Sử dụng phương pháp số phức để giải bài toán dòng điện xoay chiều

Lời cảm ơn Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “sử dụng phương pháp số phức để giải bài toán dòng điện xoay chiều” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và với sự tận tình, chu đáo của th

Lời cảm ơn

Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “sử dụng phương pháp số phức để giải bài toán dòng điện xoay chiều” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và

với sự tận tình, chu đáo của thầy giáo Nguyễn Tuấn Thanh cùng các thầy cô

trong tổ vật lý Đại Cương khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó, đồng thời em xin chân thành cảm ơn thư viện trường ĐHSPHN 2 đã tạo điều kiện tốt nhất cho

em hoàn thành đề tài này

Trong quá trình nghiên cứu, bản thân là một sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót

Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2007

Sinh viên

Tăng Thị La

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan những nội dung tôi đã trình bày trong khoá luận này

là kết quả của quá trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của

các thầy cô giáo, đặc biệt là thầy Nguyễn Tuấn Thanh Những nội dung này

không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2007

Sinh viên

Tăng Thị La

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình vật lý phổ thông điện xoay chiều là phần kiến thức quan trọng, nó thể hiện ở dung lượng khá lớn, nó có mặt trong cấu trúc tất cả các đề thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp…Các bài toán điện xoay chiều rất phong phú và đa dạng, có thể sử dụng nhiều phương pháp khác để giải như: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học (giản

đồ vectơ), phương pháp số phức…

Với việc chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm trong các

kỳ thi, yêu cầu học sinh không những nắm chắc kiến thức mà cần có kết quả chính xác trong khoảng thời gian ngắn Chính vì vậy, việc sử dụng phương pháp nào cho nhanh nhất để có kết quả chính xác cao là điều được thầy cô và các học sinh rất chú trọng Trong số các phương pháp trên, học sinh phổ thông thường sử dụng phương pháp giản đồ vectơ, nhưng em nhận thấy phương pháp số phức là phương pháp đơn giản nhất, cho kết quả chính xác cao, tuy chưa được học sinh sử dụng do hạn chế về kiến thức toán học trong phương pháp này, chỉ cần những kiến thức rất kiến thức rất sơ đẳng về số phức mà học sinh hoàn toàn nắm bắt được, em tin rằng nếu đưa phương pháp này giảng dạy cho học sinh trong những năm tới là rất phù hợp Với những suy nghĩ như vậy và được sự động viên, hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Tuấn Thanh, em mạnh dạn chọn đề tài “Sử dụng phương pháp số phức để giải bài toán dòng điện xoay chiều”

Với đề tài này em rất mong muốn phương pháp này sẽ trở thành phương pháp chính được thầy cô và học sinh sử dụng để giải quyết các bài toán về

2 Mục đích nghiên cứu

+ Có những kiến thức sơ đẳng về số phức

+ Thấy được ứng dụng của phương pháp số phức trong việc giải bài toán dòng điện xoay chiều

3 Đối tượng nghiên cứu

+ Dòng điện xoay chiều, các dạng mạch điện, các dạng bài tập

+ Phương pháp giải bài tập

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Tra cứu tài liệu

+ Phân dạng mạch điện, phân loại bài tập

Phần 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Số phức

1.1.1 Xét tập hợp  các cặp số thực (x,y) lấy theo một thứ tự xác định Cặp

số thực này có thể coi như một vectơ trong mặt phẳng Đềcac vuông góc xOy Mỗi cặp số thực trên được gọi là một số phức và mặt phẳng Đềcac xOy được gọi là mặt phẳng số phức Như vậy là giữa tập hợp  các số phức (x,y) và tập hợp các điểm z của mặt phẳng xOy có sự liên hệ tập hợp các điểm z có sự liên hệ một đối một, do đó ta có thể viết đẳng thức

 Số phức dạng z 0 ,y nghĩa là số phức có phần thực bằng 0, ứng với một điểm nào đó nằm trên trục tung được gọi là trục ảo

 Hai số phức z1 x y,  và z2 x,y  ứng với hai điểm đối xứng nhau đối với trục thực được gọi là hai số phức liên hợp

    

 Tính chất khác nữa: mọi số thuần ảo đều có thể coi như tích của đơn vị

ảo với một số thực có giá trị bằng phần ảo

1.1.4 Dạng lượng giác của số phức

Để thấy rõ hơn bản chất hình học của số phức ta sẽ có cách biểu diễn

hình học của nó (hình 1) Gọi độ dài của Oz

là

r ta có 2 2

r  x  y

Đại lượng r được gọi là môđun của số

phức z là một số thực không âm Ta cũng thấy

ngay số phức z 0,0 trùng với gốc của trục

toạ độ, là số duy nhất có môđun bằng 0

Hướng của Oz

được xác định bởi góc 

Góc này được tạo thành bởi chiều dương của trục Ox và Oz

z 0 Góc

gọi là acgumen của số phức z

Về hình học, một số phức z được xác định hoàn toàn bởi hai đại lượng

là r và  Chúng được gọi là toạ độ cực của số phứcz

Đây là dạng lượng giác của số phức

áp dụng công thức ơle: cos  jsine j

Số phức z còn được viết dưới dạng: zr e j

1.2 Các phương pháp biểu diễn dao động điều hoà

1.2.1 Phương pháp lượng giác

Dao động điều hoà (dđđh) được biểu diễn dưới dạng:

1.2.2 Phương pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel-GĐVT)

Dựa vào tính chất một dđđh có thể coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo, theo phương pháp này mỗi dđđh được biểu diễn bằng một vectơ quay

Giả sử cần biểu diễn dao động x Acos t 

Trên một trục chọn làm trục x ta lấy điểm O bất kỳ làm gốc Từ điểm O

Nếu xét trên trục vuông góc với x, chuyển

ở điện học, trong phương pháp này các đại

lượng vô hướng như cường độ dòng điện, hiệu

điện thế, được biểu diễn bằng các vectơ Các vectơ này có độ lớn bằng biên

độ I U … của các đại lượng biến thiên I, U tương ứng Các vectơ 0, 0

và U0

lên trục tung Hình chiếu của chúng lên trục tung tại mỗi thời điểm bằng giá trị tức thời của chúng tại thời điểm đó Như vậy việc khảo sát phương trình lượng giác thay bằng sự khảo sát phép quay của vectơ A

1.2.3 Phương pháp số phức

Một số phức được biểu diễn dưới dạng:

cos sin  cos sin

Một dao động điều hoà dạng x Acos t  có thể biểu diễn phần thực của một số phức j t 

aAe   hoặc j t 

a Ae   hay cũng có thể viết dưới dạng:

exp

aA j  t hoặc a Aexpj t  

Khi hai dđđh được biểu diễn bằng những phần thực của hai số phức a và

b và gọi số phức c là tổng của a và b thì phần thực của c biểu diễn tổng hợp của hai dai động nói trên Số a Aej là liên hợp phức củaa Ae j ta có:

2

aaAe Ae   A

1.3 Phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện xoay chiều

a Đối chiếu công thức ơle với phương trình của dao động điện từ ta thấy một đại lượng biến thiên điều hoà theo thời gian a Asin t  có thể biểu diễn bằng một số phức kí hiệu a

Với a1 Acos là phần số thực, a2  Asin là phần ảo của số phức a, 

chính là pha ban đầu hoặc độ lệch pha (so với dao động khác) của một đại lượng biến thiên điều hoà mà ta xét

Như vậy, nếu hiệu điện thế có biểu thức u100 2 sin100t (v) thì nó được biểu diễn bằng số phức *

Và ngược lại, nếu có u 100 2 (v) thì ta có thể viết biểu thức

với Z U i, i là tổng trở và hiệu điện thế của đoạn mạch thứ i

c Còn nếu mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép song song thì tổng trở của toàn mạch và dòng điện chính trong mạch là:

phân tích mạch thành các đoạn mạch ghép nối tiếp,

mỗi đoạn mạch đó lại gồm các phần tử ghép song

song rồi vận dụng cách tính nói trên

e Ngoài ra khi cần thiết, để giải bài toán được

thuận lợi có thể sử dụng phép biến đổi tam giác, sao

đối với tổng trở phức, giống như với điện trở thuần

 

Phần 2: Vận dụng phương pháp số phức trong việc giải bài toán

dòng điện xoay chiều

Chương 1 Mạch RLC mắc song song 1.1 Lập biểu thức của cường độ dòng điện tức thời, hiệu điện thế tức thời Bài 1.1.1 Cho mạch điện như hình vẽ:

1

120 2

4 230

 

*

2 *2 02

R Z Z

AB AB

AB

j U

1

sin 100

120 2

4 230

Với:

 

02 2

Lời giải

Cách 1: Theo Phương pháp số phức

 

 4

1

502.10

1

100 2

2 2 ( )50

R

+ Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch chính

Nhận xét: Phương pháp lượng giác dài hơn, phức tạp hơn, chỉ thuận tiện

khi tổng hợp hai dòng điện cùng biên độ

Bài 1.1.3 Cho mạch điện như hình vẽ Biết

 

2

4 2

5 2 sin100 ( )

AB AB

U I

U I

200

U I

R



      

2sin sin

Bài 1.2.2 Giữa hai đầu một đoạn

mạch không phân nhánh (như

120 2

2 2( )60

L L

Vậy lúc này ampe kế chỉ là 1 (A)

Cách 2: Sử dụng giản đồ vectơ quay

C C

U Z I

Cách 2: Phương pháp sử dụng giản đồ vectơ

Dòng điện i trễ pha so với u2

Vẽ giản đồ vectơ quay biểu diễn I I I U   1, 2, ,

Chọn trục gốc là vectơ u

, Vectơ I1

- Với phương pháp số phức thì ngắn gọn, mà vẫn giải quyết được yêu cầu của bài toán, muốn biết độ lệch pha trên các nhánh cũng không phải dẫn dắt phức tạp, chỉ cần thêm một phép toán nữa là được Ta thấy phương pháp

số phức có nhiều ưu điểm hơn

Bài 1.3.2 Cho mạch điện như hình vẽ, biết R r 150( ), L 1(H)

C

Z Z

4 2

Để icùng pha với u thì I có phần ảo bằng 0:

2

150150

1 14422500

810010

81

144144

- Độ lệch pha giữa u so với AB i : 2

2

C

Z tg

R

  

Tổng trở trên nhánh 1: Z1 r2Z L2  1502 1002 180( )

Tổng trở trên nhánh 2: Z2  R2 Z C2

Do i trễ pha 1 1 so với u còn AB i sớm pha 2 2 so với u nên ra vẽ giản AB

đồ vectơ biểu diễn phương trình II 1 I2 với trục u

làm gốc Theo giản đồ vectơ ta có:

4 2

10( )

Chương 2 Mạch RLC mắc nối tiếp 2.1 Lập biểu thức cường độ dòng điện và hiệu điện thế tức thời

Bài 2.1.1

Cho mạch điện xoay chiều gồm ba phần tử mắc nối tiếp với nhau, điện

trở thuần , R 8( ) cuộn thuần cảm có hệ số tự cảm 1 ( )

1 Tìm biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong đoạn mạch

2 Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, hai đầu cuộn cảm và hai đầu tụ điện

20008



Dòng điện xoay chiều chạy trong mạch có biểu thức i2sin 100 t( )A

1 Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, giữa hai cuộn cảm, giữa hai đầu tụ điện

2 Viết biểu thức tức thời của hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch

50( )10

1005

2.2 Xác định các đại lượng trong mạch

Cho mạch điện như hình vẽ R 50( ), L 1 (H)



   Đặt vào hai đầu mạch điện xoay chiều u220 2 sin 100 t ( )V Biết tụ điện có thể thay đổi Tính C để hiệu điện thế cùng

pha cường độ dòng điện

U I

Suy ra khi đó xảy ra hiện tượng cộng hưởng

2.3 Bài toán về góc lệch pha

Xét mạch RLC Đoạn mạch MP có điện trở R, đoạn mạch PQ có cuộn cảm với hệ số tự cảm L , đoạn mạch QN có tụ điện điện dung C Trong đoạn

mạch MN có dòng điện xoay chiều

 

0sin ( )

iI t A

1 Chứng minh các kết luận sau:

a Hiệu điện thế giữa hai điểm M, P

cùng pha với dòng điện

b Hiệu điện thế giữa hai điểm Q, N trễ pha

so với cường độ dòng điện

+) Hiệu điện thế giữa hai điểm Q, N là:

so với cường độ dòng điện

2 Ta thấy sự lệch pha của u PQ, u QN không phụ thuộc vào  hay tần số f

suy ra u PQ, u QN không bao giờ cùng pha

Suy ra u MN, u PQ, u QN không cùng pha nhau được

Chương 3 Mạch xoay chiều mắc hỗn hợp 3.1 Lập biểu thức của cường độ dòng điện tức thời và hiệu điện thế tức thời Bài 3.1.1 Cho mạch điện như hình vẽ

C MB

Cách 2: Phương pháp giản đồ vectơ

Hiệu điện thế giữa 2 điểm AM sớm

pha

2



so với dòng điện qua mạch chính

i, còn hiệu điện thế giữa hai điểm MB trễ

pha MB so với i Vẽ giản đồ vectơ biểu

Theo giản đồ vectơ ta có: AM

MB

U U

200

13

I I

2200

32003

232

MB C

U

Z

 

 

100

502

các dòng điện đi qua điện trở R,

qua tụ điện C, qua cuộn cảm L2

10 1002

NP C

U I

 

2

2 2

C

L

Z Z

U I Z

U I Z

Z tg

U U

NP L

3.2 Bài toán điều kiện

Cho mạch điện như hình vẽ Nguồn

điện có tần số:

Biết u MB cùng pha với u suy ra AB u AM cũng cùng pha với u AB

Mà u AM iR suy ra i0 cùng pha với u AB

U I Z

2 2

2.3 Bài toán xác định các đại lượng trong mạch

Cho mạch điện như hình vẽ u AB 100 2 sin100t V 

 

 

2 sin 100

61

U I

Kết luận

Với đề tài “Sử dụng phương pháp số phức để giải bài toán điện xoay chiều”, em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau:

+ Số phức

+ Dao động điều hoà và các phương pháp biểu diễn

+ Phương pháp số phức và ứng dụng của nó trong các mạch điện xoay chiều Qua đề tài em thấy phương pháp số phức khá đơn giản, có thể giải bài toán một cách nhanh chóng, có kết quả chính xác cao hơn nữa nên việc kiểm tra lại cũng khá dễ dàng Với phương pháp này việc sử dụng các công thức toán học cũng không nhiều nên thuận lợi cho học sinh trong quá trình giải bài toán xoay chiều Ưu điểm trên rất phù hợp với thời kỳ mới trong chương trình cải cách từ thì tự luận sang trắc nghiệm hiện nay

Tuy nhiên quá trình nghiên cứu đề tài do thời gian và năng lực còn hạn chế, không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự động viên góp ý của thầy cô cùng bạn đọc

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa, các bạn

sinh viên và đặc biệt là thầy hướng dẫn em là thầy Nguyễn Tuấn Thanh đã

tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài này

Tài liệu tham khảo

1 Trần Anh Bảo,“Lý thuyết hàm số biến phức”, Nxb Giáo dục-1976

2 Vũ Quang, Nguyễn Quang Hậu, Trần Ngọc Hợi, “Giới thiệu đề thi tuyển sinh”, Năm học 2000-2001

3 Lê Văn Thông, “Phương pháp giải toán Vật Lý”, Nxb Trẻ

4 Trần Thị Thanh Vân - K26B Lý: “Sử dụng giản đồ vectơ để tổng hợp dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số Vận dụng giải bài tập điện xoay chiều”, Hà Nội, 2004

5 Vũ Thanh Khiết (chủ biên), “Vũ Đình Tuý, “Điện học 2”, Nxb Giáo dục

6 Vũ Thanh Khiết, “Kiến thức cơ bản nâng cao Vật Lý THPT”, tập 3, Nxb Hà Nội

Mục lục

Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Đối tượng nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Phạm vi nghiên cứu 4

Phần 1 Cơ sở lý thuyết 5

1.1 Số phức 5

1.2 Các phương pháp biểu diễn dao động điều hoà 8

1.2.1 Phương pháp lượng giác 8

1.2.2 Phương pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel-GĐVT) 8

1.2.3 Phương pháp số phức 9

1.3 Phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch điện xoay chiều 10

Phần 2: Vận dụng phương pháp số phức trong việc giải bài toán dòng điện xoay chiều 13

Chương 1 Mạch RLC mắc song song 13

1.1 Lập biểu thức của cường độ dòng điện tức thời, hiệu điện thế tức thời 13

1.2 Xác định các đại lượng trong mạch 22

1.3 Bài tập về góc lệch pha 29

Chương 2 Mạch RLC mắc nối tiếp 36

2.1 Lập biểu thức cường độ dòng điện và hiệu điện thế tức thời 36

2.2 Xác định các đại lượng trong mạch 39

2.3 Bài toán về góc lệch pha 40

3.2 Bài toán điều kiện 50

2.3 Bài toán xác định các đại lượng trong mạch 52

Kết luận 55

Tài liệu tham khảo 56