Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng

Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo - Tiến sĩ - Tạ Ngọc Trí, em đã chọn

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỉ XX và đến nay vẫn được xem như là một ngành toán học cổ điển Trong quá trình phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú, những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan, sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toán học Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo - Tiến sĩ - Tạ Ngọc Trí, em đã chọn đề tài: “Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng”

2 Cấu trúc của khóa luận

Nội dung của khóa luận bao gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Cách xác định tôpô qua nửa chuẩn

Chương 3: Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính

Trang 2

Nghiên cứu về cách xác định tôpô qua nửa chuẩn, ba loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn, quan hệ giữa chúng và một số định lý liên quan đến chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp

Trong thời gian học tập, nghiên cứu em đã nhận được sự quan tâm, giúp

đỡ tận tình của các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích và đặc biệt là TS Tạ Ngọc Trí, người đã trực tiếp hướng dẫn em, để em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp đại học này Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích và TS

Tạ Ngọc Trí

Cuối cùng em xin chúc các thầy cô cùng gia đình mạnh khỏe, hạnh phúc

và thành công trong cuộc sống

Trang 3

NỘI DUNG Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước khi tìm hiểu về các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn, chúng ta cần nắm được một số kiến thức cơ bản Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó Các khái niệm và kết quả trình bày trong chương này được tham khảo ở các tài liệu [1], [2], [3],[5] và [6]

1.1 Không gian tuyến tính

Ở mục này, ta đi nhắc lại một số kiến thức về không gian tuyến tính Những khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo trong tài liệu [3]

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tuyến tính)

Giả sử F là trường số thực ¡ hoặc số phức £ Tập X khác rỗng cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân với vô hướng ):

Phép cộng xác định trên X X và lấy giá trị trong X:

Trang 4

(viii) x X : 1.x = x

Nếu F =¡ thì X được gọi là không gian tuyến tính thực Nếu F = £ thì X được gọi là không gian tuyến tính phức

Không gian tuyến tính thường gọi là không gian véctơ và các phần tử của

nó thường gọi là các véctơ

Định nghĩa 1.1.2 ( tập lồi)

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực Một tập con K

của X được gọi là lồi nếu với mỗi x, y K thì ax + (1 a)y K, 0 a 1

1.2 Không gian metric

Trong mục 1.2 này ta đi nhắc lại một số kiến thức về không gian metric Các khái niệm và kết quả ở mục này được tham khảo trong tài liệu [1] và [3]

Định nghĩa 1.2.1 (Không gian metric, metric) Ta gọi là không gian metric

một tập hợp X¹ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X´ X vào tập số thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) ( x, y X ) d(x,y) 0, d(x,y) = 0 Û x = y ; ( Tiên đề đồng nhất) ; 2) ( x, y X ) d(x,y) = d(y,x) ; ( Tiên đề đối xứng ) ;

3) ( x, y, z X ) d(x,y) d(x,z) + d(z,y) ; ( Tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x

và y Các phần tử của X gọi là các điểm ; Các tiên đề 1) , 2), 3) gọi là hệ tiên

đề metric Không gian metric kí hiệu là M = (X,d)

Ví dụ 1.2.1 Với hai phần tử bất kì x, y ¡ ta đặt : d(x,y) = |x y| (1)

Hệ thức này xác định một metric trên ¡ Không gian tương ứng được kí hiệu

là ¡ Ta gọi metric này là metric tự nhiên 1

Ví dụ 1.2.2 Ta ký hiệu l 2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x = (xn

)n=1 sao cho chuỗi số dương n 2

Trang 5

Với hai dãy số bất kỳ x = (xn)n=1 và y = (yn )n=1 ta đặt :

lim

n xn = x0 hay xn® x0 (n® )

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy ( )xn trong không gian M

Định nghĩa 1.2.3 (Hình cầu mở, hình cầu đóng)

Cho (X, d) là không gian metric

Ta gọi là hình cầu mở tâm a X bán kính r > 0 tập hợp

S(a;r = {x X: d ) (x,a < r}; )

Ta gọi là hình cầu đóng tâm a X bán kính r > 0 tập hợp

S(a;r = {x X: d ) (x,a r} )

Định nghĩa 1.2.4 (Lân cận) Cho không gian metric M = (X,d) Ta gọi là lân

cận của điểm x X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r >

0 nào đấy

Định nghĩa 1.2.5 (Tập mở, tập đóng) Cho không gian metric M = (X,d) và

tập A X Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm x A, thì tồn

tại một lân cận của x bao hàm trong A

Tập A được gọi là tập đóng trong không gian M, nếu điểm x A, thì tồn

tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A

Trang 6

Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian metric M = (X, d) và hai tập con khác rỗng

A, B của X Tập A gọi là trù mật trong tập B, nếu với mỗi phần tử x B đều

có ( > 0) ( y A) d(y, x) < Khi tập B = X thì tập A gọi là trù mật khắp

nơi trong không gian M (hay trong X)

Định nghĩa 1.2.7 (không gian tách được) Không gian metric M = (X, d) gọi

là không gian tách được, nếu tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi

trong không gian M

Ví dụ 1.2.3 Không gian metric ¡ là không gian tách được 1

Ví dụ 1.2.4 Không gian l 2 là không gian tách được

Định nghĩa 1.2.8 (Ánh xạ liên tục) Cho hai không gian metric X và Y (metric

trên X sẽ kí hiệu là X , metric trên Y sẽ kí hiệu là Y ) Một ánh xạ từ X vào

Y gọi là liên tục tại điểm x0 X nếu

(" e> 0)($d> 0)(" Îx X :) rX(x, x0)< dÞ Y ( ¦ (x), (x ) ¦ 0 ) <

Cũng như trong giải tích cổ điển, điều này tương đương với :

(xn) (x0) cho mọi dãy xn x0

1.3 Không gian định chuẩn

Trong mục 1.3 này ta đi nhắc lại một số kiến thức mở đầu về không gian định chuẩn, và các kiến thức về toán tử tuyến tính bị chặn Các khái niệm và kết quả này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [5]

Định nghĩa 1.3.1 (Không gian định chuẩn)

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là

không gian tuyến tính X trên trường P (P =¡ hoặc P = £ ) cùng với một ánh

xạ từ X vào tập số thực ¡ , kí hiệu là × và đọc là chuẩn thỏa mãn các tiên đề sau :

1) ( x X) x 0, x = 0 Û x = ( Ký hiệu phần tử không là ) ;

2) ( x X) ( P) ax = a x ;

Trang 7

3) ( x, y X) x+ y £ x + y

Số x gọi là chuẩn của véctơ x Ta cũng kí kiệu không gian định chuẩn là X

Định lý 1.3.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai véctơ bất kỳ x, y

X ta đặt d(x,y) = x- y Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.3.2 (Dãy hội tụ) Dãy điểm ( )xn của không gian định chuẩn X

gọi là hội tụ tới điểm x X, nếu lim

n xn - x = 0

Ký hiệu: xn = x hay xn ® x (n ® )

Định nghĩa 1.3.3 (Dãy cơ bản) Dãy điểm ( )xn của không gian định chuẩn X

gọi là dãy cơ bản, nếu lim

x - x = 0

Định nghĩa 1.3.4 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X gọi là

không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.3.1 Đối với dãy số thực bất kỳ x ¡ ta đặt x = x (1)

Công thức này cho một chuẩn trên¡ Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là ¡ 1 ¡ là không gian Banach 1

Ví dụ 1.3.2 Cho không gian véctơ l 2 Đối với véctơ bất kỳ x = ( )xn l 2 ta đặt

2 n

Công thức này xác định một chuẩn trên l 2 Không gian định chuẩn tương ứng

ký hiệu là l 2 l 2 là không gian Banach

Định nghĩa 1.3.4 (Toán tử tuyến tính) Cho hai không gian tuyến tính X và Y

trên trường P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ) Ánh xạ A từ

không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các

điều kiện:

1) ( x, x X) A(x + x ) = Ax + Ax ;

Trang 8

2) ( x X) ( P) A x = Ax

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi Y = P thì toán

tử A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.3.5 (Toán tử bị chặn) Cho hai không gian định chuẩn X và Y

Toán tử tuyến tính từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn

tại hằng số C > 0 sao cho: Ax Y£ C x X , x X

Định nghĩa 1.3.6 (Chuẩn của toán tử) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ

không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức

Định lí 1.3.2 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương :

1) A liên tục;

2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X;

3) A bị chặn

Định lý 1.3.3 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn, thì

Định nghĩa 1.3.7 (Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn)

Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu B(X,Y) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào B(X,Y) hai phép toán:

Trang 9

Tổng của hai toán tử A, A B(X,Y) là toán tử, ký hiệu A + A , xác định bằng hệ thức: (A + A )(x) = Ax + A x , x X

Tích của vô hướng P (P =¡ hoặc P =£ ) với toán tử A B(X,Y) là toán tử , ký hiệu là A, xác định bằng hệ thức ( A)(x) = (Ax)

Dễ dàng kiểm tra A + A B(X,Y), A B(X,Y) và hai phép toán trên đây thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính; Tập B(X,Y) trở thành một không gian tuyến tính trên trường P

Bây giờ với toán tử bất kỳ A B(X,Y) ta đặt

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn B(X,Y) gọi là sự hội tụ đều của

dãy toán tử bị chặn Dãy toán tử (An) B(X,Y) gọi là hội tụ từng điểm tới

toán tử A B(X,Y) , nếu với mỗi x X,

lim

A x- Ax = 0 trong không gian Y

Một dãy toán tử (An) B(X,Y) hội tụ đều tới toán tử A B(X,Y) thì dãy

(An) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y

Định lý 1.3.4 Nếu Y là không gian Banach, thì B(X,Y) là không gian

Banach

Định nghĩa 1.3.8 (Không gian đối ngẫu) Cho không gian định chuẩn X trên

trường P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ) Ta gọi không gian

B(X,P) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian

liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và ký hiệu X*

Trang 10

Định nghĩa 1.3.9.(Không gian tách được) Không gian định chuẩn X được gọi

là khả ly (hay tách được) nếu trong không gian X tồn tại một tập hợp đếm

được trù mật khắp nơi

Định lý 1.3.5.(Định lý bị chặn đều) Cho X là một không gian Banach Đặt F

là một họ các phiếm hàm tuyến tính bị chặn từ X vào một không gian định chuẩn Y nào đó Giả sử với mỗi x X

{Tx Y TÎ F} là bị chặn thì {T TÎ F} bị chặn

1.4 Không gian Hilbert

Trong mục 1.4 này ta đi nhắc lại một số kiến thức mở đầu về không gian Hilbert và toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert Các khái niệm

và kết quả dưới đây được tham khảo trong các tài liệu [1] và [5]

Định nghĩa 1.4.1 (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên trường

P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ) Ta gọi là tích vô hướng

trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X vào trường P, kí hiệu ,

Định lý 1.4.1 Đối với mỗi x X ta đặt x = x, x (3)

Khi đó với mọi x, y X ta có bất đẳng thức Schwarz x, y x y

Hệ quả 1.4.1 Công thức x = x, x , với mỗi x X xác định một chuẩn trên không gian X

Trang 11

Hệ quả 1.4.2 Tích vô hướng x, y là một hàm liên tục với hai biến x, y theo

chuẩn (3)

Định nghĩa 1.4.2 (Không gian Hilbert)

Ta gọi một tập H¹ gồm những phần tử x, y, z, … nào đấy là không

gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P;

2) H được trang bị một tích vô hướng ×× ; ,

3) H là không gian Banach với chuẩn x = x, x , x H

x = x, x =

k 2 n

n 1

x

=

å , x = ( )xn ¡ k

Chuẩn này trùng với chuẩn (1) đã biết trên không gian ¡ k

Nên không gian véctơ thực ¡ k

cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert

Ví dụ 1.4.2 Ký hiệu l 2 là không gian véctơ các dãy số phức x = ( )xn sao cho

Trang 12

Chuẩn này trùng với chuẩn (2) đã biết trên không gian l 2 Nên không gian

véctơ l 2 cùng với tích vô hướng này là một không gian Hilbert

Định lý 1.4.2 (Định lý về hình chiếu lên không gian con) Cho không gian

Hilbert H và H0 là không gian con của H Khi đó phần tử bất kỳ x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z , y H0 , z H0 (4)

Phần tử y trong biểu diễn (3) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian con H0

Chú ý 1.4.1 Phần tử y trong biểu diễn (4) còn được gọi là phần tử của H0 gần phần tử x nhất theo nghĩa d x, y( )= x- y £ x- u = d(x,u) " Îu H0 Ta kí hiệu y = Px và nhận được toán tử tuyến tính liên tục P ánh xạ H lên H0 ,

P = Toán tử P thường được gọi là toán tử chiếu vuông góc (hay toán tử 1chiếu trực giao) không gian H lên không gian con H0 H

Định nghĩa 1.4.3 (Hai véc tơ trực giao) Cho không gian Hilbert H Hai phần

tử x, y H gọi là trực giao, ký hiệu x y, nếu x, y = 0

Định nghĩa 1.4.4 Cho không gian Hilbert H và tập con A H, A¹ Phần

tử x H gọi là trực giao với tập A, nếu x y ( y A), ký hiệu x A

Định nghĩa 1.4.5 Cho không gian Hilbert H Một tập (còn gọi là hệ thống)

gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (en)n 1 H gọi là một hệ trực chuẩn,

nếu e ,e = i j i,j ( i,j là ký hiệu Kroneckes, i,j = 0 với i¹ j, i,j =1 với i = j (i,j

= 1,2,…)

Định nghĩa 1.4.6 Hệ trực chuẩn (en)n 1 trong không gian Hilbert H gọi là cơ

sở trực chuẩn của không gian H, nếu trong không gian H không tồn tại véctơ

khác không nào trực giao với hệ đó

Trang 13

Định lý 1.4.3 Không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không

gian đó là không gian tách được

Định nghĩa 1.4.7 Không gian B(H,£ ) được gọi là không gian đối ngẫu của

của không gian Hilbert H và được ký hiệu là H* Mỗi phần tử của H*

được gọi

là phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định lý 1.4.5 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian

Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (x) = x,a , x H trong

đó phần tử a H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm và f = a

Định nghĩa 1.4.8 (Toán tử liên hợp) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh

xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không

gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu

Ax, y = x,By , x X , y Y

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A*

Định lý 1.4.6 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert

X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử A*

liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X

Định lý 1.4.7 Cho A là toán tử bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào

không gian Hilbert Y Khi đó toán tử liên hợp A*

với toán tử A cũng là toán

tử tuyến tính bị chặn và A* = A

Chú ý 1.4.2 Ngoài ra toán tử liên hợp A* còn có một số tính chất sau:

Cho hai không gian Hilbert X và Y Nếu A, A B(X,Y) thì

1) (A+ B)* = A* + B ,* (" l Î P ,) (l A)* = l A*

2) (AB)*= A B * *

3) ( )A* * = A

Trang 14

4) A A* = A 2

(Xem thêm trong Methods of Modern Mathematical Physics, Vol 1

Functional Analysis - M Reed and B Simon)

Định nghĩa 1.4.9 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H

vào chính nó gọi là tự liên hợp (hay đối xứng), nếu

Ax, y = x,Ay , x, y H

Định lý 1.4.6 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng Ax,x là số thực đối với mọi x H

Định lý 1.4.7 Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào

1.5 Không gian véctơ tôpô

Trong mục 1.5 này ta sẽ đi nêu lại các kiến thức cơ bản về không gian tôpô , lưới và không gian véctơ tôpô Các khái niệm và kết quả này được tham khảo trong các tài liệu [2], [3], [6]

1.5.1 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.5.1.1 (Tôpô) Cho X là một tập hợp tùy ý Ta gọi là tôpô trên X

một lớp các tập hợp con t của X thỏa mãn các tiên đề :

(i) , X t ;

(ii) Nếu G t , thì

a Î LÈ G t ; (iii) Nếu Gj t ( j = 1,n ) thì

n j

j 1G

=

Ç t

Trang 15

Định nghĩa 1.5.1.2 (Không gian tôpô) Ta gọi không gian tôpô một cặp

(X,t ) trong đó X là một tập hợp, t là một tôpô trên X Mỗi phần tử x X được gọi là một điểm, mỗi tập hợp G t được gọi là một tập hợp mở

Bằng ngôn ngữ tập hợp mở, ta có thể phát biểu lại các tiên đề tôpô như sau :

(i) và X là các tập hợp mở ;

(ii) Hợp một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở ;

(iii) Giao hữu hạn các tập hợp mở là một tập hợp mở ;

Định nghĩa 1.5.1.3 (Tập hợp đóng) Tập hợp F trong không gian tôpô (X,t )

được gọi là tập hợp đóng nếu X\F là tập hợp mở

Ví dụ 1.5.1.1 Cho X¹ là một tập hợp tùy ý Khi đó t = ( , X) là một tôpô

trên X, gọi là tôpô thô

Ví dụ 1.5.1.2 Họ = P (X) tất cả các tập con của X cũng là tôpô trên X gọi

là tôpô rời rạc Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X

Định nghĩa 1.5.1.4 Họ t tất cả các tập mở trong không gian metric M = (X,

d) gọi là tôpô sinh bởi metric d (hay tôpô metric)

Ví dụ 1.5.1.3 Tôpô sinh bởi metric

Định nghĩa 1.5.1.5 Cho X là một tập hợp, t và là các tôpô trên X Ta nói tôpô t mạnh hơn tôpô nếu t Khi đó ta cũng nói tôpô yếu hơn tôpô

Trang 16

Ta gọi là lân cận mở của A một tập mở chứa A ;

Ta gọi là lân cận của A một tập hợp chứa một lân cận mở của A ;

Nếu A là tập hợp gồm chỉ một điểm thì tương ứng ta có các khái niệm

lân cận mở, lân cận của một điểm ;

Định nghĩa 1.5.1.7 Giả sử (X,t ) là không gian tôpô

Một họ n những lân cận của điểm x X được gọi là một cơ sở lân cận

của x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại V n sao cho V U

Nếu tồn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được các lân cận thì điểm

x gọi là có cơ sở lân cận đếm được

Không gian tôpô mà tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một cơ sở lân cận

đếm được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất

Định lý 1.5.1.1 Giả sử t và là hai tôpô trên cùng tập hợp X Để t thì điều kiện cần và đủ là với mọi x X, với ntx và nsx là các cơ sở lân cận của

x tương ứng đối với các tôpô t và , thì V nxt , W nsx : W V

Trang 17

(iv) Khi đó tồn tại một tôpô duy nhất trên X sao cho tại mỗi điểm x X,

họ nxlà cơ sở lân cận của x

Định lý 1.5.1.3 Để một họ B những tập hợp mở của X là một cơ sở tôpô của

X Thì điều kiện cần và đủ là mỗi tập mở G X đều là hợp của một họ con của B

Định nghĩa 1.5.1.7 (Phần trong) Cho không gian tôpô (X,t ), A X Ta gọi

phần trong của tập A là hợp của tất cả các tập mở chứa trong A

Định nghĩa 1.5.1.8 (Bao đóng) Cho (X,t ) là không gian tôpô, A X Ta

gọi bao đóng của tập A là giao của tất cả các tập đóng chứa A

Định nghĩa 1.5.1.9.( Tập trù mật) Cho không gian tôpô (X,t ), A, B X Ta nói tập hợp A trù mật trong tập hợp B nếu B clA Nếu clA = X thì ta nói A

là trù mật (khắp nơi) trong X

Định nghĩa 1.5.1.10.(Không gian tách được) Không gian tôpô tách được là

không gian có chứa một tập con đếm được trù mật

Định nghĩa 1.5.1.11.(Ánh xạ liên tục) Giả sử : X Y là ánh xạ từ không

gian tôpô (X,t ) vào không gian tôpô (Y, )

Ta nói ánh xạ là liên tục tại một điểm x X nếu với mỗi lân cận V của

(x), tồn tại một lân cận U của x sao cho (U) V

Ánh xạ gọi là liên tục trên tập A X nếu liên tục tại mọi điểm x A

Đặc biệt, nếu A = X thì ta nói là ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.5.1.12 (Không gian Hausdorff) Không gian tôpô X được gọi

là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y X, x¹ y, tồn tại một lân cận U của

x và một lân cận V của y sao cho U V = Không gian này còn được gọi

là không gian tách

Trang 18

Định lý 1.5.1.4 Giả sử X là một tập hợp, { (Ys, s) }s S là một họ các không

gian tôpô, { s : X Ys}s S là một họ ánh xạ từ tập X vào các không gian

tôpô Ys Khi đó tồn tại một tôpô yếu nhất t trên X sao cho mọi ánh xạ s , s

i s i (i = 1,n ) là một cơ sở của tôpô t

Tôpô t được gọi là tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ { }s s S

Định nghĩa 1.5.1.13 Trong không gian tôpô X ta nói một dãy {xn} X hội

tụ tới điểm x (hoặc x là giới hạn của xn) và viết xn x nếu với mọi lân cận V

cho trước của x đều tồn tại n0 sao cho xn V với mọi n n0

2) Nếu (x,y) và (y,x) đều thuộc S thì x = y ;

3) Nếu (x,y) S và (y,z) S thì (x,z) S

Định nghĩa 1.5.1.15.Một tập được định hướng (A directed set) là một tập sắp

thứ tự bộ phận I, với thứ tự bộ phận thỏa mãn với bất kì cặp phần tử ,

I đều tồn tại một vài I sao cho và

Định nghĩa 1.5.1.16 Một lưới trong không gian tôpô (X,t ) là một ánh xạ từ tập được định hướng I vào X Ký hiệu là: (x ) I

Trang 19

Nếu I là ¥ với quan hệ thứ tự thông thường, thì chúng ta nhận được khái

niệm một dãy Nói cách khác, một dãy là một trường hợp đặc biệt của một

lưới

1.5.2 Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.5.2.1 (Không gian véctơ tôpô) Một không gian véctơ tôpô trên

trường K là một không gian véctơ trên K được trang bị một tôpô t thỏa mãn

(i) Ánh xạ (x,y) a x + y liên tục từ X X vào X

(ii) Ánh xạ (t,x) a tx liên tục từ K X vào X

Ta nói t là một tôpô véctơ trên không gian véctơ X, hoặc nói t là một tôpô

tương hợp với cấu trúc tuyến tính của X

Ta nói một không gian véctơ tôpô (X,t ) là tách nếu tôpôt là tôpô Hausdorff

Hay nói một cách khác, một không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ đồng thời là một không gian tôpô thỏa mãn phép cộng và phép nhân vô hướng liên tục

Hệ quả 1.5.2.1 Một không gian véctơ là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi tập

một điểm là đóng

Ví dụ 1.5.2.1 Bất kỳ một không gian định chuẩn thực hoặc phức nào đều là

không gian véctơ tôpô khi được trang bị tôpô cảm sinh bởi chuẩn

Ví dụ 1.5.2.2 Bất kỳ một không gian véctơ đều là không gian véctơ tôpô với

tôpô rời rạc

Định lý 1.5.2.1 Cho X là một không gian véctơ tôpô Với a X cho trước và

s K, với s ¹ 0, ánh xạ tịnh tiến Ta: xa x + a và ánh xạ nhân Ms : x a sx,

x X, là một phép đồng phôi từ X lên chính nó

Định lý 1.5.2.3 Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian tuyến tính tôpô

X Không gian X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x ¹ 0 đều

có một V B không chứa x tức là :

Trang 20

V BÇÎ V = {0}

Định nghĩa 1.5.2.3 Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gian lồi

địa phương (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở

lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi

Ví dụ 1.5.2.3 Tất cả các không gian định chuẩn đều là lồi địa phương

Trang 21

Chương 2 CÁCH XÁC ĐỊNH TÔPÔ QUA NỬA CHUẨN

Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra khái niệm nửa chuẩn và chỉ ra rằng một

họ nửa chuẩn trên một không gian véctơ sinh ra một tôpô tương hợp với cấu trúc không gian véctơ đó, và ta đi tìm hiểu một số tính chất của tôpô sinh bởi

họ nửa chuẩn Các khái niệm và kết quả trình bày ở đây được tham khảo ở tài liệu [6]

2.1 Nửa chuẩn

Định nghĩa 2.1.1 (Nửa chuẩn) Cho một không gian véctơ X trên trường K

Một ánh xạ p: X ® ¡ được gọi là một nửa chuẩn nếu thỏa mãn :

(1) p(x) 0 với mọi x X ;

(2) p(x + y) p(x) + p(y) với mọi x, y X ;

(3) p( x) = | |p(x) với mọi x X và mọi K

Chú ý 2.1.1.Từ định nghĩa ta thấy có thể xảy ra trường hợp p(x) = 0 với x¹ 0

Nếu ta bổ sung thêm điều kiện cho nửa chuẩn là p(x) = 0 Û x = 0 Thì lúc này nửa chuẩn là chuẩn

2.2 Tôpô cảm sinh bởi một họ nửa chuẩn

Cho p = {p : I} là họ các nửa chuẩn trên một không gian véctơ X Tương tự như sự khái quát về một hình cầu mở trong một không gian định chuẩn, ta xét tập

V(x0, p1, p2, …, pn ;r = ) {x X : pi(x x0) < r , 1 i n }

trong đó x0 X, r > 0 và p1, p2, …, pn là một tập hữu hạn các nửa chuẩn trong

p Chúng ta sẽ sử dụng những tập này để xây dựng một tôpô trên X giống như việc ta sử dụng các hình cầu mở để xây dựng một tôpô trong không gian định

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	769,31 KB