Vectơ trong mặt phẳng và các bài toán bài toán quỹ tích bài toán định lượng bài toán định tính

Khóa luận tốt nghiệp đại học  BÀI TOÁN QUỸ TÍCH  BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG... Khóa luận tốt nghiệp đại học SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 3 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này được hoàn th

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp đại học

 BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

 BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG

Trang 2

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã tạo điều

kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

VŨ THỊ VUI

Trang 3

SVTH : Vũ Thị Vui

Lớp : k34 cử nhân Toán

3

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy

giáo Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình

nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

VŨ THỊ VUI

Trang 4

Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán hình học trong đó phương pháp vectơ là phương pháp có hiệu quả Nó cho ta lời giải một cách chính xác tránh được những yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình học

Xuất phát từ sự say mê của mình và được sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Văn Bình em đã chọ đề tài:

“Vectơ trong mặt phẳng và các bài toán”

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ bản về vectơ

Chương 2 Phương pháp vectơ để giải bài toán quỹ tích

Chương 3 Sử dụng tích vô hướng giải các bài toán định lượng-định

Trang 5

5

tính

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp, một số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh họa Giúp học sinh bước đầu thấy được tầm quan trọng của những ứng dụng của vectơ trong giải toán, coi đây là một công cụ mới nhằm giải toán một cách có hiệu quả hơn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Với khuôn khổ, phạm vi của khóa luận, tác giả tập trung đi sâu tìm hiểu

về phương pháp vectơ để giải bài toán quỹ tích và sử dụng tích vô hướng giải các bài toán định lượng- định tính

Trang 6

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B được kí hiệu là AB

1.1.2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

Hai vectơ cùng phương AB

và CD

được gọi là cùng hướng, nếu chiều

từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu ABCD

B

A

Trang 7

được gọi là ngược hướng, nếu

chiều từ A đến B ngược với chiều từ R đến S Kí hiệu ABRS

Như vậy, nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

Chú ý :

+ Ta quy ước rằng vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ

+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ-không thì cùng hướng

+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi

đã có hai vectơ đó cùng phương

1.1.3 Độ dài của vectơ

Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm

cuối của vectơ đó Độ dài của vectơ AB

Theo đó, độ dài của vectơ-không bằng 0

1.1.4 Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Trang 8

+ Khi cho trước vectơ a

và điểm O , thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OAa

1.1.5 Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a

và b đều khác 0

Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ OAa

và OBb

Khi đó góc AOB với số đo từ 0 đến 0 180 được 0

gọi là góc giữa hai vectơ a

và b

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a

và b là:  a b ,

a b

hoặc ba

Nhận xét :

Trang 9

+ Vectơ đối của vectơ a

là vectơ ngược hướng với vectơ a

và có cùng

độ dài với vectơ a

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0

Trang 10

Trang 11

1 Nếu k  thì vectơ k a0 

cùng hướng với vectơ a

Nếu k  thì vectơ k a0 

ngược hướng với vectơ a

2 Độ dài k a

bằng k a.Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một

số (hoặc phép nhân số với vectơ)

1.2.3.2 Các tính chất của phép nhân vectơ với số

Với hai vectơ bất kỳ a

, b

và mọi số thực ,k l ta có : 1) k l a .  kl a.

2) kl ak ala

3) k abk akb

, k a bk akb4) k a  0

khi và chỉ khi k  hoặc 0 a  0

1.3 Tích vô hướng của hai vectơ

Lưu ý :

Trang 12

a b  ab  a  b

hay

 2 2

1.4

4) Tính chất phân phối đối với phép cộng : a b   ca b  a c 

Tính chất phân phối đối với phép trừ : a b   ca b    a c

) khi đó ta luôn tìm được cặp số thực m , n duy nhất sao cho : cnamb

1.5 Một số bài toán cơ bản

Bài toán 1

1) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh rằng

Trang 13

Trang 14

và GA GD  0

Ta có : 0

GA GB GC GA GD 

     

Ngược lại, giả sử GA GB   GC 0

Vẽ hình bình hành BGCD có I

là giao điểm của hai đường chéo Khi đó GB GC GD

, suy ra 0

GA GD  

nên G là trung điểm đoạn thẳng AD Do đó ba điểm A , G , I

thẳng hàng GA2GI , điểm G nằm giữa A và I

Vậy trọng tâm của tam giác ABC

2 Do G là trọng tâm ABC nên ta có:

Trang 15

15

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

2.1 Lớp bài toán tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K

2.1.1 Phương pháp chung

Với dạng bài toán này ta cần chú ý một số quỹ tích cơ bản sau:

+ Với 3 điểm A , B , C và một số k  R cho trước ta luôn có:

 Với k  R thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song

với BC theo hướng BC

 Với k  R thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song song với BC theo hướng CB

Trang 16

Trang 17

17

 M thuộc trung trực của đoạn GI

Vậy quỹ tích điểm M là trung trực của đoạn GI

b Gọi K là điểm thỏa mãn hệ thức:

Trên 2 tia Ox và Oy của góc xOy lấy 2 điểm M N, sao cho

OM ON  (a a là độ dài cho trước) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN

Trang 18

Vậy quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN là đoạn thẳng M N0 0,

trong đó M N là 2 điểm thỏa mãn: 0, 0 0 0

Trang 19

Trang 20

Trang 21

a Quỹ tích điểm M là đường thẳng qua B và song song với AC

b Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và BC

Quỹ tích điểm M là đường trung bình EF của tam giác ABC

Trang 22

AB  DC Gọi I là điểm chia MN theo tỉ số k

Tìm tập hợp I khi M N, thay đổi

Hướng dẫn:

Trang 23

Khi đó quỹ tích trung điểm I chính là đoạn I I 1 2

2.2 Lớp bài toán tìm điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng

Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:

 MA2 k  thì M thuộc đường tròn tâm A , bán kính R0  k

 MA MB  k

Với ,A B cố định và k không đổi

Gọi I là trung điểm của AB ta được:

+ Nếu l  thì quỹ tích M chính là điểm I 0

+ Nếu l 0 thì M thuộc đường tròn tâm I , bán kính R l





Trang 24

Có giá trị không đổi và do A cố định nên 0 M cũng cố định Vậy điểm M 0

thuộc đường thẳng vuông góc với BC tại M 0

Đặc biệt khi k  thì M thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC 0

Trang 25

Trang 26

Thay vào  3 ta được a2 MB MK .3

Gọi I là trung điểm của BK ta được:

Trang 27

 Nếu m  thì quỹ tích M chính là điểm O 0

 Nếu m 0 thì quỹ tích M là đường tròn tâm I bán kính m

Trang 28

 Nếu m  thì quỹ tích điểm M là tập rỗng 0

 Nếu m  thì quỹ tích điểm M chính là điểm O 0

Trang 29

- Gọi G là trọng tâm ABC , khi đó ta có MA  MBMC3MG

- Biến đổi biểu thức ban đầu về dạng

a - Gọi ,E F theo thứ tư là trung điểm của AB , AC

- M thuộc đường tròn đường kính EF

b - Gọi I là trung điểm AB

- Dựng IJCI

- M thuộc đường thẳng qua J và vuông góc với AB

Trang 30

- Gọi I là trung điểm AB

- Gọi M là hình chiếu vuông góc của M lên AB 0

- Điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với AB tại M0

2.3 Lớp bài toán tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức về độ dài

Ở dạng này chúng ta sử dụng kết quả:

2 2

Trang 31

MG a

 

23

Trang 32

0

M

 là trung điểm của AI

Vậy quỹ tích các điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong góc

Trang 33

Ta thấy vế phải là một số không đổi, I cố định nên M xác định duy nhất 0

Vậy quỹ tích M là đường thẳng vuông góc với AB tại M 0

Trang 34

 Nếu m  thì quỹ tích các điểm M là tập rỗng 0

 Nếu m  thì quỹ tích điểm M là một điểm chính là điểm M 0

 Nếu m 0 thì quỹ tích các điểm M chính là đường tròn tâm I bán

Trang 35

và gọi M , 0 O theo thứ tự là hình chiếu 0

vuông góc của M , O lên đường thẳng chứa vectơ v

Trang 36

 Nếu m  thì quỹ tích các điểm M là tập rỗng 0

 Nếu m  thì quỹ tích các điểm M chính là điểm I 0

 Nếu m 0 thì quỹ tích các điểm M là đường tròn tâm I bán kính

Trang 37

- Gọi M O theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M , O lên 0, 0

đường thẳng chứa vectơ v

- M thuộc đường thẳng qua M0 vuông góc với v

Bài tập 2:

Cho tam giác ABC có góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp

những điểm M di động trong góc BAC sao cho:

2

AB AK AC AH AI với K , H là hình chiếu của M lên AB và AC

Trang 38

.os

a b c

b, Với các bài toán định tính, ta biến đổi điều kiện ban đầu thành biểu

thức của tích vô hướng, rồi từ đó dẫn tới:

Trang 39

BE CF c

2

4os

4

AB c

Trang 40

- Từ giả thiết, ta được AB2AC2 a (1) 2

Trang 41

41

- Theo định lý Pitago ta được AB2 AC2 3a (2) 2

- Giải phương trình (1) và (2) ta được độ dài của AB và AC

Trang 42

Nhằm góp phần hoàn thiện cho học sinh một cách nhìn mới về hình học nói chung và vectơ nói riêng Luận văn đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp, một số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh họa của từng dạng toán đã bước đầu thấy được tầm quan trọng của những ứng dụng của vectơ, coi đây là một công cụ mới nhằm giải toán một cách có hiệu quả

Trang 43

43

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2002), Các phương pháp giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng, NXBHN

2 Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán vectơ, NXBHN

3 Nguyễn Mộng Hy, Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp tọa

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	466,54 KB