Thiết kế bài giảng phần hệ hạt đồng nhất của các hạt vi môtrong cơ học lượng tử

Hàm sóng của hệ nhiều hạt đồng nhất là một hàm đa thành phần Để mô tả sự đổi chỗ giữa các hạt, ta định nghĩa toán tử hoán vị p giữa kj hạt k và hạt j như sau: Ta thấy toán tử p giao h

Lời cảm ơn

Đề tài “Thiết kế bài giảng phần hệ hạt đồng nhất của các hạt vi mô

trong cơ học lượng tử” là một đề tài mới mẻ và có nhiều ý nghĩa Sau một

thời gian nghiên cứu tài liệu bằng phương pháp của vật lí lý thuyết, tôi đã hoàn thành đề tài và thu được một số kết quả quan trọng Để đạt được điều này không thể thiếu sự hướng dẫn giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn

Trước tiên tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo T.s Trần Thái Hoa người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa, trong trường, gia đình tôi và các bạn sinh viên cùng nhóm đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ cho tôi trong thời gian làm khoá luận tốt nghiệp cũng như trong suốt bốn năm học vừa qua

Lời cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp mang tên “Thiết kế bài giảng phần hệ hạt

đồng nhất của các hạt vi mô trong cơ học lượng tử” là kết quả nghiên cứu

của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo T.s Trần Thái Hoa Khoá luận

này không trùng với kết quả của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà nội, ngày 12 tháng 5 năm 2009 Sinh viên

Trịnh Thị Thu Giang

Chương 1 Các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử 5

1.2 Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất 7

1.3 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng 9

1.4 Các toán tử sinh hạt và huỷ hạt Boson 12

1.5 Toán tử sinh và huỷ hạt Fecmion 14

1.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree – Fock 19

2.2 Sự lượng tử hoá lần thứ hai Thống kê Bose-Einstein 26

2.3 Sự lượng tử hoá lần thứ hai Thống kê Fecmi – Dirac 35

Đối với sinh viên vật lý thì phần hệ hạt đồng nhất là một phần không thể thiếu để hoàn thiện chương trình học bộ môn cơ học lượng tử trong chương trình đào tạo

Do đó chúng tôi chọn đề tài “Lượng tử hóa lần hai Bài tóan dao

động điều hóa ứng dụng giải các bài tóan liên quan” làm tài liệu ban đầu

khi giảng dạy phần hệ hạt đồng nhất

II Mục đích nghiên cứu

Vận dụng những quan điểm lý luận hiện đại về dạy học để thiết kế bài

giảng trong phần hệ hạt đồng nhất

III Đối tượng nghiên cứu

Cơ sở vật lý và toán học về hệ hạt đồng nhất

IV Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp vật lý trong vật lý lý thuyết

V ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu đề tài

Nghiên cứu đề tài giúp chúng tôi hiểu sâu sắc hơn về hệ hạt đồng nhất

và làm được một số bài tập về chúng

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT TRONG CƠ HỌC

LƯỢNG TỬ 1.1 Cơ học lượng tử cho một hệ hạt

1.1.1 Đặt vấn đề

Chuyển từ cơ học lượng tử cho một hạt sang cơ học lượng tử cho một hệ

hạt được tiến hành hoàn toàn tương tự như ta đã làm trong vật lý cổ điển Hệ

N hạt được coi như một hệ có 3N bậc tự do Hàm sóng được xác định trong

không gian cấu hình có dạng:

1 1 1 2 2 2( ,x y z, ; x y z, , ; x y z n, n, n; t)

Nếu biết được hàm sóng, ta có thể xác định được chuyển động của một

hệ con bất kỳ bằng cách lấy tích phân theo các toạ độ của tất cả các hạt, mà

chuyển động của chúng trong truờng hợp này ta không xét đến Điều này có

nghĩa là: nếu lấy tích phân theo các toạ độ của tất cả các hạt, trừ hạt thứ k mà

ta muốn xét, kết quả chúng ta sẽ thu được xác suất để tìm thấy riêng hạt thứ k

trong thể tích đã cho (chú ý dV d rdxdydz ):

2

1 1 1( ,k k, k) k k k k k k k k n

1.2 Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất

Trong Cơ học cổ điển dù các hạt có giống nhau thế nào đi nữa vẫn có thể phân biệt được từng hạt riêng biệt ở mọi thời điểm, xung lượng và toạ độ của

mỗi hạt đều hoàn toàn xác định và do đó mỗi hạt chuyển động theo một quỹ đạo riêng của mình không lẫn với quỹ đạo của các hạt khác

Trong Cơ học lượng tử, do có nguyên lý bất định Heisenberg, toạ độ và xung lượng của một hạt không thể đồng thời xác định chính xác, cũng có nghĩa là không còn khái niệm quỹ đạo nữa Ta chỉ có thể biết được xác suất tìm thấy hạt ở một vị trí nào đó mà thôi Như vậy, thay cho quỹ đạo xác định, mỗi hạt có một miền không gian mà trong quá trình chuyển động ta có thể tìm thấy nó trong miền không gian đó với một xác suất nào đó Các miền không gian này của các hạt khác nhau có thể phủ lên nhau Nếu ta “tóm’’ được một hạt trong miền không gian có sự phủ lên nhau thì ta không thể biết được chính xác “nó từ đâu đến’’, “nó là hạt nào’’, cũng có nghĩa là ta mất khả năng phân biệt các hạt đồng nhất

Cụ thể hơn, hãy xét một hệ N hạt đồng nhất mỗi hạt đều có khối lượng

trong đó 1 = r1,1, 2 = r2,2, với rl và  l là biến số toạ độ và chỉ số

spin của hạt thứ l, U(l, t) là thế năng của hạt thứ l trong một trường ngoài nào

đó và W(l, n) là năng lượng tương tác giữa hạt thứ l và hạt thứ n Hamiltonian

(2.1) cho thấy rằng nếu ta quy ước đánh số các hạt theo một thứ tự nào đó từ 1

đến N Thì việc đổi chỗ giữa các hạt với nhau chỉ làm thay đổi thứ tự đánh số

đã quy ước và chỉ xáo trộn các số hạng trong các tổng

Hàm sóng của hệ nhiều hạt đồng nhất là một hàm đa thành phần

Để mô tả sự đổi chỗ giữa các hạt, ta định nghĩa toán tử hoán vị p giữa kj hạt k và hạt j như sau:

Ta thấy toán tử p giao hoán với Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất kj

Bây giờ hãy tác dụng toán tử p lên hai vế của phương trình Schrodinger kj

(1, 2, , k, , j, , N, t) = (1, 2, , j, , k, , N, t)

kj p

cũng là lời giải của phương trình này Do đó  ' cũng như  đều diễn tả một trạng thái khả dĩ của hệ các hạt đồng nhất Vì trong lập luận trên k và j là bất

kỳ nên có thể kết luận rằng tất cả các hàm sóng thu được từ (1, 2, , k, , j,

, N, t) bằng cách hoán vị tuỳ ý giữa các hạt đều là lời giải của phương trình

Schrodinger Tất cả các hàm sóng được tạo theo kiểu hoán vị nói trên đều bình đẳng với nhau và vì vậy không thể biết chính xác sự phân bố trong không gian của từng hạt riêng biệt mà chỉ biết thông tin về toàn bộ hệ Từ đó cần phải hiểu là trong thế giới vi mô các hạt đồng nhất là một tổng thể khách quan mà ta không thể nói gì về trạng thái của từng hạt riêng biệt

Điều này được phát biểu dưới dạng một nguyên lý chung gọi là nguyên

lý không phân biệt các hạt đồng nhất như sau: Các trạng thái vật lý của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép hoán

vị nào giữa các hạt

1.3 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng

Nguyên lý tính không phân biệt được các hạt đồng nhất giữ một vai trò

cơ bản trong cơ học lượng tử khi ta nghiên cứu các hệ hạt đồng nhất Để đơn giản, ta xét hệ gồm hai hạt 1 và 2 Hàm sóng của hệ là  ( , q q t1 2, ), trong đó

q1 đại diện cho các biến của hạt 1: x 1 , y 1 , z 1 , s z1 và q2 đại diện cho các biến của hạt 2: x2, y2, z2, sz2 Ta hoán vị hai hạt cho nhau Theo nguyên lý về tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ khi đó không thay đổi, do đó hàm sóng  chỉ có thể thay đổi một thừa số pha

( ,q q ) ( ,q q)

   (3.1)

Ta đi tới kết luận, có hai khả năng xẩy ra - hàm sóng hoặc là đối xứng (không đổi khi hoán vị hai hạt), hoặc là phản đối xứng (hàm sóng đổi dấu khi hoán vị hai hạt) Rõ ràng là, hàm sóng của tất cả các trạng thái của cùng một

hệ hạt phải có tính đối xứng duy nhất, hoặc là đối xứng, hoặc là phản đối xứng Trong trường hợp ngược lại, theo nguyên lý chồng chất các trạng thái, hàm sóng của hệ khi đó sẽ là chồng chất các trạng thái có tính đối xứng khác nhau, sẽ không đối xứng và cũng không phản xứng

Kết quả này có thể được mở rộng sang cho hệ có N hạt đồng nhất bất kỳ

Ta dễ dàng thực nghiệm được rằng, nếu hàm  của hệ hạt là đối xứng đối

với cặp hạt k và j, j và i, nhưng lại phản xứng đối với cặp hạt i và k thì hàm 

sẽ bằng không Thực vậy, ta viết được

( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )( , , ) 0

 2 2

1 2 1

0

( , ) ( , , , , )2

Trong đó U(q i , t) là thế năng đặc trưng cho tương tác của hạt với trường,

U(q 1 , q 2 , ., q N ) là năng lượng tương tác của các hạt với nhau Rõ ràng là,

Hamiltonian này không thay đổi khi hoán vị hai hạt cho nhau Do đó

Toán tử p không phụ thuộc rõ vào thời gian Ngoài ra lại giao hoán với ik

Hamiltonian, nên đại lượng tương ứng với toán tử p là bảo toàn Như vậy ik

các tính chất đối xứng của hàm  của hệ hạt đã cho bảo toàn theo thời gian (là một tích phân chuyển động) Tính đối xứng của hàm  phụ thuộc vào bản chất của loại hạt Cơ học lượng tử tương đối tính chứng tỏ rằng các hạt có spin nguyên hay bằng không được mô tả bằng các hàm đối xứng; còn các hạt

có spin bán nguyên được mô tả bằng các hàm phản đối xứng Các hạt có spin nguyên được gọi là các bôzôn và tuân theo thống kê Bose - Einstein (thí dụ các hạt   , -mêzôn v.v ), còn các hạt có spin bán nguyên được gọi là các

fecmion và tuân theo thống kê Fecmi – Dirac (thí dụ các hạt p, n, e, v )

Đặc tính đối xứng của hàm sóng  mô tả tập hợp các hạt phức tạp đồng nhất (thí dụ hạt nhân hay nguyên tử) tuỳ thuộc vào spin tổng hợp của hạt phức tạp Nếu spin tổng hợp của hạt phức tạp là nguyên (hay bằng không), thì hàm

 là đối xứng, nếu spin tổng hợp của hạt phức tạp là bán nguyên, thì hàm 

phản xứng Hạt phức tạp có spin nguyên hay bán nguyên tuỳ thuộc vào số các hạt có spin bán nguyên tham gia tạo thành hạt phức tạp là chẵn hay lẻ

1.4 Các toán tử sinh hạt và hủy hạt Boson

Ta đưa vào các toán tử 

ka

trong đó tất cả các số lấp đầy đều bằng 0

Trạng thái 0 thoả mãn phương trình sau của toán tử 

Giả sử hệ N hạt boson có n1 hạt ở trạng thái k1, n2 hạt ở trạng thái k2, ,

ns hạt ở trạng thái ks Ta kí hiệu các toán tử sinh hạt ở trạng thái k1, , ks là

 làm tăng số hạt trong trạng thái k lên một đơn vị Tương tự, toán tử huỷ hạt boson a k tác dụng lên trạng thái (n1, n2, , ns) sẽ làm giảm

số hạt trong trạng thái k đi một đơn vị



và 

k

a lên hàm sóng của hệ N hạt boson thì hệ này sẽ không thay đổi số hạt trong trạng thái k, nghĩa là ta có :

N  a a gọi là toán tử số hạt tương ứng với trạng thái k Tương

tự toán tử số hạt của bài toán dao động tử điều hoà, toán tử  N

k là ecmite vì: ( N

k)+ = (

ka

(

ka

)+ = 

ka

k tương ứng với các trị riêng (nk – 1) và (nk + 1)

1.5 Toán tử sinh hạt và huỷ hạt fecmion:

Xét trạng thái của hệ hạt fecmion được mô tả bởi hàm sóng (0) Các toán

tử sinh hạt và huỷ hạt fecmion được kí hiệu tương ứng là cki,c Trạng thái ki

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt fecmion lên trạng thái (0), ta được:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 c c k, k' c c k k' c c k' k 0 (5.4)

Vì các toán tử ck liên hiệp với toán tử

k c , nên ta có:

 c c k, k' c c k k'c c k' k 0 (5.5)

và c c k k c c k k 0 khi thay k =k’ vào các phương trình (5.4) và (5.5)

Giả sử hệ N hạt fecmion có n i hạt ở trong trạng thái k i ,, n 2 hạt ở trạng thái

k 2 , , n s hạt ở trạng thái k s Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt fecmion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:

1 2( , , , ) ( ) ( ) ( ) s (0)

1( ) (1 )( )( ) ( 1) ( )

s s

trong đó u k    n1 n2 n k1 là tổng các số lấp đầy đứng trước k

Tương tự, toán tử huỷ hạt fecmion c k tác dụng lên hàm sóng của hệ N hạt fecmion ( , , , )n n1 2 n s được xác định từ định nghĩa sau:

1 2( , , ,0 , , ) 0

( , , , , , ) ( ) ( , , ,(1 ), , )

c  n n n n  n  n n n n

với ( ) n k thoả mãn điều kiện ( n k  0) 0

Đặt 1- n k = n k, sử dụng điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có:

Nói chung, không thể giải thích chính xác bài toán hệ nhiều hạt Trong

đa số trường hợp, cần phải dùng đến các phương pháp tính gần đúng khác nhau, xem ở mức gần đúng cấp không thì các hạt đồng nhất của hệ là không tương tác với nhau, nghĩa là chuyển động độc lập với nhau

Giả sử khi giải gần đúng bài toán, ta được hàm sóng ( )

(1, 2)

(1) (2) 2!

Nói chung, hàm sóng phản xứng cho hệ nhiều hạt (N) fecmion có thể

viết dưới dạng định thức sau:

(1) (2) ( ) (1) (2) ( ) 1

! (1) (2) ( )

A

N N N

0

A

  khi  j  k, j k (6.6) Nhưng kết quả này, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng, chứng tỏ rằng

hệ hạt không tồn tại trong điều kiện trên

Ta có thể phát biểu:

Đối với hệ các fecmion, nhiều hạt của hệ không thể ở cùng một trạng thái i như nhau

Đó là nội dung của một nguyên lý cơ bản trong cơ học lượng tử, gọi là

nguyên lý loại trừ Pauli, hay vắn tắt hơn, nguyên lý Pauli

Nguyên lý này đóng vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu những hệ nhiều hạt fecmion đồng nhất, chẳng hạn là hệ êlectrôn trong nguyên tử, phân

tử hay là hệ nuclôn trong hạt nhân, hay là những hệ gồm những phân tử đồng nhất

1.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fock

1.7.1 Mở đầu

Phương pháp trường tự hợp hay phương pháp Hartree - Fock là một phương pháp phổ biến mô tả gần đúng và tính toán hệ của các fecmion trong

cơ học lượng tử đã được Hartree (1928) và Fock (1930) đưa ra để giải thích phổ nguyên tử

ứng dụng: Phương pháp này được dùng để tính toán các trạng thái dừng của nguyên tử, phân tử, đồng thời để giải thích các số liệu thực nghiệm của sự tán xạ electrôn trên nguyên tử, hiệu ứng quang điện, trong vật lý chất rắn, vật

lý hạt nhân v.v

Phương pháp Hartree - Fock dựa trên giả thiết rằng: với độ chính xác khá cao, chuyển động mỗi hạt của hệ được xác định bằng trường tự hợp, có nghĩa là trường tương tác của hạt này với tất cả các hạt còn lại của hệ mà chúng đã được trung bình hoá theo chuyển động

Phương trình Schrodinger trong trường tự hợp được xác định bằng nguyên lý biến phân Hàm sóng của hệ fecmion đồng nhất (ví dụ các electron) được mô tả bằng định thức được thiết lập từ N hàm sóng của một hạt ( ) i k ; (i  k = 1, 2, , N):

1

1

( ) ( )1

( )

!( ) ( )

giản chúng ta tiến hành các tính toán cho nguyên tử Hêli và các electron đều được coi ở trạng thái cơ bản s

1.7.2 Phương trình Hartree

ở đây chúng ta tạm bỏ qua đòi hỏi về tính đối xứng hàm sóng của hệ các electron Trong gần đúng bậc không cả hai electron được mô tả bằng các hàm sóng thực  , còn hàm sóng của nguyên tử có dạng:

1 r1 2 r2 1 2

       (7.3) Trong phép gần đúng này biến phân lấy theo các hàm  1; 2 và được lấy một cách độc lập với nhau Coi d r d r 1 2 1 và từ (7.2) ta có:

Các phương trình (7.11) và (7.12) chỉ ra rằng: trong thế năng của từng electron xuất hiện thêm các số hạng bổ xung sau đây:

 

2

2 2 2

r( )r e d r e d r

Đại lượng G có ý nghĩa như năng lượng trung bình của tương tác tĩnh điện giữa các electron

Vì trong từng đại lượng E1 và E2 đã chứa số hạng G, do đó trong tổng E1

+ E2 số hạng G được tính hai lần Vậy năng lượng của hệ là: (E1 + E2) - G Nếu hệ gồm N electron thì phương trình Schrodinger tương tự đối với electron trong trạng thái lượng tử thứ n có dạng:

2 2

1

( )2

ở đây ta phải chọn tập hợp các hàm sóng thử, rồi phải liên tục làm phép gần đúng liên tiếp

1.7.3 Phương trình Hartree - Fock

Phương pháp trường tự hợp với đòi hỏi tính đối xứng của hàm sóng của hệ hạt được gọi là phương pháp Hartree - Fock Trong trường hợp này,

hàm sóng của nguyên tử có dạng:

       

1 1 2 2 2 1 1 2

1( , )

2

             (7.19) Thay (7.19) vào (7.4) và tiến hành lấy biến phân theo các hàm sóng độc lập với nhau Chúng ta nhận được hệ phương trình móc nối vào nhau: