Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận này là kết quả nghiên cứu, tổng hợp, thu thập tài liệu của riêng bản thân em, không có sự trùng lặp với kết quả của tác giả khác.

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh – người đã trực tiếp hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em trong thời gian em thực hiện khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Lê Thị Lam

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu và những người đi trước với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận này

là kết quả nghiên cứu, tổng hợp, thu thập tài liệu của riêng bản thân em, không có sự trùng lặp với kết quả của tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Lê Thị Lam

MỞ ĐẦU

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia làm hai lĩnh vực: toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Nói đến toán học ứng dụng không thể không nói đến Giải tích số Giải tích số là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình; các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu

Vấn đề tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm

số đại số hoặc siêu việt bất kì là một bài toán thường gặp trong kĩ thuật cũng như trong lý thuyết; là một vấn đề nghiên cứu quan trọng của giải tích số

Chính vì vậy; em đã lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp của em là:

“Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến.”

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUNG

1.1 Một số kiến thức về không gian hàm:

1.1.1 Không gian mêtric:

* Định nghĩa 1.1.1: Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X ≠ Ø

cùng với một ánh xạ d từ tích Đềcác X x X vào tập hợp số thực thỏa mãn các tiên đề sau đây:

i)  x,yX : d(x,y) ≥ 0 ; d(x,y) = 0 x = y

ii)  x,yX : d(x,y) = d(y,x)

iii)  x,y,zX : d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

Ánh xạ d gọi là mêtric trên X; số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử

x và y

Không gian mêtric được kí hiệu là :M = (X,d)

* Định nghĩa 1.1.2: Không gian mêtric M = (X,d) được gọi là không

gian đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ

* Định nghĩa 1.1.3: Cho hai không gian mêtric M1 = (X,d1); M2 = (X,d2) Ánh xạ A từ không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số ; 0 ≤  <1 sao cho d2(Ax,Ax’) ≤ .d1(x,x’)  x, x’X Hằng số  gọi là hệ số co của A

* Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co): Cho A là ánh xạ co

từ không gian mêtric đủ (X,d) vào chính nó Khi đó:

a) Tồn tại duy nhất x*X sao cho Ax* = x*.Phần tử x* gọi là điểm bất động của ánh xạ A

b) Dãy lặp xn+1 = Axn (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ đến x Ngoài ra ta còn có các ước lượng sau:

d(xn,x*) ≤ qn.(1-q)-1.d(x0,x1) (n≥1) (1.1.1) d(xn,x*) ≤ q.(1-q)-1.d(xn-1,xn) (n≥1) (1.1.2) (Với q là hệ số co của A)

□ Chứng minh:

a) Vì d(xn+1,xn) = d(Axn,Axn-1) ≤ q.d(xn,xn-1) ≤…≤ qn.d(x0,x1)

nên d(xn,xn+m) ≤ d(xn,xn+1) + d(xn+1,xn+2) +….+ d(xn+m-1,xn+m)

≤ qn.d(x0,x1).(1+q+…+qm-1) ≤ qn.(1-q)-1.d(x0,x1)

Suy ra (xn) là dãy cơ bản

Do X là không gian đủ nên xn→ x*X

Qua giới hạn trong biểu thức xn+1 = Axn ta được x* = Ax*

Giả sử ,  là hai điểm bất động của A Ta có :

0 ≤ d(,) = d(A,A) ≤ q d(,)

Từ đây suy ra d(,) = 0 hay  = 

b) Cho m→, ta có (1.1.2) (đpcm)

1.1.2 Không gian định chuẩn:

* Định nghĩa 1.1.4: Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian

tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K = hoặc

K = ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực ; kí hiệu là  ; đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) xX : x ≥0;  x = 0  x =  ( là phần tử không của X)

2) xX, K : .x = ׀ ׀  x

3) x,y X:  x+y   x +  y

Số  x được gọi là chuẩn của vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn là (X, ) hoặc X

* Định nghĩa 1.1.5: Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử

tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho :  AxY ≤ C. xX ; xX

* Định lý 1.1.2 (Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính

liên tục): Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương:

x

n x thì yn = 1

n→0 (n→) nghĩa là yn→0 khi n→  yn + x0→ x0 (n→)

Theo giả thiết ta có ||A(yn+x0) - Ax0||→ 0 (n→)

Nhưng ||Ayn||= ||A(

|| ||

n n

Vậy toán tử A liên tục tại điểm x0  X thì bị chặn

3)1) Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa  C > 0

||Ax|| ≤ C||x||; x  X (*)

Lấy một điểm bất kì xX và dãy điểm tùy ý (xn)  X hội tụ tới x

Nhờ hệ thức (*) ta có :

||Axn - Ax||= ||A(xn - x)|| ≤ C ||xn - x|| → 0 (n→)

Do đó A liên tục tại điểm x

Do x bất kỳ thuộc X  A liên tục trên X

1.1.3.Không gian Hilbert:

* Định nghĩa 1.1.6: Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là

trường số thực hoặc trường số phức ) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Đềcac XxX vào trường K ký hiệu <. , .> thỏa mãn tiên đề :

1) ( x, y  X) : <y, x > = <x , y> ;

2) ( x,y,z  X): <x+y,z> = <x,z> + <y,z> ;

3) ( x,y  X);(  K) : <.x , y> =  <x,y> ;

4) (x  X) :<x , x>  0 ; <x , x> = 0  x = 

* Định nghĩa 1.1.7: Ta gọi một tập H   gồm phần tử x, y, z,… nào

đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K;

2) H được trang bị một tích vô hướng < , .> ;

3) H là không gian Banach với chuẩn || x || = x x,  ; x  X

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Kí hiệu tổng của chuỗi đó là z

nghĩa là x là giới hạn của một dãy các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử thuộc hệ (en)n1 Vì vậy bao tuyến tính của hệ (en)n1 trù mật trong không gian H

4)  1) Giả sử x  H và x  en (n =1, 2, 3,….)

 x trực giao với bao tuyến tính của hệ (en)n1 Mà bao tuyến tính của

hệ (en)n1 trù mật khắp nơi trong không gian H

 x = 0 ( 0 là phần tử không trong H)

 Hệ trực chuẩn (en)n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H ( Định lý được chứng minh )

1.2 Số gần đúng và sai số:

1.2.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối:

* Định nghĩa 1.2.1.1: Ta gọi a là số gần đúng của a* nếu a không sai khác a* nhiều Kí hiệu a  a*

Đại lượng : = |a – a*| gọi là sai số thực sự của a Do không biết a* nên

ta cũng không biết  Tuy nhiên ta có thể tìm được số a  0, gọi là sai số tuyệt đối của a, thoả mãn điều kiện:

hay a - a  a*  a + a Một số gần đúng a của số đúng a* với sai số tuyệt đối

a được viết đơn giản là: a* = a  a Khi đó ta có sai số tương đối của a là

một số, kí hiệu a , được xác định bởi:

nếu  = 0,5.10j thì j = j nếu j là số chẵn và j = j + 1 nếu j là số lẻ

Sai số của phép làm tròn số a kí hiệu là a được xác định bởi:

  Dễ thấy a*a  a*a  a a     Như a a

vậy khi làm tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm a

1.2.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc:

* Định nghĩa 1.2.3.1: Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và cả chữ

số 0 nếu nó bị kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

* Định nghĩa 1.2.3.1: Giả sử a =  ( p.10p + p-1.10p-1 + ……+ p-s.10

p-s

) Mọi chữ số có nghĩa j của a được gọi là chữ số chắc nếu   .10j trong

đó  là tham số cho trước, tham số  được chọn sao cho một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc

* Chú ý: Trong thực tế tính toán, để cho tiện người ta vẫn thường chọn

 = 1/2 hoặc  = 1 Nếu  = 1 thì người ta nói chữ số chắc theo nghĩa rộng, còn nếu  = 1/2 thì người ta nói chữ số chắc theo nghĩa hẹp

1.2.4 Sai số tính toán:

Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau:

a) Sai số giả thiết: Do mô hình hoá, lý tưởng hoá bài toán thực tế.Sai số

này không loại trừ được

b) Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp không thể

giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể

c) Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó

có sai số

d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên

khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

Giả sử tìm đại lượng y theo công thức:

y = f(x1 , x2 , …, xn) Gọi xi*, y* và xi , y (i = 1, , n) lần lượt là các giá trị đúng và gần đúng của các đối số và hàm số Nếu f khả vi liên tục thì:

 tính tại các điểm trung gian Do i

f x



 liên tục và

xi khá bé ta có thể coi:

' 1 1

Trong tính toán nếu có tổng là một số nhỏ thì sai số tương đối sẽ là một

số lớn, do đó kết quả không chính xác Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức có hiệu của hai số gần nhau Nếu không tránh được thì cần phải lấy các số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc

1.2.6) Sai số của các phép tính nhân chia:

Giả sử :

1 1

 



Như vậy sai số tương đối của một tích hoặc một thương đều bằng

tổng các sai số tương đối của các số hạng thành phần

1.2.7) Sai số của các phép luỹ thừa, khai căn, nghịch đảo:

Cho y = xa , khi đó y d ln y x a x

dx

- Nếu a > 1 (phép luỹ thừa) thì y > x, do đó độ chính xác giảm

- Nếu 0 < a < 1 ta có phép khai căn, khi đó y < x, hay độ chính xác tăng

- Nếu a = - 1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa là độ chính xác không đổi

1.3 Khoảng tách nghiệm của phương trình:

Cho phương trình f(x) = 0 (1.3.1)

*Định lí 1.3.1: a) Nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và

f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một nghiệm x* thuộc khoảng (a,b) của phương trình (1.3.1)

b) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, hơn nữa hàm số f(x)

có đạo hàm f’(x) liên tục không đổi dấu trên đoạn [a,b] thì nghiệm x* nói trên

là duy nhất

* Định nghĩa 1.3.1:Khoảng (a,b) hoặc đoạn [a,b] được gọi là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.3.1) nếu trong khoảng (a,b) hoặc đoạn [a,b] phương trình (1.3.1) có một nghiệm duy nhất

* Định lý 1.3.2: Giả sử f(x) là hàm liên tục, đơn điệu trên đoạn [a, b] và

f(a).f(b) < 0 Khi đó đoạn [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.3.1)

* Định lý 1.3.3: Nếu hàm f(x) xác định trên đoạn [a,b] có đạo hàm f’(x)

không đổi dấu trên khoảng (a, b) và f(a).f(b) < 0 thì (a,b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.3.1)

Ví dụ 1.3.1: Cho phương trình : x3 – 3x2 + 3x + 1= 0 Hãy chứng tỏ phương trình này có nghiệm thực và tìm khoảng tách nghiệm của phương trình

Giải:

Đặt f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 1

Ta có f’(x) = 3x2 – 6x + 3 = 3.(x – 1)2 > 0  x  1

suy ra hàm số f(x) đồng biến trên

Ta có bảng biến thiên như sau:

x - 1 +

* Định nghĩa 1.4.1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a,b] Giả

sử các mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự a≤ x0< x1<……< xn= b

số y = f(x) tại xi, xi+1, xi+2 và được kí hiệu là f(xi,xi+1,xi+2)

* Các tính chất:

a)Tính chất 1: 0

0

( )( , , )

'( )

k

i k

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình một biến số: f(x) = 0 (1) trong đó f(x) là hàm số đại số hay siêu việt

Phương trình trên, trừ một vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương trình đại số bậc 1, 2, 3, 4 có công thức tính nghiệm cụ thể, còn nói chung là không có một công thức tính đúng nghiệm Mặt khác, các hệ số của f(x) trong nhiều trường hợp là số gần đúng Cho nên vấn đề giải đúng phương trình trên cũng không thật sự cần thiết Vì vậy việc tìm ra những phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến cũng như việc đánh giá độ chính xác của nghiệm gần đúng có một vai trò quan trọng

Việc tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) gồm hai bước sau:

Bước 1: Tìm khoảng (a, b) đủ nhỏ sao cho phương trình (1) có nghiệm duy nhất x*  (a, b) Bước này gọi là bước tách nghiệm

Bước 2: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết theo một phương pháp giải gần đúng Bước này được gọi là bước kiện toàn nghiệm

Sau đây, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu các phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến (1)

2.1.Phương pháp tách nghiệm

Nội dung phương pháp: Phương pháp tách nghiệm là phương pháp chỉ ra

đoạn [a,b] mà [a,b] chỉ chứa một nghiệm của phương trình f(x) = 0 (2.1.1)

Sau đó áp dụng một thuật toán nào đó để tìm nghiệm của phương trình (2.1.1) với một độ chính xác theo yêu cầu

Khi tách nghiệm của phương trình (2.1.1) cố gắng để đoạn [a,b] có độ dài càng nhỏ càng tốt

Có thể tách nghiệm bằng đồ thị: Tìm nghiệm của phương trình (2.1.1) nghĩa là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành

Nếu vẽ đồ thị hàm số y = f(x) gặp khó khăn thì có thể biểu diễn phương trình (2.1.1) về dạng tương đương f1(x) = f2(x) (2.1.2) sao cho đồ thị của y =

f1(x) và y = f2(x) đơn giản hơn Nghiệm của (2.1.2) là hoành độ giao điểm của các đồ thị y = f1(x) và y = f2(x)

2.2 Phương pháp chia đôi

a)Nội dung phương pháp:

Xét phương trình: f(x) = 0 (2.2.1)

Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.2.1)

Phương pháp chia đôi là phương pháp thu nhỏ dần khoảng tách nghiệm của phương trình đã cho

* Trước hết ta chia đôi [a,b] thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia

2

a b

c 

+ Nếu f(c) = 0 thì x* = c chính là nghiệm đúng của (2.2.1)

+ Nếu f(c)  0 Gọi [a1,b1] là một trong hai đoạn [a,c]; [c,b] mà ở đó

f(a1).f(b1) < 0 Khi đó độ dài đoạn [a1,b1] bằng

2

b a Ta được khoảng tách nghiệm thu nhỏ là [a1,b1]

* Tiếp tục chia đôi đoạn [a1,b1] thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia

c1= 1 1

2

a b

và làm tương tự như trên ta được khoảng tách nghiệm thu nhỏ

mới, kí hiệu là [a2,b2], độ dài đoạn [a2,b2] bằng 2

2

b a

………

* Lặp lại quá trình trên đến lần thứ n, ta được khoảng tách nghiệm thu nhỏ

thứ n, kí hiệu là [an,bn] Độ dài đoạn [an,bn] bằng

b) Sai số của phương pháp:

Khi dừng lại ở bước thứ n thì ta có :

a b

x   Gọi x* là nghiệm đúng của (2.2.1)

2.3 Phương pháp lặp đơn

a)Nội dung phương pháp:

Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.3.1)

Để giải phương trình (2.3.1) ta đưa nó về dạng:

Việc xây dựng dãy (xn) dựa vào định lý sau:

* Định lý 2.3.1: Giả sử φ  C1[a,b] sao cho:

a)  x  [a,b] ta có: |φ’(x)| ≤ q < 1

b)  x  [a,b] ta có: φ(x)  [a,b]

Khi đó ta có:

1) Phương trình (2.3.2) có nghiệm x* duy nhất trên đoạn [a,b]

2) Phép lặp (2.3.3) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng:

Mà không gian X = [a,b] với mêtric d(x,y) := |x – y|

Áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach ta suy ra điều phải chứng minh

 Chú ý: Trong thực hành giải phương trình (2.3.1) người ta thường thực hiện như sau:

+ Nếu φ’(x) > 0  x  [a,b] thì ta chọn x0 tùy ý

Như vậy; ta có thể chỉ ra số phép lặp cần thực hiện để nghiệm gần đúng xn

xấp xỉ x* với độ chính xác ; bởi công thức (2.3.5)

 Chú ý: Trong thực tế người ta thường dừng quá trình tính khi |xn – xn-1| < 

với  là sai số cho phép

c) Nhận xét: Phương pháp lặp đơn có tốc độ hội tụ tuyến tính

+Chọn xấp xỉ đầu tiên x0; các xấp xỉ tiếp theo được xây dựng theo công thức:

1

( ) '( )

b)Sai số của phương pháp:

Nếu f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục thì sai số được đánh giá bởi bất đẳng thức:

c) Nhận xét: Phương pháp Newton có tốc độ hội tụ bình phương

2.5 Phương pháp dây cung

a) Nội dung phương pháp:

Xét phương trình: f(x) = 0 (2.5.1)

Giả sử [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.5.1)

Giả sử rằng f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục và ta có f’’(x)>0 trên [a,b]

( Nếu f’’(x) < 0 thì ta chuyển (2.5.1) về dạng: - f(x) = 0; lúc đó - f’’(x) > 0 trên [a,b])

Khi đó đồ thị y = f(x) nằm phía dưới dây cung AB với A(a,f(a)), B(b,f(b))

 Trường hợp 1: Nếu f(a) > 0; ta xây dựng dãy (xn) theo hệ thức :

+ 1 2

'''( )

.( ).( ).( ) 3! n n n

f(xn) + f(xn,xn-1).(x – xn) + f(xn,xn-1,xn-2).( x n  xn).( x n  xn1) = 0 (2.6.6)

1 1

Mà f đơn điệu trên [-3;-2]

[-3;-2] là khoảng tách nghiệm của phương trình (3.1.1)

Ta có f(-1) =-1  f(-1).f(-2) < 0 ; mà f đơn điệu trên [-2;-1]

[-2;-1] là khoảng tách nghiệm của phương trình (3.1.1)

+

1

-3

-