Nghiệm nhớt liên tục của phương trình hamilton jacobi

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton-Jacobi” không có sự trùng lặp với kết quả củacác đề tài khác... Ta nói một bài toán củaphương trình đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHAN VĂN LỘC

NGHIỆM NHỚT LIÊN TỤC CỦA

PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2011

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người

thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoáluận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổGiải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốtbài khoá luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thờigian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học chonên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kínhmong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Phan Văn Lộc

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong

khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiệm nhớt liên tục của

phương trình Hamilton-Jacobi” không có sự trùng lặp với kết quả củacác đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Phan Văn Lộc

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi 3

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 3

1.2 Một số phép toán và tính chất nâng cao của nghiệm nhớt 12 1.3 Hàm marginal 21

Chương 2 Tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhớt 27 2.1 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm 27

2.2 Tính chính quy của nghiệm nhớt 40

2.2.1 Tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt 40

2.2.2 Tính nửa lõm 46

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khi xét một bài toán của phương trình đạo hàm riêng ta thường gặpnhững khả năng khác nhau về nghiệm của nó Ta nói một bài toán củaphương trình đạo hàm riêng là đặt chỉnh nếu nghiệm nó thỏa mãn cả bađiều kiện: tồn tại nghiệm của bài toán, nghiệm này là duy nhất, nghiệmphụ thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán Một cách tự nhiên, ta đòihỏi nghiệm của phương trình đaọ hàm riêng cấp k

F(x, u, Du, , Dku) = 0, ∀x ∈ Ω ⊂ RN

là một hàm k lần khả vi liên tục Nghiệm với độ trơn như thế được gọi

là nghiệm cổ điển Nhưng thực tế, những phương trình đạo hàm riêng

có nghiệm cổ điển là rất ít Vì vậy đòi hỏi phải đưa ra một khái niệm

“nghiệm suy rộng” thích hợp (nghiệm không cần khả vi đến cấp k, thậmchí không liên tục)

Một trong những loại nghiệm suy rộng có ý nghĩa rất quan trọng đó

là “nghiệm nhớt” Khái niệm “nghiệm nhớt” được M G Gandall và P

L Lions đưa ra vào những năm đầu của thập kỷ 80, đã mở ra một hướngnghiên cứu hiệu quả trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêngphi tuyến cấp 1, cấp 2, trong đó có phương trình Hamilton-Jacobi Thay

vì buộc nghiệm u phải thỏa mãn phương trình và khả vi đến cấp k , cáctác giả chỉ đòi hỏi nghiệm liên tục, thỏa mãn các bất đẳng thức vi phânthông qua “hàm thử” đủ trơn hoặc qua các khái niệm trên vi phân, dưới

vi phân.

Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trongkhuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng thời được sự hướng dẫn

nhiệt tình của thầy Trần Văn Bằng tôi đã chọn đề tài “Nghiệm nhớt liên

tục của phương trình Hamilton - Jacobi”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamiltol-Jacobi

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu nghiệm nhớt liên tục của lớp phương trình Jacobi bao gồm các khái niệm, các tính chất của nó

Hamilton-4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo

Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoáluận gồm 2 chương:

Chương 1 Nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton-Jacobi.Chương 2 Tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhớt

F(x, u(x), Du(x)) = 0 x∈ Ω (HJ)Trong đó Ω là một tập mở của Rn và hàm Hamilton F(x, r, p) là một hàmliên tục lấy giá trị thực trên Ω × R × Rn.

Định nghĩa 1.1 Một hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương

trình Hamilton-Jacobi nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) thì :

F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0 (1.1)

tại bất kỳ điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của hàm u − ϕ Tương tự một

hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình Hamilton-Jacobi

nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) thì :

F(x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0 (1.2)

tại bất kỳ điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của hàm u − ϕ Cuối cùng u

là nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệm nhớt dưới Hàm ϕ(x) được gọi là hàm thử.

Chúng ta còn biết rằng một cách chính xác định nghĩa trên còn được

áp dụng cho phương trình Hamilton-Jacobi tiến hóa có dạng:

ut(t, y) + F(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ [0, T ] × D.Thật vậy, phương trình trên có thể được đưa về phương trình (HJ) bằngcách đặt :

x= (t, y) ∈ Ω = [0, T ] × D ⊆ Rn+1, ˜F(x, r, p) = qn+1+ F(x, r, p1, , qN).với q = (q1, , qN, qN+1) ∈ Rn+1

Nhận xét 1.1 Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả sử

rằng x0 là điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u − ϕ (nếu không ta cóthể thay ϕ(x) bởi ϕ(x) + |x − x0|2) Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vàogiá trị của Dϕ tại x0, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

u(x0) = ϕ(x0) Đối với định nghĩa nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xéttương tự Về mặt hình học thì điều này có nghĩa rằng các hàm thử trongđiều kiện nghiệm nhớt dưới (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của

u Ta cũng chú ý rằng không gian C1(Ω) của các hàm thử trong Địnhnghĩa 1.1 có thể được thay thế bằng C∞(Ω)

Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt

và mối quan hệ của nó với định nghĩa nghiệm cổ điển

Mệnh đề 1.1 (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ) trong

Ω, thì u là nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω0, với mọi Ω0 ⊂ Ω;

(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả vitại mọi điểm x ∈ Ω và:

F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) = 0 ∀x ∈ Ω (1.3)

Khi đó u là nghiệm nhớt của (HJ);

(c) Nếu hàm u ∈ C1(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm cổđiển của đó

Chứng minh. (a) Nếu x0 là một cực đại địa phương (trên Ω0) của u − ϕ,

ϕ ∈ C1(Ω0) , thì x0 là một cực đại địa phương (trên Ω) của u − ˜ϕ , với mọi

˜

ϕ ∈ C1(Ω0) thỏa mãn ˜ϕ ≡ ϕ trên ¯B(x0, r), với r ≥ 0 nào đó Từ (1.1) tacó

0 ≥ F(x0, u(x0), D ˜ϕ (x0)) = F(x0, u(x0), Dϕ(x0))

Chứng tỏ rằng u là nghiệm nhớt dưới của (HJ) trên Ω0 Lập luận tương

tự ta cũng có u là nghiệm nhớt trên của (HJ) trên Ω0 Vậy (a) được chứngminh xong

(b) Lấy ϕ ∈ C1(Ω) bất kỳ Từ tính khả vi của u nên tại điểm cực tiểu hoặccực đại địa phương của u − ϕ ta có Du(x) = Dϕ(x) Từ (1.3) ta được

0 = F(x0, u(x0), Dϕ(x0) ≤ 0nếu x0 là một điểm cực đại địa phương của u − ϕ, và

0 = F(x1, u(x1), Dϕ(x1) ≥ 0nếu x1 là một điểm cực tiểu địa phương của u − ϕ Theo Định nghĩa 1.1

ta chứng minh được (b)

(c) Nếu u ∈ C1(Ω), thì ϕ ≡ u là trường hợp tầm thường trong định nghĩanghiệm nhớt, khi đó với x bất kỳ ∈ Ω thì vừa là cực đại vừa là cực tiểuđịa phương của hàm u − ϕ Do đó theo (1.1) và (1.2) thì:

F(x, u(x), Du(x)) = 0, ∀x ∈ Ω

Vậy mệnh đề được chứng minh xong

Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương Vìvậy ta có thể lấy các hàm thử trong (1.1) và (1.2) thuộc C1(RN) hoặcthuộc hình cầu bất kỳ đủ nhỏ B(x, r) tâm x ∈ Ω

Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được

nêu trong lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lý

cực đại và nguyên lý so sánh Với phương trình (HJ) hai tính chất này

được xây dựng tương ứng như sau

Định nghĩa 1.2 Một hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh với

các nghiệm nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) và tập mởO ∈ Ω,

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈O,u ≤ ϕ trên ∂O

thì u ≤ ϕ trongO.

Ta nói rằng hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi

ϕ ∈ C1(Ω) và tập mởO ∈ Ω có bất đẳng thức :

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈Othì u − ϕ không thể có cực đại không âm trongO

Dễ thấy rằng nếu hàm u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó thỏa mãn nguyên lý so sánh Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm

nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sauđây

Mệnh đề 1.2 Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u

là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Ngược lại, nếu u là mộtnghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và r → F(x, r, p) là một hàmkhông giảm với mọi x, p thì u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0 ∀x ∈O.

Nếu u −ϕ dật cực đại địa phương tại x0 nào đó ∈O với u(x0) − ϕ(x0) ≥ 0.Khi đó từ giả thiết đơn điệu của F đẫn đến mâu thuẫn:

0 < F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) ≤ F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0

Do đó, u thỏa mãn tiêu chuẩn cực đại và tiêu chuẩn so sánh

Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên Khi đó dấu trongcác bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại được đảolại, cực đại không âm được thay thế bằng cực tiểu không dương

Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấucủa phương trình Thật vậy, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕđều là cực tiểu địa phương của −u − (−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dướicủa phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt trên củaphương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tự u là nghiệm

nhớt trên của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớtdưới của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω Một ví dụ cụthể như sau :

Ví dụ 1.1 Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:

− |u0(x)| + 1 = 0, x ∈ [−1, 1]

Để kiểm tra điều này ta có: nếu x 6= 0 là một cực trị địa phương của

u− ϕ thì khi đó u0(x) = ϕ0(x) Vì vậy tại những điểm này điều kiệnnghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới được thỏa mãn Ngoài ra nếu 0 làcực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ0(0)| ≤ 1 suy ra điềukiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0 không thể làcực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C1([0, 1]) Thật vậy nếu 0 là cựcđại địa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong một lâncận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của 0, từ đó ta có :

Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ

Mặt khác hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phươngtrình :

u0(x) − 1 = 0, x∈ [−1, 1]

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cựctiểu địa phương của |x| − (−x2)

Bây giờ ta nêu nên một định nghĩa khác về nghiệm nhớt của phươngtrình (HJ) và chứng minh định nghĩa mới là tương đương với định nghĩađược nêu trước đó Cho hàm số u ∈ C(Ω) và x ∈ Ω xét các tập hợp :

Các tập hợp trên được gọi tương ứng là trên vi phân và dưới vi phân (gọi chung là bán vi phân) của u tại x.

Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D+u(x) và D−u(x) qua các hàm thử

Bổ đề 1.1 Cho u ∈ C(Ω) Khi đó,

(a) p ∈ D+u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p

và u − ϕ đạt cực đại địa phương tại x;

(b) p ∈ D−u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p

và u − ϕ đạt cực tiểu địa phương tại x

Bổ đề 1.2 (Một vài tính chất của trên vi phân và dưới vi phân)

(a) D+u(x) và D−u(x) là các tập con lồi, đóng (có thể là tập rỗng) của

Định nghĩa 1.3 Một hàm số u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương

trình (HJ) trong Ω nếu :

F(x, u(x), p) ≤ 0, ∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D+u(x); (1.4)

là nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) trong Ω nếu :

F(x, u(x), p) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D−u(x) (1.5)Đương nhiên, u là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) nếu (1.4) và (1.5)cùng thỏa mãn

Định nghĩa trên thì mang tinh thần của giải tích không trơn hơn nhưngtrong nhiều trường hợp nó tỏ ra thuận tiên hơn Định nghĩa 1.1 trước đó

Ta sử dụng nó để chứng minh một số tính chất quan trọng của nghiệmnhớt Đầu tiên ta đi chứng minh một kết quả nhằm hoàn chỉnh Mệnh đề1.2

Mệnh đề 1.3 (a) Nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của phương trình

(HJ) thì :

F(x, u(x), Du(x)) = 0tại mọi điểm mà u khả vi

(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhớtcủa (HJ) thì :

F(x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ω

Chứng minh. Nếu u khả vi tại x thì theo Bổ đề 1.1(b) {Du(x)} = D+u(x) =

D−u(x) Do đó theo Định nghĩa 1.3 thì :

0 ≥ F(x, u(x), Du(x)) ≥ 0,

vậy (a) được chứng minh xong.

Mệnh đề (b) được suy ra trực tiếp từ định lý Rademacher về tính khả

vi hầu khắp nơi của hàm liên tục Lipschitz

Nhận xét 1.2 Phần (b) của Mệnh đề 1.3 thể hiện rằng mọi nghiệm

nhớt đều là nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương là

nghiệm tổng quát nếu :

F(x, u(x), Du(x)) = 0 h.k.n trong Ω

Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát khôngphải là nghiệm nhớt Thật vậy ta xét ví dụ sau để thấy được điều này:

Ví dụ 1.2 Cho hàm u(x) = |x| ta thấy u thỏa mãn :

u0(x)

... ∧ vcũng nghiệm nhớt phương trình (HJ)

(c) Nếu u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) mà u ≥ vvới nghiệm v ∈ C(Ω) phương trình (HJ) Khi u nghiệmnhớt dó nghiệm nhớt phương trình (HJ)

Chứng... định nghiệm nhớt)

(a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ).Khi u ∨ v nghiệm nhớt phương trình (HJ).(b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) u ∧ vcũng nghiệm. .. data-page="24">

nghiệm nhớt phương trình khi

Theo hệ định nghĩa nghiệm nhớt ta có: u ∈ C(Ω) mộtnghiệm nhớt phương trình (HJ) Ωi(i = 1, 2) u nghiệmnhớt phương trình (HJ) Ω1∪