Ứng dụng tính chất của tập lồi giải một số bài toán hình học tổ hợp

chọn đề tài “ứng dụng tính chất của tập lồi giải một số bài toán hình học tổ hợp” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.. - Làm rõ tính ưu việt của việc ứng dụng tính chất của tập lồi giải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NguyÔn ThÞ Hoa

LờI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn

tận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Em xin khẳng định kết quả của đề tài này không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1: Hình lồi 2

1.1 Các định nghĩa: 2

1.2 Bao lồi và bao lồi đóng 3

1.3 Nón lồi 5

Chương 2: Một số vấn đề của hình học tổ hợp 7

2.1 Định lí Kelli trong không gian một chiều R 1 7

2.2 Định lí Kelli trong không gian hai chiều R 2 8

2.3 Ví dụ: 10

Chương 3: Một số bài toán của hình học tổ hợp 13

3.1 Một số phương pháp giải thông thường 13

3.1.1 Phương pháp sử dụng định lí Kelli 13

3.1.2 Phương pháp lấy bao lồi 16

3.2 Một số bài toán thường gặp 28

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

chọn đề tài “ứng dụng tính chất của tập lồi giải một số bài toán hình học

tổ hợp” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về tập lồi

- Làm rõ tính ưu việt của việc ứng dụng tính chất của tập lồi giải một số bài toán hình học tổ hợp

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán hình học tổ hợp giải bằng phương pháp sử dụng tính chất của tập lồi

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lí thuyết về tập lồi

- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán hình học tổ hợp giải bằng phương pháp sử dụng tính chất của tập lồi

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ toán học

- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan

i ta t b

y   (  1 ) , i 1 ,n với t 0 ; 1

Ví dụ 1.1.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có a(5;2), b(3;1) Khi đó xa;b

nếu x(x 1 ; x 2) có tọa độ thỏa mãn:

1 ( 2

3 ).

1 ( 5 2

1

t t

x

t t

x

với t 0 ; 1

Định nghĩa 1.1.2: Tập hợp PX,P  được gọi là tập lồi nếu

X x

Ví dụ 1.1.2: Đoạn thẳng a; b là tập lồi

Định lí 1.1.1: Giao của các tập lồi bất kì là tập lồi, tức: Nếu P i X(iI) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kì thì 

I i i

P P

t

tx   

 1 ( 1 ) 2 (điều phải chứng minh)

Nhận xét 1.1.2: Nếu P 1 , P 2 là tập lồi thì P 1 P 2 chưa chắc đã là tập lồi

Thật vậy: H1 A,H2  a với a là đường thẳng không qua A

i x t x

1

Định lí 1.1.2: Cho P là tập lồi, A  P.Giả sử x1,x2, ,x nA Khi đó với x là

tổ hợp lồi của x1,x2, ,x n thì x  A

Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp

+) Với m=2 Với t t1, 2 0 :t1t2  1;x x1, 2A Theo định nghĩa 1.1.2 ta có:

t

cho nên theo giả thiết quy nạp ta có:

A x t

t x

t

t

k k k

t

x ( 1  k1)  k1 k1 (điều phải chứng minh)

1.2 Bao lồi và bao lồi đóng

Định nghĩa 1.2.1: Giả sử là tập lồi tùy ý thuộc X,  P i iI là họ tất cả các tập lồi chứa , với I là tập chỉ số Khi đó i

Ví dụ 1.2.1: Trong E 2 cho BO,rx:dO;xr Khi đó coBO, 1BO, 1

Nhận xét 1.2.1: a) co là tập lồi nhỏ nhất chứa 

b)  lồi   = co

Định lí 1.2.1: co trùng với tất cả các tổ hợp lồi của 

Chứng minh:

Theo định nghĩa 1.2.1 thì  co mà theo nhận xét 1.2.1 co lồi nên

co chứa tất cả các tổ hợp lồi của  (định lí 1.1.1)

Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của  là lồi, chứa  Do đó nó chứa

co

Hệ quả 1.2.1: Tập  là lồi khi và chỉ khi  chứa tất cả các tổ hợp lồi của 

Bây giờ giả sử X là không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.2.2: Giả sử  X Bao lồi đóng của tập  được định nghĩa là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa , và được kí hiệu là co

Ví dụ 1.2.2: Trong ví dụ 2.1.1 ta cũng có co BO, 1BO, 1

Nhận xét 1.2.2: co là tập lồi đóng Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa 

Mệnh đề 1.2.1: Giả sử A  X lồi Khi đó:

a) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi

b) Nếu x1 intA, x2A thì x1,x2  tx1 ( 1 t)x2: 0 t 1 intA.

Nói riêng, nếu intA  thì A intA, intA intA

1.3 Nón lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1: Cho tập K  X , thỏa mãn: xK,    0  xK được gọi

là nón có đỉnh tại O

Tập K được gọi là nón có đỉnh tại x 0 , nếu K - x 0 là nón có đỉnh tại O

Định nghĩa 1.3.2: Nón K có đỉnh tại O được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi, có

nghĩa là:

0

, ,

Do K là nón lồi có đỉnh tại O, ta lại có: ab 2cK

b) Ngược lại, với aK,   0, ta có a  K Vậy K là một nón có đỉnh tại O

Với 0    1 , a,bK , ta có: ( 1   )aK, bK và ( 1   )a bK

Khi   0 hoặc   1 ta vẫn có ( 1   )a bK

Vậy K là nón lồi có đỉnh tại O

Hệ quả 1.3.1: Tập K  X là tập lồi  Nếu x1, ,x nK; 1, , n 0 thì

Hệ quả 1.3.2: Giả sử A là tập bất kì thuộc X Nếu với a1, ,a nA,  1, , n  0

 thì K là nón lồi nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 1.3.3: Ta gọi là nón lồi sinh bởi A là một tập hợp là giao của tất

cả các nón lồi (có đỉnh tại O) chứa A và điểm O Kí hiệu là K A

a X a A

2.1 Định lí Kelli trong không gian một chiều R 1

Định lí 2.1 : Trên đường thẳng cho n hình lồi (n  3) Biết rằng giao của hai hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của cả n hình lồi cũng khác rỗng

Giả sử có n đoạn thẳng [a i ; b i ], i = 1, n có tính chất sau: Bất kì giao của

hai đoạn thẳng nào trong chúng cũng khác rỗng, tức là: [a i ; b i ] ∩[a i ; bi] ≠,

i ≠ j Ta sẽ chứng minh  

1 ,

n

i i i

a b



 

Ta chứng minh bổ đề sau: a i ; b i ∩a j ; b j ≠   minb i ;b j  ≥ maxa i; a j

Thật vậy: giả sử a i ; b i ∩a j ; b j ≠ , khi đó c  a i ; b i   a j ; b j

 hay maxa i ; a j   c  minb i ; b j 

Đảo lại, giả sử maxa i ; a j   minb i ; b j  Khi đó ta có thể chọn c sao cho maxa i ; a j   c  minb i ; b j (1)

Từ (1) suy ra a i  c  b i  c  a i ; b i

a j  c  b j  c  a j ; b j

 a i ; b i  ∩ a j ; b j ≠  Bổ đề được chứng minh

a b



Định lí Kelli trong R 1 được chứng minh

2.2 Định lí Kelli trong không gian hai chiều R 2

Định lí 2.2: Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n ≥ 4) Biết rằng giao của ba

hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của n hình lồi cũng khác rỗng

Có hai trường hợp xảy ra:

a Nếu bốn điểm A 1 , A 2 , A 3 , A 4 không hoàn toàn khác nhau Khi đó không

giảm tính tổng quát, giả sử A 1  A 2

Từ đó suy ra: A 1  F 1  F 2  F 3  F 4 nên : F 1  F 2  F 3  F 4≠

Vậy kết luận của định lí Kelli đúng khi n = 4

b A 1 , A 2 , A 3 , A 4 là bốn điểm phân biệt Khi đó có 2 khả năng:

b1) Bao lồi của A 1 , A 2 , A 3 , A 4 chính là tứ giác lồi A 1 A 2 A 3 A 4

Giả sử O là giao của hai đường chéo A 1 A 2 , A 3 A 4



 ≠ 

b2) Bao lồi của chúng là tam giác chứa một điểm còn lại bên trong

Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử A 1 A 2 A 3 thuộc F 4

Vì A 1 , A 2 , A 3 đều thuộc F 4 , mà F 4 lồi

F



 ≠ 

Vậy định lí Kelli đúng khi n = 4

2 Giả sử kết luận của định lí Kelli đúng đến n  4

3 Xét trường hợp có n + 1 hình lồi tức là có n + 1 hình lồi F 1 , F 2 ,…, F n ,

F n+1 sao cho với bất kì ba hình lồi nào trong chúng đều có giao khác rỗng

F n ’ cũng là lồi vì nó là giao của hai hình lồi F n và F n+1

Xét 3 hình lồi bất kì F i ’ , F j ’ , F k ’ trong n hình lồi F 1 ’ , F 2 ’ ,…, F n ’

Nếu trong chúng không có F n ’ thì theo giả thiết

F i ’  F j ’  F k ’ = F i  F j  F k ≠ 

Nếu trong chúng có F n ’ = F n  F n+1 Khi đó, giả sử F k ’ = F n ’

Từ đó F i ’  F j ’  F k ’ = F i  F j  F n  F n+1

Vì giao của 3 hình lồi trong các hình lồi F i , F j , F n , F n+1 là khác rỗng

(giả thiết) nên theo trường hợp n = 4, ta có F i  F j  F n  F n+1 ≠ 

Vậy với hình lồi F 1 ’ , F 2 ’ ,…, F n ’ thỏa mãn điều kiện giao của 3 hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng nên theo giả thiết quy nạp suy ra

F 1 ’ F 2 ’ …F n ’≠ Nghĩa là: F 1  F 2  …  F n  F n+1≠

Vậy định lí Kelli đúng trong trường hợp có n + 1 hình lồi

Theo nguyên lí quy nạp suy ra định lí Kelli đúng với mọi n ≥ 4

Định lí Kelli được chứng minh

2.3 Ví dụ:

Ví dụ 2.3.1: Cho bốn nửa mặt phẳng lấp đầy mặt phẳng Chứng minh rằng tồn

tại ba nửa mặt phẳng trong bốn nửa mặt phẳng ấy, sao cho chỉ riêng ba nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy mặt phẳng

Theo quy tắc Demorgan, từ (2) ta có: P1P2P3P4  (3)

Vì P i lồi nên P i cũng lồi với mọi i = 1, 4

Giả thiết phản chứng rằng không tồn tại 3 nửa mặt phẳng nào trong số

các P i (i = 1, 4) mà 3 nửa mặt phẳng này lấp đầy mặt phẳng Nghĩa là với mọi

i, j, k phân biệt mà i, j, k  1, 2, 3, 4 thì P i  P j  P k 2

Theo quy tắc Demorgan thì từ (4) có P iP jP k   (5)

Từ (5) và định lí Kelli suy ra P1P2P3P4  (6)

Từ (3) và (4) suy ra mâu thuẫn

Điều giả sử phản chứng là sai

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.3.2: Cho n hình tròn (n ≥ 4) trên mặt phẳng Biết rằng cứ với mỗi 3

hình tròn tuỳ ý, luôn tồn tại một hình tròn bán kính R chứa cả 3 hình tròn Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính R chứa cả n hình tròn đã cho

Giải:

Gọi i là các hình tròn có tâm O i , bán kính R i, i = (O i ; R i ), i = 1, n

Gọi F i là các hình tròn có tâm O i và bán kính R - R i

F i = (O i ; R - R i ), i = 1, n

Lấy i, j, k tuỳ ý (1  i < j < k  n), ta sẽ chứng minh: F i  F j  F k ≥

Thật vậy, theo giả thiết tồn tại hình tròn (O i,j,k ; R) phủ  i, j, k, tức là:

i  j  k  (O i,j,k ; R)

Nói riêng ta có: i  (O i,j,k ; R)

nên O i O i,j,k  R - R i hay (O i ; R - R i ) chứa O i,j,k.

Lập luận tương tự, ta có O i,j,k  F j , O i,j,k  F k.

k 





CHƯƠNG 3: một số bài toán của hình học tổ hợp

Hình học tổ hợp rất đa dạng về nội dung, mặt khác cũng rất phong phú

về phương pháp giải Sau đây là một số phương pháp sử dụng tính chất của tập lồi để giải các bài toán hình học tổ hợp:

3.1 một số phương pháp giải thông thường

3.1.1 Phương pháp sử dụng định lí Kelli

Ví dụ 3.1.1: Cho một số hữu hạn n ≥ 4 các đường thẳng Biết rằng với ba

đường thẳng tuỳ ý luôn tồn tại hình tròn có bán kính R cắt cả ba đường thẳng Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính R cắt cả n đường thẳng đó

Giải:

Giả sử d 1 , d 2 , …, d n là họ hữu hạn các đường thẳng (n ≥ 4)

Với mỗi đường thẳng d i ta xét F i là hình tạo bởi hai đường thẳng

song song với d i và cách d i một khoảng bằng R Tâm các đường tròn bán kính

R mà cắt d i thì phải nằm trong F i Rõ ràng F i là hình lồi với mọi i 1,n

Như thế ta có một họ hữu hạn các tập hợp lồi F 1 , F 2 , …, F n Theo giả

thiết với mọi i, j, k  {1, 2, 3, …, n} ta luôn có F i  F j  F k ≠  (vì với mọi i,

j, k luôn tồn tại một hình tròn cắt cả d i , d j , d k) Theo định lí Kelli suy ra

Ví dụ 3.1.2: Trên mặt phẳng có một họ hữu hạn các hình chữ nhật có các cạnh

tương ứng song song với hai trục toạ độ Chứng minh rằng nếu hai hình bất kì trong chúng có giao khác rỗng thì cả họ có giao khác rỗng

Giải:

Lấy hệ toạ độ có các trục song song với các cạnh của hình chữ nhật

Chiếu các hình này lên Ox và Oy Ta có sự tương ứng 1 - 1 sau đây:

[ ; ] [ ; ]

i i i

n

i i i

n

i i i

Ví dụ 3.1.3: Trong mặt phẳng cho n điểm và khoảng cách giữa hai điểm bất kì

trong chúng không vượt quá 1 Chứng minh rằng có thể phủ chúng bằng một

hình tròn có bán kính R = 1

3 .

Giải:

Trước hết ta có nhận xét là trong n điểm đã cho không có 3 điểm nào

thẳng hàng, vì nếu có thì loại bỏ một điểm (chú ý rằng khoảng cách giữa hai

điểm bất kì trong chúng nhỏ hơn hoặc bằng 1)

Giả sử các điểm đã cho là M i ; i = 1, n  d(M i , M j )  1, i ≠ j

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác M 1 M 2 M 3 có tâm là O và bán kính R (O

nằm trong tam giác do tam giác không tù) Ta có thể giả sử 0

Giả sử M1 tù Khi đó đường tròn đường kính M 2 M 3 phủ tam giác

M 1 M 2 M 3 Gọi I là trung điểm của cạnh M 2 M 3 (cạnh lớn nhất), ta có:

Vậy ta có với i, j, k tuỳ ý thì F i  F j  F k ≠ 

Theo định lí Kelli suy ra F 1  F 2  …  F n ≠ 

3.1.2 Phương pháp lấy bao lồi

Giải bài toán hình học tổ hợp bằng phương pháp lấy bao lồi tức là ta sẽ bao một số hữu hạn điểm bởi một đa giác, gọi là đa giác bao, đó cũng chính là bao lồi của họ hữu hạn điểm đó Trước khi xét một số ví dụ cụ thể ta sẽ chứng minh bổ đề sau:

M 1

M 2



Bổ đề (về đa giác bao): “Trong mặt phẳng, bao lồi của n điểm tuỳ ý là một đa giác lồi (hoặc là đoạn thẳng) với đỉnh là một số điểm trong các điểm đã cho”

Dễ dàng thấy rằng đó chính là bao lồi của hệ điểm

Sử dụng bổ đề về đa giác bao ở trên, bây giờ ta sẽ xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 3.2.1: Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm Chứng minh rằng luôn

luôn tìm được một điểm sao cho gần nó nhất có không quá ba điểm đã cho

Đưa vào xét tập  như sau:  = { A k / j ≠ k, A k A j = d}

Giả sử  = { A 1 , A 2 , …, A p} Dễ dàng thấy rằng  ≠  (vì tồn tại

khoảng cách ngắn nhất d) Xét bao lồi của tập  Chỉ có hai khả năng xảy ra:

1 Nếu bao lồi của  là một đoạn thẳng AB

Khi đó gần đỉnh đầu mút của nó chỉ có không quá một điểm của hệ

Thật vậy, mọi điểm cách A một đoạn bằng d là các điểm của tập hợp , do đó

nó thuộc bao lồi của , tức là thuộc AB Như vậy có tối đa một điểm gần

A nhất

2 Nếu bao lồi của  là một đa giác lồi Chọn A là một đỉnh của bao lồi của 

Giả sử gần A nhất có quá 3 điểm có khoảng cách bằng d tới A Theo

định nghĩa của d, thì với mọi i ≠ j, B i B j ≥ d (ở đây B 1 , B 2 , B 3 , B 4, … là các điểm

có khoảng cách tới A đều là d) Xét tam giác B i AB j có AB i = AB j = d, còn B i B j

Do đó giả thiết phản chứng là sai Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3.2.2: Trên mặt phẳng cho 2001 điểm phân biệt sao cho không có ba

điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng có thể chọn được trong số này 1000

cặp điểm (A i ;B i ) (1  i  1000), sao cho 1000 đoạn thẳng A i B i này cắt nhau ít

nhất tại 500 điểm phân biệt

Giải:

Trước hết ta phải chứng minh bổ đề sau đây:

Bổ đề: Cho 5 điểm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó trong 5 điểm này có thể chọn ra bốn điểm A, B, C, D sao cho ABCD là

tứ giác lồi (với AC và BD cắt nhau)

Xét bao lồi của 5 điểm A, B, C, D, E đã cho Vì không có ba điểm nào

thẳng hàng nên bao lồi của chúng không thể là một đoạn thẳng Chỉ có các khả

năng sau có thể xảy ra:

1 Bao lồi là tứ giác (có thể cho là tứ giác ABCD) Khi đó tứ giác lồi ABCD

thoả mãn yêu cầu đề bài (H1)

2 Bao lồi là ngũ giác ABCDE Khi đó có thể chọn tứ giác lồi cần tìm là một trong các tứ giác ABCD, BCDE, CDEA, DEAB hoặc EABC.(H2)

(H1) (H2)

3 Bao lồi là tam giác (có thể cho là tam giác ABC) Khi đó hai điểm D, E nằm hẳn bên trong tam giác ABC, ngoài ra E không nằm trên các đường thẳng AD,

BD, CD

Giả sử DE  AB = H, DE  AC = K Khi đó H, K không trùng với các

đỉnh của tam giác ABC Tứ giác cần chọn có thể là tứ giác BDEC