Bề rộng phân rã hạt squark thành hạt quark và gluinos trong mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM)

Trong mẫu chuẩn siêu đối xứng, fecmion luôn đi kèm với boson chúng được gọi là các bạn đồng hành siêu đối xứng nên số hạt đã tăng lên.. Do đó một trong những vấn đề rất được quan tâm là

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mẫu chuẩn (SM) đã ra đời trên cơ sở nhóm gauge SU(3)SU(2)U(1) nhằm thống nhất tương tác mạnh, tương tác yếu và tương tác điện từ Mẫu chuẩn đã chứng tỏ là một lý thuyết tốt khi hầu hết các dự đoán của nó đã được thực nghiệm khẳng định ở vùng năng lượng ≤ 200GeV Mặc dù vậy SM vẫn còn nhiều hạn chế, trước hết là liên quan đến quá trình xảy ra ở vùng năng lượng cao hơn và thêm vào nữa chưa giải quyết được một số vấn đề lý thuyết

cơ bản của bản thân như các số hằng số tương tác, khối lượng, … Những hạn chế này dẫn đến sự cần thiết phải nghiên cứu các mẫu chuẩn mở rộng

Phát triển mô hình chuẩn đã thu được các mô hình như mô hình 3-3-1,

lý thuyết siêu đối xứng, lý thuyết thống nhất lớn, lý thuyết dây … Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM) là một trong những hướng mở rộng có nhiều hứa hẹn nhất của SM Trong mẫu chuẩn siêu đối xứng, fecmion luôn đi kèm với boson (chúng được gọi là các bạn đồng hành siêu đối xứng) nên số hạt đã tăng lên Và cho tới nay thực nghiệm chưa phát hiện được hạt nào trong các bạn đồng hành siêu đối xứng của các hạt đã biết Do đó một trong những vấn

đề rất được quan tâm là nghiên cứu các quá trình vật lý trong đó có sự tham gia của các hạt được đoán nhận trong các mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu

để hy vọng tìm được chúng từ thực nghiệm Các quá trình vật lý được thực nghiệm quan tâm phải kể đến các quá trình phân rã của các hạt mới ví dụ như

rã hạt Squark

Vi phạm đối xứng CP đóng một vai trò hết sức quan trọng trong mẫu chuẩn và mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu, việc xét tới vi phạm đối xứng CP kéo theo phải phức hóa một số tham số của mẫu và như vậy nó sẽ ảnh hưởng nhất định tới một số kết quả vật lý Cho tới những năm 2003-2006, hầu hết

các nghiên cứu về phân rã Squark khi tính đến vi phạm CP đã được giải quyết tương đối vẹn toàn như quá trình phân rã Squark thành A0

, H0 với tham số phức; Squark thành boson Higgs + Squark; Squark thành Charginos (neutralinos) + quark ; Squark thành Boson gauge + squark… Qua đó ta thấy quá trình phân rã hạt Squark thành Quark và Gluinos còn chưa được đề cập tới và đây cũng là một bài toán cần được nghiên cứu một cách cụ thể

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận này nghiên cứu về quá trình phân rã hạt Squark thành hạt Quark và Gluinos trong mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu:

* Tính giải tích độ rộng phân rã ở mức cây  0 khi tính đến vi phạm CP

* Tính giải tích độ rộng phân rã có hiệu chỉnh đỉnh một vòng khi tính đến vi phạm đối xứng CP

3 Phương pháp nghiên cứu

* Sử dụng các quy tắc Feynman là 1 phương pháp quan trọng trong việc tính giải tích độ rộng phân rã, hiệu chỉnh vòng và tính các giản đồ năng lượng riêng

* Các phương pháp khử phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử, đặc biệt là phương pháp chỉnh thứ nguyên có đóng góp quan trọng trong việc tính các hiệu chỉnh vòng Ngoài ra còn sử dụng các hàm tích phân Pasarion – Veltman

4 Bố cục của đề tài

Đề tài ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục có 3 chương:

Chương I: “Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM)”

Chương II: “Vi phạm đối xứng CP”

Chương III: “Bề rộng phân rã của hạt Squark thành hạt Quark và Gluinos trong mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM)”

CHƯƠNG I MẪU CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG TỐI THIỂU (MSSM)

Siêu đối xứng là một đối xứng giữa fermion và boson, hay chính xác hơn giữa các trạng thái có spin khac nhau Các phép biến đổi siêu đối xứng được sinh bởi các vi tử (generator) Q, biến fermion thành boson và ngược lại Các vi tử này cùng với các vi tử của nhóm Poincare  P tạo thành đại số siêu đối xứng:

* Số bậc tự do của boson và femion là bằng nhau, n B n F

* Khối lượng của mọi trạng thái trong một siêu đa tuyến là suy biến,

* Các boson chuẩn: W B Gi; ,  được mở rộng thành các siêu đa tuyến vector bằng cách bổ sung các spinor WiWinos , B Binos , G aGluinos- được gọi chung là các gaugino

* Các quark và lepton: được mở rộng thành các siêu đa tuyến chiral bằng cách bổ sung các hạt vô hướng tương ứng được gọi là các scalar quark (squark) và scarlar lepton (slepton) hay gọi chung là scalar fermion (sfermion)

* Các hạt Higgs: Các hạt vô hướng Higgs có thể được mở rộng thành siêu đa tuyến chiral bằng cách bổ sung spinor đồng hành Higgsino Tuy nhiên, chỉ với một siêu đa tuyến chiral Higgs như vậy thì không đủ để tính khối lượng cho tất cả các quark và lepton, vì các số hạng tương tác Yukawa trong các lý thuyết gauge siêu đối xứng xuất phát từ các siêu thế, chỉ chứa các siêu trường chiral chứ không chứa liên hợp hermitic của các siêu trường này Do

đó, để tính khối lượng cho các quark với điện tích 2/3, cần có thêm một siêu

đa tuyến chiral Higgs độc lập, H : 1, 2 1/ 2  

E : phản lepton phân cực trái,

Với a là chỉ số các thế hệ quark và lepton

h h

1.3 Lagrangian của mô hình chuẩn (SM)

Lagrangian của mô hình chuẩn (SM) có thể được viết như sau :

  

  3 1

1 4

hướng không nằm tại <h> = 0 mà tại 2

2



 

1.4 Lagrangian siêu đối xứng của MSSM

Để có biểu thức cụ thể của Lagrangian, ta phải viết các phép biến đổi gauge tương ứng dưới các nhóm đối xứng SU(3)C, SU(2)L, và U(1)Y cho các siêu trường chiral khác nhau

- Các phép biến đổi gauge dưới SU(3)C:





  , với j là các ma trận Gell – Mann, còn 3j là siêu trường chiral phân cực trái được sử dụng như những tham số

1

Khi  < 0; nếu  2 < 0 thế vô hướng không có cực tiểu mà chỉ có một cực đại, <h> = 0 Nếu   2 0thế vô hướng có một cực tiểu địa phương tại, <h> = 0 nhưng không có cực tiểu toàn cục

- Các phép biến đổi gauge dưới SU(2)L:

6i

Q e Q ,

1 2

H e H

1 1 2

Các siêu đa tuyến vector này, tương ứng theo thứ tự, chứa các hạt gauge

và gaugino của các nhóm đối xứng SU(3)C, SU(2)L, và U(1)Y như là những bậc

tự do Siêu thế W được chọn vào dạng của tương tác Yukawa như sau:

ab a b ab a b ab a b

W   L E H   Q D H   Q U H  H H (1.12)

Trong đó:

-  được gọi là tham số khối lượng của higgino

- Các ma trận   E, D, U chứa các hằng số tương tác Yukawa liên hệ với các ma trận khối lượng của fecmion ME, MD, MU

Với tan  là giá trị trung bình chân không của trường Higgs,

g là hệ số gauge (gauge coupling)

Như vậy, Lagrangian siêu đối xứng đầy đủ của mẫu chuẩn có dạng:

1.5 Cơ chế phá vỡ siêu đối xứng mềm và khối lƣợng các hạt

Trên phương diện thực nghiệm, do chưa phát hiện được các hạt đồng hành siêu đối xứng slepton, quark và gaugino, ta có thể xác định giới hạn dưới cho khối lượng các hạt này qua các bất đẳng thức:

squark quark slepton lepton

m m m m và m gauginom gauge (1.15) Các bất đẳng thức (1.15) mẫu thuẫn với yêu cầu về sự cân bằng của khối lượng các trạng thái hạt trong siêu đa tuyến Sự mâu thuẫn này cho thấy

tự bản thân siêu đối xứng chỉ có thể xuất hiện trong phase đã bị phá vỡ (broken phase)

1.5.1 Phá vỡ siêu đối xứng mềm

Để phá vỡ siêu đối xứng mềm một cách tường minh mà vẫn đảm bảo tính tái chuẩn hóa của lý thuyết và không làm xuất hiện các phân kỳ bậc 2, người ta đưa vào các số hạng đặc biệt, không siêu đối xứng nhưng bất biến gauge, được gọi là số hạng “phá vỡ siêu đối xứng mềm” Người ta tìm thấy những số hạng có thể thỏa mãn những yêu cầu:

1 Số hạng khối lượng Gaugino: 1

1.5.2 Gaugino và Higgino

1.5.2.1 Chargino và Neutralino

Phá vỡ đối xứng SU(2)U(1) dẫn đến sự trộn lẫn giữa gaugino điện từ yếu

và higgino Sự trộn này tạo thành các hạt mang tên chargino, neutralino Trạng thái riêng khối lượng của charged gaugino và higgsino được gọi là chargino

Ký hiệu:  W  ,H 2  , W  ,H 1  (1.18)

  0

1 ,

T j

j

X L

Ký hiệu: sw , cw, s , c lần lượt tương ứng với sin w,cos w,sin ,cos  

Trong đó: wlà góc Weinberg, tan  là giá trị trung bình chân không của trường higgs

Ma trận X được chéo hóa bởi hai ma trận Unita thực U và V

1

2

1 1

1 2

1 2

Khi tan   1,U ijđược thay thế bởi U U ijvà V ijđược thay thế bởi V V ij Trạng thái riêng khối lượng được xác định bởi:

Sử dụng ma trận unita 3x3 V sẽ giúp ta xác định được các trạng thái riêng khối lượng

Khối lượng của sneutrino được xác định bởi công thức:

cos 2 2

CHƯƠNG II

VI PHẠM ĐỐI XỨNG CP

Đối xứng chẵn lẻ và liên hợp điện tích (Charge – Parity symmetry) được gọi là đối xứng CP Vi phạm đối xứng CP đóng một vai trò quan trọng trong hiểu biết của chúng ta về vũ trụ học Thực tế trong vũ trụ quan sát được thì vật chất nhiều hơn phản vật chất và để tạo ra điều đó từ một trạng thái cân bằng giữa vật chất và phản vật chất ta không thể bỏ qua một số vi phạm, trong

đó có vi phạm đối xứng CP (điều này đã được Sakharov chỉ ra vào năm 1976) Một trong những phép thử để kiểm tra tính đúng đắn của mẫu chuẩn và MSSM là sự vi phạm đối xứng CP, việc xét tới vi phạm CP kéo theo phải phức hóa một số tham số của mẫu và như vậy nó sẽ có ảnh hưởng nhất định đến một số kết quả vật lý Cho đến nay, vi phạm đối xứng CP đã được quan sát trong thực nghiệm ở các hệ K – meson trung hòa và cũng được thể hiện một cách đơn giản trong lý thuyết của mô hình chuẩn (SM) Tuy nhiên, vi phạm CP cũng vẫn là một trong những lĩnh vực được kiểm nghiệm ít nhất trong SM Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về phép đối xứng CP, đồng thời chỉ ra rằng khi tính đến sự vi phạm CP, ta phải phức hóa một vài tham số

Để đưa các đối xứng vào lý thuyết trường, chúng ta giả thiết có các toán tử biến đổi trạng thái theo cách sao cho tất cả các đại lượng vật lý đo được là giữ nguyên (không đổi) Cụ thể chúng ta xây dựng lý thuyết sao cho:

a Trạng thái chân không bất biến:

c Các điều kiện lượng tử hóa phải không thay đổi

2.1 Đối xứng chẵn lẻ (Parity)

Phép biến đổi chẵn lẻ P X:  X'  X, t t' t (2.1) Bất biến đối với phép đổi chẵn lẻ có nghĩa là hệ vật lý không thể phân biệt đâu là “bên phải” đâu là “bên trái” của nó

2.1.1 Đối xứng chẵn lẻ trong lý thuyết trường điện tử

Trong lý thuyết trường lượng tử, tính chẵn lẻ được định nghĩa cho các hàm trường boson, fermion và các toán điện tử Fock liên kết.Định luật bảo toàn chẵn lẻ không gian có nghĩa là tham số này không thay đổi trong quá trình tương tác, phân rã … Cụ thể ta có:

+ Đối với các trường vô hướng và giả vô hướng

+ Đối với các trạng thái Fock:

Pj t x P  a j t x (2.5) + Đối với trường điện từ: Vì trường điện từ là một vecto lorentz ta hy vọng:

, A v v ,

PA t x P    a A t x (2.6)

Từ (2.5) , (2.6) và các quan sát thực nghiệm về tương tác điện từ,

Với S a   F 0 , F   1 (2.9) đúng với mọi biểu diễn của 0 Ở đây, Flà chẵn lẻ nội tại của hạt Dirac và được xác định bởi thực nghiệm Tương tự với hàm sóng cổ điển, hàm trường Dirac biến đổi theo:

  1  

P t x P      t x (2.10) kéo theo:   1     1  

biến thành bp s, 0 , với định hướng spin không thay đổi Tuy nhiên, vì xung lượng đổi chiều nên các trạng thái xoắn không bất biến với P Một cách tổng quát, ta có các tổ hợp tuyến tính hiệp biến của trường Dirac biến đổi như sau:

0 0

P x   x P   t x     t x (2.13) Với   0 5 0   5,   0  0  ,    0  5 0    5 (2.14)

một định luật bảo toàn nào đó Sử dụng quan điểm này các loạt thí nghiệm đã được tiến hành kiểm tra sự bảo toàn tính chẵn lẻ P Và người ta thấy rằng P được bảo toàn trong các tương tác điện từ và tương tác mạnh trong khi nó bị

vi phạm trong tương tác yếu

- Cụ thể là, sự bảo toán P của 1 hệ yêu cầu Lagrangian của nó thỏa mãn

PL t x P  L t x (2.15) Lagrangian QED bất biến đối với phép biến đổi chẵn lẻ

Ví dụ, tương tác điện từ của 1 hạt Dirac với một trường điện từ thu

được qua việc thay thế i    i  qA(q là điện tích của hạt) trong số hạng động năng của hạt có dạng:

dễ thấy là bảo toàn P

Largrangian Klein – Gordon đối với trường  (spin 0), khối lượng m, điện tích q, chuyển động trong trường điện từ được đưa ra bởi thế Alà bảo toàn P

KG

L  iqA iqA m  (2.17) Các liên kết mạnh của các fermion với các meson bất biến đối với P, như: g1     x  x  x (với meson vô hướng) và ig2 x  5    x  x (với meson giả vô hướng), ở đây g1, g2 là các hằng số tương tác không thứ nguyên Lagrangian của QCD bất biến với phép biến đổi chẵn lẻ vì:

2.2 Liên hợp điện tích C (Charge Conjugation)

Bên cạnh những số lượng tử có nguồn gốc động học, gắn với các đối xứng trong không thời gian, hạt cơ bản còn được đặc trưng bởi các hạt số

lượng tử trong (thường được gọi là các tích suy rộng) như số baryon, số lepton, số lạ Mỗi số lượng tử trong được liên hệ với một không gian trừu tượng trong đó các phép đối xứng (như phép quay, phản xạ) có thể được định nghĩa tương tự với các phép đối xứng trong không gian thường Phép biến đổi gián đoạn (trong không gian nội tại này) đổi dấu của tất cả các tích suy rộng (Q) khác không của một hạt biến nó thành phản hạt tương ứng, gọi là phép liên hợp điện tích C

2.2.1 Liên hợp điện tích trong lý thuyết trường

Khái niệm phản hạt xuất phát từ lý thuyết của Dirac về electron Lý thuyết này tiên đoán sự tồn tại của một hạt đồng nhất với electron ngoại trừ nó

có điện tích trái dấu – positron, ý tưởng này đã được kiểm tra qua sự tìm kiếm positron và các hạt khác có cùng khối lượng, thời gian sống nhưng có các tích suy rộng ngược dấu với các hạt đã biết Để thuận tiện cho liên hệ hai loại hạt này, người ta đưa vào một toán tử unita C Toán tử này đổi dấu tất cả các tích suy rộng của hạt mà không ảnh hưởng đến tính chất không gian của chúng

+ Đối với trường Dirac, cũng như đối với trường boson tích điện, liên hợp điện tích của một trường Dirac cũng phải tỷ lệ với liên hợp phức của nó *

F

C x C  B  x với F 1 (2.28)

Trong đó B là ma trận unita 4 x 4 trong biểu diễn spinor Vì  thường xuất hiện trong các công thức hơn * nên để thuận tiện ta viết:

0

T F

C x C  C x với F 1 (2.29) Chúng ta đã sử dụng hệ thức * *

0

T

   và đưa vào một ma trận unita 4x4 khác là: C0 B0*,C C0 0 1 Chú ý rằng trong (2.29), chuyển vị T chỉ tác động lên spinor, không tác động lên các toán trong tử Fock

Để tìm C0 ta giả thiết phương trình Dirac cho  là hiệp biến hay Lagrangian tương ứng là bất biến với phép liên hợp điện tích

Như vậy: 2 0

0

C   với  1 (2.36) Liên hợp điện tích của  :

T F

2.2.2 Liên hợp điện tích và tương tác

Đối với các hạt thực sự trung hòa, ta có thể định nghĩa số lượng tử liên

hệ với đối xứng liên hợp điện tích, gọi là số chẵn lẻ điện tích  ,  lấy giá trị + 1 hoặc -1 Ví dụ, khái niệm chẵn lẻ điện tích có thể định nghĩa cho photon, meson  0, 0 và các cặp hạt tự nhiên liên hợp như e e pp , và  , 

+ Tương tác điện từ: là bất biến C với   1

+ Tương tác mạnh: Lagrang QCD là bất biến liên hợp điện tích, như đã được chỉ ra bằng cách so sánh sự phân bố năng lượng và xung lượng của các tương tác liên hợp điện tích hoặc xét các biến đổi:

So sánh hai biểu thức ta thấy, CP được bảo toàn nếu tham số tương tác

c là thực (tức là c = c*) Như vậy, để tính đến vi phạm CP thì một vài hằng số

tương tác phải là phức

2.3.1 Vi phạm đối xứng CP trong mẫu chuẩn

Vi phạm CP xuất hiện một cách tự nhiên trong ba thế hệ của mẫu chuẩn

và tồn tại ở pha của ma trận CKM Tương tác Yukawa chính là nguồn dẫn đến vi phạm đối xứng CP Xét Lagrangian của mẫu chuẩn có dạng:

SM kinetic Higgs Yukawa

Có nghĩa là vi phạm CP xuất hiện khi các hệ số tương tác Yukawa Yij

là phức Vấn đề đặt ra là có bao nhiêu tham số tham số sẽ phức khi xét tới vi phạm đối xứng CP

* Về nguyên tắc, mỗi thành phần Y của các ma trận Yukawa 3x3 đều ij f

có thể phức và ta có 27 tham số phức (27 thực và 27 ảo) trong các ma trận này Tuy nhiên không phải tất cả các tham số đó đều có tính vật lý Với V là các

ma trận unita, người ta có thể sử dụng một bộ khác thay cho các ma trận Yukawa:

Y V Y V Y V Y V Y V Y V (2.52)

Dựa vào tính linh động này cùng với việc đảm bảo cho Lagrangian bất biến với đối xứng toàn cục (global symmetry), người ta rút gọn còn 13 tham

số vị (flavor parameter) trong đó có 12 tham số thực và một pha đơn

Người ta thấy rằng, sự trộn quark là nguyên nhân duy nhất dẫn đến vi phạm CP Khi thay  (mô tả trường higgs) vào tương tác Yukawa, ta thu được số hạng khối lượng:

Theo mẫu chuẩn, neutrino được cho là không khối lượng, vì vậy V là tùy vL

ý Xét tương tác dòng tích (là tương tác của boson gauge tích SU(2)L) với quark

i) Có sự linh động trong xác định VCKM trong đó, chúng ta có thể hoán

vị giữa các thế hệ khác nhau Sự linh động này được cố định bởi thứ tự của up- quark và down – quark do khối lượng của chúng được sắp xếp theo thứ tự

vi phạm CP của mẫu chuẩn

lagrangian phụ thuộc vào tham số của siêu thế (được viết như hàm của các trường vô hướng vật chất):

Ba ma trận Yukawa Y phụ thuộc 27 tham số phức (27 thực và 27 ảo) f

Ba ma trận Af cũng có 27 tham số phức như vậy Năm ma trận khối lượng squark 3x3 hermit  M f tương ứng với các sfermion Q d u L l, R,R,R có 30

tham số thực và 15 pha Ngoài ra phần Higg và phần gauge phụ thuộc vào

43 pha vi phạm CP mới xuất hiện

+ 3 pha xuất hiện trong M M1, 2,

+ 40 pha còn lại xuất hiện trong các ma trận trộn A của các tương tác fermion – sfermion – gaugino

Trong khuôn khổ MSSM, chúng ta thấy rằng việc siêu đối xứng hóa mẫu chuẩn làm xuất hiện bốn bộ pha mới (ngoài KMvà QCDcủa SM) Trong largrangian MSSM có hai phần có thể dẫn đến pha vi phạm CP: Siêu thế W chứa tham số phức  trong số hạng lưỡng tuyến của siêu trường Higg; Phần

phá vỡ đối xứng mềm có ba bộ tham phức: khối lượng gaugino M , số hạng khối lượng trộn của lưỡng tuyến Higg B và số hạng tam tuyến tương tác của Higg với các sfermion Af

Sự xuất hiện các tham số phức này dẫn tới tồn tại pha của ma trận CKM và SCKM, ảnh hưởng trực tiếp đến các ma trận khối lượng cũng như kết quả vật lý (như biên độ tán xạ hay độ rộng phân rã của các quá trình)

Trong chương này sẽ nghiên cứu quá trình phân rã Squark thành hạt Quark và Gluinos trong MSSM khi kể tới vi phạm đối xứng CP Các kết quả giải tích được tính tới hiệu chỉnh đỉnh một vòng Việc hiệu chỉnh đỉnh một vòng sẽ dẫn tới các đại lượng phân kỳ và vì vậy phải thực hiện tái chuẩn hóa Trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính tiết diện tán xạ, bề rộng phân rã của một quá trình

3.1 Tiết diện tán xạ của một quá trình

Giả sử có một hạt bia trong miền không gian A Xác suất P của tán xạ

tỷ lệ nghịch với A

P A