Một số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử

Trái lại, cơ học lượng tử lại dựa trên tính chất sóng hạt của vật chất để nghiên cứu và giải thích các tính chất và hiện tượng xảy ra trong không gian có kích thước dài cỡ 10-6 cm đến 10

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học cổ điển nghiên cứu tính chất, sự tương tác và dịch chuyển của các hệ vĩ mô trong không gian Trái lại, cơ học lượng tử lại dựa trên tính chất sóng hạt của vật chất để nghiên cứu và giải thích các tính chất và hiện tượng xảy ra trong không gian có kích thước dài cỡ 10-6 cm đến 10-13 cm

Song song với việc thay đổi về cách nhìn nhận đối tượng mới, thì công

cụ toán dùng trong cơ học lượng tử cũng có sự thay đổi Cơ học lượng tử sẽ chủ yếu dùng công cụ toán học là các toán tử tác động trong không gian Hilbert Ngoài ra để nghiên cứu cơ học lượng tử chúng ta còn sử dụng phương pháp giải các phương trình vi phân cấp hai, chuẩn hóa hàm sóng,…

Khi cần tính các đại lượng như trị trung bình, xác suất trạng thái,… Chúng ta cần có hàm sóng đã được chuẩn hóa

Hay muốn tính năng lượng và tìm dạng hàm sóng của một hạt chuyển động, chúng ta cần giải phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt Ở đây, cần chọn phương pháp giải cho kết quả nhanh chóng và chính xác

Đặc biệt, khi giải các bài toán cơ học lượng tử trong các hệ tọa độ khác nhau chúng ta cần biết dạng của các toán tử (toán tử xung lượng, toán tử năng lượng, toán tử momen xung lượng,…) trong các hệ tọa độ đó

Để giải quyết các vần đề nêu ra ở trên tôi đi đến việc chọn đề tài “Một

số công cụ toán sử dụng trong cơ học lượng tử”

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng một số công cụ toán để học tập và nghiên cứu cơ học lượng tử

3 Đối tượng nghiên cứu

Các toán tử trong cơ học lượng tử

Phương trình Schrodinger, các nghiệm chuỗi lũy thừa

Lý thuyết về chuẩn hóa hàm sóng

Một số bài toán quan trọng xung quanh việc sử dụng các công cụ trên

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng dạng của các toán tử quan trọng trong một số hệ tọa độ Giải được phương trình Schrodinger bằng phương pháp sử dụng các nghiệm chuỗi lũy thừa Vận dụng tìm năng lượng và hàm sóng của hạt trong dao động tử điều hòa và của hạt mang điện trong trường Coulomb

Đưa ra được lý thuyết về chuẩn hóa hàm sóng Áp dụng chuẩn hóa một

số hàm sóng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp đọc và tra cứu tài liệu

Sử dụng phương pháp toán cho vật lý lý thuyết

Sử dụng phương pháp giải tích toán học

6 Dàn ý nội dung

A Dạng của các toán tử quan trọng trong các hệ tọa độ thông dụng

1 Dạng của các toán tử trong hệ tọa độ Descartes

2 Dạng của các toán tử trong hệ tọa độ cầu

3 Dạng của các toán tử trong hệ tọa độ trụ

B Phương pháp giải phương trình Schrodinger bằng cách sử dụng các nghiệm chuỗi lũy thừa

1 Các nghiệm chuỗi lũy thừa

2 Các ví dụ

2.1 Dao động tử điều hòa 2.2 Chuyển động của hạt mang điện trong trường Coulomb

C Chuẩn hóa một số hàm sóng

1 Lý thuyết về chuẩn hóa hàm sóng

1.1 Hàm sóng có phổ rời rạc 1.2 Hàm sóng có phổ liên tục 1.3 Chuẩn hóa các vectơ trong không gian Hilbert

2 Chuẩn hóa hàm sóng của hệ hạt đồng nhất

2.1 Chuẩn hóa hàm sóng các hạt Fermion 2.2 Chuẩn hóa hàm sóng hệ các Bosson

Trong hệ tọa độ Descartes, không gian cấu hình của hạt là không gian

ba chiều thông thường: q1 = x, q2 = y, q3 = z Theo hệ tiên đề thứ hai của cơ học lượng tử, các toán tử  x, y, z  lập thành toán tử vectơ bán kính

 

r xi y j zk 

  Kết quả việc tác dụng toán tử tọa độ lên một hàm của tọa độ

và thời gian là việc nhân đơn thuần tọa độ độ với hàm đó

, là toán tử Nabla trong hệ tọa độ Descartes

Ta có thể mở rộng cho hệ nhiều hạt, lúc đó toán tử xung lượng của hệ n hạt là

 n 

k k

     Còn hàm lực UU(r, t) phụ thuộc vào tọa độ r

và thời gian tọa độ thành thử

Ở đây W là thành phần mô tả chuyển động của hạt trong trường lực tổng quát

Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của toán tử Hamilton là:

1.4 Toán tử momen xung lƣợng

Theo cơ học cổ điển, một hạt chuyển động với xung lượng p

, bán kính vectơ r

sẽ có momen xung lượng L   r p Như vậy toán tử momen xung lượng của hạt là: L   r p  i (r )

Cơ sở của hệ tọa độ Descartes là (i, j, k)  

, còn cơ sở của hệ tọa độ cầu là

e A j , A cos cos sin cos sin ,

ke

e icos cos jsin cos k sin

e icos sin jsin sin kcos

e isin sin jcos sin

e isin cos jcos cos

2.2 Toán tử momen xung lƣợng

Theo định nghĩa L i (r ) Trong hệ tọa độ cầu, dạng của  là (19), còn toán tử rrer {r,0,0}, bởi vậy:

2.3 Các toán tử hình chiếu momen xung lƣợng

r 2

2 2 2

3 Dạng của các toán tử trong hệ tọa độ

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC NGHIỆM CHUỖI LŨY THỪA

1 Các nghiệm chuỗi lũy thừa

Trước khi xét các nghiệm chuỗi một cách tổng quát, ta hãy xét một ví

dụ đơn giản (mặc dù không tuyến tính):

sự đúng đắn của phương pháp, xác lập sự hội tụ của chuỗi… Bây giờ ta sẽ phác qua lý thuyết tổng quát về các nghiệm chuỗi của các phương trình vi phân tuyến tính

Xét phương trình

Nếu f x , ,f0  n 1  x là đều tại điểm x = x0, thì được gọi là một điểm thường của phương trình vi phân Ở gần một điểm thường, nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân có thể viết dưới dạng chuỗi Taylor mà bán kính hội tụ của nó là khoảng cách đến điểm gần nhất của phương trình vi phân; dĩ nhiên ta gọi một điểm không phải điểm thường là điểm kỳ dị

Chuỗi Taylor là một chuỗi lũy thừa thường

Nếu một điểm không phải là điểm thường cũng không phải là điểm kỳ

dị bỏ được thì nó được gọi là điểm kỳ dị cốt yếu

Ví dụ

Trước hết ta xét một ví dụ về khai triển quanh một điểm thường, phương trình vi phân Lagrange là:

 2  

1 x y'' 2xy' n n+1 y  0 (6) Các điểm x 1 là những điểm kỳ dị bỏ được Ta sẽ khai triển quanh điểm thường x = 0 Thử đặt:

i i 1 n n 1 i n+1 i nC

Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (6) là:

trọng về mặt vật lý, x thường là cosin của một góc, như vậy ta cần đến những nghiệm có dáng điệu tốt khi   1 x 1 Sau này ta sẽ thấy rằng các chuỗi vô hạn trong (8) phân kỳ tại x 1, như vậy n phải là một số nguyên Những đa thức thu được khi đã chuẩn hóa bằng điều kiện y(1) = 1, được gọi là các đa thức Lagrange Pn(x)

Để làm ví dụ về bài toán khai triển quanh một điểm kỳ dị bỏ được, ta hãy xét phương trình Bessel

là s=m

Tiếp tục ta xét hệ số của xs+1

Hệ số đó là:

 2 21

C  s+1 m 0

Như vậy C1 = 0 trừ trường hợp độc nhất m 1/ 2, s   m  1/ 2 và

cả trong trường hợp đó ta có thể đặt C1 = 0 và những số hạng bỏ đi khi đó

tương đương với các số hạng lập thành nghiệm thứ hai với s=+m=+1

Dễ dàng tìm thấy hệ thức truy toán như sau:

Khi được chuẩn hóa thích hợp chuỗi này được gọi là hàm Bessel

Nếu m không phải là một số nguyên, thì phương trình của ta có hai nghiệm độc lập, cụ thể là (12) với s=m Nếu m là một số nguyên (mà ta có thể giả thiết là dương hoặc bằng không), thì ta chỉ có thể chọn s = m  ; vì khi

s = - m tất cả các mẫu số trong (12) ở quá một số hạng nào đó sẽ triệt tiêu Nếu ta nhân tất cả với (s + m) trước khi đặt s = - m để khử các số hạng của mẫu số bằng không thì sẽ thu được một bội của nghiệm với s m; điều đó

sm y x,s   s= m

là một bội không đổi của y(x, m) và ta tìm nghiệm thứ hai

Muốn thế, ta xét kết quả thu được bằng cách thế (s + m)y(x, s) vào phương trình Bessel Ta có:

       2  s

0

L s m y x,s  C sm sm xĐạo hàm của vế phải đối với s triệt tiêu khi s = -m Do đó

s 2 y x,ss

Một cái mẹo thường được dùng khi gặp phải trường hợp như vậy là đem “thừa số hóa” dáng điệu của nghiệm ở gần một điểm hoặc một số điểm

kỳ dị nào đó Những điểm kỳ dị của phương trình trên nằm ở đâu? Không có một điểm kỳ dị nào nằm trong mặt phẳng z hữu hạn, song ta phải tạm dừng lại

để chuyển sang xét các điểm kỳ dị ở vô hạn một lát đã

Xét phương trình vi phân

   

y'' P x y' Q x y  0 (18) Trong đó x = 0 là một điểm thường nếu P và Q là đều ở đó

x = 0 là một điểm kỳ dị bỏ được nếu xP và x2Q là đều ở đó

ở đó, và x  là một điểm kỳ dị bỏ được nếu   2  

Bây giờ ta trở lại bài toán trên Nếu dùng những tiêu chuẩn vừa tìm ra,

ta sẽ thấy rằng phương trình vi phân (17) là kỳ dị mạnh tại x  Với x lớn, phương trình gần đúng là:

2

2 2

y.e

Dĩ nhiên, phép biến đổi này không đảm bảo dáng điệu mong muốn của

 ở vô hạn và ta còn phải chọn những nghiệm y(x) nào đó cho dáng điệu đó Thực tế ta có thể thấy đại thể x 2

y(x)e sẽ cho nghiệm phân kỳ,

2

x 2

e

   Phương trình vi phân (17) trở thành:

 

y'' 2xy'  E 1 y 0 (23)

[Nếu chúng ta viết E – 1 = 2n thì (23) được gọi là phương trình vi phân Hermite] Ta có thể thu được nghiệm tổng quát của phương trình này dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ khắp nơi và hệ thức truy toán của các hệ số sẽ chỉ chứa hai số hạng Hệ thức truy toán đó là:

 

  

m 2 m

2m 1 EC

Nếu không một chuỗi nào của (24) kết thúc, thì dáng điệu của nó ở x lớn được xác định bằng các số hạng ở xa, hệ thức truy toán ở đó gần đúng là:

m 2 m

e

 như ta mong đợi Do đó ta chỉ có thể thu được nghiệm  vẫn giới nội khi

x  nếu E = 2n + 1 với nZ tức là:

2

x 2

n x Hn x x

   

Đó là một ví dụ khác cho ta thấy các điều kiện biên có thể đặt ra những hạn chế như thế nào đối với các giá trị chấp nhận được của hằng số xuất hiện trong phương trình vi phân Những nghiệm chấp nhận được nđược gọi là các hàm riêng của toán tử vi phân

2 2 2

dxdx

  thuộc về các giá trị riêng En

Để làm một ví dụ cuối cùng về các nghiệm chuỗi, ta xét qua phương trình Lagrange liên đới

    

  

r 2 r

r m r m 1 n n 1C



Ta lại thu được các nghiệm chuỗi chẵn hoặc lẻ cho v(x) Cả hai đều có dáng điệu giống như  2 m

1 x  ở gần x 1 nếu chúng không kết thúc Nghiệm giới nội chỉ tồn tại khi mà mỗi chuỗi kết thúc sau một số hạng xr

nào

đó Từ (28) ta suy ra điều kiện

nm r số nguyên 0 (29) Thông thường trong những ứng dụng vật lý cả n và m đều là số nguyên

Có thể thử lại rằng y khi đó đơn giản là một hằng số nhân với

2.1 Dao động tử điều hòa

Chúng ta xét bài toán quan trọng, chuyển động của hạt quanh vị trí cân bằng dưới tác dụng của lực đàn hồi Fx = - kx Nhiều hệ trong vật lý nguyên tử

và hạt nhân được xem như tập hợp các dao động tử điều hòa loại như bài toán

Từ (39) ta suy ra hệ thức truy toán:

Do đó từ (40) suy ra, nếu a0    0 thì a1 0 hoặc a1    0 thì a0 0

Trước hết xét chuỗi chẵn (40) Muốn vậy trong (40) thế k bởi 2(k - 1)

2E2n 1

Như vậy năng lượng của dao động tử bị lượng tử hóa, nó phụ thuộc vào

số lượng tử n (n = 0, 1, 2,…) Trạng thái ứng với n = 0 được gọi là trạng thái

cơ bản của dao động tử lượng tử Khi thay   1 2n vào (37), phương trình trở thành

       

n 2

2 n n

2.2 Chuyển động của hạt mang điện trong trường Coulomb

Xét chuyển động của electron mang điện tích (-e) trong trường hút tĩnh điện của hạt nhân với thế năng

  Ze2

U r

r

  (hệ CGSE); e = 4,802.10-10 CGSE (46) Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết nguyên tử, thí dụ nguyên tử Hiđrô (Z = 1) hay các nguyên tử ion hóa nhiều lần khác

He , Li ,     Trong bài toán này ta giả thiết bỏ qua hiệu ứng tương đối tính,

bỏ qua sự dao động của hạt nhân và kích thước của chúng, bỏ qua spin của electron,…

Các trạng thái dừng của electron chuyển động trong trường Coulomb với các giá trị xác định của bình phương momen xung lượng 2   2

Như vậy chúng ta có thể thấy:

- Nếu E > 0 bài toán thuộc loại hàng rào thế Hạt đị từ  chuyển động

về tâm Sau khi gặp rào thế, hạt phản xạ trở lại và đi ra  Hạt chuyển động không tuần hoàn, năng lượng có phổ liên tục, quỹ đạo của hạt là Hypebol Trường hợp này ứng với sự tán xạ của electron trong trường Coulomb, ta sẽ không xét ở đây

- Nếu E < 0, bài toán thuộc loại hố thế (hình dưới) Hạt chuyển động tuần hoàn với năng lượng bị lượng tử hóa, quỹ đạo (chuẩn cổ điển) sẽ là các elip hoặc tròn Ta sẽ quan tâm chủ yếu đến trường hợp này

Hình 3: Sự phụ thuộc của thế năng hiệu dụng vào bán kính

Để thuận tiện ta chuyển phương trình (47) sang các biến không thứ nguyên Muốn vậy ta đưa vào đơn vị độ dài nguyên tử (bán kính Bohr)

2

8 2

Chúng ta sẽ nghiên cứu các dáng điệu của nghiệm phương trình (52) ở

Ul(r)

Với  , ta đã biết dáng điệu hàm 0   l+1

R    Với  , ta bỏ qua thành phần thứ ba và thứ tư trong vế trái của (52)

 

 

 

k k k=0

Thay y  và các đạo hàm y'    , y''  vào (54) chúng ta có thể rút ra

hệ thức truy toán để xác định hệ số ak (k = 1,2,…) của (55) qua giá trị a0_xác định được từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

Bởi vậy, chuỗi (55) phải biến thành đa thức, nghĩa là phải ngắt ở

Với nr = 1,2, gọi là số lượng tử xuyên tâm

Nếu đặt nnr    l 1, n 1,2, gọi là số lượng tử chính, thì:

Z, (n 1, 2, )n

   Khi thay  bởi (51), ta thu được biểu thức cho năng lượng của electron

Nghiệm của (54) với Z

Như vậy, nghiệm của (52) kể đến (53) và (57)

phụ thuộc vào hai số lượng tử n và l

Hệ số chuẩn hóa Anl xác định từ điều kiện chuẩn hóa

 

2 0

   được chuẩn hóa về đơn vị

Việc nhân hàm  q với 1

N được gọi là phép chuẩn hóa hàm  về đơn vị Hàm đã được chuẩn hóa theo (1) có thể sai khác một thừa số có modul bằng đơn vị

Để (1) thực hiện thì khi q phải có  q   Người ta đã chứng minh được rằng khi (1) hội tụ thì các phần tử, các hàm số của không gian F(q)

  1

x exp{i.q.x}dx2

1.3 Chuẩn hóa các vectơ trong không gian Hilbert

Trong không gian Hilbert một vectơ bất kỳ có thể khai triển duy nhất theo hệ đủ các vectơ riêng trực chuẩn của một toán tử tuyến tính Hecmite

Như vậy:

+ Nếu F _ Hermite : Fx n f xn n (n 1,2, ) Trong đó xnX_không gian Hilbert

   hoặc  affdf

+ Vì  q q ' là một vectơ của không gian X các hàm số, do đó có thể đưa ra khai triển _hàm theo hệ các hàm riêng {n q } trực chuẩn đủ của toán tử Hermite F

2 Chuẩn hóa hàm sóng của hệ hạt đồng nhất

2.1 Chuẩn hóa hàm sóng các hạt Fermion

Hàm sóng của các hạt Fermion được viết dưới dạng:

các lần hoán vị liên tiếp các cặp hạt

Thí dụ: P 1234567   4312675 là kết quả của phép hoán vị liên tiếp các cặp hạt (4; 1), (1; 3), (3; 2), (5; 7), (7; 6) Ta ký hiệu  là nghịch thế của phép hoán vị P, do đó  1   1 tùy thuộc vào 

Do kết quả của phép hoán vị P, vị trí của hạt 1 trở thành vị trí của hạt i,…, N, vị trí của hạt N trở thành vị trí của hạt j

'

1 1 N N'

N!

' 2

'

P ;P 1 N!

' 2

p p

P ;P 1 N!

' 2

P ;P 1 N!

' 2

2.2 Chuẩn hóa hàm sóng các hạt Bosson

Giả sử ở trạng thái lượng tử pj có Nj hạt Tổng số hạt ở S trạng thái lượng tử là: N1 + N2 + …+ Ns = N

Nói chung hàm sóng của các hạt Bosson được viết dưới dạng:

Tổng trong biểu thức trên có tất cả N! số hạng Giả sử chúng ta chỉ hoán vị N1 nhân tử đầu của tích:

       

      

Sau đó sắp xếp lại theo thứ tự, sẽ được N1! số giống hệt nhau

Tương tự như vậy, nếu chỉ hoán vị N2 nhân tử tiếp theo nhân tử N1 của tích trên, sau đó sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần của số ta sẽ được N2! số giống hệt nhau…

Như vậy nếu hoán vị đồng thời Ns cặp hạt, mà một cặp hạt trong N1 nhân tử đầu, một cặp hạt trong N2 nhân tử từ (N1 + 1) đến (N1 + N2) … và một cặp trong

Ns nhân tử còn lại của tích trên ta sẽ được N1!.N2! Ns! số giống hệt nhau

Trong phép hoán vị bất kỳ có tất cả N! số P Trong N! số P như đã chỉ ra có tất cả N1!.N2! Ns! nhóm số giống nhau Bởi vậy,chỉ có thể có: