Phương pháp lưới giải bài toán hỗn hợp với các phương trình dạng hyperbolic, phương trình dạng poisson

Trong những ph-ơng pháp giải gần đúng ph-ơng trình đạo hàm riêng, ph-ơng pháp l-ới hay còn gọi là ph-ơng pháp sai phân đ-ợc sử dụng phổ biến nhất.. D-ới góc độ một sinh viên chuyên nghàn

Ph-ơng trình đạo hàm riêng th-ờng xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thuỷ động học, đàn dẻo, cơ học l-ợng tử, cơ học chất lỏng,

điện - từ tr-ờng Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có ph-ơng pháp giải đúng Nhiều bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển Mặt khác trong nhiều tr-ờng hợp, có thể tìm nghiệm của bài toán ph-ơng trình đạo hàm riêng một cách khá đơn giản và hiệu quả Trong những ph-ơng pháp giải gần

đúng ph-ơng trình đạo hàm riêng, ph-ơng pháp l-ới (hay còn gọi là ph-ơng pháp sai phân) đ-ợc sử dụng phổ biến nhất

D-ới góc độ một sinh viên chuyên nghành Toán và trong khuôn khổ của một bài khoá luận tốt nghiệp đồng thời đ-ợc sự h-ớng dẫn nhiệt tình của thầy

Khuất Văn Ninh em đã chọn đề tài: "Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp với các ph-ơng trình dạng hyperbolic và ph-ơng trình Poisson''

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ph-ơng pháp l-ới giải một số ph-ơng trình đạo hàm riêng

Sử dụng ph-ơng pháp l-ới để tìm nghiệm của bài toán hỗn hợp đối với các ph-ơng trình dạng hyperbolic và ph-ơng trình Poisson

5 Phạm vi nghiên cứu

Một số tính chất của ph-ơng pháp l-ới, ứng dụng ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp đối với ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson

6 Cấu trúc khoá luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 3 ch-ơng:

Ch-ơng 1: Một số công thức và khái niệm ban đầu

Ch-ơng 2: Một số tính chất cơ bản của ph-ơng pháp l-ới

Ch-ơng 3: Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp với các ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson

Ch-ơng 1 Một số công thức và khái niệm ban đầu

1.1 Ph-ơng pháp l-ới

bài toán biên đối với các ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng ý t-ởng của ph-ơng pháp l-ới đ-ợc thể hiện nh- sau: trong miền biến thiên của các biến

độc lập chúng ta tạo ra một l-ới nhờ các đ-ờng thẳng song song với hai trục toạ độ Điểm giao nhau của các đ-ờng thẳng đó gọi là các nút l-ới (điểm l-ới) Tại các điểm l-ới thay đạo hàm trong ph-ơng trình kể cả điều kiện biên bằng các biểu thức sai phân

Nghiệm của hệ ph-ơng trình này chính là các giá trị gần đúng của nghiệm bài toán ban đầu tại các điểm l-ới

Nghiên cứu ph-ơng pháp l-ới liên quan tới việc giải các bài toán sau: 1) Lập luận khả năng giải đ-ợc của hệ ph-ơng trình nhận đ-ợc và xác

định nghiệm đúng hoặc gần đúng của nó bằng một ph-ơng pháp gần đúng nào

trong miền D với chu tuyến

Để giải ph-ơng trình (1) bằng ph-ơng pháp l-ới trong miền D = D +

ta chọn tập điểm D h M h (số điểm M đ-ợc đặc tr-ng bởi giá trị h h : giá trị

h càng nhỏ càng nhiều số điểm trong tập D ) Tập h D đ-ợc gọi là l-ới, còn h

các điểm M là nút l-ới Hàm số đ-ợc xác định trong các nút l-ới đ-ợc gọi là h

hàm số l-ới

Giả sử có u h- là nghiệm chính xác của ph-ơng trình (1.1) trong nút của l-ới D Theo quy tắc, việc xác định h u h là không thể Do đó ta phải tìm hàm số l-ới u( )h u h và giải toán gần đúng nghiệm của ph-ơng trình (1.2)

Tóm lại, khi giải bài toán (1.1) bằng ph-ơng pháp l-ới ta cần làm những b-ớc sau:

1) Chọn l-ới

2) Thiết lập công thức sai phân

3) Khảo sát tính hội tụ của công thức sai phân

+ Xác lập bài toán gần đúng của (1.1) bởi công thức sai phân (1.2) + Kiểm tra tính ổn định của công thức sai phân

Cho rằng công thức sai phân (1.2) gần đúng với (1.1) nếu nh-:

Giá trị f( )h đ-ợc gọi là sai số gần đúng Nếu f( )h Mh thì có thể l

nói rằng công thức sai phân (1.2) gần đúng với ph-ơng trình (1) tại nghiệm

h

u với bậc l t-ơng ứng với h

Công thức sai phân (1.2) đ-ợc gọi là ổn định nếu nh- tồn tại giá trị

h sao cho với mọi giá trị h h và 0 f( )h F thoả mãn: h

1) Công thức sai phân (1.2) có nghiệm duy nhất

Giả sử cho tr-ớc toán tử vi phân L tác động lên hàm số u Thay thế các

đạo hàm t-ơng ứng trong Lu bởi các tỉ sai phân, ta thu đ-ợc biểu thức sai

phân L u h ( )h là tổ hợp tuyến tính của hàm số l-ới u( )h trong tập hợp nút l-ới :

u x( ,0) ( ),x x (1.8)

Đạo hàm u t có thể thay thế bởi một trong các tỉ sai phân sau:

u x t u x h t u x h t

x h (1.14)

D-ới dạng l-ới ta lấy tất cả các điểm (x t ), trong đó m, n x m mh , t n n

và u( )h (x t đ-ợc kí hiệu là m, )n u Thay thế (1.9) - (1.11) cho u t và (1.12) m n

- (1.14) cho u / x ta có thể thu đ-ợc các l-ợc đồ sai phân khác nhau cho

điều kiện ban đầu Sau đó lập ph-ơng trình dạng (1.6), các hệ số A x y h( ,i j)

đ-ợc chọn sao cho thoả mãn điều kiện:

R u x h( ( ))i L u x h ( )i L u x( )i 0 khi h 0

Trong quá trình đó sử dụng khai triển nghiệm chính xác của ph-ơng trình (1.1) tại nút x theo công thức Taylor trong lân cận điểm j x i

Cần l-u ý rằng việc chọn hệ số A x y có thể xuất hiện ẩn số có h( ,i j)

cùng bậc t-ơng ứng với h của đại l-ợng R u x h( ( ))i Từ các l-ợc đồ sai phân có thể lựa chọn trong đó biểu thức có bậc hội tụ lớn nhất và tiện cho tính toán

Ví dụ 1.2 Trên l-ới ( ,x t ), trong đó i j x i ih , t j j xây dựng l-ợc đồ sai

phân của ph-ơng trình vi phân

Lu x t( , ) u a u ( , )x t

sử dụng tập nút l-ới III( , )x t i j ( , ),(x t i j x i 1, ),(t j x i 1, ),( ,t j x t i j 1)

Lời giải: Giả sử rằng

2 2

Ch-ơng 2 Một số tính chất cơ bản của ph-ơng pháp l-ới 2.1 Sai số của phép xấp xỉ bài toán vi phân bởi l-ợc đồ sai phân

Đặc tính quan trọng của l-ợc đồ sai phân là tính gần đúng nghiệm của nó với nghiệm của bài toán vi phân tại các nút l-ới Để thoả mãn các đặc tính đó, cần đảm bảo rằng với các bài toán sai phân thu đ-ợc phải xấp xỉ bằng với bài toán vi phân Tính "gần đúng" đ-ợc đánh giá bởi đại l-ợng:

trong đó u h- là nghiệm chính xác của bài toán vi phân tại các nút l-ới

Ví dụ 2.1: Đánh giá sai số của phép xấp xỉ ph-ơng trình (1.7) và (1.8) bởi

0, 1, 2, , 0,1, 2,

m n h

Nếu tồn tại các đạo hàm liên tục u t , 2u/ t2, u/ x , 2u/ x2 khi

x , t 0 thì áp dụng khai triển

(2)

u M

( , ) ( ),

0, 1, 2, , 0,1, 2,

m n h

3

(3)

u M

Víi chuÈn (2.1) ta thu ®-îc:

Định lý Lax: Nếu l-ợc đồ L u h ( )h f ổn định và xấp xỉ (bậc k ) bài toán h

Lu f thì nghiệm của L u h ( )h f hội tụ (bậc k ) tới nghiệm của h Lu f Nói vắn tắt: Xấp xỉ (bậc k ) + ổn định suy ra hội tụ ( bậc k )

Trong đó h và h là các toán tử rời rạc hoá thoả mãn điều kiện t-ơng thích chuẩn sau:

Nếu chỉ số h R k thì h là một chuẩn nào đó của h

Giả sử trong ph-ơng trình vi phân có sự tham gia của hàm số nào đó Chọn một điểm P tuỳ ý thuộc miền xác định của hàm số cần tìm u Giả sử

rằng giá trị u P( ) phụ thuộc vào giá trị tại các điểm của tập số

( )

trong lân cận nhỏ của điểm Q bất kỳ thuộc miền G P có thể kéo theo sự ( )thay đổi của u P( ) Giả sử rằng để xác định u ta sử dụng l-ợc đồ sai phân

Cần l-u ý rằng điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi là điều kiện cần cho

sự hội tụ cũng nh- sự ổn định của l-ợc đồ sai phân

Ví dụ 2.3 Sử dụng điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi khảo sát l-ợc đồ sai

0, 1, 2, , 0,1, 2,

m n h

Dễ thấy u thu đ-ợc theo l-ợc đồ sai phân phụ thuộc vào giá trị 0N ( )x

với Nh x 0 Suy ra, nếu thay đổi giá trị (1) và giữ nguyên giá trị

( )x đối với x thuộc Nh,0 sẽ dẫn tới thay đổi nghiệm của ph-ơng trình vi phân, giữ nguyên nghiệm của ph-ơng trình sai phân Tức là không đảm bảo tính hội tụ

Khi khảo sát l-ợc đồ sai phân với các hệ số không đổi ta áp dụng dấu hiệu phổ của tính ổn định Cũng giống nh- điều kiện Curant, Fridricxơ và Levi, dấu hiệu phổ là điều kiện cần của tính ổn định Bản chất của nó sẽ đ-ợc làm rõ trong ví dụ khảo sát l-ợc đồ sai phân sau:

u m0 (x m), m 0, 1, 2, , n 0,1,2, ,N 1,

xấp xỉ bài toán (1.7), (1.8) trên l-ới (mh n, ) khi a = 1 với sai số 0(h )

Nghiệm của ph-ơng trình (2.2) sẽ tìm d-ới dạng u m n n im e

tiến hành khảo sát Tr-ờng hợp ng-ợc lại thì kết luận l-ợc đồ sai phân không

m n

u (x t m, )n , Cộng 2 vế của các bất đẳng thức

Nh- vậy khi r 1 đối với l-ợc đồ sai phân (2.2) thoả mãn điều kiện về

sự ổn định và do l-ợc đồ sai phân xấp xỉ với bài toán Côsi (1.7), (1.8) nên nghiệm của nó hội tụ với nghiệm của bài toán (1.7), (1.8)

Ch-¬ng 3 Ph-¬ng ph¸p l-íi gi¶i bµi to¸n hçn hîp

víi c¸c ph-¬ng Tr×nh d¹ng hyperbolic,

ph-¬ng tr×nh poisson 3.1 Ph-¬ng ph¸p l-íi gi¶i bµi to¸n hçn hîp víi c¸c ph-¬ng tr×nh d¹ng hyperbolic

Gi¶ sö r»ng ta ph¶i t×m u x t( , )- nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hyperbolic:

n

s a x t h

Ph-¬ng tr×nh sai ph©n nµy xÊp xØ ph-¬ng tr×nh vi ph©n (3.1) víi sai sè

4( ) / 12,

Để tính u và m0 u cần sử dụng các điều kiện (3.3) Việc này có thể làm 1m

đánh giá bằng giá trị (đại l-ợng) M t(2) / 2,trong đó:

trong đó S - -ớc l-ợng sai số xấp xỉ các điều kiện ban đầu

Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm của bài toán hỗn hợp đối với ph-ơng trình hyperbolic

2

u t

t , ta tính đ-ợc:

u00 1 , u10 0,8; u02 0,6667; u03 0,5714; u04 0,5

Sau khi chọn các b-ớc h và l theo x và y , chúng ta xây dựng một tập

hợp các điểm (x m,y với toạ độ n) x m x0 mh , y n y0 nl trong đó , x y - 0, 0toạ độ của điểm nào đó thuộc D (m n, 0, 1, 2, ) Chúng ta đ-a vào l-ới tập hợp các điểm (x m,y thuộc n) D Khi xấp xỉ ph-ơng trình (3.9) ta

sẽ sử dụng tập l-ới Các điểm l-ới (x m,y thuộc n) D mà bốn điểm kề cùng thuộc tập các điểm l-ới của D gọi là các điểm nút trong Những điểm l-ới

dù chỉ có một điểm l-ới kề không thuộc tập các điểm l-ới của D gọi là các điểm nút biên

Sau khi thay thế các đạo hàm vào ph-ơng trình (3.9) bằng các hệ thức sai phân tại mỗi điểm nút trong, ta sẽ có ph-ơng trình sai phân:

Ph-ơng trình (3.11) cùng với các giá trị u tại các điểm nút biên tạo mn

thành hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính Sau khi giải hệ ph-ơng trình này ta sẽ tìm đ-ợc các giá tri u mn

Chúng ta xét tr-ờng hợp miền D là hình chữ nhật, nghĩa là 0 x a ,

0 y b Khi đó điều kiện giới hạn (3.10) có thể viết d-ới dạng:

u x( ,0) 0( ),x u x b( , ) 1( ),x 0 x a (3.12) ,

u(0, )y 0( ),y u a y( , ) 1( ),y 0 y b, (3.13) Sau khi lấy h a M / , l b N , trong đó / M N - là các số nguyên d-ơng, ta ,

Nếu miền D có giới hạn (biên) là một đ-ờng cong thì các giá trị u tại mn

các điểm nút biên có thể tìm đ-ợc bằng ph-ơng pháp chuyển các giá trị

( , )

u x y từ các điểm trên biên Sai số xấp xỉ của điều kiện (3.10) tại điểm nút (x m,y sẽ bằng giá trị n) O( ), trong đó - là khoảng cách từ điểm nút này tới điểm trên , mà từ điểm này ta chuyển giá trị của hàm số

Sai số xấp xỉ của điều kiện biên có thể giảm đi nếu nh- để xác định u mn

tại điểm nút biên ta sử dụng giá trị u x y( , ) tại một điểm nào đó của giới hạn

và tại một điểm nút bên trong gần nhất Thuận lợi hơn cả để dựng phép xấp

xỉ này là sử dụng các hệ số bất định

Lời giải: Ta kí hiệu ( ,x y là điểm 1 k) A, ( , 1x1 x12) là điểm B, ( ,x y1 k 1) là

điểm C Sử dụng phép khai triển:

2 2 2

1 h2 kl,

2 2 2

làm xấp xỉ đều với điều kiện biên tại điểm ( ,x y với sai số là 1 k) O l( ).2

Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm của ph-ơng trình:

m m

m

x F

x

,

2 1 2

2 3

0,040,16 ,0,36

y y y

2 1 2

2 3

0,64 0, 48 0,64 0, 28

y y y

Sử dụng những ký hiệu đã có hệ ph-ơng trình này có dạng:

Sau đó nhân ph-ơng trình thứ hai với 2, tiếp theo cộng biểu thức thu

đ-ợc với ph-ơng trình thứ nhất và thứ ba, chúng ta sẽ tìm đ-ợc u22 0 Từ hệ:

1

0,120,16 ,1,16

m m

m

x F

x

,

2 1 2

2 3

0,040,160,36

y y y

,

2 1 2

2 3

y y y

0,164

3, 2

F , 3

0,3643

2

4,6412,968,8

AF

Do đó ta tính đ-ợc

5,762013,76

2

1,053

1

0,822,31,56

U

Từ biểu thức U1 AU2 U3 F ta cũng tìm đ-ợc 2

3

6,5421,88,04

U

Bài tập:

1) Tìm nghiệm của bài toán biên sau:

A V m m 1 B V m m C V m m 1 F , m m 2,3, ,M 1, (3.17)

BV1 1 CV1 2 F , 1 A V M M 1 B V M M F , (3.18) M

Trong đó: A C - ma trận đ-ờng chéo; m, m B - ma trận ba đ-ờng chéo m

bậcN ; F V - véctơ m, m N chiều Để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) ng-ời ta sử

dụng ph-ơng pháp lặp hoặc ph-ơng pháp trực tiếp Sơ đồ tính toán ph-ơng pháp lặp để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) giống với sơ đồ mô tả trong ch-ơng 2 Các ph-ơng pháp trực tiếp cho phép cải biên hệ cần giải có tính đến dạng riêng của hệ ph-ơng trình Trong phần này chúng ta sẽ dừng lại ở phần mô tả các sơ đồ tính toán của một vài ph-ơng pháp trực tiếp

Ph-ơng pháp khử lặp ma trận Khi giải bài toán (3.17), (3.18) bằng

ph-ơng pháp này thì đầu tiên ng-ời ta tìm hệ số quét X m,Z : m

V m X V m m 1 Z m

Trong công thức (3.19), (3.20) giả sử rằng detB1 0,

1

det(B m A X m m ) 0 (m 2,3, ,M ) Các điều kiện này sẽ đ-ợc thực hiện

nếu bất đẳng thức sau là đúng:

Ph-ơng pháp quét ma trận đặc biệt Khi sử dụng ph-ơng pháp này để

giải bài toán (3.21), (3.22) ở giai đoạn quét trực tiếp chúng ta sẽ tìm đ-ợc và ghi nhớ các véctơ Y Y0, , ,1 Y M 1 , theo công thức sau:

Y0 F 0, Y m P Y m( m 1 F m), m 1, ,M 1 (3.23) Trong giai đoạn quét ng-ợc cho tr-ớc V M F và theo hệ thức truy hồi M

Trong đó: U m( )x - đa thức Cheb-sev loại hai bậc m

Phép biểu diễn này cho phép dựng thuật toán tiết kiệm phép tính tích (phép nhân) của ma trận p với véctơ W Phép tính véctơ m S P W có thể tiến m

l

l a

Nếu B- là ma trận ba đ-ờng chéo, thì để giải hệ (3.25) có thể sử dụng một trong các ph-ơng pháp quét sai phân Vì vậy để giải bài toán (3.21), (3.22) theo ph-ơng pháp quét ma trận đặc biệt đòi hỏi phải thực hiện C M N phép 1 2

toán số học

Ph-ơng pháp giảm toàn phần Ph-ơng pháp này đ-ợc áp dụng để giải

hệ ph-ơng trình (3.21), (3.22) trong tr-ờng hợp M 2 , trong đó là một số nguyên d-ơng Sơ đồ tính toán của ph-ơng pháp này nh- sau:

Ma trận B( )k cho phép biểu diễn B( )k 2T2k( / 2),B trong đó T x - đa 1( )thức Cheb-sev loại một bậc l Do đó đối với nghiệm Q của hệ B Q W thì ( )k

đẳng thức Q Q là xác đáng, trong đó véctơ 2k Q tìm đ-ợc nhờ nghiệm của 2k

Nh- vậy có thể nói đề tài đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra

Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô trong khoa Toán Mặc dù có nhiều cố gắng song do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong các thầy cô cùng bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt hơn

Tài liệu tham khảo

[1] Phạm Kỳ Anh (2005) Giải tích số Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội

[2] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiên, Nguyễn Xuân Sơn

(2001) Giải tích số Nhà xuất bản giáo dục

[3] Nguyễn Minh Ch-ơng (chủ biên), - Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh,

Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn T-ờng (2000) Giải tích số Nhà xuất bản giáo

dục

[4] Nguyễn Minh Ch-ơng (chủ biên), Nguyễn Minh Trí, Hà Tiến Ngoạn, Lê

Quang Trung (2000) Ph-ơng trình đạo hàm riêng Nhà xuất bản giáo

dục

[5] Nguyễn Minh Ch-ơng, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992) Giải xấp

xỉ ph-ơng trình toán tử NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội