Phân loại và giải một số bài toán về phương trình truyền nhiệt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM VĂN LUYỆN PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2012... TRƯỜNG ĐẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM VĂN LUYỆN

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

PHẠM VĂN LUYỆN

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Toán

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TH.S LÊ KHẮC QUYNH

HÀ NỘI, 2012

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên của khóa luận tốt nghiệp em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Vật Lí đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ trong suốt thời gian qua

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo-ThS Lê Khắc Quynh, người đã hướng dẫn, tạo điều kiện tốt nhất và đóng góp ý kiến để em hoàn thành để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình, cũng như bạn bè đã tạo điều kiện và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận

Tuy nhiên do thời gian và trình độ của bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện đề tài em chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phạm Văn Luyện

Lời cam đoan

Em xin cam đoan những vấn đề em trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên của riêng bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo- Th.S

Lê Khắc Quynh, không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác Nếu sai

em hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Phạm Văn Luyện

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ……… ……… 1

1 Lí do chọn đề tài……… 1

2 Mục đích nghiên cứu……… … 2

3 Giả thuyết khoa học……… ……… 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… ……….2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu……… …………2

6 Phương pháp nghiên cứu ……… ……… 2

7 Cấu trúc khóa luận……… ………….2

NỘI DUNG……… ……… 3

Chương 1: Tổng quan về phương trình truyền nhiệt……… ………….3

1.1 Thành lập phương trình……… …… 3

1.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu……… 6

Chương 2: Phân loại và giải một số bài toán về pt truyền nhiệt………7

2.1 Bài toán truyền nhiệt tự do không có nguồn……… 7

2.2 Bài toán truyền nhiệt có nguồn……… ……… 15

2.2.1 Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn chỉ phụ thuộc vào tọa độ x (bài toán dừng)……… ……… 15

2.2.2 Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc cả vào tọa độ x

và thời gian t ………… 24

2.3 Bài toán truyền nhiệt với biên tổng quát……… ….34

KẾT LUẬN……… ……… 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… ……41

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong vật lí học hiện đại, những phương pháp toán học được sử dụng rất

đa dạng và phong phú Chúng bao gồm một khối lượng lớn các kiến thức thuộc các ngành như: Hàm thực, Hàm biến phức, các phương trình vi phân, các phép biến đổi toán học, đại số tuyến tính…

Phương pháp toán lí là một trong những bộ môn sử dụng công thức Toán

và các hàm toán để giải quyết các bài toán vật lí diễn tả các hiện tượng của thiên nhiên như: Phương trình dao động của sợi dây, phương trình dao động của màng, phương trình khuếch tán, phương trình truyền nhiệt… Đây là môn học được giảng dạy sinh viên năm thứ 2 khoa Vật lí và nó cũng là một môn thi (môn cơ sở) đầu vào các ngành sau đại học của Vật lí

Trong quá trình học tập môn phương pháp toán lí tôi rất hứng thú với phương trình truyền nhiệt và nhận thấy nó diễn tả hiện tượng rất tổng quát của thiên nhiên: “Trong các vật rắn truyền nhiệt, nếu tại các điểm khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nóng hơn tới điếm nguội hơn” Vì vậy, phương trình truyền nhiệt có ứng dụng rất lớn trong đời sống và kĩ thuật

Để tìm hiểu sâu sắc bất kì một lí thuyết vật lí nào thì việc giải quyết các bài toán mà lí thuyết ấy đặt ra là tất yếu Khi tìm hiểu về phương trình truyền nhiệt tôi thấy các bài toán về nó rất đa dạng và phong phú, đôi khi làm cho các sinh viên lúng túng trong việc giải quyết các bài toán đó Do vậy, việc phân loại và đưa ra những phương pháp giải cho từng loại bài toán truyền nhiệt là hết sức cần thiết

Chính vì những lí do nêu trên nên tôi đã chọn đề tài: “Phân loại và giải một số bài toán về phương trình truyền nhiệt” để làm đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2

2 Mục đích nghiên cứu

Phân loại và tìm hiểu cách giải các bài toán về phương trình truyền nhiệt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương trình truyền nhiệt một chiều đã học trong chương trình đại học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Xây dựng lí thuyết về phương trình truyền nhiệt

- Phân loại các bài toán phương trình truyền nhiệt

- Vận dụng được các hàm, chuỗi toán học; các cách giải phương trình

vi phân để giả bài toán truyền nhiệt

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 phần:

- Phần mở đầu

- Phần nội dung

- Phần kết luận

3

NỘI DUNG Chương 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

1.1 Thành lập phương trình

Như ta đã biết, nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách : quá trình dẫn nhiệt, quá trình bức xạ và quá trình đối lưu Quá trình dẫn nhiệt bên trong vật là do sự chuyển động của các phân tử bên trong vật Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có

số lớn phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay động năng lớn) sang nơi có nhiệt độ thấp hơn (là nơi có vận tốc và động năng các phân tử nhỏ hơn) Quá trình bức xạ nhiệt giữa hai vật xảy ra khi nhiệt truyền qua không gian từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn (không tính đến nhiệt độ không gian giữa hai vật), đó chính là chuyển động nhiệt dưới dạng sóng Một ví dụ là sự truyền nhiệt độ của Mặt Trời cho Trái Đất Nhiệt truyền do đối lưu xảy ra khi một số loại chuyển động nhiệt di chuyển từ nơi này sang nơi khác Tất cả các quá trình truyền nhiệt này được nghiên cứu trong các môn học đại cương và chuyên đề về nhiệt Trong khóa luận này, tôi chủ yếu tìm hiểu quá trình truyền nhiệt của vật dẫn

Xét môi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u (x,y,z,t) là nhiệt độ của nó tại điểm P(x,y,z) ở thời điểm t

Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Furie: Nhiệt lượng ΔQ đi qua một mảnh

mặt kín bất kì ΔS theo phương pháp tuyến n 

trong thời gian Δt, tỉ lệ với ΔS,

4

Trong đó k là hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến vì môi trường là đẳng hướng và ta thường coi là hằng số, n 

là

vecto pháp tuyến của ΔS hướng theo chiều giảm của nhiệt độ

Bây giờ ta xét một vật thể tùy ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn, và xét sự biến thiên nhiệt lượng trong thể tích đó từ thời gian t 1 đến thời gian t 2 Từ (1)

ta suy ra nhiệt lượng truyền vào trong mặt S từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2

là vecto pháp tuyến hướng vào bên trong của mặt S Áp dụng

định lí Ôtxtrôgratxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp và coi

Giả sử trong vùng V có nguồn nhiệt có mật độ là g(x,y,z,t) (nghĩa là nhiệt

lượng sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian),

thì từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 , trong thể tích V xuất hiện một nhiệt lượng

Trong đó c là nhiệt dung, ρ là mật độ môi trường

Tính chính xác đến đại lượng nhỏ so với ΔV, ta có :

6

Phương trình (2) gọi là phương trình truyền nhiệt, nghiệm u = u(x,y,z,t) của

phương trình này mô tả sự phân bố nhiệt độ trong môi trường truyền nhiệt

Nếu g =0, ta có phương trình truyền nhiệt thuần nhất Ngược lại, phương

trình là không thuần nhất

1.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Trong vật lí ta biết rằng muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm trong vật ở mọi thời điểm, ngoài phương trình (2) ta cần phải biết phân bố nhiệt độ trong vật tại thời điểm ban đầu (điều kiện ban đầu) và chế độ nhiệt độ của biên S của vật (điều kiện biên) Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách :

1 Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên:

3 Trên biên của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh

mà nhiệt độ của nó là U 0 Theo định luật Niuton dòng nhiệt trao đổi

với môi trường xung quanh và tỉ lệ với hiệu của nhiệt độ của biên S

và của môi trường xung quanh

Vậy : qu u 0|S trong đó  là một hệ số trao đổi nhiệt Ta giả thiết rằng

7

 0 |S 0

u

h u u n

TRUYỀN NHIỆT

2.1 Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn

Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn là bài toán đi tìm nghiệm u(x,t) của phương trình :

2 2

Và các điều kiện biên khác nhau

Ta đi xét một số bài toán cụ thể sau:

Bài toán 1

Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

8

2 2

x l D

Với điều kiện ban đầu u |t0 f x  

Và điều kiện ban đầu | 0 0

| 0

x

x l

u D u

Trong đó a là hằng số, f(x) là hàm giải tích trên D

Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ trong thanh đồng chất

hữu hạn có chiều dài l, hai đầu mút luôn giữ ở nhiệt độ bằng 0 Trong thanh

không có nguồn nhiệt Nhiệt độ phân bố lúc đầu trong thanh có dạng

Từ đẳng thức (1.2) ta thấy rằng : vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến

x, vế phải của đẳng thức luôn phụ thuộc vào biến t Nên để đẳng thức xảy ra

thì:

'' '' ''

c   ) thì ứng với mỗi giá trị của k ta thu được

1 phương trình vi phân tương ứng T k (t) dạng:

2 2 2 2

2 2 2

'

a k t l

1

a k l

a k l

a k l

1

x D

Và điều kiện biên

Trong đó a; A; B là hằng số khác 0, f(x) là hàm giải tích trên D

(Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t >0 trong thanh đồng chất có đầu mút x=0 luôn giữ ở nhiệt độ A, đầu mút x=l luôn giữ

ở nhiệt độ B Ở thời điểm ban đầu t=0 phân bố nhiệt trong thanh là một hàm tùy ý f(x) )

Giả sử v(x,t); w 1 (x,t); w 2 (x,t) thỏa mãn các điều kiện:

Hàm v(x,t) là nghiệm của phương trình:

2 2 2 '

a k t l

1

a k t l k k

x 1

15

 

1 0 2

1 0

2.2 Bài toán truyền nhiệt có nguồn

2.2.1 Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn chỉ phụ thuộc vào tọa độ x (bài toán dừng)

Bài toán được cho dưới dạng : tìm nghiệm u(x,t) của phương trình:

x l t

0 1

i

x m

(Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở trong thanh đồng chất có

đầu mút x=0 luôn giữ ở nhiệt độ A, đầu mút x=l có nhiệt độ thay đổi tuân

theo qui luật:

x x

f x dv

c

l a

l a

Nghiệm v(x,t) của phương trình (1.3) được tìm dưới dạng:

21

r   c

Thay (1.26) vào (1.3), ta được:

" ' ' 2 "

Từ đẳng thức (1.27) ta thấy : vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào

biến x, còn vế phải chỉ phụ thuộc vào biến t nên để cho đẳng thức xảy ra thì :

Thay (1.31) vào (1.30) thì X(x)=0 nên v(x,t) =0

Nếu c=0 thì r=0 nên (1.28) cho nghiệm X(x) dạng :

Thay (1.33) vào (1.32) thì X(x) =0 nên v(x,t)=0

Nếu c<0, đặt c=-ω 2 thì r=±iω nên phương trình (1.28) cho nghiệm có dạng :

Thay (1.35) vào (1.29) (chú ý c=-ω2) thì tương ứng với mỗi giá trị của

k ta xác định tương ứng một phương trình của T k (t) dạng :

2 2 2 2

2 2 2

'

a k t l

23

( trong đó N k là hằng số tích phân và nhìn chung phụ thuộc vào k)

Thay (1.36) và (1.37) vào (1.26) thì mỗi cặp (X k (x);T k (t)) ta xác định được nghiệm riêng v k (x,t) dạng:

2 2 2 2

1

x

a k t l

x

a k t l

24

2

2 2 2 2

1

1

0 0

sin( ) (0)

t i i i

a k l

Với điều kiện ban đầu u |t0 g x  

Và một số điều kiện biên cụ thể khác nhau

Ta cũng xét một số bài toán cụ thể sau:

Và điều kiện biên | 0 0

x

x l

u D u

Trong đó a là hằng số khác 0, g(x) và f(x,t) là hàm giải tích trên D

(Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t>0

trong thanh đồng chất có hai đầu mút luôn được giữ ở nhiệt độ bằng 0 Ở thời

25

điểm ban đầu phân bố nhiệt trong thanh là một hàm tùy ý g(x) Trong thanh

có nguồn nhiệt phụ thuộc vào cả x và t là hàm f(x,t))

2 1

2 2 2 '

26

2 2 2 '

|

i j

n

t

i m

Trong đó a ,A i B j là hằng số khác 0 ; g(x) và f(x,t) là hàm giải tích trên D

(Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt trong thanh đồng nhất

có chiều dài l, nhiệt độ ở đầu mút x=0 tuân theo qui luật:

os j

j

b

a b

l c

x a

z x t B e

l a

2

2 2 2 '

2 0

Do chỉ xét x∈(0,1) nên ta có thể coi f(x,t) tuần hoàn theo chu kì l Như vậy, ta

có thể khai triển hàm f(x,t) thành chuỗi dạng :

(2 1)

a k

t l

(2 1) 4 0

r k

(0) sin ( ) (tg sin cos )

4 0

2(2 1)

2

a k l

34

Thay (2.14); (2.19) và (2.30) thì u(x,t) là hoàn toàn tường minh dưới dạng :

2 2

2

(2 1) 4 0

2.3 Bài toán truyền nhiệt với biên tương đối tổng quát

Bài toán truyền nhiệt với biên tương đối tổng quát là các bài toán truyền

nhiệt có điều kiện biên có dạng :

( Bài toán tương ứng với việc đi tìm phân bố nhiệt tại thời điểm t>0 trong

thanh đồng chất có chiều dài l, đầu mút x=0 có nhiệt độ thay đổi tuân theo

hàm g1(t) tùy ý, đầu mút x=l xảy ra sự truyền nhiệt tuân theo một hàm tùy ý

g2(t) Trong thanh không có nguồn nhiệt Phân bố nhiệt ở thời điểm ban đầu

36

Như vậy, từ điều kiện nghiệm u(x,t) của bài toán và kết hợp phương trình (1.4), ta sẽ tìm được các hàm v(x,t); w 1 (x,t); w 2 (x,t) khi chúng thỏa mãn

một số điều kiện sau:

Hàm v(x,t) là nghiệm của phương trình :

37

Các hàm w1 (x,t) và w 2 (x,t) thỏa mãn điều kiện (1.9) và (1.10) là một lớp

khá rộng rãi các hàm Tuy nhiên để thuận lợi cho việc tính toán thì các hàm

w1 (x,t) và w 2 (x,t) phải thỏa mãn một số điều kiện cụ thể sau:

1 Các hàm w1 (x,t) và w 2 (x,t) phải thỏa mãn điều kiện (1.9) và (1.10)

2 Việc lựa chọn w1 (x,t) và w 2 (x,t) sao cho hàm F(x,t) đơn giản nhất (có

thể)

3 Việc lựa chọn w1 (x,t) và w 2 (x,t) sao cho hàm G(x,t) đơn giản nhất (có

thể)

Sau đây là một số dạng hàm w1 (x,t) và w 2 (x,t) có thể sử dụng được :

Một số dạng hàm w1(x,t) thỏa mãn điều kiện (1.9):

Việc lựa chọn v(x,t) theo (1.11) là hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên (1.5)

Thay (1.11) vào (1.4) ta được :

2 2 2 '

2 0

Do chỉ xét x∈ (0,1) nên ta có thể coi hàm F(x,t) giả tuần hoàn theo chu kì 1

và vì vậy, với mỗi t>0 ta có thể khai triển hàm F(x,t) thành chuỗi dạng:

39

 

2 2 2 2

( ).

a k l

Trong đó M k là hằng số tích phân, T rk là một nghiệm riêng không thuần

nhất của phương trình (1.16), dạng T rk phụ thuộc rất lớn vào dạng γ k (t)

Thay (1.16) vào (1.11) thì v(x,t) có dạng:

 

2 2 2 2

0

a k t l

40

KẾT LUẬN

Qua thời gian tiến hành thực hiện đề tài,với sự cố gắng của bản thân và sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong khoa Vật lí và đặc biệt thầy giáo hướng dẫn – ThS Lê Khắc Quynh, đến nay em đã hoàn thành đề tài và đạt được một

số kết quả sau :

 Đề tài đề cập được một số nội dung sau :

- Xây dựng được phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng

- Phân loại được các bài toán truyền nhiệt :

+ Bài toán truyền nhiệt không có nguồn

+ Bài toán truyền nhiệt có nguồn

+ Bài toán truyền nhiệt với biên tổng quát

- Đưa ra được cách giải quyết cho từng loại bài toán trên với một số bài toán cụ thể

 Bước đầu em đã hiểu, làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và làm quen với công việc trong thực tế