Tìm hiểu cấu trúc của các chất rắn có dạng tinh thể

Trong quá trình học tập em đã được học những môn về vật lý hiện đại như: Cơ học lượng tử, Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, em rất quan tâm đến cấu trúc tinh thể của vật rắn, là một hệ g

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, TS Trần Thái Hoa, người đã

hướng dẫn, động viên em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất và đóng góp ý kiến để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Tuy nhiên do thời gian và khuôn khổ cho phép của đề tài còn hạn chế nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Đào Văn Thành

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực Nội dung tôi đã trình bày trong khóa luận này là kết quả của

quá trình tìm hiểu của bản thân dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS Trần

Thái Hoa cùng các thầy cô trong khoa Vật lý

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Đào Văn Thành

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 MẠNG TINH THỂ 1.1 Mạng Bravais 3

1.1.1 Nhóm tịnh tiến của tinh thể 3

1.1.2 Định nghĩa mạng Bravais 4

1.1.3 Cấu trúc tinh thể 7

1.1.4 Phân loại các mạng Bravais 8

1.2 Mạng đảo 10

1.2.1 Định nghĩa 10

1.2.2 Mặt phẳng mạng 13

1.2.3 Chỉ số Miller 14

1.3 Nhiễu xạ tia X bởi tinh thể 15

1.3.1 Phản xạ Bragg 15

1.3.2 Phương trình nhiễu xạ von Laue 16

Kết luận chương 1 18

CHƯƠNG 2 DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ CHẤT RẮN 2.1 Lý thuyết cổ điển 19

2.1.1 Dao động và sóng trong mạng một chiều đơn giản 19

2.1.2 Dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử 23

2.2 Lượng tử hóa dao động mạng 26

2.3 Nhiệt dung của vật rắn 27

2.3.1 Nhiệt dung của vật rắn theo lý thuyết cổ điển.Định luật Duylong-Petit 27

2.3.2 Nhiệt dung vật rắn theo mô hình Einstein 28

2.3.3 Nhiệt dung theo mô hình Debye 30

CHƯƠNG 3 KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG TINH THỂ

3.1 Khí Fermi tự do 35

3.2 Đóng góp của điện tử vào nhiệt dung của kim loại 38

3.3 Kích thích tập thể của khí điện tử trong tinh thể: Plasmon 40

Kết luận chương 3 48

KẾT LUẬN CHUNG 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý chất rắn là một lĩnh vực rộng lớn gồm nhiều bộ môn như: Vật lý các chất sắt điện và sắt từ, vật lý kim loại và hợp kim, vật lý bán dẫn, vật lý các chất điện môi… Mỗi bộ môn đều có những lý thuyết chiếm được sự cuốn hút của người đọc và có những ứng dụng hết sức đa dạng vào sự phát triển chung của thế giới, nâng cao đời sống con người

Tinh thể là một dạng của chất rắn trong tự nhiên Nó tồn tại xung quanh chúng ta dưới dạng mạng tinh thể (ví dụ: tinh thể thạch anh, tinh thể kim cương…) và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày cũng như khoa học công nghệ (công nghệ bán dẫn, siêu dẫn…)

Trong quá trình học tập em đã được học những môn về vật lý hiện đại như: Cơ học lượng tử, Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, em rất quan tâm đến cấu trúc tinh thể của vật rắn, là một hệ gồm rất nhiều hạt được sắp xếp có tính quy luật tuần hoàn trong không gian và có cấu trúc nhất định nên việc nghiên cứu cấu trúc mạng tinh thể của các chất rắn có thể chỉ ra một số tính chất vật

lý của chất rắn Đồng thời việc nghiên cứu mạng tinh thể là điều kiện, là cơ sở

để giải thích các kết quả thực nghiệm, từ đó rút ra các thông số cần thiết cho

khoa học kỹ thuật Nghiên cứu cấu trúc mạng tinh thể của vật rắn là cơ sở quan trọng cho các nghiên cứu tiếp theo về vật rắn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cấu trúc mạng tinh thể của các chất rắn chỉ ra một số tính chất vật lý của chất rắn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu là vật rắn

- Phạm vi nghiên cứu là vật rắn có cấu trúc tinh thể

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và nghiên cứu tài liệu

- Sử dụng phương pháp vật lý toán

6 Cấu trúc khóa luận

CHƯƠNG 1 MẠNG TINH THỂ

CHƯƠNG 2 DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ CHẤT RẮN

CHƯƠNG 3 KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG TINH THỂ

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 MẠNG TINH THỂ

1.1 Mạng Bravais

1.1.1 Nhóm tịnh tiến của tinh thể

Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu tính đối xứng (bất biến) của tinh thể đối với nhóm tịnh tiến Phép chuyển động của vật rắn mà trong đó điểm r bất kì chuyển thành điểm r + R gọi là phép tịnh tiến vật rắn một đoạn R, kí hiệu là

có tính tuần hoàn theo hướng o

Mọi tinh thể trong không gian ba chiều đều có tính bất biến (đối xứng) đối với các phép tịnh tiến T e  , T e  , T e  theo ba hướng nào đó o, o,

o, nghĩa là có tính tuần hoàn theo các hướng này Trong mỗi tinh thể có thể chọn 3 hướng này bằng nhiều cách khác nhau (xem thí dụ trên hình 2 với tinh thể 2 chiều)

Vì tinh thể là gián đoạn cho nên trong số tất cả các vectơ ( ,o o o , )theo mỗi hướng tuần hoàn của tinh thể có một vectơ ngắn nhất (    1 , 2 , 3 ) và

 Số phối hợp

Những nút trên mạng Bravais nằm gần nhất một nút đã cho gọi là những nút lân cận gần nhất Do tính tuần hoàn của mạng Bravais cho nên mỗi

nút đều có cùng một số nút lân cận gần nhất, gọi là số phối hợp của mạng Số

phối hợp của mạng lập phương đơn là 6, của mạng lập phương tâm thể là 8, của mạng lập phương tâm diện là 12

 Ô cơ sở

Ô cơ sở là một thể tích không gian có tính chất:

+ Khi thực hiện tất cả các phép tịnh tiến tạo thành mạng Bravais, nghĩa

là tất cả các phép tịnh tiến có dạng (1.1), thì

tập hợp tất cả các ô thu được từ ô ban đầu

sẽ lấp đầy toàn bộ không gian, không để lại

toàn bộ khoảng trống nào

+ Hai ô khác nhau chỉ có thể có các

điểm chung nằm trên mặt phân cách của

chúng

+ Có rất nhiều cách chọn ô cơ sở

của một mạng đã cho (Hình 6a) Nếu các

nút của mạng Bravais không nằm trên mặt

của ô cơ sở thì mỗi ô chỉ chứa một nút

Bao giờ cũng có thể chọn ô cơ sở thế nào để nó có đầy đủ tính chất đối xứng của mạng Bravais Cách chọn nổi tiếng là chọn ô Wigner – Seitz, được hình thành như sau Lấy một nút O xác định trên mạng Bravais, tìm các nút lân cận theo tất cả các phương, vẽ mặt phẳng trực giao với các đoạn thẳng nối

O với các nút lân cận đó tại trung điểm của các đoạn này Khoảng không gian giới hạn bởi các mặt đó là ô Wigner – Seitz Tất cả các điểm trong ô Wigner – Seitz tâm O đều gần nút O hơn các nút khác của mạng Bravais Các thí dụ về các ô Wigner – Seitz của hai mạng hai chiều được trình bày trên các hình 6a

và 6b Ô Wigner – Seitz của mạng lập phương tâm thể được trình bày trên hình 7a, còn trên hình 7b là ô Wigner – Seitz của mạng lập phương tâm diện

1.1.3 Cấu trúc tinh thể

Trong một tinh thể vật lý mỗi ô cơ sở của mạng Bravais đều có thể chứa nhiều nguyên tử cùng loại hoặc khác loại nằm ở các điểm có vectơ bán kính xác định Mạng Bravais cùng với tập hợp các vectơ bán kính của tất cả các nguyên tử trong ô cơ sở tạo thành một cấu trúc tinh thể

Ta thường gặp các cấu trúc tinh thể sau đây:

+ Cấu trúc loại kim cương, hai mạng Bravais lập phương tâm lồng vào nhau, nút của một mạng này trên đường chéo không gian của mạng kia và xê dịch đi một đoạn bằng 1/4 đường chéo đó (Hình 8) Ô cơ sở chứa hai nguyên

tử cùng loại nằm ở các điểm có toạ độ là 0 và ( )

4

a

i j k

+ Cấu trúc loại kẽm pha, gồm hai loại nguyên tử khác nhau với số lượng bằng nhau nằm trên hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau giống như mạng kim cương, thành thử với mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử loại khác nằm ở 4 nút lân cận gần nhất

+ Cấu trúc loại muối ăn, bao gồm các nguyên tử hai loại khác nhau (Na

và Cl chẳng hạn) có số lượng bằng nhau nằm xen kẽ trên các nút của mạng lập phương đơn (Hình 9), thành thử với mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử loại khác nằm ở các nút lân cận gần nhất

1.1.4 Phân loại các mạng Bravais

Có tất cả 14 mạng Bravais, được chia thành 7 hệ căn cứ vào tính chất đối xứng của các mạng này

Hệ lập phương (cubic) Gồm những mạng Bravais có nhóm điểm là nhóm đối xứng của hình lập phương, gọi là nhóm lập phương (Hình 13a) Hệ này có 3 mạng: mạng đơn, mạng tâm thể và mạng tâm diện

Hình 13a

Hệ tứ giác (tetragonal) Gồm những mạng Bravais có nhóm điểm là nhóm đối xứng của hình trụ thẳng đứng đáy vuông, gọi là nhóm tứ giác (Hình 13b) Hình thụ này thu được từ hình lập phương bằng cách kéo dài theo một cạnh Vì mạng tâm diện và mạng tâm thể không khác nhau cho nên hệ này có

2 mạng: mạng đơn và mạng tâm thể

Hình 13b

Hệ trực giao (orthorhombic) Bao gồm những mạng Bravais mà nhóm điểm trùng với nhóm đối xứng của hình hộp chữ nhật ba cạnh khác nhau (Hình 13c) Có 4 mạng: mạng đơn, mạng tâm đáy (có nút ở tâm hai mặt đáy), mạng tâm thể và mạng tâm diện

Hình 13c

Hệ đơn tà (monoclinic) Bao gồm những mạng Bravais mà nhóm điểm

là nhóm đối xứng của hình trụ đáy bình hành thu được từ hình hộp chữ nhật bằng cách biến hai đáy chữ nhật thành hai đáy bình hành (Hình 13d) Hệ này

có 2 mạng: mạng đơn và mạng tâm thể

Hình 13d

Hệ tam tà (triclinic) Xuất phát từ mạng đơn tà rồi làm xiên các cạnh thẳng đứng của các hình trụ bđáy bình hành, ta được mạng tam tà (Hình 13e)

Đó là mạng có ít tính đối xứng nhất Hệ này chỉ có một mạng đơn Ba vectơ

cơ sở của mạng là ba vectơ không nằm trong cùng một mặt phẳng và không

có liên quan gì khác

Hình 13e

Hệ tam giác (trigonal) Nhóm điểm của mạng thuộc hệ này là nhóm đối xứng của một hình thu được từ hình lập phương bằng cách kéo dãn ra theo một đường chéo không gian (Hình 13f) Hệ này chỉ có một mạng đơn Ba vectơ cơ sở của mạng có chiều dài bằng nhau và từng đôi một tạo thành những góc bằng nhau

Hình 13f

Hệ lục giác (hexagonal) Nhóm điểm của hệ lục giác là nhóm đối xứng của hình trụ thẳng đứng có đáy là hình lục giác đều (Hình 13g) Hệ này chỉ có một mạng đơn

Hình 13g

1.2 Mạng đảo

1.2.1 Định nghĩa

Rn a1 1 n a2 2 n a3 3,

1

n , n2, n3 là các số nguyên Xét các vectơ K trong không gian xung lƣợng mà

e iKR  1 (1.5) với mọi R xác định nhƣ ở trên Điểm cuối của các vectơ K thỏa màn điều kiện (1.5) tạo thành một mạng trong không gian xung lƣợng, gọi là mạng đảo

 Mệnh đề 1 Mạng đảo là một mạng Bravais

Chứng minh Trong không gian xung lƣợng ta chọn ba vectơ không

nằm trong một mặt phẳng q b1, b2, b3 định nghĩa nhƣ sau:

 

2 3 1

2

2

2

K k b1 1 k b2 2 k b3 3 (1.8) với các hệ số k1, k2, k3 nào đó Muốn thỏa mãn điều kiện (1.5) ta phải có

K R  2  số nguyên (1.9) Mặt khác, theo (1.7),

K R  2 k n1 1 k n2 2 k n3 3 (1.10) Vậy với mọi R, nghĩa là với mọi số nguyên n1, n2, n3 các hệ số k1, k2,

3

k phải thỏa mãn điều kiện

k n1 1k n2 2k n3 3số nguyên (1.11)

Từ đó suy ra rằng k1, k2, k3 phải là các số nguyên Các vectơ K xác định bởi công thức (1.8) với các hệ số nguyên tùy ý k1, k2, k3 sẽ cho ta một mạng Bravais Đó là điều phải chứng minh

 Mệnh đề 2 Mạng đảo của mạng đảo của một mạng Bravais là chính

mạng Bravais đã cho

Chứng minh Kí hiệu các vectơ cơ sở của mạng Bravais đã cho là a1,a2,

3

a Các vectơ của mạng đảo được xác định bởi công thức (1.8) với các vectơ

cơ sở b1, b2, b3 xác định bởi các công thức (1.6) Kí hiệu G là vectơ bất kì của mạng đảo của mạng đảo Nó phải thỏa mãn điều kiện:

G K  2  số nguyên (1.12)

Ta khai triển

Gg a1 1g a2 2g a3 3 (1.13) Thay (1.8) và (1.13) vào (1.12) và dùng (1.7), ta suy ra điều kiện

g k1 1g k2 2g k3 3 số nguyên (1.14) với mọi số nguyên k1, k2, k3 Vậy g1, g2, g3 phải là các số nguyên Các vectơ

G xác định bởi công thức (1.13) với các số nguyên tùy ý g1, g2, g3 chính là các vectơ R xác định bởi công thức (1.1), nghĩa là các vectơ tạo thành mạng Bravais đã cho ban đầu Mệnh đề 2 đã được chứng minh Ta cũng có thể dùng phương pháp khác như sau Mạng đảo của mạng đảo có các vectơ cơ sở sau đây

 

2 3 1

2

2

2

b b c

b b b

 



Thay các biểu thức (1.6) của b1, b2, b3 vào đây ta thu được c i a i, i1,

2, 3 Đó là điều phải chứng minh

 Ví dụ về mạng đảo của các mạng Bravais

Mạng Bravais là mạng lập phương đơn với các vectơ cơ sở (1.2), mạng đảo cũng là mạng lập phương đơn với các vectơ cơ sở

Có thể thử lại ngay công thức (1.7)

Mạng Bravais là mạng lập phương tâm thể với các vector cơ sở (1.3), mạng đảo có các vector cơ sở sau đây

Cho một mạng Bravais Mặt phẳng mạng là một mặt phẳng chứa ít nhất

ba nút không thẳng hàng của mạng Bravais này Trước hết ta chú ý rằng mặt phẳng mạng chứa vô số nút mạng của mạng Bravais Thực vậy, 3 điểm đã cho

A, B, C xác định hai vectơ e và e Mặt phẳng mạng chứa hai vectơ này sẽ chứa vô số các nút của mạng với bàn kính vectơ n e1  n e2 

 Mệnh đề 3 Mỗi mặt phẳng mạng đều trực giao với vectơ nào đó của

mạng đảo

Chứng minh Xét mặt phẳng mạng chứa hai vectơ e và ecủa mạng Bravais Ký hiệu các vectơ cơ sở của mạng Bravais là a1,a2, a3 Các vectơ tương ứng của mạng đảo b1, b2, b3 được xác định bởi công thức (1.6) Ta có

Ba số nguyên h, k, l hoàn toàn xác định mặt phẳng mạng trực giao với

K và được gọi là các chỉ số Miller của mặt phẳng mạng đã cho Mặt phẳng mạng có ba chỉ số h, k, l được kí hiệu là (h, k, l) Nếu trong các chỉ số Miller

có chỉ số âm, thí dụ (h,k,-l) với l>0, thì thay chỉ số âm bằng giá trị tuyệt đối

của nó và viết thêm dấu gạch ngang ở trên, thí dụ như ta viết (h,k,l) thay cho

h,k, l với h≥0, k≥0, l>0 Một số thí dụ về các chỉ số Miller của các mặt phẳng mạng trong mạng lập phương được trình bày ở trên hình 14

 Vùng Brillouin

Ô cơ sở Wigner – Seitz của mạng đảo được gọi là vùng Brillouin, hoặc được gọi là vùng Brillouin thứ nhất Chú ý rằng đó là một thể tích trong không gian xung lượng Các ô khác trong không gian xung lượng thu được từ

vùng Brillouin thứ nhất bằng phép tịnh tiến các đoạn bằng các vector K của

mạng đảo được gọi là các vùng Brillouin bậc cao

Từ các công thức (1.6) liên hệ giữa các vector cơ sở của mạng Bravais

ban đầu và các vector cơ sở của mạng đảo suy ra rằng giữa thể tích v của ô cơ

sở trong mạng Bravais ban đầu và thể tích Ω của vùng Brillouin có hệ thức sau đây:

1.3 Nhiễu xạ tia X bởi tinh thể

Tia X có bước sóng vào cỡ khoảng cách các nút lân cận trong mạng Bravais Do đó khi chiếu tia X vào mạng tinh thể sẽ có hiện tượng nhiễu xạ Phân tích các ảnh nhiễu xạ ta có thể thu được thông tin về cấu trúc của mạng tinh thể

1.3.1 Phản xạ Bragg

Xét sự phản xạ của một chùm tia X trên hai mặt phẳng mạng song song

và gần nhau nhất, có khoảng cách d (hình 15) Gọi góc tới (và góc phản xạ) là

θ Hai chùm tia phản xạ trên hai mặt có hiệu số đường đi là 2dsinθ Do sự

giao thoa của hai chùm phản xạ này nên cường độ ánh sáng phản xạ sẽ đạt giá trị cực đại nếu hiệu số đường đi nói trên là một bội số nguyên của bước sóng, nghĩa là nếu góc  thỏa mãn điều kiện phản xạ Bragg

2 sind  n (1.17)

Thay đổi góc tới  và quan sát các giá trị ứng với các cực đại của cường độ sóng phản xạ, ta suy ra khoảng cách d giữa hai mặt phẳng mạng gần nhau nhất Một tinh thể có nhiều hệ mặt phẳng mạng song song, mỗi hệ đều cho các cực đại của cường độ sóng phản xạ Phân tích các kết quả nghiên cứu phản xạ Bragg ta có thể xác định các hệ mặt phẳng này và khoảng cách giữa hai mặt gần nhất trong mỗi hệ

1.3.2 Phương trình nhiễu xạ von Laue

Thay cho việc nghiên cứu sự phản xạ trên hai mặt phẳng mạng song

song ta hãy xét sự tán xạ trên hai nút gần nhau Gọi d là vectơ bán kính nối hai nút đó k và k’ là vectơ sóng của tia tới và tia tán xạ, n và n’ là các vectơ

đơn vị dọc theo k và k’,  là bước sóng,

' '

2 n, 2 n

  (1.18) Hai tia tán xạ trên hai nút gần nhau có hiệu số đường đi là

 

d  d  d n n (1.19)

(Xem hình 16) Để sóng tán xạ có cường độ cực đại hiệu số đường đi này phải bằng bội số nguyên của bước sóng

Đó là phương trình nhiễu xạ von Laue

Vì hai vectơ sóng k và k’ có cùng một độ dài cho nên từ công thức (1.23) ta có

K 

K

(1.24)

Chú ý rằng vế trái công thức (1.24) là hình chiếu của vectơ k trên

hướng vectơ K Vậy sóng tán xạ có cường độ cực đại nếu hình chiếu vectơ sóng k của sóng tới trên hướng vectơ K của mạng đảo bằng nửa chiều dài của

vectơ này Điểm cuối của các vectơ sóng đó phải nằm trên mặt phẳng trực

giao với vectơ K của mạng đảo đi qua điểm

2

K

(Hình 17) Các mặt phẳng đó trong không gian xung lượng gọi là các mặt phẳng Bragg

Đó là cơ sở lý thuyết của các phương pháp nghiên cứu cấu trúc mạng tinh thể bằng nhiễu xạ tia X

Kết luận chương 1

Trong chương 1, bước đầu chúng ta đã hình dung ra được cấu trúc mạng tinh thể của một số vật rắn, phân loại một số mạng tinh thể theo cấu trúc của chúng

Chỉ ra được một số tính chất của mạng tinh thể, từ đó dẫn ra được phương pháp nghiên cứu về mạng tinh thể của vật rắn bằng cách phân tích các ảnh nhiễu xạ khi chiếu tia X vào mạng tinh thể

CHƯƠNG II DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ CHẤT RẮN

2.1 Lý thuyết cổ điển

2.1.1 Dao động và sóng trong mạng một chiều đơn giản

Xét tinh thể cấu tạo từ những nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên trục Ox, mỗi nguyên tử chuyển động quanh vị trí cân bằng của nó

Ký hiệu khoảng cách giữa hai nguyên tử cạnh nhau là a, a được gọi là hằng số mạng tinh thể

Khi đó vị trí của nguyên tử thứ n được xác định bằng tọa độ

0

x x U (2.1) Trong đó x 0 n: tọa độ nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng

U n: Độ dời khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử thứ n (U n« a) Gọi khối lượng mỗi nguyên tử là M, ký hiệu thế năng tương tác của n nguyên tử nằm trên đường thẳng là Φ

Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng Φ0 và dừng lại ở gần đúng bậc 2

n

d U U

U1 U2  U n U0

→  →   (2.7)

- Nếu chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử gần nguyên tử n nhất

→ Lực tác dụng lên nguyên tử n trong gần đúng tương tác cặp gần nhất

 1, 1 , 1, 1

n nm m n n n n n n n n n m

F    U     U    U    U 

↔ F n   2U nU n1 U n1

↔F n   U nU n1   U nU n1 (2.9) Trong đó

  là lực do nguyên tử n+1 tác dụng lên nguyên tử n

→ Phương trình dao động của nguyên tử n:

MU    U U  U 

↔MUn   U nU n1   U n U n1 (2.10) Đây là phương trình dao động của nguyên tử n trong tương tác với hai nguyên tử gần nhất

Đây là phương trình vi phân bậc 2, nghiệm của phương trình (2.10) được tìm dưới dạng sóng:

2.1.2 Dao động của mạng một chiều chứa hai loại nguyên tử

Xét chuỗi nguyên tử hai loại khác nhau, khối lượng M1 và M2, xếp đặt xen kẽ nhau và cách đều nhau trên trục Ox

Nếu khoảng cách giữa các nguyên tử cạnh nhau là a thì hằng số mạng

sẽ là 2a Giả sử chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang Như vậy mỗi ô cơ sở chứa 2 loại nguyên tử

  (2.21b) Biểu thức (2.19) được gọi là hệ thức tán sắc

Giả thiết M1>M2 thì sự phụ thuộc của ω theo q trong trường hợp mạng một chiều có hai loại nguyên tử được biểu diễn trên hình sau:

 Nhánh dưới ứng với _ ở q=0,  = 0; với các giá trị q bé, ω tỉ

lệ với q Ở giá trị   

q2a, ω = ωmax Như vậy, ở gần tâm vùng Brillouin, vận tốc truyền năng lượng dao động là hằng số và chính bằng vận tốc truyền âm

Vì vậy nhánh ứng với ω- còn gọi là nhánh âm học

 Nhánh trên biểu diễn ω+: Ở nhánh này ω ít thay đổi theo q Nhánh này gọi là nhánh quang học

Như vậy các biểu thức H Eˆ , n đã chỉ ra rằng: Ta đã chuyển các dao động

tử điều hòa trong tinh thể thành các dao động tử điều hòa trong lượng tử (xuất hiện )

+ Năng lượng của từng dao động tử được lượng tử hóa và ta coi mọi

+ Giá trị nhỏ nhất của năng lượng dao động ứng với n = 0

2.3 Nhiệt dung của vật rắn

2.3.1 Nhiệt dung của vật rắn theo lý thuyết cổ điển Định luật Duylong-Petit

Theo lý thuyết cổ điển, người ta quan niệm tinh thể là một hệ nguyên tử

mà mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do Trong mạng tinh thể các nguyên tử ở nút mạng luôn dao động mạng hay còn gọi là dao động nhiệt độ Ở nhiệt độ cao thì liên kết giữa các nguyên tử sẽ không còn ảnh hưởng nhiều lắm đến dao động của chúng Do đó khi đấy ta có thể coi các nguyên tử dao động độc lập với nhau

Trong vật lý thống kê ta có định luật phân bố đều động năng theo các bậc tự do, mỗi bậc tự do của nguyên tử sẽ ứng với năng lượng tự do trung bình của nguyên tử gồm động năng và thế năng Khi đó năng lượng tự do trung bình (một bậc tự do) là:

B

k T

với k B là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối

Năng lượng trung bình của tinh thể có N nguyên tử sẽ là:

Đây chính là biểu thức của định luật Duylong-Petit Nó cho thấy ở nhiệt độ đủ cao, nhiệt dung riêng của vật rắn không phụ thuộc nhiệt độ và nhƣ nhau đối với mọi chất Tuy nhiên ở nhiệt độ thấp thì những kết quả từ thực nghiệm không còn phù hợp với định luật này nữa Khi nhiệt độ của vật rắn giảm thì nhiệt dung của chúng cũng giảm Khi T→0 thì C→0

+ Nếu xét với một kmol vật rắn chứa số nguyên tử bằng số Avogadro

NA thì:

3 A B 3

C N k  R với R là hằng số chất khí

2.3.2 Nhiệt dung vật rắn theo mô hình Einstein

Lý thuyết đầu tiên về nhiệt dung của vật rắn theo cơ sở của cơ học lƣợng tử, nó cho phép giải thích đƣợc sự giảm của nhiệt dung khi nhiệt độ giảm thấp, đây chính là lý thuyết Einstein

Einstein đã giả thuyết coi vật rắn nhƣ là một tập hợp 3N của dao động

tử lƣợng tử dao động cùng với một tần số gọi là tần số Einstein: E

Trong vật lý thống kê, năng lƣợng trung bình của một dao động tử lƣợng tử đƣợc tính nhƣ sau:

0

W

n n n

.

n

E kT n n

E B

k T dE

động phụ thuộc rất yếu vào vector sóng q

và có thể coi gần đúng như không đổi Do đó lý thuyết Einstein được dùng để tính cho phonon quang

2.3.3 Nhiệt dung theo mô hình Debye

Để khắc phục những hạn chế của mô hình Einstein, Debye đã đưa ra một mô hình phù hợp hơn với thực nghiệm ở nhiệt độ thấp Debye chỉ xét các phonon âm học, tức là q 0 thì quy luật tán sắc được thay bằng đường thẳng

u q

 với u là vận tốc truyền âm trung bình trong tinh thể

Năng lượng trung bình của các dao động trong tinh thể:

.

1

j B

trong một đơn vị thể tích của

không gian đảo hay còn gọi là mật độ trạng thái trong không gian đảo, ký hiệu

Debye giả thuyết thay vùng Briloun bằng hình cầu có cùng thể tích ở trong không gian đảo gọi là hình cầu Debye có bán kính qD đƣợc xác định:

3 q D



  (2.30) Ứng với mỗi giá trị của q

là một ô nhỏ trong không gian mạng đảo có thể tích:  3

.

2

1

j B

s

j q j

k T

q V

0 0 0 .

3

sin2

32

1

D B

q uq

V Z

u



 (2.34)