Những nội dung cơ bản của phép tính tích phân trong giải tích toán học

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Những nội dung cơ bản của phép tính tích phân trong giải tích toán học ” dưới sự hướng dẫn của Th.S Phùng Đức Thắ

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toỏn 1

LỜI CẢM ƠN

Trong quỏ trỡnh nghiờn cứu đề tài: “Những nội dung cơ bản của phộp

tớnh tớch phõn trong giải tớch toỏn học” tụi đó nhận được rất nhiều sự giỳp

đỡ của cỏc thầy cụ giỏo, gia đỡnh, bạn bố

Trước hết với lũng kớnh trọng và biết ơn sõu sắc, tụi xin gửi lời cảm ơn

tới Th.S Phựng Đức Thắng đó tận tỡnh quan tõm, giỳp đỡ, hướng dẫn, chỉ

bảo tụi trong suốt quỏ trỡnh nghiờn cứu đề tài

Tụi xin trõn trọng cảm ơn lónh đạo trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2,

đặc biệt là tập thể giảng viờn khoa Toỏn, đó hết sức quan tõm giỳp đỡ tụi

trong quỏ trỡnh hoàn thành khúa luận tốt nghiệp

Tụi cũng xin cảm ơn tới gia đỡnh, bạn bố đó động viờn, tạo điều kiện để

tụi cú thể hoàn thành khúa luận tốt nghiệp cuối khúa

Trong quỏ trỡnh nghiờn cứu đề tài này mặc dự đó rất cố gắng, nhưng

không tránh khỏi những thiếu sót Tụi rất mong nhận đ-ợc sự đóng góp ý kiến

của các thầy cô và các bạn sinh viờn để khóa luận của tụi đ-ợc hoàn thiện hơn

và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Tụi xin chõn thành cảm ơn!

Hà Nội, thỏng 5 năm 2011

Sinh viờn

Đỗ Thị Xoa

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Những nội dung cơ bản của phép tính tích

phân trong giải tích toán học ” dưới sự hướng dẫn của Th.S Phùng Đức

Thắng là công trình nghiên cứu của riêng tôi Khóa luận không trùng với các

kết quả đã được công bố

Nếu có gì không trung thực tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đỗ Thị Xoa

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 3

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ……… 4

NỘI DUNG ……… 6

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN……… 6

1.1 Các khái niệm ……… 6

1.1.1 Phân hoạch của một đoạn 6

1.1.2 Tổng tích phân (Tổng Riemann) 6

1.1.3 Tích phân xác định 7

1.1.4 Tổng Darboux 9

1.2 Các điều kiện khả tích ……… 11

1.3 Các tính chất của tích phân xác định ……… 14

1.4 Các lớp hàm khả tích ……… 17

1.5 Các dạng bài tập ……… 21

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI RIEMANN ……… 25

2.1 Tích phân Riemann trên hình hộp ………25

2.2 Tiêu chuẩn khả tích Lebesgue ……… 30

2.3 Tích phân trên miền tổng quát ……… 34

2.4 Định lý Fubini và công thức đổi biến số ……… 37

2.5 Các dạng bài tập ……… 47

KẾT LUẬN ……… 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 52

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Giải tích là một ngành khoa học tương đối khó và quan trọng, nó là cơ sở

của nhiều ngành toán học khác và có ứng dụng khá nhiều trong khoa học và

kỹ thuật, đặc biệt là phép tính tích phân Nhờ phép tính tích phân mà có thể

giải quyết được nhiều bài toán thực tế mà mà toán sơ cấp không làm nổi

Các kiến thức trong Giải tích rất rộng Ở cấp 3 và những năm học Đại

học chúng ta được học về Giải tích - một môn học đòi hỏi người học phải nắm

vững kiến thức về phép tính tích phân Đây là vấn đề rất lý thú và cũng còn

mới mẻ đối với đa số các bạn sinh viên mới bước chân vào giảng đường Đại

học

Xuất phát từ lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu khoa học và

được sự khuyến khích, ủng hộ, giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Th.s Phùng

Đức Thắng, tôi đã chọn đề tài “Những nội dung cơ bản của phép tính tích

phân trong giải tích toán học” làm khóa luận tốt nghiệp Hy vọng khóa luận

này sẽ có ích đối với những ai quan tâm đến phép tính tích phân

2 Mục đích nghiên cứu:

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu

hơn về giải tích toán học đặc biệt là phép tính tích phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu những nội dung cơ bản của phép tính tích phân trong giải

tích toán học

4 Đối tƣợng nghiên cứu:

Phép tính tích phân

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 5

5 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, so sánh và đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận:

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

gồm hai chương:

Chương 1: Tích phân hàm một biến

Chương 2: Tích phân bội Riemann

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 6

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

1.1 CÁC KHÁI NIỆM

1.1.1 Phân hoạch của một đoạn

Cho một đoạn thẳng trong tập số thực ¡ với hai đầu mút , a b (không

nhất thiết a b ) và xét một cách chia đoạn thành các đoạn con i với các

đầu mút x i 1, x bởi các điểm chia tùy ý lần lượt là i

Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn và ký hiệu là T

Bề rộng của phân hoạch là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm kế tiếp

T bao gồm các điểm chia của T hay nói cách khác mọi đoạn con của phân 1

hoạch T đều được chứa trong một đoạn con nào đó của phân hoạch 2 T 1

1.1.2 Tổng tích phân (Tổng Riemann)

Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn có hai đầu mút là a b , ,

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 7

T P( ) là một phân hoạch với các điểm chia a x0, , ., x1 x n b

Trên mỗi đoạn con i với hai đầu mút x i 1, x ta lấy một điểm i i tùy ý

Tổng f( , )T được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn ứng

với phân hoạch T và điểm chọn ( , , ., ) với 1 2 3 i i (i 1, 2, , )n

Khi phân hoạch Tvà điểm thay đổi ta có một họ không đếm được tổng tích

phân f(T, )

1.1.3 Tích phân xác định

Định nghĩa:

Ta nói họ tổng tích phân f (T, ) có giới hạn I ¡ khi d T( ) 0

nếu cho trước 0 bé tùy ý thì luôn luôn tồn tại một số ( ) 0 sao cho với

mọi T P( ) với d T( ) và với mọi cách lấy điểm ta đều có

Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định (tích phân

Riemann) của hàm f trên đoạn với hai đầu mút , a b và ký hiệu:

( )

b

a

I f x dx (2)

và khi đó hàm f được gọi là khả tích theo nghĩa Riemann trên đoạn

Tập hợp các hàm khả tích trên đoạn được ký hiệu là R( ) Trong ký

hiệu (2) f được gọi là hàm dưới dấu tích phân còn a và b lần lượt được gọi

là cận dưới và cận trên của tích phân

Nhận xét: Tích phân Riemann của hàm f khả tích trên [a b là duy nhất , ]

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 8

Từ định nghĩa ta thấy tích phân xác định có thể được hình dung như là

“giới hạn” của tổng Riemann khi phân hoạch được làm vụn vô cùng (tức là bề

rộng của nó tiến dần về 0)

Rõ ràng việc tính tích phân xác định theo định nghĩa là không đơn giản

chút nào vì chẳng những phải tính các tổng Riemann rất cồng kềnh mà còn

phải tìm “giới hạn” của chúng nữa Tuy nhiên, giải quyết công việc phức tạp

này lại là “sở trường” của máy tính Các chương trình tính toán thông dụng

hiện nay giúp ta tính tích phân xác định một cách nhẹ nhàng đến bất ngờ

(tham khảo sách Giải tích toán học hàm số một biến – Lý thuyết và thực hành

tính toán) Ngoài ra, ở cuối chương này, công thức Newton–Leibniz sẽ cung

cấp cho chúng ta một phương pháp độc đáo để tính tích phân xác định thông

qua nguyên hàm của hàm số (nếu như tính được) mà không cần phải tính tổng

Riemann khác nhau có giá trị là 0 và 1, tức là không thể nằm chung trong

một lân cận đủ nhỏ của bất cứ điểm nào Từ đây suy ra tích phân Riemann

của f trên đoạn 0,1 là không tồn tại

x x

Các tổng S (T)f và s (T) f lần lượt được gọi là tổng Darbuox trên và tổng

Darbuox dưới của hàm f trên a b Để đơn giản ta ký hiệu , S T , s T lần

lượt thay cho S (T), s (T) f f

với lấy bất kỳ và với mọi T P a b ,

Tính chất này là hiển nhiên vì m i f( )i M i, i=1, 2, , n

Điều này suy ra ( ) infs T f( , )T

Đẳng thức thứ hai được chứng minh tương tự

Để chứng minh tính chất này, trước hết ta chứng minh rằng nếu thêm

vào phân hoạch Tcủa a, b một điểm chia mới thì tổng Darboux dưới chỉ có

thể tăng lên Còn tổng Darboux trên chỉ có thể giảm xuống

Thật vậy, giả sử Tlà một phân hoạch nào đó của a, b , còn T nhận

được bằng cách thêm vào phân hoạch T một điểm chia x nằm giữa x k 1,x k,

Việc chứng minh S T( ') S T( ) được làm tương tự

Một cách tương tự, nếu thêm vào phân hoạch T một số hữu hạn điểm

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 11

chia mới thì tổng Darboux dưới chỉ có thể tăng lên, còn tổng Darboux trên chỉ

có thể giảm xuống Có nghĩa là nếu T2 T thì 1 s T( )1 s T( )2 S T( )2 S T ( )1

Giả sử T" là phân hoạch a, b nhận được bằng cách hợp các điểm chia

của T và T", khi đó T" T và T" T' và theo tính chất 3

Tập s T T( ) P a, b là tập bị chặn trên chẳng hạn bởi S T với một ( )1

phân hoạch T nào đó của 1 a, b do đó I tồn tại và tương tự 0 I tồn tại 0

Hơn nữa theo tính chất 4, 0

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 12

0 sao cho với mọi T P a b mà , d T( ) và với cách lấy điểm bất

kỳ ta đều có f T, I 1

Xét một phân hoạch Tcủa a b với , d T( ) , phân hoạch T gồm các

đoạn con i x i 1, x i , i 1, 2, ., n Bây giờ ta giả sử f không bị chặn

trên a b , khi đó tồn tại một đoạn con ,

Như vậy với phân hoạch Tđang xét có d T( ) nhưng f( , )T I 1

trái với tính khả tích của hàm f Vậy nếu f khả tích trên a b thì nó phải bị ,

chặn trên đoạn đó

Nhận xét: Từ định nghĩa tích phân Riemann và Định lý 1.1 suy ra hàm

không bị chặn trên đoạn a b là không khả tích trên đoạn đó Thế nhưng ,

không phải mọi hàm bị chặn đều khả tích (tính bị chặn chỉ là điều kiện cần mà

không phải điều kiện đủ) Ví dụ như hàm Dirichlet

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 13

là một hàm bị chặn trên đoạn [0, 1] nhưng với mọi T P 0, 1 nếu lấy là

điểm có tọa độ là những số hữu tỷ thì D(T, ) = b a , còn lấy là điểm có

tọa độ là những số vô tỷ thì D(T, ) = 0 nên D là hàm không khả tích

Định lý 1.2 (Điều kiện cần và đủ của tính khả tích)

Giả sử f : a b, ¡ là một hàm bị chặn, khi đó điều kiện cần và đủ

,

a b

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 15

Định lý 1.6:

Tính khả tích và giá trị tích phân của hàm f :[ , ]a b ¡ không thay đổi

nếu ta thay đổi giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm

Hệ quả:

Nếu f và g là hai hàm bị chặn trên a b và chỉ nhận những giá trị ,

khác nhau tại một số hữu hạn điểm c c1, , ., 2 c đều thuộc k a b thì chúng ,

đồng thời khả tích hoặc không khả tích trên , a b

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 16

,

x a b là nguyên hàm của f x( )

Chứng minh

Thật vậy, lấy x bất kỳ a b , vì f t liên tục tại t, x nên với 0

cho trước, tồn tại một số 0, sao cho khi t x , thì f t( ) f x( )

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 17

Hệ quả (Công thức Newton – Leibniz)

Giả sử f : a b, ¡ là một hàm liên tục, là một nguyên hàm nào

đó của f trên a b Khi đó ta có công thức Newton – Leibniz : ,

b

b a a

Vì f x( ) liên tục trên đoạn a b nên liên tục đều trên đoạn đó (theo ,

định lý Cantor) do đó, theo định nghĩa, với mọi 0 cho trước tìm được một

số ( ) 0 sao cho

', ": ' " ( )

x x x x thì f x( ') f x( ")

Ta xét T là một phân hoạch bất kỳ của a b với , d T( ) , khi đó với

mọi đoạn con x i 1, xi ta đều có x i x i x i 1 d T( ) nên x x', "

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 18

Định lý 1.11:

Hàm f x( ) bị chặn trên đoạn a b và chỉ có một số hữu hạn điểm gián ,

đoạn trong , a b thì khả tích trong đoạn đó

Chứng minh

a) Trước hết ta chứng minh định lý trong trường hợp khi hàm số f chỉ

gián đoạn tại một điểm x c a b ,

Vì f x( ) bị chặn trong khoảng a b nên tồn tại: ,

x x sao cho đường kính d T( ) 0 Ta có:

Với mỗi đoạn x i 1, x i a c, - thì x i x i 1 d T( ) 0 1, nên

c là các tổng lấy theo các đoạn con x i 1, x nằm hoàn i

toàn trong a c, - hay c , b tương ứng, "' là tổng lấy theo các đoạn

con x i 1, x có điểm chung với i c , c

Để ước lượng "' i x trước hết ta chú ý rằng i i M m , và

tổng độ dài của các đoạn con x i 1, x có điểm chung với đoạn i c , c

không vượt quá 4 Do đó:

"' "' 4 4

12 3

i x i x i (5) Kết hợp (3), (4), (5) ta chứng tỏ được rằng: với 0 bé tuỳ ý, tồn tại

d T i x Vậy f khả tích trên đoạn a b ,

b) Nếu f có một số hữu hạn điểm gián đoạn c c1, , , 2 c trong đoạn m

,

a b thì ta chia đoạn a b thành , m đoạn con d i 1, d (i=1, 2, …, m) i

sao cho trong mỗi đoạn con đó có chứa đúng 1 điểm gián đoạn Theo chứng

minh trên f x( ) sẽ khả tích trên mỗi đoạn con d i 1, d nên cũng khả tích i

trên toàn đoạn a b (theo định lý 1.5) Đó là điều phải chứng minh ,

x a b do đó f x liên tục nên khả tích trong đoạn a b ,

Giả sử f a f b với 0 bé tùy ý cho trước

Đặt

( ) ( )

Ta xét một phân hoạch T đoạn a b sao cho d T,

Vì f x là hàm không giảm trong a b nên trong mỗi đoạn , x i 1, x i

của phân hoạch T ta có

d T i x , điều này có nghĩa là f khả tích trong đoạn a b ,

Nếu f là hàm không tăng trong đoạn a b thì định lý cũng được chứng ,

Lời giải:

♦ Cách 1:

Với phân hoạch bất kì đoạn [ , ]a b thành các đoạn con bởi các điểm chia

a x x x x b thì mọi đoạn con [x i 1, ]x i i 1,2, ,n đều chứa

những điểm hữu tỷ và những điểm vô tỷ, do đó dao độ của hàm số f x( ) trên

mỗi đoạn con này đều bằng 1, tức là i M i m i 1 0,i 1,2, ,n

Do đó hàm f x( ) không khả tích trên đoạn a b bất kì ,

♦ Cách 2:

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 22

Giả sử T là phép phân hoạch tùy ý đoạn a b ,

Trên mỗi đoạn con x i 1,x ta chọn điểm i i bất kì

Như vậy kết quả của phép qua giới hạn tổng tích phân khi d T( ) 0 phụ

thuộc vào cách chọn điểm i

Do đó hàm f x( ) không khả tích Riemann trên đoạn a b bất kì ,

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 23

Nếu như trên mọi đoạn con a b, 0, 1 , hàm f x( ) có chứa những

điểm x mà f x( ) 0 , khi đó trong tổng tích phân n f, ta có thể chọn

Giả sử hàm f x( ) xác định trên đoạn a b Nếu , f x là hàm khả tích ( )

trên đoạn ,a b thì hàm f x( ) có khả tích trên đoạn đó hay không?

Lời giải:

Hàm f x khả tích trên đoạn ( ) a b thì chưa hẳn , f x( ) khả tích trên

đoạn đó Ví dụ hàm

1( )

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 25

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI RIEMANN

2.1 TÍCH PHÂN RIEMANN TRÊN HÌNH HỘP

Định nghĩa 1 (Phân hoạch của hình hộp)

Ta nhớ lại rằng phân hoạch P của đoạn a b theo định nghĩa là một ,

dãy điểm t0, , ., ,t1 t trong đó k a t0 t1 t k b Phân hoạch Pđó chia

gọi là đường kính của phân hoạch P

Phân hoạch của hình hộp a b1, 1 x x a n, b là một bộ phận n

1

( , ., )n

P P P trong đó mỗi P i là phân hoạch của đoạn a b i, i , i 1, n

Chẳng hạn nếu P1 t0, ., t là phân hoạch của đoạn k a b và 1, 1 P2 s0, ., s l

là phân hoạch của đoạn a2, b thì 2 P ( ,P P là phân hoạch của hình chữ 1 2)

nhật a b1, 1 x a2, b Phân hoạch này chia hình chữ nhật đó thành 2 k l hình

chữ nhật con t i 1, t i x s j 1,s j , i 1, , k j 1, l Một cách tổng quát nếu

phân hoạch P i chia đoạn a b thành i, i k đoạn con i (i 1, )n thì phân hoạch

d P P , trong đó d P là đường kính của phân hoạch i P i của

đoạn a b i, i , được gọi là đường kính của phân hoạch P

Ta gọi số b1 a1 x x b n a là thể tích của hình hộp đóng n a b1, 1 x

x a b cũng như của hình hộp mở n, n a b1, 1 x x a b n, n

Ta nói rằng phân hoạch P mịn hơn phân hoạch Pnếu mỗi hình hộp của

P đều chứa trong một hình hộp nào đó của P

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán 26

Định nghĩa 2 (Tích phân Riemann)

Cho hình hộp đóng A ¡ và hàmn f : A ¡ Giả sử Plà một phân

hoạch của A chia A ra k hình hộp con S S1, 2, , S k Chọn tùy ý các điểm

d P nếu với mọi 0 cho trước tồn tại 0 sao cho với mọi phân

hoạch Pcủa A mà d P( ) và với mọi cách chọn ( , , ., 1 2 k) các

điểm i S i i 1, , k ta đều có f( , )P I

Trong trường hợp này ta nói rằng hàm f khả vi trên A và giới hạn I nói

trên được gọi là tích phân của f trên hình hộpA, kí hiệu là

Nhận xét:

Định nghĩa tích phân (Riemann) của hàm nhiều biến cũng tương tự như

tích phân của hàm một biến, và khi n 1 thì chúng hoàn toàn trùng nhau

Cũng như trong trường hợp hàm 1 biến, ta sẽ luôn nói gọn tích phân Riemann

là tích phân nếu như không có sự nhầm lẫn nào có thể nảy sinh

Dễ dàng thấy rằng, tương tự như trong trường hợp hàm một biến, tích

phân của hàm nhiều biến trên một hộp là duy nhất, nếu nó tồn tại

Định lý 2.1 (Điều kiện cần của tính khả tích)

Cho hình hộp đóng A ¡ và hàm n f : A ¡ Nếu f khả tích trên A