéo 3 trị :

Khi tính các trị tương quan chéo, đầu tiên các số 0 và 1 được biến đổi thành các số

+1 và -1 Tập các dãy M bao gồm cặp ưa thích các dãy x và y , các tổng mod 2 của

x và các dịch vòng của y Cụ thể, tập các dãy Gold là :

S Gold = {x, y, x⊕ y, x⊕T-1y, x⊕T-2 y, , x⊕T-(N-1) y} (2.10)

Với Ty = (y1, y2, y3, , yN -1, y0) là dịch vòng trái của y Biên độ tương quan

cực đại đối với hai dãy M bất kì trong cùng tập là bằng hằng số t(m) Người ta biết rằng các cặp ưa thích của các dãy M không tồn tại đối với m = 4, 8, 12, 16 và tiên đoán rằng không tồn tại nghiệm đối với tất cả m = 0 (mod 4).

Hình 2.3: Bộ tạo dãy Gold đối với g 1 (d) = d 3 + d +1 và g 2 (d) = d 3 + d 2 +1

Mỗi dãy trong tập Gold có thể được tạo nên bởi đa thức f(d) cho bởi:

Vì hai đa thức h(d) và h’(d) đều là nguyên tố, ta có:

0 hoặc 1 0 hoặc 1 0 hoặc1

(x) i

(Tjy) i

Dãy Gold

(y) i