Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường

Do đó, để giải đ-ợc các ph-ơng trình vi phân thông th-ờng ng-ời ta phải sử dụng các ph-ơng pháp giải xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng của chúng.. Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho mìn

Trang 1

Nguyễn Thị Liờn 1 K33 Toỏn

Lời Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tài

Ph-ơng trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học hiện đại Rất nhiều bài toán trong toán,vật lý, hoá học, đều dẫn đến việc giải các ph-ơng trình vi phân th-ờng Tuy nhiên lớp các ph-ơng trình vi phân có thể tìm đ-ợc nghiệm chính xác rất hẹp Do đó, để giải đ-ợc các ph-ơng trình

vi phân thông th-ờng ng-ời ta phải sử dụng các ph-ơng pháp giải xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng của chúng

Do nhu cầu thực tiễn, các nhà khoa học đã tìm ra rất nhiều ph-ơng pháp

để tìm nghệm gần đúng của các ph-ơng trình vi phân th-ờng

Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho mình những kỹ năng và kinh nghiệm khi tiếp cận với ứng dụng của công nghệ thông tin vào việc giải toán

đồng thời để hiểu sâu hơn về bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân

th-ờng nên em chọn đề tài là: ‘‘Một số ph-ơng pháp giải bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng‛

2 Mục đớch nghiờn cứu

Giới thiệu khỏi quỏt về các kiến thức cơ bản, một số ph-ơng pháp giải bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng và ứng dụng phần mềm Maple để giải bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng

3 Đối tượng, phạm vi nghiờn cứu

Đối tượng nghiờn cứu: Một số ph-ơng pháp giải bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng và ứng dụng phần mềm Maple để giải bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng

Phạm vi nghiờn cứu: Chương trỡnh toỏn giải tích

4 Nhiệm vụ nghiờn cứu

Túm tắt những kiến thức cơ bản, một số ph-ơng pháp giải bài toán biên

đối với phương trỡnh vi phân th-ờng, kiến thức về phần mềm Maple

Trang 2

Đưa ra cỏc vớ dụ ứng dụng phần mềm Maple để giải bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng

5 Cỏc phương phỏp nghiờn cứu

Nghiờn cứu lý luận

Tổng kết kinh nghiệm

Trang 3

Ch-ơng 1 Các kiến thức mở đầu

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Khái niệm về số gần đúng

1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số t-ơng đối

Trong tính toán, ta th-ờng phải làm việc với cỏc giá trị gần đúng của

các đại l-ợng Ta nói a là số gần đúng của a* nếu a không sai khác a* nhiều

Đại l-ợng

*

biết Tuy nhiên, ta có thể tìm đ-ợc a 0, gọi là sai số của a, thỏa mãn

1.1.1.2 Sai số thu gọn

Một số thập phân a có dạng tổng quát nh- sau:

1 1

Trang 4

toán với số chẵn tiện hơn

Ví dụ : a = 0,0030140 Ba chữ số ‚0‛ đầu không có nghĩa Mọi chữ số

có nghĩa j của a p10p p s10p s gọi là chữ số chắc nếu

.10i

a trong đó là tham số cho tr-ớc Tham số đ-ợc chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a tr-ớc khi thu gọn là i Để i 1 và cả các chữ số tr-ớc nó vẫn

chắc, phải có a a 10i 1 Suy ra 10i 0,5.10i 1 10i 1 hay 5

9

Trang 5

Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu = 0,5 ( =1) Khi viết số

gần đúng,chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi tính toán sai số chỉ tác động đến các chữ số không chắc mà thôi

1.1.2 Sai số tính toán

Trong tính toán ta th-ờng gặp bốn loại sai số sau:

a) Sai số giả thiết: Do mô hình hoá, lý t-ởng hoá bài toán thực tế.Sai số

này không loại trừ đ-ợc

b) Sai số ph-ơng pháp: Các bài toán th-ờng gặp rất phức tạp, không thể

giải đúng đ-ợc mà phải sử dụng các ph-ơng pháp gần đúng Sai số này

sẽ đ-ợc nghiên cứu cho từng ph-ơng pháp cụ thể

c) Sai số các số liệu: Các số liệu th-ờng thu đ-ợc bằng thực nghiệm do đó

có sai số Sai số của các số liệu gần đúng đã đ-ợc nghiên cứu trong t1

d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên

khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

Giả sử phải tìm đại l-ợng y theo công thức: y f x x1, 2, ,x Gọi n

Trang 6

Nguyễn Thị Liên 6 K33 Toán

i i

Trang 7

Sai số t-ơng đối của một tích bằng tổng các sai số t-ơng đối của các số hạng thành phần

1.1.2.3 Sai số t-ơng đối của một th-ơng

Giả sử tính 1

2

x y x

x

x y

Trang 8

Cho y x , khi đó y | d ln | y x | | x

Nếu > 1 (phép lũy thừa) thì y > x do đó độ chính xác giảm

Nếu 0 < < 1 ta có phép khai căn, khi đó y < x hay độ chính xác tăng Nếu = - 1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa là độ chính xác không

đổi

1.1.3 Bài toán ng-ợc của lý thuyết sai số

Giả sử đại l-ợng y tính theo công thức y = f x x( ,1 2, ,x hỏi phải lấy n)

i

x bằng bao nhiêu để y const cho tr-ớc?

Sau đây là hai ph-ơng pháp đơn giản để giải bài toán trên:

f x

| |

i i

x k

, (i=1, n )

Trang 9

Ví dụ

Một hình trụ có bán kính đáy R=2m Chiều cao h=3m Hỏi R và h

phải bằng bao nhiêu để thể tích V đ-ợc tính chính xác tới 0,1m3?

Suy ra R = 0,1

3.37,7< 0,001;

212,6

V

R h

Do đó h = 0,1

3.12,6< 0,003

1.1.3.2 Ph-ơng pháp biên

Giả sử hàm y f x x( ,1 2, ,x đồng biến theo các biến n) x x1, 2, ,x và nghịch p

biến theo các biến còn lại x p 1, ,x Nếu biết cận thay đổi của đối số n

Trang 10

1.2.1 Định nghĩa

Giả sử y = f(x) là hàm xác định trên tập X, h > 0 sao cho x+h X , khi

đó biểu thức f(x) = f(x+h) - f(x) đ-ợc gọi là sai phân của hàm số f(x) tại

điểm x

2f = ( f) = [f(x+h+h) - f(x+h)] - [f(x+h) - f(x)]

= f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)

= f(x+h) - f(x) đ-ợc gọi là sai phân cấp hai của f(x) tại x

T-ơng tự n f = ( n 1f) đ-ợc gọi là sai phân cấp n

1.2.2 Tính chất của sai phân

1.2.2.1 Sai phân là một ánh xạ tuyến tính (toán tử tuyến tính)

1.2.3 Bảng sai phân

Trang 11

y

2 3

y

2 2

y

2 1

y

2 0

y

2 1

y

2 2

y

3 4

y

3 3

y

3 2

y

3 1

y

3 0

y

3 1

y

4 4

y

4 3

y

5 3

y

5 2

y

5 1

y

6 4

y

6 3

y

6 2

y

Trang 12

trình (1.1.1) nếu: (x,y) D (D là miền xác định của ph-ơng trình) ta có thể giải ra đối với c, c = (x,y) Hàm y= (x,c) thỏa mãn (1.1.1) khi (x,y) chạy

khắp D c R

Trang 13

1.4 Bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng

đ-ợc gọi là điều kiện biên của ph-ơng trình (1.1.2) Nếu g = 0, thì ta gọi là điều kiện biên thuần nhất Ph-ơng trình (1.1.2) cùng các điều kiện (1.1.5) lập thành bài toán biên

Bài toán biên đ-ợc gọi là thuần nhất nếu g = 0, 1,m và f(x) 0

Trong tr-ờng hợp khác ta gọi là không thuần nhất, đôi khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu g = 0 nh-ng f 0 Định nghĩa tổng quát về bài toán biên

trên đây bao gồm cả bài toán Cauchy thông th-ờng (khi ( ( ) 0 v, )

Ta thấy rằng (x) 0 thỏa mãn bài toán biên thuần nhất Nghiệm đó gọi là

nghiệm tầm th-ờng

Trang 14

Nếu 1, , k là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ hợp tùy ý của chúng: c1 1 c k k cũng là nghiệm của bài toán đó

1.4.2 Điều kiện giải đ-ợc của bài toán biên

Có những bài toán biên không có một nghiệm nào cả, chẳng hạn:

( ) 0( ) ( ) 1( ) ( ) 0

trong biểu thức 0 c1 1 c n nsao cho điều kiện (1.1.5) đ-ợc thỏa mãn Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải đ-ợc là ma trận:

Nếu ma trận (1.1.6) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải đ-ợc và

có (n-r) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm th-ờng với m < n Trong tr-ờng hợp m = n bài toán biên thuần nhất chỉ có nghiệm không tầm th-ờng khi định thức của ma trận (1.1.6) bằng không Nh- vậy trong tr-ờng hợp m =

Trang 15

n hoặc bài toán biên không thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất t-ơng ứng có ít nhất một nghiệm không tầm th-ờng

1.4.3 Đưa bài toỏn biờn về bài toỏn Cauchy

Cho ph-ơng trình : F x y y( , , , ,y( )n ) 0;a x b (1.1.7) Bài toán biên

hai điểm đối với ph-ơng trình (1.1.7) đ-ợc đặt ra nh- sau: Cho hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện (1.1.7) trên đoạn [a;b] và thỏa mãn điều kiện biên ở hai

Để cho đơn giản ta hạn chế tr-ờng hợp bài toán biên tuyến tính với n=2 Khi

đó ph-ơng trình vi phân và điều kiện biên đ-ợc viết d-ới dạng:

L y x( ) y x( ) p x y x( ) ( ) q x y x( ) ( ) f x (1.1.10) ( )

a x b

l0 y a( ) 0y a( ) 0y a( ) 0 (1.1.11)

l y b1 ( ) 1y b( ) 1y b( ) 1 (1.1.12) Trong đó p(x), q(x), f(x) là những hàm số cho tr-ớc, 0, 0, 0, 1, 1, 1

là những hằng số cho tr-ớc

Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm đã đ-ợc xem xét trong giáo trình về ph-ơng trình vi phân ở đây ta luôn có nghiệm y(x) của bài toán tồn tại và duy nhất và tồn tại các đạo hàm của y(x) với bậc đủ cao Giả thiết các điều kiện sau đ-ợc thỏa mãn: 0 0 0; 1 1 0

Các ph-ơng pháp đ-a bài toán biên về bài toán Cauchy:

Trang 16

Thuật toán mô tả ở trên có nh-ợc điểm cơ bản nh- sau:

1) Nó chỉ áp dụng để giải các bài toán biên với các ph-ơng trình vi phân tuyến tính

2) Trong quá trình thực hiện có thể dẫn đến sự thiếu chính xác (chẳng hạn

một thay đổi nhỏ trong quá trình tính c c có thể dẫn đến sai số lớn khi 1, 2tính y(x))

Trang 17

Và lại một lần nữa giải (1.1.16) với t t Dễ dàng chứng tỏ rằng ở 2

trong bài toán nói trên Z x t( , )2 y x ( )

Ph-ơng pháp bắn có thể khái quát cho tr-ờng hợp bài toán phi tuyến nh-ng cũng nh- ph-ơng pháp biến thiên hằng số có thể dẫn đến sai số (mất đi

Nh- vậy với điều kiện 0 0 l-ợc đồ tính toán của ph-ơng pháp đuổi

vi phân đối với ph-ơng trình (1.1.10) - (1.1.12) gồm những b-ớc nh- sau: 1) Giải bài toán Cauchy:

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )

0( ) ( )( ( ) ( )) ( ), ( )

Trang 18

đối với Z x Z x với x [a,b] 1( ), 2( )

2) Sử dụng các giá trị của Z x Z x để tìm y(x) từ bài toán Cauchy sau: 1( ), 2( )

2

0 1

Nếu thoả mãn điều kiện 0 0 0, 1 1 0, ( )q x 0,x [ , ]a b thì ph-ơng

pháp đuổi vi phân sẽ ổn định đối với sai số tính toán

Trang 19

Ch-ơng 2 một số ph-ơng pháp giảI bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng

2.1 ph-ơng pháp đuổi giải bài toán biên của ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai

2.1.1 Bài toán

Xột phương trỡnh vi phõn ( , , ,F x y y y ) 0 , x [ , ].a b (2.1.1)

Bài toỏn biờn hai điểm với phương trỡnh (2.1.1) được đặt như sau:

Tỡm hàm y = y(x) sao cho bờn trong đoạn [a,b] thỡ thoả món phương trỡnh

(2.1.1), cũn ở hai đầu mỳt thỡ thoả món điều kiện biờn:

Phương trình (2.1.3) là phương trình tuyến tính cấp hai đối với y ,điều

kiện (2.1.4) là biểu thức tuyến tính cấp hai đối với y(a), y a y b y b trong ( ), ( ), ( )

đó p(x), q(x),f(x) là những hàm đã biết, xác định và liên tục trên đoạn [a,b];

Trang 20

Trang 21

NhËn xÐt: Hai b-íc ®Çu lµ ®uæi thuËn Hai b-íc sau lµ ®uæi ng-îc C¸c

b-íc ®-îc thùc hiÖn víi ®iÒu kiÖn: 01 0 , bi + ciXi 0, 0

Trang 22

Ph-ơng pháp đuổi thuận sẽ ổn định với việc làm tròn số khi thực hiện

n

Z B-ớc 2: Sử dụng công thức truy hồi :

(1)1 i (1)

i

c X

b a X ,

(1) (1)

1

Z

Chú ý: Khi giải bài toán biên thì điều kiện (2.2.10) hoặc (2.2.11) t-ơng ứng là

điều kiện: 01 0 , b i c X i i 0, i = 1,…, n-1 hoặc 02 0 , b i a X i i(1) 0, i = 1,…, n-1

Điều kiện 0 hoặc 1 0sẽ đ-ợc thực hiện nếu hệ (2.2.3)-(2.2.5) có lời giải duy nhất Trong tr-ờng hợp điều kiện (2.2.10), (2.2.11) không đ-ợc thực hiện thì để giải hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính (2.2.3)-(2.2.5) có thể sử dụng ph-ơng pháp trực giao Ph-ơng pháp này gồm các b-ớc sau :

Trang 23

1 0

cos i sin i cos

y i u isinx i v icosx , i y i 1 u icosx i v isinx i

Ta tìm lời giải của bài toán (2.2.3) - (2.2.5)

Chú ý: khi a c i i 0, (i=1,…,n-1), điều kiện: 0 0 , 1 0, i 0 khi

và chỉ khi hệ (2.2.3)- (2.2.5) có lời giải duy nhất

Việc tính toán được tiến hành theo thứ tự sau :

Chiều thuận :

Trước hết ta tính các giá trị a b c t Sau đó sử dụng công thức i, , ,i i i(2.2.6) để tính giá trị X Z và áp dụng công thức truy hồi (2.2.7) ta tìm được 1, 1các giá trị X i 1,Z với i=1…,n-1 i 1

Chiều ng-ợc :

Sử dụng các giá trị đã biết, ta tính được y theo công thức : n

Trang 24

02 02

n n

n

Z y

X Sau đã ta tÝnh được c¸c gi¸ trị y với i=n-1,n-2,…,1 nhờ ¸p i

dông c«ng thức truy hồi (2.2.9)

Kết quả tÝnh to¸n được điền vào bảng cã dạng như sau:

thu được c¸c gi¸ trị liªn tiếp cần t×m của hàm y theo chỉ số i giảm dần từ i=n i

đến i=1

2.1.4 VÝ dụ

Trang 25

y (x 1)y y x với điều kiện biªn : (0) 1

(1) 0

y y Giải :

2

( 1)

10

với i 1,9

0 10

(2,1 0,01 ) 3,98 (1,9 0,01 ) 0,002

10

y y

Trang 26

i

Z

i X (i=1,…,9) Chiều ngược:

Theo bài ra ta cã y10 0, biết y10,X10,Z ta sẽ t×m được c¸c gi¸ trị 10 y i

(i=9,8,…,1) theo c«ng thức: y i 1 X y i i Z (i=10,9,…,1) i

Trang 27

Qu¸ tr×nh tÝnh đã được cụ thể hãa bằng thuật to¸n, tuy nhiªn nếu ta sử dụng c¸ch tÝnh tay hoặc sử dụng m¸y tÝnh điện tử bỏ tói th× với một khối lượng phÐp tÝnh nhiều như vậy sai số và thời gian bỏ ra là đ¸ng kể

Lợi dụng tÝnh tường minh của c¸c c«ng thức tÝnh , , ,a b c X Z y và i i i i, i, itÝnh chất lặp của qu¸ tr×nh tÝnh to¸n, ta cã thể tÝnh ra kết quả một c¸ch dễ dàng

Trang 28

Begin

Clrscr;

Write(‘Cho a_1,b_1, 01, 01, 01, 02, 02, 02’); Readln (a_1,b_1, 01, 01, 01, 02, 02, 02); Write (‘Nhap n=’); Readln (n);

y:=( 02 02* ( )) / (Z n 02 02*X n( ));

For i:=n downto 1 do

y:=X(i)*y(i)+Z(i);

Trang 29

Write (‘ket qua tinh duoc la :’);

Vậy nếu biết ¸p dụng tin học vào c¸c phương ph¸p tÝnh này một c¸ch hợp

lý th× chắc chắn hiệu quả sẽ cao

Bài 2: Bằng phương ph¸p đuổi giải phương tr×nh sau :

Trang 30

1 0 0

Trang 31

TÝnh c¸c gi¸ trị , , ,a b c t với i =1,9 i i i i

Tiếp theo ta t×m : X Z theo c«ng thức : i, i

01 1

i X

01 1

01

Z , 1 0,004 (1 0,01 )

i i

Trang 32

i

Z

i X (i=1,2,…,9) Chiều ngược:

TÝnh y theo c«ng thức 10 02 02 10

10

02 02 10

Z y

X

Biết y10,X10,Z ta t×m 10 y theo c«ng thức i y i 1 X y i i Z i

(i=10,9,…,1)

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	1,63 MB