Nhóm lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

Em xin khẳng định kết quả của đề tài ''Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi '' không có sự trùng hợp với các đề tài khác.. Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Hồng Trường đã tạo

điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Đào Thị Hòa

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trong khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình

của thầy Phan Hồng Trường

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa

học với sự trân trọng và biết ơn Em xin khẳng định kết quả của đề tài ''Nhóm

Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi '' không có sự trùng hợp với các đề

tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Đào Thị Hòa

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu ……… 1

1.Lý do chọn đề tài ……… 1

2.Mục đích nghiên cứu……… 1

3.Nhiệm vụ nghiên cứu ……… 1

4.Phương pháp nghiên cứu ……… 1

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ KHẢ VI……… 2

1.1 Không gian tôpô và ánh xạ liên tục ……… 2

1.2 Đa tạp khả vi……… 5

1.3 Ánh xạ khả vi ……… 10

CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI……… 13

2.1 Không gian tiếp xúc ……… 13

2.2 Phân thớ tiếp xúc……… 16

2.3 Trường véc tơ……… 17

2.4 Ánh xạ tiếp xúc……… 19

2.5 Đa tạp con……… 20

2.6 Đa tạp định hướng được ……… 24

2.7 Nhóm Lie 27

2.8 Nhóm con của nhóm Lie 32

2.9 Dạng vi phân bất biến trái và những phương trình Maurer- Cartan 33

2.10 Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp 36

Bài tập áp dụng 40

Hướng dẫn giải bài tập 41

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một môn quan trọng tương đối khó trong chương trình toán phổ thông và để hiểu được nó người học cần phải có tư duy cao Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về đa tạp khả vi và sự biến đổi của nhóm Lie trên đa tạp khả vi em đã chọn đề tài

“Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi” làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu hơn về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi

Tìm hiểu về nhóm Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi,ánh xạ khả vi,nghiên cứu về nhóm Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng lý luận,các công cụ toán học

Nghiên các sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài

2

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ

ÁNH XẠ KHẢ VI

1.1 Không gian tôpô và ánh xạ liên tục

1.1.1 Khái niệm không gian tôpô

Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ

C những tập con của M, gọi là tập mở (trong M), sao cho :

* tập rỗng, tập M là mở,

* hợp tùy ý những tập mở là tập mở,

* giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở

Thường kí hiệu đơn giản là không gian tôpô (M, C ) bởi M (khi không

* d (p, q) + d (q,r )  d ( p, r) ( với p, q, r tùy ý thuộc M)

Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập con U  M gọi là tập mở nếu với mọi p  U, có số  >0 sao cho hình cầu mở {q M / d(q,p) < } nằm hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d)

Đó là một không gian tôpô Hausdorff

Không gian tôpô có tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian

tôpô mêtric hóa được

n

R cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric



Ví dụ 2: M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với

tôpô sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M: tập U  N gọi là tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong M

Ví dụ 3: M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp MN với tôpô sau đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N : tập con của M  N gọi là tập mở (trong M  N) nếu nó là hợp tùy ý những tập dạng

UV , U mở trong N, V mở trong N

Ví dụ 4: M là một không gian tôpô, ~ là một quan hệ tương đương trên

M, tập hợp các lớp tương đương M / ~ cùng với tôpô sau đây (tôpô thương) gọi là không gian tôpô thương : tập con của M / ~ gọi là tập mở ( trong M / ~) nếu nghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc p : M M / ~ là tập mở (trong M)

1.1.2 Tập con của không gian tôpô

M là một không gian tôpô, p M thì mọi tập con của M chứa một tập

mở chứa p gọi một là lân cận của p (trong M)

Tập con F  M gọi là tập đóng (trong M) nếu M \ F là tập mở (trong M) Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng Giao tùy ý những tập đóng là tập đóng, hợp một số hữu hạn những tập đóng là tập đóng

A là tập con của M thì bao đóng Acủa A là giao của mọi tập đóng chứa A ; đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần trong

o

A của A là tập mở lớn nhất nằm trong A ; mỗi điểm của nó gọi là một điểm trong của A Tập A A/ O gọi là điểm biên của A, mỗi điểm của nó gọi là một điểm biên của A

M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở vừa đóng (trong M) phải là tập rỗng hay toàn bộ M Tập con AMgọi là tập con liên thông nếu không gian tôpô con A là liên thông Một thành phần liên thông của không gian tôpô M là

4

một tập con liên thông của M mà mọi tập con liên thông của M chứa nó phải trùng với nó Ví dụ mọi tập liên thông trong M là một khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, không bị chặn,…)

1.1.3 Ánh xạ liên tục

Ánh xạ f : M  N giữa các không gian tôpô gọi là ánh xạ liên tục nếu nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (trong N) là tập mở (trong M) (và vì vậy, nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng)

Song ánh f : M  N gọi là một đồng phôi nếu f và 1

f là những ánh

xạ liên tục

Ta thấy :

* Tích các ánh xạ liên tục là liên tục ;

* Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông ;

* Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian Hausdorff là một tập compact

Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một không gian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh

Ánh xạ liên tục  : I  M từ đoạn I = {t  R 0  t  1} vào không gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong M nối (0) với (1) Không gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu với mọi p, q  M, có cung (liên tục) trong

Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được gọi là đa tạp tôpô m – chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m –

chiều Rm, nghĩa là với mỗi điểm x M, có lân cận mở U của x và : U  V

6

đồ khả vi lớp C k Dễ thấy quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp k

C trên M

Đa tạp tôpô m- chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp k

C cho trên nó được gọi là một đa tạp khả vi m- chiều lớp C k Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của cấu trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên

M Khi k =, nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển j i 1

trong điều kiện 2 ở trên thuộc lớp C, thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu trúc nhẵn trên M Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn

1.2.2 Nhận xét

nghĩa ở trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số chiều của đa tạp M , viết dim M = m

nhau Thật vậy mỗi atlas khả vi lớp k

C xác định hoàn toàn một cấu trúc khả vi lớp k

C trên M Vì vậy, hai atlas khả vi lớp k

C không tương thích xác định hai cấu trúc khả vi khác nhau Ví dụ, trên đường thẳng thực R cho hai atlas khả vi lớp C xác định bởi U1= (R,id) và U2=(R,), ở đó : RR xác định bởi

(x) = x3

Vì hai atlas lớp C này không tương thích, nên chúng xác định hai cấu trúc khả vi lớp C khác nhau trên R

lớp C k, U là tập con mở khác rỗng của M Khi đó ta thấy U cũng là đa tạp khả vi m chiều C k sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C =

{(V i, i)}, ở đó Vi = Ui U   và i = iv i Đặc biệt, nếu (U,) là bản

đồ địa phương trênM , thì U cũng là đa tạp khả vi

1.2.3 Ví dụ

Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng hình học là những đa tạp khả vi thường gặp

Ví dụ 1: Cho M = R n và bản đồ (R n, id) tạo thành một atlas, xác định cấu trúc khả vi lớp Ck trên M Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả

( )

n i i

là hai phép chiếu nối từ cực N và S tương ứng

p p

p p

là vi phôi của R n \ {0}, vì x (U V) = y(U V) =R n\{0} Do đó,

{(U,x), (V,y)} lập thành một atlas lớp C

, xác định một cấu trúc nhẵn trên

n

S

dưới mũ đó được bỏ đi Dễ thấy i hằng trên mỗi lớp tương đương và xác

định đồng phôi i : Ui R n, với Ui= ( Vi) Ánh xạ ngược được cho bởi

^ 1

Vì vậy họ {( Ui,i)} là tập bản đồ địa phương, xác định cấu trúc khả vi lớp C trên Pn(R)

Ví dụ 4: Đa tạp Grassmann thực

Giả sử V là không gian véc tơ n chiều trên trường số thực R và G (k,V)

là tập hợp các không gian con k chiều của V Xét không gian đối ngẫu V* của

Giả sử (j1,…,jn k ) là tập hợp các chỉ số bù của (i1,…,ik) với j1< … <

jn k Khi đó :

1

p k

vi trên M, nghĩa là M không thể là một đa tạp khả vi (xem hình 2)

f  1 là khả vi tại điểm (p)  R m ( xem hình 3 )

O

Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p  M

1.3.2 Một số tính chất

M  P là ánh xạ khả vi

* Nếu f : M  N được gọi là vi phôi từ M lên N nếu f là song ánh và cả

hai ánh xạ f, f 1 đều khả vi Khi đó hợp thành của hai vi phôi là một vi phôi Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi phôi của M Nếu (U,) là một bản đồ địa phương của M thì  là vi phôi từ U lên

là những hàm khả vi Ngược lại, giả sử cho ánh xạ liên tục f : M  N

mà biểu diễn địa phương có dạng (1), trong đó các hàm hj khả vi, thì f khả

vi Biểu thức dạng (1) của ánh xạ f phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương (U,) và (V,)

Ta thấy rằng hạng của ma trận

j i

h x

CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

2.1 Không gian tiếp xúc

Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp Ck

, k  1 Một ánh xạ c : J  M khả vi lớp Cr ( r  k) được gọi là một đường cong khả vi lớp Cr trên M, ở đó

J là khoảng mở của R chứa điểm 0 Ánh xạ f : M  R lớp Cr được gọi là một hàm khả vi lớp Cr

trên M Nếu U mở nằm trong M, f U : U  R thuộc

lớp Cr

thì f được gọi là hàm khả vi trong lân cận U  M Kí hiệu F r

(M) là tập hợp hàm khả vi (lớp Cr) trên M, F r(p) là tập hợp các hàm khả vi lớp Cr

trong lân cận của p và C l

p (M) là tập các đường cong c khả vi lớp C1 trên M sao cho C(0) =p

M Vector tiếp xúc có đại diện là đường cong c được kí hiệu [c] Tập các

vector tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là T pM hay Mp

Ta mô tả cấu trúc của TpM Tập F k

(p) với các phép toán cộng, nhân

tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một R- đại số Ta gọi một đạo hàm tại p là một hàm v : F k(p)  R thỏa mãn hai điều kiện :

(p)

Dễ thấy tập các đạo hàm tại p với phép toán cộng và nhân với một số thực làm thành R- không gian vector

Ta thấy quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại

diện của [c], và nó thỏa mãn hai tính chất a và b ở trên Bằng đồng nhất này,

ta có một đơn ánh từ TpM vào không gian các đạo hàm tại p Ta chứng tỏ

TpM không gian con m chiều của không gian vector các đạo hàm tại p Xét bản đồ địa phương (U,x) quanh p sao cho x = ( x1

, ,xm

) Với mỗi j, xét đường cong: cj(t) = x 1

(x(p) + tej); {0,e1, ,em} là mục tiêu trong m

Giả sử đã cho một đường cong c(t) trên M với c(0)= p, và [c]  TpM

Trong bản đồ địa phương (U,x) quanh p, ta có:

j m

t

dx t dt

Ngược lại, nếu cho một tổ hợp tuyến tính

1

m j j

x của bản đồ địa phương (U,x) Khi đó

v(x j)  j  0,  i=1, ,m Như vậy, hệ j , 1, 2, ,

b Từ việc trình bày ở trên, ta thấy nếu p  M, (U,x) là bản đồ quanh p,

thì mỗi vector tiếp xúc v  TpM được coi là một đạo hàm tại p và được cho

16

khác trong lân cận điểm p với các tọa độ  1 

, , m

y y , thì các vector tiếp xúc tại

p có biểu diễn khác nhau đối với các bản đồ này Đặc biệt, ta có:

1

.

j m

Như vậy, các hàm x y1 là khả vi lớp Ck 1 Vì thế, có thể trang bị cho

TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU,x) trên TM có x x

Đối với tô pô này, tập các bản đồ TU x i,  tạo thành một atlas khả vi lớp

Ck 1 trên TM TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m chiều, được gọi là đa tạp phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M Ánh xạ

: TM M ở đó (v)= p nếu v  TpM là khả vi và có hạng cực đại Bộ ba

(TM, , M) là một phân thớ tầm thường địa phương Với p  M,  1

(p) =

TpM được gọi là thớ tại điểm p Phân thớ tiếp xúc được gọi là tầm thường

nếu có vi phôi  : TM  M  Rm sao cho mỗi p  M,  hạn chế trên  1

2.3.1 Khái niệm về trường véc tơ

Cho M là đa tạp khả vi m chiều TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M,

U mở  M Trường véc tơ khả vi trên M là một ánh xạ khả vi X : M TM sao cho .X(p) = p với mọi p  M Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M Tập các trường véc tơ khả vi trên M được kí hiệu là V(M)

Ta xét biểu diễn địa phương của trường véc tơ Giả sử (U,x) là một bản

đồ địa phương trên M, i ,i 1, ,m

 , là các trường véc tơ trên U, thì XU

là hạn chế của trường X trên U được biểu diễn ở dạng XU=

khi và chỉ khi iC U r( ) với mọi i = 1, ,m

Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường véc tơ tiếp xúc độc lập tuyến tính trên M, nghĩa là có m trường véc tơ khả vi X1, ,X m sao cho mỗi p  M,X p1( ), ,X m( )p tạo thành cơ sở của TpM

x X p



 là vi phôi đòi hỏi

2.3.2.Tích Lie của hai trường véc tơ

Với mỗi trường véc tơ khả vi X  V(M) và mỗi hàm khả vi f F r(M),

ta xác định hàm Xf F 1( M) như sau: với p  M, (Xf)(p)= Xp(f) =

dt   , ở đó Xp= [c] Khi đó, với X, Y là hai trường véc tơ khả vi trên

M, tích Lie (hay móc Lie) của X và Y kí hiệu bởi [X, Y] được xác định như sau:

Với f F r(M), [X, Y]f = X(Yf ) - Y(Xf) Trong bản đồ địa phương (U,x) với các tọa độ địa phương 1

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và f : M

N là ánh xạ khả vi Với mỗi p M, xét Tpf: T M p T f p( )N xác định như

sau: với v T M p , v=[c], c : J M mà c(0)=p, đặt T f v p ( ) f c T f p( )N dễ thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v

Ta xét biểu diễn địa phương của Tpf Giả sử (U,x) là bản đồ địa

phương quanh p, (V,y) là bản đồ địa phương quanh f(p), sao cho f(U) V

Khi đó, nếu

1

( )

m i i

Do đó T f p là một ánh xạ tuyến tính Như vậy ta xác định được ánh xạ

Tf : TM TN, với v T M p (Tf)(v) =T f p   v Ta có biểu đồ sau giao hoán

Ta cũng thường kí hiệu T f p là fp và Tf là f và gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f

Mệnh đề:

Nếu f :M N là ánh xạ khả vi lớp C r

thì f: TM TN là ánh xạ khả vi lớp C r 1

là hai cơ sở của T M p và của T f p( )N tương ứng, trong hai bản đồ

(U, x) quanh p và (V, y) quanh f(p) Như vậy, hạng của fp chính bằng hạng của ma trận   j 1 

Mệnh đề:

Giả sử M, N là các đa tạp khả vi số chiều m và n tương ứng và f : M

N là một dìm, khi đó với mỗi p M có bản đồ địa phương (U,x) quanh p và (V,y) quanh f(p) sao cho với mọi q V  f U( ) ta có : y m 1 ( )q   y q n( )  0 và

U

f là một nhúng

Chứng minh:

Xét bản đồ U x,  quanh p sao cho x(p)= 0 Xét bản đồ V y, trong lân cận f (p) sao cho ( ( )) 0y f p  Do đó f là dìm, nên  1

o o

F  y f x có hạng cực đại (bằng m) tại điểm O m

 R Theo định lý hàm ẩn, có bản đồ g trong lân cận điểm 0 Rn sao cho  1   1   1 

Cho N là đa tạp khả vi n chiều, M là đa tạp khả vi m chiều mà M  N

M được gọi là đa tạp con của N nếu ánh xạ bao hàm i: M N là một nhúng khả

vi

Chú ý:

a Nếu M là đa tạp con của N, theo mệnh đề 1 ở trên, với mỗi p M, có

bản đồ (V,y) quanh p trên N sao cho: 1

( ) ( ) 0

y  q   y q   q VM Đặt U= V  M, 1.

U

x y ở đó 1:RnRm là phép chiếu, thì (U,x) là bản đồ của M quanh p và 1

: ( )

y x x U Rn là phép nhúng  1   1 

, , m , , m, 0, , 0

b Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi và f : M  N là một nhúng khả vi

Tập hợp f(M) là ảnh đồng phôi của M, nghĩa là M' = f(M) là đa tạp tô pô Giả

 là một atlas khả vi trên M' và M' là đa tạp con của đa tạp khả vi N

c Giả sử M là đa tạp con khả vi của đa tạp N và f : X  M là một đồng

phôi khi đó có thể cho một cấu trúc khả vi trên X sao cho X là đa tạp khả vi