Phép biến hình với các bài toán về đường tròn

Trong nhiều tr-ờng hợp, phép biến hình là một công cụ hữu hiệu để giải quyết mội số bài toán một cách hợp lí và ngắn gọn nh- : bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình,

đổi Vai trò của phép biến hình ngày càng đ-ợc thể hiện rõ ràng và sâu sắc cả

về ph-ơng diện lý thuyết lẫn bài tập

Trong nhiều tr-ờng hợp, phép biến hình là một công cụ hữu hiệu để giải quyết mội số bài toán một cách hợp lí và ngắn gọn nh- : bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán tính toán, … Ngoài ra, có thể dựa vào một số bài toán cụ thể nào đó với phép biến hình ta có thể khai thác

để sáng tạo ra những bài toán mới khác nhau Đó là việc làm mang lại hứng thú học tập, tìm tòi nghiên cứu Hình học của học sinh Trong khuôn khổ của một khóa luận và do thời gian nghiên cứu ch-a nhiều nên tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc sử dụng phép biến hình để giải các bài toán có liên quan đến

đ-ờng tròn

Đó chính là lí do mà tôi chọn đề tài : "Phép biến hình với các bài toán

về đ-ờng tròn "

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phép biến hình

- Xây dựng các bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn giải đ-ợc bằng cách

sử dụng phép biến hình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các kiến thức về phép biến hình

- Xây dựng hệ thống các bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn thể hiện tác dụng của phép biến hình đối với bốn bài toán cơ bản : bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, bài toán tính toán

4 Đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu

- Đối t-ợng nghiên cứu : Phép biến hình

- Phạm vi nghiên cứu : Một số bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn giải

đ-ợc bằng cách sử dụng phép biến hình

5 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Phong phú, đa dạng hóa các cách giải khác nhau đối với một số bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn

- Đơn giản hóa các yếu tố phức tạp trong lời giải một số bài toán có liên quan đến đ-ờng tròn, giúp cho lời giải của bài toán trở nên lôgic và ngắn gọn hơn

Hµ ThÞ Hßa K33B_To¸n - 3 -

Ch-¬ng 1 : c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n

1.1 §¹i c-¬ng vÒ phÐp biÕn h×nh

1.1.1 Kh¸i niÖm vÒ phÐp biến h×nh

Ta kÝ hiệu tập hợp tất cả c¸c điểm của mặt phẳng là P Khi đã, mỗi h×nh

H bất k× của mặt phẳng đều là một tập con của P và được kÝ hiệu H P

Một song ¸nh f : P P từ tập điểm của P lªn chÝnh nã được gọi là một phÐp biến h×nh của mặt phẳng

1.1.2 C¸c kh¸i niÖm cơ b¶n liªn quan

Nếu phÐp biến h×nh f biến điểm M thành điểm M th× ta kÝ hiệu a

f : M M và ta nãi M là ảnh của M qua phÐp biến h×nh f, kÝ hiệu

f(M) = M Ngược lại, điểm M được gọi là tạo ảnh của điểm M qua phÐp

biến h×nh f nãi trªn

Nếu một h×nh H P ta cã thể x¸c định được tập hợp điểm

H = f(H) = f(M) : M P Khi đã, H được gọi là ảnh của h×nh H qua phÐp

biến h×nh f và h×nh H được gọi là tạo ảnh của H qua phÐp biến h×nh f đã

Một phÐp biến h×nh f cho tương ứng mỗi điểm M P thành chÝnh nã

gọi là phÐp biến h×nh đồng nhất, kÝ hiệu lµ Id hoặc e

f = Id M = f(M), M P

1.1.3 TÝch của hai phÐp biÕn h×nh

Giả sử f và g là hai phÐp biÕn h×nh của tập P Khi đã, ¸nh xạ tÝch của f và

g còng lµ mét song ¸nh từ P vào P nªn tÝch đã cũng là một phÐp biÕn h×nh của

P và ta gọi đã là phÐp biÕn h×nh tÝch của f và g KÝ hiệu: g fo

Nãi chung : g f o f go

1.2.3 ảnh của đường tròn qua phép biến hình đẳng cự

Phép biến hình đẳng cự biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó, trong đó tâm biến thành tâm

(O, R) f ( O , R)

1.2.4 Một số phép biến hình đẳng cự đặc biệt

1.2.4.1 Phép tịnh tiến

* Định nghĩa:

Trong mặt phẳng P cho véc tơ vur, phép biến hình biến mỗi điểm M thành

M sao cho uuuurMN = vur gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ vur Kí hiệu :

v

Tr Véc tơ urv được gọi là véc tơ tịnh tiến

* Một số tính ch ất:

Phép tịnh tiến là một phép biến hình đẳng cự

r ur

Kí hiệu : ĐO

* Một số tính chất:

Phép đối xứng tâm là một phép biến hình đẳng cự

Qua phép đối xứng tâm ĐO thì O là điểm kép duy nhất

Tích của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến

ĐO ĐO' = uuuur

2OO

T Phép đối xứng tâm biến đường thẳng đi qua tâm thành chính nó, biến

đ-ờng thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường thẳng

đó, biến véc tơ thành véc tơ đối của nó

1.2.4.3 Phép đối xứng trục

* Định nghĩa:

Trong mặt phẳng P cho đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho đoạn thẳng MM nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d, đường thẳng d gọi là trục đối xứng Kí hiệu : Đd

KÝ hiệu : Q hoặc Q(O, ) kO

PhÐp quay Q cã điểm bất động duy nhất là t©m quay O kO

TÝch cña hai phÐp quay:

+ Cïng t©m là mét phÐp quay : QOoQ = QO O

OM = kOMuuuuur uuuur được gọi là phÐp vị tự t©m O, tỉ số k

KÝ hiệu : V(O, k) hoặc V Ok

Điểm O gọi là t©m vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự

Với k 0, phÐp vị tự V cã duy nhất O là điểm bất động Ok

Đường thẳng nối mét điểm bất kú với ảnh của nã qua phÐp vị tự V Oklu«n đi qua điểm O

PhÐp vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trïng với nã, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng cã độ dài

V , V2 = 2

2

k O

v

T với urv (1 k O O2 )uuuuuur1 2

* ảnh của đ-ờng tròn qua phép vị tự

Phép vị tự V biến một đường tròn có bán kính R thành một đường tròn Ok

có bán kính k R

V Ok

(I; R) (I ; k R) Ngược lại, với 2 đường tròn bất kì cho trước ta có thể xác định được một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia

1.3.2 Phép đồng dạng

* Định ngh ĩa:

Một phép biến hình f : P P gọi là phép biến hình đồng dạng nếu nó biến hai điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A = f(A) và B = f(B) sao cho luôn có A B = k.AB , trong đó k là một số thực dương xác định Số k được gọi là tỉ số đồng dạng

* Các tr ường hợp đặc biệt:

Phép biến hình đẳng cự là phép đồng dạng với tỉ số k=1

Phép vị tự V là phép đồng dạng với tỉ số k Ok

* Một số tính chất:

Tích của một phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 là phép đồng dạng tỉ số k1.k2

Mỗi phép đồng dạng có thể xem là tích của một phép vị tự và một phép biến hình đẳng cự hoặc tích của một phép biến hình đẳng cự với một

phép vị tự

Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một

tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó

Hà Thị Hòa K33B_Toán - 11 -

Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực O là N(O, k) và N(O, k ) là

phép vị tự tâm O, tỉ số k

k Nếu M, N, O không thẳng hàng thì M, M , N, N là tứ giác nội tiếp, trong đó M , N là ảnh của M, N qua N(O, k)

Phép nghịch đảo N(O, k) bảo tồn góc

1.4.3 ảnh của đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn qua phép nghịch đảo

Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo O thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo trừ điểm O

Ngược lại, một đường tròn đi qua cực nghịch đảo O ( trừ điểm O ) thì

có ảnh là một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo đó

Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh của nhau trong hai phép nghịch đảo nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn

Qua phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo O biến thành một đường tròn không đi qua điểm O đó

1.4.4 Phép nghịch đảo với hai đ-ờng tròn

1.4.4.1 Tr-ờng hợp tổng quát

Cho hai đường tròn (C) và (C ) không bằng nhau và không tiếp xúc nhau

có hai phép vị tự

R R O

V và

R

- R O

V biến (C) thành(C ) Các tâm vị tự O và O không nằm trên hai đường tròn đó Khi đó, có hai phép nghịch đảo biến (C) thành (C ) là :

Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k = R p

R , trong đó p là phương

tích của điểm O đối với (C)

Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD : §inh V¨n Thñy

t t'

J O

H x

M' M

t t'

J O

H x

(C')

I (C)

Nếu hai đường trßn (C) và (C ) bằng nhau, tiếp xóc với nhau th× kh«ng

cã phÐp nghịch đảo nào biến đường trßn này thành đường trßn kia

Khãa luËn tèt nghiÖp GVHD : §inh V¨n Thñy

t t'

J O

H x

(C')

I (C)

Ch-ơng 2 : Phép biến hình với các

bài toán về đ-ờng tròn

2.1 Phép biến hình với bài toán chứng minh về đ-ờng tròn

2.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong Toán học nói chung và trong Hình học nói riêng Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các bài toán khác nh- bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán, … Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B đúng, trong đó

A là giả thiết, B là kết luận của bài toán

Có rất nhiều cách để giải bài toán chứng minh và việc sử dụng phép biến hình để giải bài toán chứng minh cũng là một cách khá hay Khi đã thiết lập

đ-ợc mối quan hệ giữa các điểm, các đ-ờng đã cho trong giả thiết A với các

điểm, các đ-ờng trong kết luận B thông qua phép biến hình hoặc tích của phép biến hình thì nhờ tính chất 1-1 của phép biến hình và tính chất không đổi trong phép biến hình đã chọn có thể khẳng định kết luận B

Giải bài toán chứng minh bằng sử dụng phép biến hình th-ờng thông qua

3 b-ớc sau :

- B-ớc 1 : Xác định giả thiết A, kết luận B

- B-ớc 2 : Thiết lập các mối quan hệ giữa các yếu tố trong giả thiết A và kết luận B Từ đó lựa chọn các phép biến hình phù hợp

- B-ớc 3 : Thực hiện các phép biến hình đã chọn để đi đến khẳng định kết luận B

2.1.2 Sử dụng phép biến hình để giải bài toán chứng minh về đ-ờng tròn

Bài toán 1 : ( Đ-ờng tròn Ơle)

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy

Chứng minh rằng trong một tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân đ-ờng cao và ba trung điểm nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đ-ờng tròn

I'

(C')

I (C) O

R

R'

O'

O2 O1

J K

I

O A

B

C I

G H

O

E

I F' C'

F D

B'

A'

G O O'

C2 B2

A2

O O' A

M' M

K

P

Q N

(C'2)

(C'1)

c

M' A

( C )

M

M1 O

A

B1 B

M

(C) N

N1

A M1

B1

B O

(C)

O

M1 M

N A

B

D1 B1

O'4

O'3 C1 D1

Kí hiệu tam giác đó là ABC

Gọi A , B , C lần l-ợt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

A1, B1, C1 lần l-ợt là chân đ-ờng cao hạ từ A, B, C của ABC

A2, B2, C2 lần l-ợt là trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm H với các đỉnh A, B, C

O, G, H lần l-ợt là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của ABC

O là trung điểm của OH

O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp A B C ( thực hiện phép vị tự

1 - 2 G

V )

O A = O B = O C (1)

Xét hình thang vuông HA A O có đáy HA1 1 và A O Do điểm O là trung

điểm của OH nên O nằm trên đ-ờng trung bình của hình thang

R = R1

2 Trong AOH có O A là đ-ờng trung bình nên : 2

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy

I'

(C')

I (C) O

R

R'

O'

O2 O1

O1

J K

I

O A

B

C I

G H

O

E

F' C'

F D

C d

B'

A'

G O O'

C2 B2

A2

O O' A

M' M

K

P

Q N

(C'1)

c

M' A

( C )

M

M1 O

A

B1 B

M

(C) N

N1

A M1

B1

B O

(C)

O

M1 M

N A

B

D1 B1

O'4

O'3 C1 D1

Do đó A, B, C, D cùng nằm trên một đ-ờng tròn

> Nhận xét:

Bài toán trên cho bốn đ-ờng tròn đôi một tiếp xúc nhau, ta nghĩ tới việc

sử dụng một phép biến hình làm giảm bớt số đ-ờng tròn đi để việc chứng minh

đỡ phức tạp hơn Do phép nghịch đảo có khả năng biến đ-ờng tròn thành

đ-ờng thẳng và ng-ợc lại, đồng thời bảo toàn góc giữa hai đ-ờng cong nên trong bài toán này ta sử dụng phép nghịch đảo thì việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy

Bài toán 4 :

Cho đ-ờng tròn (O) và điểm A cố định không thuộc (O) Đ-ờng kính

BC của (O) quay quanh O Giả sử AB, AC cắt (O) thứ tự tại B', C'

Chứng minh rằng :

a, Các đ-ờng tròn (ABC) lập thành một chùm đ-ờng tròn

b, Các đ-ờng tròn (AB'C') lập thành một chùm đ-ờng tròn

I'

(C')

I (C) O

R

R'

O'

O2 O1

O1

J K

I

O A

B

C I

G H

O

E

I F'

C'

F D

B'

A'

G O O'

C2 B2

A2

O O' A

M ' M

(C'2)

(C'1)

c

M ' A

( C )

M

M 1 O

A

B1 B

M

(C) N

(C)

O

M 1 M

N A

B

D1 B1

O'4

O'3 C1 D1

M

a, Chứng minh các đ-ờng tròn (ABC) lập thành một chùm đ-ờng tròn

Xét phép nghịch đảo N1 = N(O; -R2) với R là bán kính đ-ờng tròn (O)

A cố định ( do A cố định)

Ta lại có : PO / ( ABC ) = OB OC = - R2

(ABC) là đ-ờng tròn kép qua N1

Mà A (ABC) A (ABC)

Do đó đ-ờng tròn (ABC) luôn đi qua 2 điểm A, A cố định

Các đ-ờng tròn (ABC) lập thành một chùm Eliptic với 2 điểm căn cứ là A,

Khi đó, do MN BC và BC là đ-ờng kính của (O)

B là điểm chính giữa cung ẳMN

MC B = NC B

BC là phân giác trong ãMC N Lại do : BC AC

Do đó (AB C ) luôn đi qua A, O cố định

Các đ-ờng tròn (AB C ) lập thành một chùm Eliptic với 2 điểm căn cứ là

A, O

> Nhận xét:

Qua việc giải bài toán trên bằng 2 cách ta nhận thấy rằng : nếu giải bài toán trên bằng cách sử dụng định lý 4 mệnh đề t-ơng đ-ơng của chùm đ-ờng tròn thì việc tìm điểm cố định mà mọi đ-ờng tròn đi qua t-ơng đối khó khăn, xong nếu ta dùng phép nghịch đảo thì việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn

và lời giải bài toán ngắn gọn hơn

Bài toán 5 :

Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) trực giao với nhau và cắt nhau ở A,

B Ta lấy các điểm C, D trên hai đường tròn đó sao cho đường thẳng CD không đi qua A và B

Chứng minh rằng các đường tròn (ACD) và (BCD) lúc đó trực giao với nhau

Giải:

M

O'

M'' M'

O1

A

O2

B C

D

d

B' A'

D'

Xét phép nghịch đảo N(C; k) với k là một hằng số

N[(O1)] = d là đ-ờng thẳng

N[(O2)] = (O ) là đ-ờng tròn trực giao với d tại 2 A = N(A); B = N(B)

A B phải là đ-ờng kính của (O ) 2

Đặt : D = N(D) thì D (O ) 2 ãA D B = 90 hay A D B D

N(A D ) N(B D )

(CAD) (CBD)

( Nếu chọn D làm cực nghịch đảo thì ta có cách giải t-ơng tự.)

Bài toán 6 :

Cho đ-ờng tròn (O) và hai điểm A, B cố định trên nó Giả sử M di

động trên (O) Gọi (C) và (C') theo thứ tự là các đ-ờng tròn qua M tiếp xúc với AB tại A, B

Chứng minh rằng trục đẳng ph-ơng của (C) và (C') đi qua điểm cố

O1

A

O2

B C

D

A

O2

B C

D

d B' A'

H

A

D B

C M

N K

C' M

C M' I

Gọi I là trung điểm của AB Do A, B cố định nên I cố định

Do đó giao điểm của (C) và (C ) lại biến thành giao điểm của (C) và (C )

Gọi M là giao điểm thứ hai của (C) và (C )

2.1.3 Bài tập luyện tập

Bài 2.1.3.1 : Cho đ-ờng tròn tâm O, đ-ờng kính AB và đ-ờng thẳng d, d

vuông góc với AB, đ-ờng tròn tâm A cắt (O) ở C và D , cắt d tại E , F

A C , A D cắt d lần l-ợt tại C, D AE và AF cắt (O) lần l-ợt tại E, F

Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đ-ờng tròn

Bài 2.1.3.2 : Cho bốn điểm không thẳng hàng A, B, C, D Chứng minh

rằng góc giữa hai đ-ờng tròn (ABC) và (ABD) bằng góc giữa hai đ-ờng tròn (CDA) và (CDB)

Bài 2.1.3.3 : Cho ABC nội tiếp đ-ờng tròn (O; R) Gọi H là trực tâm của tam giác và O1, O2, O3 lần l-ợt là tâm các đ-ờng tròn ngoại tiếp các tam giác : HBC, HCA, HAB Chứng minh rằng:

a, Các điểm đối xứng của H qua các cạnh của ABC nằm trên đ-ờng tròn (O; R)

b, Các đ-ờng tròn ngoại tiếp các tam giác : HBC, HCA, HAB bằng nhau

Bài 2.1.3.4 : Trong mặt phẳng cho ba đ-ờng tròn (S1), (S2), (S3) đôi một tiếp xúc ngoài; với (S1), (S2) tiếp xúc nhau ở A; (S2), (S3) tiếp xúc nhau ở B; (S3), (S1) tiếp xúc nhau ở C Các đ-ờng thẳng AC, AB cắt (S3) lần l-ợt tại B', C'

Chứng minh rằng B C là đ-ờng kính của (S3)

2.2 Phép biến hình với bài toán quỹ tích về đ-ờng tròn

2.2.1 Bài toán quỹ tích

Khi giải một bài toán quỹ tích thông th-ờng ta phải tuân theo hai phần:

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy

- Phần thuận : Chứng minh những điểm có tính chất thuộc hình (H)

- Phần đảo : Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất Tuy nhiên phần đảo luôn là phần khó đối với học sinh Và công cụ phép biến hình đã giải quyết đ-ợc khó khăn đó vì tính chất song ánh của phép biến hình Đây là một trong những ứng dụng quan trọng của phép biến hình vào việc giải các bài toán tìm quỹ tích

Giải bài toán quỹ tích bằng ph-ơng pháp biến hình gồm 2 b-ớc:

I'

(C')

I (C) O

R

R'

O'

O2 O1

O1

J K

I

O A

B

C I

G H

O

E

I F'

C'

F D

B'

A'

G O O'

C2 B2

A2

O O' A

M ' M

(C'2)

(C'1)

c

M ' A

( C )

M

M 1 O

A

B1 B

M

(C) N

(C)

O

M 1 M

N A

B

D1 B1

O'4

O'3 C1 D1

M

B

A M

D

C

H

M ' I

O

n A

M'

C H

O I J

I B'

Gäi M lµ tiÕp ®iÓm cña BC víi (O )

R, R lÇn l-ît lµ b¸n kÝnh cña (O) vµ (O )

Gäi M lµ ¶nh cña M qua

R R A

Gäi I lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp ABC

BI lµ ph©n gi¸c cña ·ABM vµ AM BI = I

Theo tÝnh chÊt cña ®-êng ph©n gi¸c trong ABM ta cã:

k =

R

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy

Bài toán 2 :

Cho hai đ-ờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Các điểm M và M'

thứ tự di động trên (O) và (O') sao cho OA; OM = O A; O Muuuur uuuuur uuuur uuuuuur

Tìm tâm các đ-ờng tròn ngoại tiếp AMM'

I'

(C')

I (C) O

R

R'

O'

O2 O1

J K

I

O A

B

C I

G H

O'3

C1

O'4 D1

F D

C d

B'

A'

G O O'

C2 B2

A2

O O' A

M' M

2

AMB = AOO1

uuur uuuur uuuur uuuuur1

= 2 - OA; OM + O A; O M2

uuur uuuur uuur uuuur1

Gäi S vµ S' lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp AOO vµ AMM

Z(A, , k) : S S

O M

aa AOS : AMS

uuur uuur uuuur uuur

aZ(A, , h) : (O) ( )

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy

Bài toán 3 :

Cho đoạn thẳng AB cố định, M là một điểm di động trên đoạn AB

Dựng về một phía của đoạn thẳng AB hai hình vuông AMCD và MBEF

Gọi P, Q lần l-ợt là tâm các hình vuông đó K là giao điểm AC và BF

Tìm quỹ tích tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp PKQ

I'

(C')

I (C) O

R

R'

O'

O2 O1

O1

J K

I

O A

B

C I

G H

O'3

C1

O'4 D1

F D

C d

B'

A'

G O O'

C2 B2

A2

O O' A

M' M

M

M'

C D

K

P

Q N

PMQ = PMC + FMQ = 45 + 45 = 90ã ã ã

Tứ giác MQKP là hình chữ nhật

Gọi N là trung điểm của PQ N cũng là trung điểm của MK

Khóa luận tốt nghiệp GVHD : Đinh Văn Thủy

Xét phép vị tự :

1 2 K

V : M N [AB] [A B ]

aaVậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì N chuyển động trên A B với

aa

1 2 K

V : A A

B B

Do PKQ là tam giác vuông tại K nên N là tâm của đ-ờng tròn (PQK)

Quỹ tích tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp PKQ là A B

Bài toán 4 :

Cho hai đ-ờng tròn bằng nhau (C) và (C') cắt nhau tại A, B Xét cặp

đ-ờng tròn (C 1 ) và (C 2 ) thay đổi luôn tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với cả

I'

(C')

I (C) O

R

R'

O'

O2 O1

J K

I

O A

B

C I

G H

O'3

C1

O'4 D1

F D

C d

B'

A'

G O O'

C2 B2

A2

O O' A

M' M

M

M'

C D

K

P

Q N

(C'1)

c

c' M'

A