Tìm hiểu về vật lý thống kê các quá trình không cân bằng

Trong đó, Nhiệt động lực học nghiên cứu các quy luật tính của chuyển động nhiệt trong các hệ cân bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng, đồng thời nó cũng khái quát các quy luật tí

1

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của cô giáo hướng dẫn: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này

Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên nên trong quá trình thực hiện đề tài này chắc chắn tôi không thể tránh khỏi sự thiếu sót Tôi rất mong các thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Đoàn Thị Thùy Linh

2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành với sự nỗ lực hết mình của bản thân và sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS – TS Lưu Thị Kim Thanh Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi và không trùng kết quả của bất kỳ một tác giả nào khác Nếu sai, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Đoàn Thị Thùy Linh

Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê là hai ngành của vật lý học đều

áp dụng các phương pháp thống kê để nghiên cứu những hệ chứa một số rất lớn các phần tử gọi là hệ vi mô hay hệ nhiều hạt

Trong đó, Nhiệt động lực học nghiên cứu các quy luật tính của chuyển động nhiệt trong các hệ cân bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng, đồng thời nó cũng khái quát các quy luật tính đó cho các hệ không cân bằng Còn Vật lý thống kê có nhiệm vụ cơ bản là nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ Và Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ với Nhiệt động lực học Người ta thấy rằng, trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trong trạng thái cân bằng thì các định luật mà ta thu được trong Vật lý thống

kê đối với các đại lượng trung bình là trùng với các định luật của Nhiệt động lực học

Như vậy là trong trường hợp các hệ cân bằng, Vật lý thống kê đã đặt cơ

sở lý thuyết cho các quy luật nhiệt động lực học Vì vậy, người ta thường gọi Vật lý thống kê về các hệ cân bằng là Nhiệt động lực học thống kê – nó thiết lập mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mô của hệ và cho phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau

Tuy nhiên, trong thời gian gần đây việc nghiên cứu các quá trình và trạng thái không cân bằng đã phát triển mạnh hơn và hình thành một ngành

4

mới là Nhiệt động lực học về các quá trình không cân bằng, nhưng còn ít tài liệu về vấn đề này và nó chỉ mới có thể giải thích các quy luật tính đơn giản nhất

Vì vậy, tôi chọn “Tìm hiểu về Vật lý thống kê các quá trình không cân bằng” làm đề tài luận văn của mình, để đi sâu vào nghiên cứu các quá

trình không cân bằng, khảo sát các biến đổi cấu trúc vi mô của vật chất bằng cách vận dụng lý thuyết thống kê Thông qua đề tài này, tôi muốn tìm hiểu kĩ hơn về lý thuyết cổ điển và lý thuyết lượng tử các quá trình không cân bằng

và mang lại kiến thức tổng hợp từ nhiều tài liệu khác nhau Tôi cũng hi vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các bạn sinh viên sau này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các quá trình không cân bằng thông qua lý thuyết cổ điển

và lý thuyết lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu khái niệm về quá trình không cân bằng và hàm phân bố của nó

Nghiên cứu lý thuyết cổ điển về các quá trình không cân bằng

Nghiên cứu lý thuyết lượng tử về các quá trình không cân bằng

4 Đối tượng nghiên cứu

Xác định phương trình chuyển động của hàm phân bố

Mối liên hệ giữa hàm phân bố với không thời gian và các đại lượng vĩ mô

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp vật lý lý thuyết

5

NỘI DUNG CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG

Nhiệt động lực học thống kê không cân bằng là sự phát triển tiếp theo của giả thuyết cân bằng Giả thuyết này là một giả thuyết rất nổi tiếng, được phát triển từ khoảng đầu thế kỷ XX do Gibbs đề xuất, trong khi đó Nhiệt động lực học thống kê không cân bằng vẫn đang trong quá trình phát triển và cần nhiều thời gian nữa mới có thể hoàn thiện được Nó nghiên cứu các quá trình vận chuyển năng lượng, động lượng, và phần từ trong các hệ thống vật lý khác nhau (chất khí, chất lỏng, chất rắn) dựa trên những khái niệm cơ bản của các nhân tố thống kê, như phương trình nguyên tử, để tìm ra các hệ số động học trên quan điểm về các thuộc tính vi vật chất

Nội dung cơ bản của vật lý thống kê các quá trình không cân bằng là xác định phương trình chuyển động của hàm phân bố để tìm mối liên hệ giữa hàm phân bố với không thời gian và xác định được mối liên hệ giữa hàm phân

bố với các đại lượng vĩ mô

Trước khi tìm hiểu về các quá trình không cân bằng chúng ta hãy nhắc lại về các quá trình cân bằng (quá trình cân bằng nhiệt động) Một hệ được gọi là cân bằng nếu bên trong hệ không những tất cả các thông số như thể tích

V, năng lượng E, số hạt N,… không đổi với thời gian, mà còn không có bất

kỳ dòng dừng nào do tác dụng của các nguồn ngoài Hay nói cách khác, khi hàm phân bố xác suất không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì trạng thái của hệ được gọi là trạng thái cân bằng, nên các giá trị trung bình của các đại lượng đặc trưng cho hệ vĩ mô cũng không phụ thuộc thời gian Trong trạng thái cân bằng hàm phân bố không phụ thuộc toạ độ khi trường ngoài

6

bằng không hoặc đồng nhất Còn các quá trình không cân bằng, hàm phân bố không cân bằng phụ thuộc thời gian và có thể phụ thuộc toạ độ ngay cả khi không có trường ngoài, tức là trong hệ có thể tồn tại các gradient, chẳng hạn như gradient nhiệt độ, gradient mật độ hạt, …

Đặc trưng chủ yếu của các quá trình không cân bằng là sự tồn tại các dòng chảy trong hệ (dòng nhiệt lượng, dòng vật chất, dòng điện, …) Nguồn gốc của các dòng này là sự tồn tại gradient, chẳng hạn sự truyền nhiệt bắt nguồn từ sự tồn tại gradient nhiệt độ VT (tức là sự chênh lệch nhiệt độ giữa các điểm trong không gian), dòng điện bắt nguồn từ sự tồn tại gradient điện thế V, … Các quá trình không cân bằng loại này gọi là các quá trình truyền Trước hết ta đi thiết lập mối liên hệ giữa hàm phân bố với các quá trình này

1.2 HÀM PHÂN BỐ KHÔNG CÂN BẰNG

Trong lý thuyết các quá trình truyền người ta không dùng hàm phân bố xác suất một hạt 1(p,r,t) mà chúng ta đã khảo sát ở phần phân bố Maxwell Boltzmann Người ta thường dùng hàm phân bố f(p,r,t)

, hàm này chỉ khác hàm 1(p,r,t) bởi một thừa số hạt của hệ:

),,()

,,(p r t N 1 p r t

Vì hàm 1(p,r,t) thỏa mãn điều kiện:

1)

,,(

và tọa độ trong khoảng d r

Từ định nghĩa (1.1) ta suy ra:

p



),,(

p m

p

),,(2

p e



),,(



là mật độ dòng điện tại điểm r

Trong tất cả các công thức trên ta cần lưu ý tới ký hiệu:

z y

x dp dp dp

Trong trường hợp thống kê cân bằng bài toán xác định hàm phân bố đã

có lời giải rõ ràng: đó là biểu thức phân bố Gibbs:

8

Trong trường hợp thống kê không cân bằng các đặc điểm riêng của từng hệ tức là sự tương tác giữa các hạt và sự tác động của bên ngoài rất đa dạng, vì vậy không có lời giải tổng quát cho bài toán xác định hàm phân bố không cân bằng Hơn nữa, ngay cả việc xác lập phương trình chuyển động cũng rất phức tạp Ngay cả khi phương trình chuyển động đã được xác lập thì trong nhiều trường hợp chúng ta chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng trên cơ sở một số giả thiết có tính chất đơn giản hóa bài toán Vì lẽ đó phương pháp gần đúng đóng vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết các quá trình không cân bằng

,,

()

,,

d p d t t

(

0 )

( 1

2

i N

i k

i

k i N

i

i

r U r

r U m

Để cho tiện sử dụng các ký hiệu sau đây:

10

) , , ( ) , , ( k k k k1 k2 k3

) , , ( 1 2 3

k k k

k i r

r U

0

)(

Với các ký hiệu như vậy móc Poisson có dạng:

k k

U p m

P r

r

H p p

H r H

r m

k k k

k

U dp

p r U

2 1 11 1

1 1 0 1

1 1

N i

i

r d r d p d p d p r

U p

r

U r

m

p t

11

2 2 12 1 12 1

2 2

1 12 1

2 2

1 1 12

)1(

,

,

)1(

,

,

)1(

p d r d r

U p N

r d r d p d p d r

U p

N

r d r d p d p d p r

U N

N N

N N

r p r

,

,

) , , , ,

1 1 1 0 1

1 1

)1(



p d r d r

U p

N p

r

U r

m

p t





Phương trình (2.6) không phải là phương trình đóng kín đối với 1, bởi

vì nó chứa hàm 12 chưa biết Tương tự ta có thể chứng minh rằng phương trình chuyển động của 12, sẽ chứa hàm 123v.v… Kết quả là chúng ta có cả một chuỗi N phương trình, bắt đầu từ phương trình (2.6) và kết thúc là phương trình:

vì vậy, việc giải gần đúng có ý nghĩa rất quan trọng Ta sẽ đi xét một trường hợp riêng, khi hàm 12, có thể được biểu diễn qua hàm 1, do đó bài toán sẽ quy về việc giải một phương trình đối với 1 là hàm phân bố một hạt

12

2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VLASOV

Ta xét trường hợp tương tác giữa các hạt là tương tác xa, ví dụ như tương tác hấp dẫn, tương tác Coulomb, khi mà thế năng tương tác giảm theo khoảng cách theo quy luật 1/r

Vì thế năng tương tác tỉ lệ với 1/r nên lực tương tác giảm khá chậm theo khoảng cách nên sự chuyển động của một cặp hai hạt không chỉ phụ thuộc vào tương tác giữa hai hạt, mà còn phụ thuộc vào sự tương tác giữa từng hạt với các hạt còn lại của hệ Do đó, chúng ta có thể thay hệ N hạt tương tác bằng hệ N hạt độc lập trong trường thế năng (gồm trường ngoài U 0

và trường do N-1 hạt tạo ra đối với mỗi hạt)

Vì các hạt được coi là độc lập nên ta có thể viết:

) , , ( ).

, , ( )

, , , ,

(

3

1 1

1 1

1 1

r U r

m

p t



(2.7) trong đó ta ký hiệu:

2 2 2 2 1 2 1 12 1

,,

r r r t

1 1

U r

U r

f m

P t

f m

P t

F r

f v t

trình động học (2.10) hoặc (2.11), trong đó lực F tác dụng lên mỗi hạt tại điểm r

được xác định theo công thức (2.12)

Riêng đối với plasma ion hóa hoàn toàn, bao gồm hai loại hạt là điện tử

và ion dương, ta có các phương trình sau:

e e e

v

f r m

e r

f v t

i i i

v

f r m

e r

f v t

 ( ', ', ) ( ', ', ) ' ''

1)

,

r r e t

trong mọi trường hợp tương tác giữa các hạt trong hệ

Ta sẽ xuất phát từ các định luật cơ học cổ điển nhưng ta sẽ không sử dụng hàm phân bố xác suất như ở phần trên nữa

Xét hàm phân bố f(p,r,t)

Theo thời gian hàm phân bố này sẽ biến đổi vì hai nguyên nhân sau: sự chuyển động của hạt và sự va chạm với các hạt khác

là đạo hàm biểu diễn sự biến đổi của hàm phân bố

do nguyên nhân thứ nhất, tức là do chuyển động trôi (không va chạm);

f t

Xét khoảng thời gian dt Tại thời điểm t+dt hàm phân bố là

),

,

f      , trong đó d p

và r d

là biến thiên xung lượng và tọa

độ của hạt do chuyển động trôi (không va chạm), trong khoảng thời gian dt

Vì số hạt là bảo toàn nên hàm f phải thỏa mãn phương trình liên tục

),,(),

f r

d r

f p d p

f t

r p f dt t r d r p d p

, (

Thay biểu thức này vào vế trái phương trình (2.16) ta được:

f r

d r

f p d p

f t

p p

f t

16

Để ý rằng

m

P t

r

f m

P p

f F t

f m

P p

f F t

f m

P p

f F t

cơ bản của lý thuyết các quá trình không cân bằng như đã nói ở trên là giải phương trình động học (2.18) để tìm hàm phân bố không cân bằng f(p,r,t)

Vế phải của phương trình này biểu diễn sự va chạm giữa các hạt cùng loại (ví

dụ như điện tử - điện tử), hoặc giữa các hạt khác loại (ví dụ như điện tử với các ion dương trong kim loại) Nói chung

2.4 PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HỒI PHỤC ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ DẪN NHIỆT CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG KIM LOẠI

Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục, hay gọi tắt là phương pháp gần đúng hồi phục được dùng trong một số trường hợp mà sự va chạm giữa các hạt cùng loại không đáng kể so với các hạt khác loại Chẳng hạn khi ta xét khí điện tử tự do trong kim loại thì ở chừng mực nào đó có thể bỏ qua sự va

17

chạm giữa các điện tử với điện tử Khi đó diễn biến trạng thái của hệ điện tử chủ yếu phụ thuộc vào sự va chạm giữa điện tử với các hạt nặng hơn nhiều, chẳng hạn như các nguyên tử tạp chất hoặc các ion dương của mạng tinh thể kim loại

Cơ sở của phương pháp này là giả thiết cho rằng do có sự va chạm giữa các hạt nên hàm phân bố không cân bằng sai khác với hàm phân bố cân bằng, nhưng sự sai khác đó tắt dần theo thời gian theo quy luật hàm mũ Hay nói cách khác, hiệu giữa hàm phân bố không cân bằng và hàm phân bố cân bằng 0

f phụ thuộc thời gian theo quy luật sau:



t

e f

Đại lượng  gọi là thời gian hồi phục Người ta thường coi  là hằng

số, hoặc là hàm của xung lượng p

Trên cơ sở điều giả định (2.19) chứng ta dễ dàng chứng minh rằng số hạng biểu diễn sự va chạm trong phương trình động học Boltzmann có dạng:

 0

f f t

f m

P p

f F t

Thay (2.21) vào (2.20) ta thu được phương trình đối với hàm  (trên

cơ sở giả thiết rằng p

không phụ thuộc thời gian, còn  = const)

18

Nghiệm riêng của phương trình này là 

t e



 Từ đó thấy rằng f thỏa mãn điều kiện (2.19)



t

e const f

Như vậy, giả thiết 

t

e f

f  0 ~  tương đương với giả thiết:



0

f f t

f col

Sau đây, chúng ta sẽ khảo sát độ dẫn điện và dẫn nhiệt của khí điện tử

tự do trong kim loại để minh họa cho việc áp dụng phương trình gần đúng hồi phục (2.20) trên

Đầu tiên ta nhận xét rằng nếu là giá trị tuyệt đối của vận tốc,  là bước chuyển dời tự do của điện tử thì thời gian hồi phục  chính là thời gian chuyển dời tự do, vì vậy ta có hệ thức sau:

E 0,0,

z

z T T

f m

pz p

m f

f m

p p

m f

0



(2.27) Dựa vào hàm phân bố Fermi – Dirac (2.23) và lưu ý rằng  và T là hàm của z, ta tính được:

f p

z z

)(

)(

11

1

0 2 0 0

f f z kT e

f T

f z

T T

f z

f z

f z

0 0

0

f eE z

T T

T p

p

f m

p eE z

T T T

p m

p

f eE z

f m

p p

m f

f

z

z z

22

2 2 2

p e

e  Con số 2 xuất hiện là vì khi tính số trạng thái cần lưu ý rằng spin của

điện tử bằng

2

, do đó có hai định hướng Để chuyển từ tích phân theo biến xung lượng sang tích phân theo năng lượng ta sử dụng hệ tọa độ cầu:

dp p d dp

dp dp p

2  cossin 





d f

d

me

j e

2 3

T T

T d

3 2

0

0 3

2

)(

1)

(3

T T d

f eE

z

T T T me

d

f eE z

T T

T T M eE z

T T T

p m

T T M eE z

T T T

me

)()

dx x

f f

)1(1

x

e

e e

x x f

)1

x x

e

e e

)(''2

)()(')

()

n

x

f x

kT x

kT M

)()(')

kT x

)()(')



f x

f

một cách dễ dàng:

32

2

0

0 2 0

f x dx

x

f x

)(''6

)()(

2 3 1

28

)(

M

2 1 2

2 5 2

28

)(5



m

kT m

2 3 2

2 7 3

224

)(35



m

kT m

2 1

3 2 2

3

22

E me

Ta có thể lấy gần đúng các giá trị  và  ở mức Fermi:

3 2 2 2

trong đó 0 là bước chuyển dời tự do khi  0

Như vậy biểu thức mật độ dòng điện có thể được viết dưới dạng:

E

trong đó:

n m

e v

N m

e

)()

2 0

Đại lượng  chính là độ dẫn điện của khí điện tử trong kim loại

Để tính hệ số dẫn nhiệt ta cần tính dòng nhiệt lượng khi dòng điện bằng không

Dựa theo công thức (2.31) ta thấy dòng điện bằng 0 khi:

z

T T M

M eE

z

T T

26

z

T T M

M M

M me q

3 3 2







trong đó hệ số nhiệt X được xác định theo công thức:

T k m

n

)()(3

Trong chương này, em đã trình bày về hàm phân bố và phương trình động học của các quá trình không cân bằng theo lý thuyết cổ điển Mục đích của ta là giải được phương trình động học, vì vậy em đã đưa ra phương pháp gần đúng hồi phục và ví dụ để áp dụng phương pháp này Đây là phương pháp thông dụng cho phép tuyến tính hóa phương trình Boltzmann Trên đây

là các vấn đề về các quá trình không cân bằng theo lý thuyết cổ điển, còn các quá trình không cân bằng theo lý thuyết lượng tử ta sẽ nghiên cứu trong chương tiếp theo

[1]Trong cơ học thống kê cổ điển, một hệ cô lập có f bậc tự do được

mô tả bởi f tọa độ suy rộng và f xung lượng suy rộng:

q1,q2, ,q f,p1,p2, , p f Tại mỗi thời điểm, trạng thái của hệ được biểu diễn bởi một điểm pha trong không gian pha 

Xét tập hợp thống kê của hệ cô lập này Số hệ của tập hợp này có tọa

độ và xung lượng nằm trong thể tích pha nguyên tố

dq1,dq2, ,dq f,dp1,dp2, ,dp f 

được tính bởi:

q1,q2, ,q f,p1,p2, , p fdq1dq2 dq f dp1dp2 dp f,

với q1,q2, ,q f,p1,p2, ,p f  là mật độ số hệ trong không gian pha

Mỗi hệ của tập hợp thống kê chuyển động theo thời gian, quy định bởi các phương trình:

i i

p

H q

q

H p

với H Hq1,q2, ,q f,p1,p2, ,p f  là hàm Hamilton của hệ không phụ thuộc

tường minh vào thời gian ( 0





t

H

: năng lượng E không đổi theo thời gian)

Vì số hệ trong tập hợp thống kê được bảo toàn nên số điểm pha ra khỏi một thể tích V bất kỳ nào đó trong một đơn vị thời gian phải bằng tốc độ giảm của số điểm pha trong thể tích V đó

Vậy ta phải có:





V S

S

dV dt

d S

d v dS

dV A S

,,, ,,

2 1 2

dV v S

29

000

1 1 1

i i

i i

i i

i i

i

f

i i

i

p

p q

q p

p

q q t

p

p p

p q

q q

q t

p p

q q t

i

i

p

p q

, ta có:

01

p p

q q

và phương trình trên gọi là phương trình Liouville

Xét trường hợp  const, hoặc tổng quát hơn, trường hợp  là hàm của năng lượng E Vì E là hằng số chuyển động nên:

E

E0  0  , và  0 tại các vùng có năng lượng không thỏa mãn hai bất đẳng thức trên

30

Bây giờ, ta sẽ đi xây dựng lý thuyết lượng tử cho các quá trình không cân bằng trên cơ sở giải phương trình Liouville cho ma trận mật độ trong trường hợp ma trận mật độ phụ thuộc vào thời gian

Giả sử Hamiltonian của hệ gồm 2 phần: phần không phụ thuộc thời gian và phần phụ thuộc thời gian

B - Toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian

Nếu nhiễu loạn được đưa vào một cách đoạn nhiệt thì:

Trong (3.12):  - Số sương vô cùng bé B là toán tử cơ lượng tử 

không phụ thuộc tường minh vào thời gian

Từ tính chất Hermite của toán tử suy ra:





 B B

Toán tử ma trận mật độ (toán tử thống kê)  thỏa mãn phương trình Liouville lượng tử:





Trong trường hợp Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào thời gian thì toán

tử ma trận mật độ  sẽ phụ thuộc thời gian và điều kiện ban đầu trong trường hợp này là:

31

T k H

e

   ~

Với Hamiltonian (3.1), ta đặt biến mới:

Ta thấy rằng (3.15) và (3.16) cho ta mối liên hệ giữa các toán tử ma trận mật độ phụ thuộc vào thời gian  và ~

e e

H

i t

i Ht i Ht

i Ht

i Ht i Ht i

e t e

e

i Ht i Ht i Ht

i Ht i Ht i

i

H e

t e

~

,

~

1 1

t H t

i

e H e t i

t

Ht i t

Ht i

t Ht i

1)( (3.19) Biểu thức 1( )

t

H t là toán tử nhiễu loạn ngoài liên hệ với toán tử H1t

bằng công thức (3.19)

) ' ( 1

'

) ' (

i t

t t iH t

t

t t iH

 ( '),  '

1

0 1

0 1 e H~ (t' t)e d

t

H t

' 1

H~t ( ' )  1 t1( ' ), 

' 1

'

Ở đây S() là toán tử cần tìm Do:

) (

) ( ) (

e

S A e Ae

e

H H

H H

H H

H

e H A e AHe

e HAe

e

Nghĩa là ta dã chứng minh được đẳng thức Kubo (3.23)

Với biểu thức của  theo (3.22) hay (3.24) ta có thể tính giá trị trung bình của bất kỳ đại lượng vật lý A nào trong gần đúng tuyến tính theo 1

t

H : )

0

1 '

i A

Ae e t