Tìm hiểu phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt

7 NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG TỬ HOÁ LẦN THỨ HAI CHO HỆ CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT 1.1.1 Nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất Như chúng ta đã biết các véctơ tr

1

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học và qua đó đã giúp

em hoàn thành khóa luận này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các thầy cô và của các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thúy

2

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu, được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp đúng thời hạn Đề tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó Em xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với các kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thúy

3

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Đối tượng nghiên cứu 6

3 Mục đích nghiên cứu 6

4 Phạm vi nghiên cứu 6

5 Phương pháp nghiên cứu 6

NỘI DUNG Chương I: Phuơng pháp luợng tử hóa lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất 7

1.1 Hệ các hạt vi mô đồng nhất 7

1.1.1 Nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất 7

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng Các boson và Fermion 8

1.1.3 Nguyên lý loại trừ 11

1.1.4 Các hàm sóng cho hệ các fermion và boson 14

1.2 Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất 16

1.2.1 Mở đầu 16

1.2.2 Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai 17

Chương II: Hamiltonian của hệ điện tử và hệ điện tử-phonon 26

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử 26

2.2 Hamiltoinan của hệ điện tử - phonon 27

Chuơng III: Các toán tử thống kê trong phép biểu diễn luợng tử hóa lần thứ hai Ma trận tán xạ trong biểu diễn tuơng tác 31

3.1 Các toán tử thống kê trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai 31

3.2 Ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác 35

4

3.2.1 Các toán tử và các vecto trạng thái trong biểu diễn tương tác 35

3.2.2 Phép biểu diễn Schrodinger và biểu diễn Heisenberg 36

3.2.3 Phép biểu diễn tương tác 37

3.3 Ma trận tán xạ 38

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

Để mô tả thế giới vi mô với những hạt chuyển động có vận tốc nhỏ thì

cơ học lượng tử đã ra đời đem lại nhiều thành công rực rỡ Vậy một câu hỏi đặt ra rằng khi hạt chuyể n động với vận tốc lớn thì cơ học lượng tử còn áp dụng được nữa hay không ? Và để khắc phục điều này một lí thuyết mới ra đời Đó là Lý thuyết trường lượng tử Có thể nói rằng Lý thuyết trường lượng tử là lý thuyết hạt cơ bản Nó là sự tổng hợp của Cơ học lượng tử và lý thuyết tương đối

Kiến thức của nhân loại vốn rất bao la Với mong muốn tìm tòi và mở rộng kiến thức của bản thân về trường lượng tử cho hệ nhiều hạt , vì vậy tôi lựa chọn Lý thuyết lượng tử làm đề tài khóa luận của mình Với nội dung

“tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt” tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu phương pháp hiểu công cụ sử

dụng trong lượng tử hóa Tôi hy vọng thông qua đề tài này bạn đọc sẽ có thêm nhiều kiến thức cho riêng mình

6

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt Và ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra ta cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

Tìm hiểu về hệ các hạt vi mô đồng nhất

Tìm hiểu phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai trong lý thuyết các hệ nhiều hạt

Tìm hiểu nguyên lý loại trừ

Tìm hiểu về ma trận tán xạ trong biểu diễn tương tác

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các công cụ sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp của vật lý lý thuyết

7

NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG TỬ HOÁ LẦN THỨ

HAI CHO HỆ CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT

1.1.1 Nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất

Như chúng ta đã biết các véctơ trạng thái của trường lượng tử (trường điện tử, trường vô hướng …) diễn tả các trạng thái với số hạt khác nhau Do

đó, lý thuyết trường lượng tử là công cụ tốt để nghiên cứu các hệ nhiều hạt mà

ở đó số hạt có thể thay đổi Các vecto trạng thái của trạng thái của trường lượng tử là các vecto trạng thái của hệ nhiều hạt đồng nhất tuân theo thống kê Bose-Einstein hoặc Fermi-Dirac

Các hạt đồng nhất là các hạt có những đặc trưng giống nhau như khối lượng, điện tích, spin…

Trong cơ học cổ điển, ta có thể phân biệt được các hạt đồng nhất dựa theo quỹ đạo chuyển động của chúng Trong cơ học lượng tử ta không thể phân biệt được các hạt đồng nhất vì khái niệm quỹ đạo của các hạt không còn

có ý nghĩa (đó là hệ quả của nguyên lý bất định) Từ đó trạng thái của một hệ các hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị các hạt Đó là nội dung của nguyên lý về tính không thể phân biệt được của các hạt đồng nhất

Sau đây chúng ta xét xem đối với hệ các hạt đồng nhất như vậy, trạng thái của nó được mô tả bởi hàm sóng có dạng như thế nào Như sẽ thấy, các hàm sóng này sẽ đối xứng hoặc phản đối xứng tùy thuộc vào các hạt boson hay fermion

8

1.1.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng Các boson và fermion

Ta giả sử hệ gồm N hạt đồng nhất Gọii là tập hợp 3 tọa độ không gian (và có thêm tọa độ thứ tư là hình chiếu của spin) của hạt thứ i Khi đó

hàm sóng có thể viết thành:

 1, , , , 2  i N,t

  Hamiltonian của hệ có dạng:

Ta đưa vào toán tử hoán vị cặp hạt P tác động lên hàm ik f  , , ,i kcủa các tọa độ hạt thứ i và thứ k như sau:

9

được các hạt đồng nhất ta suy ra trạng thái của hệ không thay đổi, tức là và

mô tả cùng một trạng thái của hệ

Vì hàm sóng có thể xác định được sai khác một nhân tử không đổi nên

Từ đây ta có thể xác định được  bằng cách tác động toán tử P một ik

lần nữa vào hai vế của (1.4) ta thu được:

Từ tính bình đẳng của các hạt ta thấy rằng không thể có hàm sóng đối xứng với một cặp hạt này và đồng thời phản đối xứng với một cặp hạt khác

Ta đó ta đưa ra kết luận sau: chỉ có thể có hai lớp trạng thái cho các hạt đồng nhất, đó là:

Vì toán tử P không phụ thuộc tường minh vào thời gian và giao hoán ik

với Hˆ nên đại lượng ứng với nó là  phải bảo toàn theo thời gian Bởi vậy, nếu tại một thời điểm nào đó, hệ ở trạng thái đối xứng s (hoặc phản đối xứng  ) thì nó luôn ở trạng thái đối xứng (hoặc phản đối xứng)

Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của hàm sóng mô tả hệ là xác định tính chất nội tại của các hạt Các nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết chứng tỏ rằng, các hạt có spin nguyên được mô tả bằng các hàm sóng đối xứng s , còn các hạt có spin bán nguyên được mô tả bởi các hàm sóng phản đối xứng  Các hạt có spin nguyên được gọi là các hạt Bose (các boson) và tuân theo thống kê Bose – Einstein Các hạt có spin bán nguyên gọi là các Fermi ( hay các Fermion ) và tuân theo thống kê Fermi – Dirac

Ví dụ các hạt cơ bản có spin nguyên như là Photon (s=1), - meson

(s=0), K- meson (s=0) Các hạt cơ bản có spin bán nguyên bằng

2

1 gồm có electron, proton, neutron, muon, neutrion và các phản hạt của chúng … Các hạt phức tạp như hạt nhân, nguyên tử có spin nguyên hay bán nguyên tùy thuộc vào số các hạt có spin bán nguyên tham gia tạo thành hạt phức hợp là chẵn hay lẻ

11

1.1.3 Nguyên lý loại trừ

Hệ các hạt đồng nhất fermion được mô tả bởi các hàm sóng phản đối xứng tuân theo nguyên lý loại trừ Nguyên lý này được pauli đưa ra lần đầu tiên khi áp dụng cho các electron trong nguyên tử và được phát biểu như sau:

“ trong hệ nhiều điện tử không thể có hai điện tử (hoặc nhiều hơn hai điện tử )

ở cùng một trạng thái” Tuy nhiên không thể coi cách phát biểu này của nguyên lý pauli là hoàn toàn chính xác Vấn đề là ở chỗ trong hệ nhiều điện tử chỉ khi bỏ qua tương tác giữa các điện tử, ta chỉ có thể coi về trạng thái của mỗi điện tử riêng biệt mới được xác định một cách chặt chẽ Trong trường hợp không bỏ qua tương tác giữa các điện tử, Ta chỉ có thể nói về trạng thái của một điện tử riêng biệt trong một sự gần đúng nào đó Ta hãy phát biểu lại nguyên lý pauli trên cơ sở lý thuyết tổng quát của hệ nhiều hạt sao cho nó thuận tiện trong các tương tác mạnh bất kỳ giữa các điện tử Để làm được điều này, trước hết ta hãy xây dựng lý thuyết biểu diễn trong trường hợp nhiều hạt Biểu diễn cho hệ gồm N hạt cần phải được xác định 4N toán tử giao hoán độc lập với nhau là F F1, 2, ,F N Ở đâyF kí hiệu của bốn toán tử 1

  1   2   3   4

1 , 1 , 1 , 1

F F F F và vv……Giả sử đối với hạt thứ nhất có bốn toán tử giao

hoán với nhau 1 i

F là các tích phân của chuyển động tức là:

  1

22 2   2 2

) ( 3 ) (

33 3   3 3

F

………

) ( )

( N N N

n

Chú ý là toán tử F (k = 1, 2, 3,……, N) chỉ tác dụng lên hàm của các k

biến số k nên ta suy ra hàm riêng chung cho tất cả N toán tử F (k = 1, 2, k

3,… , N) có dạng sau:

) ( )

( , ,

, ( )

1 1 2

1 2

, (

(

N N

i i i

i      

* )

  1, , , ,i k, ,N,t0 (1.23) Như vậy xác suất tìm thấy trong hệ các fermion một cặp mà kết quả đo các đại lượng đặc trưng cho các trạng thái của hạt  i như nhau là bằng không

14

Điều khẳng định trên có thể coi là cách phát biểu tổng quát của nguyên

lý Paoli, nó đúng cho tất cả các fermion như: electron, positron, neutrion,… Ví dụ như trong trường hợp của nguyên tử, hai electron không thể có cùng xung lượng và spin (ở đây gồm các giá trị , , ,P P P S ) x y z

1.1.4 Các hàm sóng cho hệ các fermion và boson

Ta đi nghiên cứu cụ thể hơn về các hàm sóng có tính chất đối xứng và phản đối xứng Ta bắt đầu với các hàm sóng phản đối xứng cho các hạt fermion Áp dụng (1.17) cho trường hợp hai hạt, hàm sóng phản đối xứng

  có thể khai triển theo các hàm riêng  n1 1 và  n2 2 thuộc về các hạt riêng biệt như sau:

không Tương tự, nếu fermion thứ hai ở trạng thái n2thì xác suất tìm thấy giá trị n2 # n2 là bằng không ……Khi xét hệ N fermion tương tác yếu thì tât cả

các c n n 1 , ,2 n t N,  ở (1.28) là nhỏ ngoại trừ c n n 1, ,2 n t Trong gần N, đúng bậc không ta bỏ qua tương tác giữa các fermion và thu được hàm sóng cho hệ N fermion là:

n n

1.2 Phương pháp lượng tử hoá lần thứ hai cho hệ các hạt đồng nhất 1.2.1 Mở đầu

Phương pháp lượng tử hóa các trường sóng thực chất tương tự như phương pháp lượng tử hóa trong cơ học lượng tử phi tương đối tính Vấn đề là

ở chỗ có thể khảo sát trường sóng với vô hạn bậc tự do N khi N đủ lớn mà các

hệ với số N lớn đã được nghiên cứu ở cơ học lượng tử Một trường hợp riêng của các hệ này là hệ N dao động tử điều hòa

Công cụ quan trọng được áp dụng trong phương pháp lượng tử hóa các trường là phép biểu diễn các số lấp đầy (còn được gọi là phép biểu diễn lượng

tử hóa lần thứ hai hay phép biểu diễn Fock)

17

Theo nguyên lý về tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ các hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị các hạt Ta hãy trả lời câu hỏi trạng thái của hệ các hạt đồng nhất được xác đinh bởi cái gì Có thể xác định được trạng thái của hệ nếu chỉ rõ có bao nhiêu hạt ở trạng thái khác nhau, tức là các số sau đây: N hạt ở trạng thái 1 n , 1 N hạt ở trạng thái 2 n 1

và vv… Số hạt toàn phần là N N1 N2  Số hạt ở trong cùng một trạng thái nào đó được gọi là số lấp đầy của trạng thái này

Ta nhớ lại lý thuyết biểu diễn Các biểu diễn có thể khác nhau Khi giải quyết các bài toán cần lựa chọn biểu diễn để cho việc tính toán được thuận lợi Việc nghiên cứu những tính chất của các hệ gồm nhiều hạt đồng nhất trong các biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lượng…., trong đó các trạng thái của mỗi hạt được xét riêng rẽ gặp nhiều khó khăn và phức tạp Đối với hệ nhiều hạt, người ta sử dụng phép biểu diễn các số lấp đầy các trạng thái( các biến đôc lập được chọn là số hạt của hệ ở trạng thái khác nhau: N1 N2  ), đồng thời đưa vào lý thuyết khái niệm toán tử sinh và hủy hạt là phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai

Phép biểu diễn các số lấp đầy đã làm đơn giản hóa lý thuyết một cách đáng kể Khi trạng thái của hệ được đặc trưng bởi số hạt trong mỗi trạng thái của hạt, tính chất đối xứng của hàm sóng đối với sự hoán vị các cặp hạt đã được kể đến và điều này hoàn toàn phù hợp với tinh chất thực của hệ đồng nhất

1.2.2 Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai

Phương trình Schrodinger cho hàm sóng của hệ gồm N hạt đồng nhất trong biểu diễn tọa độ:



 

Các tích phân trên bao gồm cả phép lấy tổng theo các biến spin

Bây giờ ta chuyển sang biểu diễn mới, đó là F-biểu diễn được xác định bởi 4N toán tử giao hoán với nhau: F1 i ,F2 i , ,F , với i = 1, 2, 3, 4 Để đơn N i

giản ta coi các giá trị riêng của mỗi toán tử tạo thành phổ gián đoạn và xác định bộ bốn số lượng tử cho mỗi hạt Ta kí hiệu chúng là: n n1, 2, ,n Từ N

(1.17) ta có thể khai triển dưới dạng chuỗi Fourier theo các hàm riêng của chung của các toán tử nói trên:

Phương trình (1.38) là phương trình Schrodinger trong F- biểu diễn

Do tính đồng nhất của các hạt, các yếu tố ma trận (1.39) và (1.40) chỉ phụ thuộc vào giá trị của các số lượng tử m i m, m k m, n i n, n k n mà không phụ thuộc vào việc đánh số hạt i và k Vì vậy ta có thể viết lại như sau:

thái 1, N là số hạt trong cùng trạng thái 2,…., 2 N là số hạt ở trong cùng trạng m

thái m và vv……

Các số hạt này có thể nhận giá trị bất kỳ trong trường hợp hệ các hạt đồng nhất Bose và chỉ có thể nhận hai giá trị 0 và 1 trong trường hợp hệ các hạt Fermi

Đối với cá hạt Bose ta đi viết phương trình Schrodinger trong biểu diễn các số lấp đầy của các trạng thái Muốn vậy ta hãy đi tìm sự phụ thuộc giữac N N 1, 2, ,N m, ,t và c m m 1, 2, ,m i, ,m t r, 

20

1, 2, , m,

c N N N t là xác suất tìm thấy N hạt ở trạng 1

thái 1, N hạt ở trạng thái 2,… , 2 N hạt ở trạng thái m và vv… Xác suất này m

được biểu thị qua c m m 1, 1, ,m i, ,m t , dưới dạng sau: N, 

Ở đây tổng được lấy theo tất cả các c m m 1, 2, ,m t có N,  N hạt ở 1

trạng thái thứ nhất, N ở trạng thái thứ hai vv….Số các số hạng như vậy bằng 2

 1, 2, , i, , N, 

1 2

N m c N N 1, 2, ,N m, ,t (1.44) Chú ý rằng: c m 1, , , , ,n i n k m t khác với r, 

N

ta thu được:

i d c N 1, ,N m, ,N m, ,N n, ,N n t

21

1 ,

Sử dụng các hệ thức (1.11) – (1.13) ta chứng minh được các toán tử này

có tinh chất sau đây:

ˆ ˆa a n n N n ˆ ˆa a n n N n 1 (1.49) a aˆ ˆm, n0 ˆa a m, ˆn  0 , a aˆ ˆm, n  m n, (1.50)

Từ (1.49) và (1.50), phương trình (1.45) được viết lại dưới dạng sau:

22

Toán tử Hˆ ở (1.52) là Hamiltonian của hệ được biểu thị qua các toán tử

a ˆn và a ˆn Nó được gọi là Hamiltonian lượng tử hóa lần thứ hai Ngoài ra toán tử này còn được viết dưới dạng khác tương ứng với năng lượng của một trường sóng nào đó Giả sử hàm sóng của một hạt là   Ta khai triển hàm này theo các hàm riêng n  của các toán tử  1  2 3  4

Bây giờ ta xét biên độ a không phải là số mà là các toán tử có tính n

chất (1.50) Khi đó, các hàm   và    biến thành các toán tử:

sự lượng tử hóa, cho nên sự thay thế các biên độ a thành các toán tử ˆ n a được n

gọi là sự lượng tử hóa lần thứ hai và hàm sóng  ˆ  được gọi là hàm sóng

lượng tử hóa

Phép chuyển từ hàm sóng không lượng tử hóa sang hàm sóng lượng tử hóa có thể phát biểu một cách trực tiếp không qua toán tử aˆ Thật vậy, từ (1.50) và (1.45), (1.55) ta suy ra:

ˆ 2

Ở trên ta vừa đề cập đến sự lượng tử hóa trường cho trường hợp các hạt Bose Bằng phương pháp tương tự như vậy, ta có thể thực hiện sự lượng tử hóa cho trường hợp các hạt fermi Sự khác biệt chỉ ở các tính chất của các toán tử 

a

a ˆˆ , Sau một số phép biến đổi , từ (1.38) ta lại thu được phương trình Schrodinger (1.51) với Hamiltonian (1.52) nhưng các toán tử ˆa và n aˆn được định nghĩa khác đi cụ thể là: