Phép biến hình với các bài toán về tam giác

Sự xác định phép biến hình Muốn xác định một phép biến hình f P: P ta cần nêu rõ quy tắc f đó bằng cách sau: quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng n

CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình

Một song ánh f P: P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng

của điểm f M qua phép biến hình f nói trên Người ta còn nói phép biến

,

1.1.2 Sự xác định phép biến hình

Muốn xác định một phép biến hình f P: P ta cần nêu rõ quy tắc f đó

bằng cách sau: quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản

trong mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường

thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho vv

1.1.3 Điểm bất động của phép biến hình

Một điểm M thuộc P là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép

1.1.4 Tích của hai phép biến hình

Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên tiếp

của P thành một điểm M rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai

Tích g f o và tích f o là hai phép biến hình khác nhau g

1.1.5 Phép biến hình đảo ngược

Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M Khi

ngược của phép biến hình f đã cho

f và ta

1.1.6 Phép biến hình có tính chất đối hợp

Cho một phép biến hình f biến điểm M thành M , sau đó nếu ta thực hiện

M trùng với điểm M thì ta nói rằng phép biến hình f đó có tính chất đối

hay

f of M M f e

1.2 Phép biến hình đẳng cự trong mặt phẳng

1.2.1 Định nghĩa phép biến hình đẳng cự

,

M f M N f N ta luôn có M N MN

Nhận xét

* Đảo ngược của một phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng

f cũng là một phép

biến hình đẳng cự

1.2.2 Các tính chất của phép biến hình đẳng cự

1.2.2.1 Định lí

Phép biến hình đẳng cự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

Hệ quả 1

Phép biến hình đẳng cự biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến

một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó

Hệ quả 2

Phép biến hình đẳng cự biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến

một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn

bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia

1.2.2.2 Định lí

Tích của hai phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng cự

1.3 Phép đối xứng trục

1.3.1 Định nghĩa

thẳng d cố định Phép biến hình biến mỗi

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng Kí hiệu phép đối xứng trục này là Đ d

1.3.3.2 Nếu M là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh

của M qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục với

chính nó là phép đồng nhất

1.3.3.3 Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép

1.3.3.4 Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành

1.3.3.5 Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối

xứng d của nó

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG

1.4 Phép đối xứng tâm

1.4.1 Định nghĩa

M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng

MM gọi là phép đối xứng tâm O

B d

Điểm O gọi là tâm đối xứng Kí hiệu phép đối xứng tâm này là Ñ O Nếu

1.4.2 Định lí

Phép đối xứng tâm O là một phép biến hình đẳng cự

1.4.3 Các tính chất của phép đối xứng tâm

1.4.3.1 Phép đối xứng tâm là một phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ

các tính chất của phép biến hình đẳng cự

1.4.3.2 Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất

1.4.3.3 Nếu M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O thì M lại là ảnh

của M qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với

chính nó là phép đồng nhất

1.4.3.4 Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến

một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường

thẳng đó, biến một véc tơ thành véc tơ đối của nó

1.4.3.5 Phép đối xứng qua tâm được hoàn toàn xác định nếu cho biết tâm

đối xứng O của nó

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG

1.5 Phép tịnh tiến

1.5.1 Định nghĩa

r, phép biến hình biến

thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M thành điểm M với véc tơ tịnh tiến

đường thẳng này không phải là điểm kép

1.5.3.4 Tích của hai phép tịnh tiến

một điểm O cố định và một góc định hướng sai

B d

Trong định nghĩa trên ta kí hiệu OM OM,

uuuur uuuur

là góc định hướng mà tia đầu

là OM và tia cuối là OM Ta kí hiệu phép quay tâm O với góc quay là

cũng đi qua tâm O

1.6.3.3 Nếu phép quay tâm O góc quay biến điểm M thành điểm M

uuur uuuur

nghĩa là góc giữa hai véc tơ

Hệ quả 1

Nếu phép vị tự biến hai điểm A B, tương ứng thành hai điểm A B thì ,

biến một tia thành một tia cùng phương với tia đó

1.8 Phép đồng dạng

1.8.1 Định nghĩa

Phép biến hình f P: P gọi là phép đồng dạng nếu nó biến hai điểm A, B

1.8.3 Định lí

Mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự và một phép

biến hình đẳng cự hoặc tích của một phép biến hình đẳng cự và một phép vị

tự

Hệ quả

Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến

một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k

lần đoạn thẳng ban đầu, biến một góc thành góc bằng nó, biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó

1.8.4 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho ABC và A B C đồng dạng với nhau theo tỉ số k

phép đồng dạng f biến A thành A , B thành B , C thành C

1.8.5 Khái niệm hai hình đồng dạng

Hai hình H và H gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng

f biến hình này thành hình kia

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

2.1 Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác

2.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh trong tam giác thường gặp là bài toán chứng minh

hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều Ngoài ra yêu cầu chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy hay thỏa mãn điều kiện nào đó cũng là một dạng bài toán chứng minh

Sử dụng các phép biến hình để giải bài toán chứng minh trong tam giác như sau: Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho trong giả thiết với các điểm, các đường trong kết luận thông qua phép biến hình hoặc tích của những phép biến hình thì nhờ những tính chất không bị làm thay đổi qua những phép biến hình ấy ta nhận được kết quả về tính đồng quy hay tính thẳng hàng, quan hệ lệ thuộc, song song hay vuông góc từ đó suy ra sự bằng nhau, đồng dạng của những tam giác để đi đến kết luận

2.1.2 Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác

Bài toán 1 (Bài toán chứng minh hai tam giác đồng dạng)

Bài toán 1.1

Cho hai tam giác ABC và A B C có AB AB , BC B C , CA C A Chứng minh rằng hai tam giác đó đồng dạng

Lời giải

O A

A' H

O A

H

A'

B' C'

G

1 1

1$1$

2

2

2 3

1

1

1

Gọi O và O lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và

A B C Khi đó luôn tồn tại một phép vị tự V1 biến đường tròn O thành đường tròn O

A B C2 2 2 có ba cạnh song song với ba cạnh ABCvà cùng nội tiếp trong

một đường tròn O , do đó các đỉnh A B C2 2 2 trùng với các đỉnh ABC

Lời giải

1 1

I C k

Ta có CR AB, phép đồng dạng Z1 biến điểm B thành điểm C nên Z1

uuur uuur uuur

nên suy ra:

Z AP Z AB Z BP RC CB RB

2 2

I C k

I A

2 2

I A

k

nên Z2 biến tia AB thành tia CR 3

Mà BN AR nên Z2 biến tia NB thành tia AR 4

Từ 3 và 4 suy ra Z2 biến điểm B AB NB thành điểm

Lời giải

Ta có :

1 3

A' M

Bài toán 2

Chứng minh rằng trong một tam giác: trọng tâm, trực tâm và tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng Đường thẳng đi qua các điểm đó gọi

A' H

O A

H

A'

B' C'

G

1 1

1$1$

2

2

2 3

1 2

Vậy làO trực tâm A B C Nghĩa làV G :H a O Hay , , thẳH G O ng hàng (2) Từ (1) và (2) ta suy ra , , , H G O O thẳng hàng

Đường thẳng đi qua các điểm đĩ gọi là đường thẳng Ơle

Khai thác bài tốn trên:

“Chứng minh rằng trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân đường cao và ba trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường trịn Đường trịn đĩ gọi là đường trịn Ơle.”

Lời giải

Gọi A B C lần lượt là , , trung điểm BC CA AB, ,

O A

A' H

H

A'

B' C'

G

1 1

1$1$

2

2

2 3

3 1

1

1

Trong BHH1 cĩ BA1 vừa là đường cao, vừa là phân giác nên A1 là trung điểm của H H1 Chứng minh tương tự ta cĩ B1 là trung điểm H H2 và C1 là trung điểm của H H3

Do đĩ tứ giác BHCH1 là hình bình hành Vậy làA trung điểm H H 1

Tương tự ta cĩ B C, lần lượt là trung điểm H H H H 2 , 3

1 2

12

H

Kết luận

Trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân đường cao và ba trung

điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường trịn

Bài tốn 3

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đĩ Dựng các tam giác đều

ABD, BCE sao cho D, E nằm cùng phía so với BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm AE, DC Chứng minh rằng BMN là tam giác đều

H

B'

A' G

H

F

E

O A'

A O'

O C

Co

G H

C'

A

B C

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG

:

B

Q O K K AB

O H H BA

oaa

giác đều cĩ tâm lần lượt là O O3, 1

1

13

BO BO

1

13

H

B'

A' G

A

O' O

O C

Co

G H

1

2 3

1 1 1

Vì Q B30o:O O3 1 KH nên ta cóO O3 1 KH, O O KHuuuur uuur3 1, 30o

Vậy O O O1 2 3 là tam giác đều (đpcm)

Bài toán 5

Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA B cùng vuông tại O sao cho Onằm trên đoạn AB và nằm ngoài đoạn A B Gọi G và G lần lượt là trọng tâm OAA và OBB Chứng minh rằng OGG vuông cân

I2

I1 A

Vì sin45

sin30

PC

k PA

chung, ngược hướng nên bằng nhau (đối xứng

2.2 Ứng dụng giải bài toán tính toán trong tam giác

2.2.1 Bài toán tính toán

Bài toán tính toán trong tam giác là dạng bài toán tính số đo các góc, các cạnh, diện tích, chu vi hay thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng hình học Việc tính toán này dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, ta cần thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài toán với các giá trị cần tính toán

Trong một số bài toán việc sử dụng các phép biến hình sẽ cho ta cách giải nhanh gọn Xác lập các mối quan hệ giữa các đại lượng hình học được thực

hiện nhờ một số phép chuyển dịch, bảo toàn độ dài đoạn thẳng và bảo toàn

góc để đưa những yếu tố đã biết và những yếu tố cần tính xích lại gần nhau

Các bước giải: 3 bước

Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính toán

Bước 2: Nghiên cứu giả thiết và kết luận sau đó lựa chọn phép biến hình

phù hợp

Bước 3: Tiến hành tính toán theo các dữ kiện đã xác lập

2.2.2 Ứng dụng giải bài toán tính toán trong tam giác

Bài toán 1 (Bài toán tính các cạnh, các góc trong tam giác)

Bài toán 1.1

Cho tam giác vuông cân µ o

ABC B = 90 và điểm M nằm trong tam giác

sao cho MA: MB : MC = 1: 2 : 3 Tính số đo góc · AMB

MC MA MB thì bài toán vẫn hoàn toàn giải tương tự và ta có bài toán:

ABC B = 90 và điểm M nằm trong tam giác

sao cho MC = MA + MB Tính số đo góc · 2 2 2 AMB.”

giả thiết này bằng ABC đều thì cách giải hoàn toàn tương tự Khi đó xét

60

B

“Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm trong tam giác sao cho

Cho ABC có µ B = 60 , BA= 2cm, BC = 4cm Dựng ra phía ngoài tam o

giác một tam giác đều ACD Tính độ dài đoạn thẳng BD

Lời giải

một tam giác đều nữa là BCE Xét

BMC BEC g c g do đó CE CM CA Ba điểm E M A, , cùng nằm

·hay MAB 10 o

Bài toán1 4

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 7 Lấy M là một điểm trong tam giác sao cho · AMB = 120 , AM = 1 Tính độ dài đoạn thẳng o CM

Lời giải

CAB PAC PAB o o o Vậy

A''

Gọi là trục đối xứng của ABC C thì là trung trực của AB

CPQ là tam giác đều

Đây là một bài toán thuộc loại tính toán các đại lượng hình học, cụ thể là

tính độ lớn của một góc Vì thế có rất nhiều cách giải khác nhau, đặc biệt là hướng tính toán dựa trên cách vận dụng định lí Sin và Côsin Tuy nhiên trong

trường hợp bài toán trên thì dựa vào đặc điểm ABC mà ta nghĩ đến sử dụng

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG

I

K A

Lời giải

FDC đồng dạng với ABC nên

* Nếu diện tích tam giác nhỏ là a và 2 b thì diện tích 2 ABC là a b 2

* Thay đổi giả thiết bài toán và áp dụng cách giải tương tự ta có bài toán mới như sau:

thẳng song song với các cạnh của tam giác, chia nó thành ba tam giác nhỏ

và ba hình bình hành Tính diện tích của ABC biết diện tích ba tam giác nhỏ là: a 2 2 2

4cm , 9cm , 16cm

b xcm , ycm , zcm 2 2 2

Đáp số: a 81cm b 2

2 2

x y z cm

2.3 Ứng dụng giải bài toán quỹ tích trong tam giác

2.3.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích trong tam giác thường gặp là tìm quỹ tích đỉnh của tam

giác, tìm quỹ tích trọng tâm, trực tâm, chân đường cao của tam giác khi cho các yếu tố cố định nào đó

Sử dụng các phép biến hình, đó là các phép biến đổi 1-1 nên bài toán quỹ tích không phải làm theo hai phần: phần thuận và phần đảo như bài toán quỹ

tích sử dụng các phép biến đổi thông thường Ngoài ra sử dụng phép biến hình bài toán quỹ tích sẽ cho kết quả nhanh gọn và chính xác

2.3.2 Ứng dụng giải bài toán quỹ tích trong tam giác

Bài toán 1 (Bài toán tìm quỹ tích trực tâm tam giác) Cho đường tròn O P là điểm nằm ngoài đường tròn đó A là tiếp điểm của tiếp tuyến từ P Gọi d là cát tuyến bất kì qua P, cắt O tại B và C Tìm quỹ tích trực tâm ABC

A' M

Gọi AA là đường kính của O , M HA BC Tứ giác BHCA là hình

tới PD (D là tiếp điểm thứ hai của tiếp tuyến vẽ từ P)

Xét OPM ta có OM PO hay M nhìn PO dưới một góc vuông Vậy M

thuộc phần đường tròn đường kính PO nằm trong O

Phép vị tự V A2:M a H nên tập hợp các điểm H là ảnh của phần đường

tròn đường kính PO nằm trong O qua phép vị tự trên

Bài toán 2 (Bài toán tìm quỹ tích chân đường cao trong tam giác)

có đỉnh A cố định, đỉnh B và C lần lượt chuyển động trên các đường tròn cố định O,R , O ,R tiếp xúc ngoài với nhau

tại A Đường cao AH Tìm tập hợp các điểm H

H

B'

A' G

H

F

E

O A'

A

O' O

O C

Co

G H

C'

A

B C

Kẻ tiếp tuyến chung ngoài B C B C1 1, 2 2 của hai đường tròn O và O Gọi

1 1 2 2

R R I

Gọi

R R I

nối hai tâm của hai đường tròn Vậy AA là đường kính của đường tròn O

R R I

Mặt khác H chỉ có thể nằm trong góc tạo bởi hai đường thẳng B C1 1 và

Bài toán 3 (Bài toán tìm quỹ tích trọng tâm, trực tâm tam giác)

Cho ABCnội tiếp đường tròn O,R cho trước, có hai đỉnh A, B cố định

a Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC

b Từ đó suy ra quỹ tích trực tâm H của ABC

Lời giải