M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB.. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I.. Đường thẳng BC cắt đường tròn O’ tại J.. a
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
1 Rút gọn A
2 Tìm số nguyên x để A nguyên
3 Với x 0, x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B =
5
) 16 (x
A
Câu 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
11 21 2
1 2 3 4 9
2x2 x x x2 x
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
y
zx x
yz z
xy với x, y, z là các số dương và x2+ y2+ z2 = 1
Câu 3: (3 điểm)
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2x6+ y2–2 x3y = 320 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 6
x y y zz x
3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2
Câu 4: (6 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83
Trang 2
-Hết -PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN 9 Năm học: 2014 – 2015
1
(6đ)
a Tìm đúng điều kiện x0,x25,x9 1,0 Rút gọn
3
5
x
=> 3 1 ( )
x loai
1,0
c
3
16 3
( 5
) 16 ( 5 5
) 16 (
x
x x
x x
A
6 3
25 3
3
25
x
x x
2
(4đ)
Biến đổi:
) 1 ( 0 1 2
0 ) 11 3
4 ( 1 2
0 1 2 11 1
2 3 1 2 4
1 2 11 1
2 3 1 2 4
11 21 2
1 2 3 4 9
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x x
x x
Hoặc x 4 3 x 11 0 (2)
1,0
Giải (1) được x = 0,5 (thỏa mãn), giải (2) được x = 5 (thỏa mãn) 0,5
b A =
y
zx x
yz z
xy
2 2 2
2 2 2
2 2
y
x z x
z y z
y
x ( vì x2+y2+z2=1)
= B +2
0,75
Trang 3Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2y x
z
z y y x x
z y z
y
2
2 2 2
2 2
2z y
x z x
z
2 2
2 2 2
2 2
2x y
x z z
y
Cộng vế với vế ta được 2B 2 B 1 0,75
Do đó A2 = B +2 3 nên A 3
Vậy Min A = 3 x=y=z=
3 3
0,5
3
(3đ)
a Từ 2x6+ y2 – 2x3y = 320 <=>(x3-y)2+(x3)2=320
mà x nguyên nên x £ 2
Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6
Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2
0,75
Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là:
(2;-2); (2;6); (-2;-6); (-2;2) 0,25
b Áp dụng BĐT 1 1 4
a b a b
(với a, b > 0)
1 1 1 1
4
0,5
Trang 4Ta có:
4 x y x z x y y z 4 4 x y x z x y y z
16 x y x z y z
3x 2y 3z 16 x z x y y z
2x 3y 3z 16 y z x y x z
Cộng vế theo vế, ta có:
3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z
.6
4
(6đ)
1,0
a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD :
AC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
C
J
D
Trang 5Ta có : IDM + IMD = 90 0(vì DIM = 90 0)
Mà IJM = IDM (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là
trung tuyến)
MJO' = JMO' = IMD(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’);
ˆ '
JMO và IMDˆ đối đỉnh)
0,5
IJM + MJO' 90 0 IJO 90 0 IJ là tiếp tuyến của (O’),
b Ta có: IA = IMIO’ =
2
AB= R (R là bán kính của (O))
JIO’ vuông tại I : IJ2+ O’J2= IO’2= R2
0,5
Mà IJ2+ O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’
Do đó SJIO’
2
4
R
0,5
SJIO’= 2
4
R khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân
có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2= O’I2 = R2 O’J = 2
2
R
0,5
5
(1đ)
Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83
4 2 2 1 167 (2 1)(2 1) 167
xy x y
0,5
Do x,y nguyên dương (2x 1);(2y 1) Z
(2x 1);(2y 1)
Ư(167) Lập bảng tìm được (x,y)=(0;83);(83;0)
0,5