Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

Việc giải bài toán trong cơ học lượng tử, đều quy về việc giải phương trình schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng.. Do vậy, tôi lựa chọn đề tài: “Thiết kế bài giảng sử dụng phương phá

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình học tập và quá trình lĩnh hội phần kiến thức về bài tập

nói chung và bài tập Cơ lượng tử nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò

quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý

thuyết đã học

Việc giải bài toán trong cơ học lượng tử, đều quy về việc giải phương

trình schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng Trong điều kiện lý tưởng thì

ta hoàn toàn có thể giải được dễ dàng Nhưng trong thực tế, việc giải phương

trình này gặp nhiều khó khăn và phức tạp Do vậy, ta phải sử dụng phương

pháp gần đúng để phương trình schodinger được giải một cách dễ dàng và

chính xác hơn

Với kiến thức đã học được về vật lý nói cũng như phương pháp dạy học

trong những năm học Đại học tôi muốn xây dựng một bài giảng để làm tư liệu

trong hành trang của mình sau khi ra trường Do vậy, tôi lựa chọn đề tài:

“Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán

trong cơ học lượng tử” làm đề tài khóa luận của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp gần đúng: Lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp

biến phân để giải các bài toán trong cơ học lượng tử

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu phương pháp gần đúng lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp

biến phân

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp toán trong vật lý lý thuyết

- Sử dụng phương pháp giải tích toán học

Với ˆ là toán tử Hamiltơn và  là năng lượng của hệ Trong trường

hợp đơn giản phương trình (1.1) có thể cho nghiệm chính xác Đối với hệ

phức tạp thì nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm chính xác Bởi

vậy ta phải sử dụng phương pháp gần đúng để giải phương trình cho hàm

riêng và giá trị riêng của toán tử ˆ

Dựa vào các nghiệm chính xác của hệ đã lý tưởng hóa ta hiệu chỉnh các

nghiệm đó để được nghiệm gần đúng cho hệ thực

Cách hiệu chỉnh như thế, dưới điều kiện được đặt ra gọi là lý thuyết

0 ˆ

    (1.3) Với ˆ0 là toán tử Hamiltơn đã lý tưởng hóa và ˆV là toán tử nhiễu loạn

Giả sử ˆV là nhỏ, ta đặt ˆ V Wˆ (1.4)

Trong đó  là một thông số nhỏ không thứ nguyên

Giả sử biết các nghiệm E và l0 l (l 1, 2,3 ) của phương trình cho

hàm riêng và trị riêng của toán tử ˆ0:

0 0

H E l  (1.5) Với các điều kiện trên thì việc giải phương trình (1.1) ta quy về việc giải

phương trình sau để tìm E l và l:

0

(H W)l E ll (1.6) Như vậy chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho E và l0 l (l 1, 2,3 ) để sau khi

hiệu chỉnh, các giá trị hiệu chỉnh sẽ nghiệm đúng (1.1) và (1.2) hay (1.6)

1.2 Nhiễu loạn khi không suy biến

1.2.1 Xét các trạng thái của hệ lí tưởng không có suy biến, nghĩa là với

mỗi giá trị E l0 thì chỉ có một hàm riêng l, mặt khác xét xem mức E l0 thay

đổi như thế nào khi có nhiễu loạn Ta giả sử sau khi hiệu chỉnh cho E và l0 l

ta được năng lượng và hàm sóng thỏa mãn (1.6)

Lấy hệ hàm riêng  l , (l 1, 2,3 ) ta khai triển:

Thay (2.1) vào (1.6), nhân hai vế với m* vào vế trái, rồi lấy tích phân các

biến không gian :

( l n0) m n

mn

E E C C W (2.2) Với W mn *m Wn dq (2.3)

a) Khi  0 ứng với trường hợp không nhiễu:

0 0

Từ (2.3) ta có: 0

(E l E C m) m 0 ; (m1, 2,3 ) (2.4) Nghiệm của ( 2.4) là: E l E m0và C m C m0 ml (2.5)

C Ta hy vọng độ lệch này sẽ nhỏ Muốn vậy ta khai triển C và m E theo l

chuỗi lũy thừa của :

Từ (2.10) ta hiệu chỉnh bậc một của năng lượng:

Trong đó C1m xác định từ điều kiện chuẩn hóa của l xét từ điều kiện (2.6) và

bỏ qua các đại lượng tỉ lệ với 2:

1.2.2 Phương pháp trên chỉ đúng trong trường hợp nếu chuỗi gần đúng hội tụ

Điều kiện cho điều đó là mỗi số hạng sau phải nhỏ hơn số hạng trước Như

vậy:

V ln E l0E n0 với bất kỳ n (2.19) l

(2.19) chính là điều kiện có thể áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn

Như vậy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng

lượng l không được suy biến Tuy nhiên, nếu một phần trong các trạng thái

m  l có năng lượng 0

n

 thoả mãn (2.19) bị suy biến thì tính đúng đắn của (2.16) vẫn không bị phá huỷ

Trường hợp khi một phần các trạng thái m  l thuộc phổ liên tục thì các

công thức trên vẫn có thể áp dụng khi đó ta thay tổng bằng tích phân

2 0

Trong đó  là chỉ số các trạng thái có phổ liên tục và là tập giá trị của

các đại lượng đủ để xác định các trạng thái của phổ liên tục suy biến

1.3 Nhiễu loạn khi có suy biến

Giả sử mức E suy biến bội s Khi đó để làm hàm gần đúng cấp không, l0

(k=1, 2, 3, ) rồi lấy tích phân theo các biến không gian, ta được hệ phương

Hệ phương trình này có nghiệm khác 0 với điều kiện:

Khai triển định thức (3.3) ta thu được phương trình bậc s đối với giá trị

chưa biết E Phương trình này được gọi là phương trình thế kỷ có s nghiệm l

Nếu s nghiệm của (3.3) khác nhau thì mức E l0 suy biến bội s của bài toán

không nhiễu sẽ tách ra làm s mức khác nhau và ứng với mỗi mức này sẽ có

a được xác định từ (3.2) khi thay k

l

 vào  (k =1, 2, l3 ,s)

Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn ˆV khử hoàn toàn suy biến Chúng ta có

thể trực giao các hàm sóng tương ứng với các nghiệm bội của (3.3) bằng

phương pháp Gram – Smit Ta có thể chéo hoá ma trận ( ) của toán tử ˆmk 

dựa vào (3.4), nghĩa là :

0 ˆˆ

1.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Thông thường nhiễu loạn tác dụng lên hệ lượng tử có đặc tính không

dừng , nghĩa là phụ thuộc thời gian Toán tử ˆw Khi đó là hàm tường minh

của thời gian W tˆ ( )' Ta giả thuyết đã biết hàm sóng ở trạng thái dừng của hệ

không nhiễu là:

không nhiễu loạn

      0  

   (4.3) Với C t là hàm của thời gian Thay (4.3) vào (4.2) ta có: k 

và tích phân theo toàn

bộ không gian, chú ý đến (1.1) và tính trực giao của hàm sóng  0  

Bắt đầu từ thời điểm t  hệ chịu sự tác động của nhiễu loạn nhỏ và giả 0

thử hàm sóng ở một thời điểm bất kì t 0 về nguyên tắc có thể tính được độ

chính xác mong muốn

1.5 Kết luận

Ta thấy rằng việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn trong các bài toán trong

cơ học lượng tử là rất hữu ích Tuy nhiên, không phải các bài toán nào trong

cơ học lượng tử ta cũng có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn

Điều kiện để áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là hệ có:

   ˆ ˆ0 Wˆ

Trong đó phương trình ˆ0n E n0 phải giải được một cách chính xác, và ˆW

là rất nhỏ so với toán tử năng lượngˆ0

Sau đây ta xét một số bài toán trong cơ học lượng tử vận dụng lý thuyết nhiễu

loạn

2 Bài tập vận dụng

2.1 Bài tập 1 Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm có các mức năng

lượng E Giả sử, đặt một từ trường yếu dọc theo trục OZ Hãy tìm năng nl0

lượng và hàm sóng của hạt trong phép gần đúng bậc nhất ( không tính đến

spin của hạt )

Giải Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamiltơn có dạng:

là toán tử nhiễu loạn

Vì từ trường là yếu nên ˆV nhỏ nên ta có thể áp dụng lý thuyết nhiễu

loạn để xác định năng lượng và hàm sóng của hạt

Ta có gần đúng bậc nhất:

+ Năng lượng của hạt: E nl E nl0 E1nl (E là năng lượng của hạt trong nl0

trường đối xứng cầu)

Trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn Tìm hiệu chỉnh cho

năng lượng của dao động tử phi điều hòa với thế năng có dạng:

là toán tử Hamiltơn của dao động

tử điều hòa tuyến tính

là toán tử nhiễu loạn

Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng của dao động tử ở trạng thái cơ bản là:

0

m x

x x

*

0 1 2

x

dx x

V E

Đa thức Hermite n  thỏa mãn phương trình:

2

n n

*

0 1 0 2

0 0

0

n n

Một hạt có khối lượng m chuyển động trong một giếng thế bề rộng a, có

thành cao vô hạn Chịu tác động của một nhiễu loạn nhỏ u x( ) u0sin2 x

n ma

        Coi V x là toán tử nhiễu loạn  

Hiệu chỉnh bậc nhất về năng lượng:

 

0 0

2 0

2 0

TH1 : n2n thì 1 nm  và 0 nm2 khi 0 m  khi đó: 3

2 2

0 0

1 3 4

0

2 2 2 2

2 0

4

.04

0

2 4 4

0

2 2 2 2

2 0

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

Đây cũng là một phương pháp gần đúng được sử dụng để giải các bài

toán trong cơ học lượng tử Cụ thể là các bài toán tìm năng lượng, trạng thái

cơ bản của dao động tử điều hòa Sau đây ta cùng đi nghiên cứu việc sử dụng

phương pháp này trong các bài toán cơ học lượng tử

1 Cơ sở lý thuyết

1.1 Phương pháp biến phân

Trong trường hợp giải gần đúng bài toán cơ học lượng tử bằng phương

pháp nhiễu loạn không thuận lợi, nghĩa là ta không có bài toán gần với bài

toán đã cho, giải được một cách chính xác làm gần đúng bậc không người ta

sử dụng một phương pháp khác là phương pháp biến phân

Phương pháp biến phân xuất phát từ biểu thức của giá trị trung bình của

năng lượng:

*ˆ

E  dx (1.1) Trong đó  là bất kỳ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

riêng của toán tử Hamiltơn n 0

2 0

2

0

n n





   (1.5)

Thành thử việc tính năng lượng của trạng thái cơ bản của hệ lượng tử,

dẫn đến tính cực tiểu của tích phân *ˆdx khi biến phân hàm sóng chuẩn

hóa  Do đó: E0min*ˆdx (1.6)

Nếu  * dx1

Việc tính toán thực tế năng lượng của trạng thái cơ bản nhờ biểu thức

(1.6) dẫn đến việc chọn “hàm thử” chứa một số thông số chưa biết nào đó

Ta nhận được một hàm J , ,  phụ thuộc vào các thông số này Việc

xác định các giá trị cần tìm của các thông số dẫn đến tìm cực tiểu của

trạng thái cơ bản của hệ sẽ gần trùng với hàm 0x, 0, 0, 

Phương pháp tính năng lượng trạng thái cơ bản nói trên gọi là phương pháp

Ritz hay phương pháp biến thiên trực tiếp Việc chọn hàm thử dựa trên việc

phân tích định tính về tính đối xứng của bài toán và những cảm nhận vật lý

Nếu ký hiệu 0 là hàm sóng của trạng thái cơ bản của hệ, thì việc tính

năng lượng của trạng thái kích thích thứ nhất E dẫn đến giải bài toán biến phân 1

*

1 min 1 ˆ 1

E    dx (1.7)

Với điều kiện phụ:  1* 1dx1;  1* 0dx0 (1.8)

Việc tính mức kích thích thứ hai dẫn đến giải bài toán biến phân:

*

2 min 2ˆ

E   dx (1.9) Với các điều kiện phụ: 2* 2dx1;  2* 2dx 2* 0dx0 (1.10)

Quá trình được tiếp tục với việc tính các mức kích thích cao hơn

2 Bài tập vận dụng

2.1 Bài tập 1: Tính năng lượng trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa

tuyến tính Biết toán tử Hamiltơn có dạng:

2 2

0

khi x x

Với

2 2

d dx



 Tích phân dưới mẫu số xuất hiện do chuẩn hóa hàm sóng ta dễ dàng tính

1

0

khi x x

khi x

   



Trong lý thuyết hàm biến phức, ta đã chứng minh:

2.2 Bài tập 2

Sử dụng phương pháp biến phân.Tính năng lượng và các trạng kích

thích thứ nhất của nguyên tử Hiđrô

Giải Toán tử Hamiltơn có dạng:

2

ˆ2

    e

m r (2.1)

Trong trường đối xứng xuyên tâm, mômen xung lượng có giá trị xác

định Ở trạng thái cơ bản mômen xung lượng bằng 0 Do đó, hàm sóng chỉ

phụ thuộc vào r mà không phụ thuộc vào các góc Khi r   hàm phải tiến

đến không, do đó hàm thử có thể viết dưới dạng:

  expr (2.2)

Từ điều kiện chuẩn hóa ta có:

3 2

Ta hãy tính năng lượng của trạng thái kích thích thứ nhất ta chọn hàm

thử dưới dạng hàm phụ thuộc vào hai thông số  và  :

5 2

  thay vào (2.5) và (2.6) ta tính được:

2 2

e E

Dùng phương pháp biến phân tìm trị riêng và hàm riêng của toán tử ˆ

cho dao động tử phi điều hoà biết toán tử Hamiltơn có dạng:

2 2

4 2

2

d Cx

2 2

1

4 2 2 4 2

1 2

2

2 1

( 0)1.3.5 2n - 1)

( 1, 2,3, )2

4 2 2 4 2

C m

Thay giá trị

1 6 2

Năng lượng của trạng thái kích thích thứ nhất Gọi 1 là hàm sóng trạng

thái kích thích thứ nhất suy ra hàm 1 phải trực giao với hàm 0 Nên ta

chọn hàm thử dưới dạng:

2

1 2

1 Bx e x

   (3.8) Điều kiện chuẩn hoá:

+ Năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất :

2 2 1

3 2

+ Hàm sóng ở trạng thái kích thứ nhất :

2 2

15

1 30 2 2

Cm x

Cm xe

 (3.13) Phương pháp tính năng lượng trạng thái cơ bản của một hệ lượng tử nói trên

phụ thuộc vào việc chọn hàm thử Ngoài ra ta có thể tính năng lượng của

trạng thái kích thích thứ nhất  hoặc thứ hai 1  2

PHẦN KẾT LUẬN

Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, khóa luận với đề tài “Thiết kế bài

giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học

lượng tử” đã được hoàn thành Với bài khóa luận này tôi đã thiết kế được bài

giảng trong đó:

1 Lý Thuyết Nhiễu Loạn

1.1 Nhiễu loạn khi không có suy biến

1.2 Nhiễu loạn khi có suy biến

1.3 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

1.4 Bài tập ứng dụng

2 Phương Pháp Biến Phân

1.1 Lý thuyết phương pháp biến phân

1.2 Bài tập ứng dụng

Khoá luận này tôi chỉ tìm hiểu các vấn đề sử dụng phương pháp gần

đúng lí thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến phân trong giải các bài toán cơ

học lượng tử Với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ta có thể giải được chính

xác hơn phương trình Schodinger Tuy nhiên, nó chỉ được áp dụng đối với các

hệ vật lý có    ˆ ˆ0 Wˆ trong đó ˆ0n E n0n phải được giải một cách

chính xác và ˆW phải rất nhỏ so với ˆ0 Nhưng trong nhiều trường hợp việc

giải bài toán gần đúng trong cơ học lượng tử bằng phương pháp nhiễu loạn

không thuận lợi nghĩa là không giải được một cách chính xác làm gần đúng

bậc không Khi đó phương pháp biến phân lại rất hiệu quả khi giải quyết tốt

vấn đề đó Vì điều kiện khuân khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu

còn ngắn nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Rất mong được sự

đóng góp ý kiến của thầy cô cùng các bạn sinh viên để bài khóa luận

được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm Hà Nội

2 Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo Dục, Hà Nội

3 Đặng Quang Khang(1996), Cơ học lượng tử, NXB khoa học và kỹ thuật

4 Nguyễn Xuân Hy (1976), Cơ học lượng tử là gì, NXB Giáo Dục

5 Matveev M.A, Cơ học lượng tử và cấu trúc nguyên tử, tập1, tập 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý

trường đại học sư phạm Hà Nội 2, và Thầy giáo - Th.S Nguyễn Huy Thảo đã

trực tiếp tận tình hướng dẫn, và giúp đỡ em trong suốt quá trình tìm hiểu để

em có thể hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng đề tài vẫn không tránh khỏi những

thiếu sót, em rất mong được sự giúp đỡ, của các thầy giáo, cô giáo và sự đóng

góp ý kiến của các bạn sinh viên để bài khoá luận em được hoàn chỉnh hơn

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân tôi qua quá trình học tập

và nghiên cứu Bên cạnh đó tôi được sự quan tâm của các thầy giáo,

cô giáo trong khoa Vật lý và sự hướng dẫn tận tình của thầy - Th.S

Nguyễn Huy Thảo

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này tôi có tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy,Tôi khẳng định kết quả của đề tài:“Thiết kế bài giảng sử dụng

phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử” không

có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác