Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính fredholm loại 2

LỜI CẢM ƠNTrong thời gian học tập tại khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội 2 được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm và ph

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội 2 được

sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô trong khoa Toán – những người đã luôn chăm lo, dìu dắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn

Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý

báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Phạm Thị Kim Anh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá

trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Sinh viên

Phạm Thị Kim Anh

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Lời nói đầu 1

Chương I: Một số kiến thức cơ sở

1.1 Một số kiến thức liên quan 3

1.1.1 Ánh xạ

1.1.2 Không gian Metric

1.1.3 Không gian định chuẩn

1.1.4 Không gian Hilbert

1.1.5 Điều kiện Lipschits

3.3.1 Phương pháp ánh xạ co

3.3.2 Phương pháp cầu phương

Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn, bởi toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển được chia làm hai lĩnh vực: Toán học

lý thuyết và toán học ứng dụng Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng toán học vào giải các bài toán thực tiễn

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình tích phân Nó được xem như là một công

cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân nhằm giải phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân không thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền, ….Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học

Được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh

cùng với lòng say mê nghiên cứu khoa học, là một sinh viên sư phạm chuyên ngành toán, em mạnh dạn chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là:

“ Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 ”

Có rất nhiều phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 nhưng do bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn khổ khóa luận này em xin bày tỏ một số vấn đề sau:

Chương I: Một số kiến thức cơ sở

Chương này gồm một số kiến thức cơ bản về ánh xạ, về các không gian ( Metric, Banach, không gian định chuẩn,….), điều kiện Lipschits, tổng quan

về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2

Chương II: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2

Trong chương này em tập trung vào hai phương pháp chính đó là: Phương pháp ánh xạ co và phương pháp cầu phương vào giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Phạm Thị Kim Anh

Chương I Một số kiến thức cơ sở

1.1 Một số kiến thức liên quan

1.1.1 Ánh xạ

Định nghĩa1.1 Cho hai tập hợp khác rỗng  và Y Gọi là một ánh xạ

đi từ tập  đến tập Y một quy tắc nào đó từ tập  đến tập Y sao cho với mỗi x   có một và chỉ một phần tử y Y tương ứng, thường kí hiệu là:

f :  Y

x  y

Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f đi từ  vào Y Nếu ánh xạ g đi từ

Yvào  sao cho gf 1X và fg 1Y thì g được gọi là ánh xạ ngược của f

là f 1

Ta có:  1 1

f    f

1.1.2 Không gian Metric

Định nghĩa 1.3 Ta gọi không gian Metric là một tập hợp   cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes  vào tập hợp số thực thỏa mãn các tiên đề sau:

( tiên đề tam giác)

M1,M2,M3 được gọi là hệ tiên đề Metric

Ánh xạ d gọi là Metric trên , số dx y gọi là khoảng cách giữa hai , 

phần tử x và y

Không gian Metric thường được kí hiệu là: ,dhoặc    ,d

Định nghĩa 1.4 Cho không gian Metric    ,d .Dãy điểm

 x n n1

   gọi là dãy cơ bản nếu:

Với   ,  0 n0 không âm sao cho vớim n, n0 Ta có:

dx x n, m hay  lim n, m 0

n m

1.1.3 Không gian định chuẩn

Định nghĩa1.6 Cho không gian tuyến tính  xác định trên trường

(  hoặc   ) Ta gọi  là không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn )nếu mọi không gian tuyến tính  cùng với ánh xạ

từ  vào tập số thực , kí hiệu là , đọc là chuẩn thỏa mãn các tiên đề sau:

1)    x  x  , 0 x  0 x ( là kí hiệu phần tử không)

2)   x  ,      x    x

3) x y,   x  y  x  y

Các tiên đề 1), 2), 3) được gọi là hệ tiên đề chuẩn

Số x gọi là chuẩn ( hay độ dài ) của vectơ x   , không gian định

chuẩn  và kí hiệu là , 

Định lý 1.1 Giả sử  là một không gian định chuẩn Với mọi

,

x y   ,đặt:

d x y,  xy Khi đó, d là một Metric trên 

Định nghĩa 1.7 Dãy  x n trong không gian định chuẩn  được gọi là

hội tụ đến x   nếu 0 lim n 0 0

Định nghĩa 1.8 Trong không gian định chuẩn  , dãy

 x n ,n 1;2; được gọi là một dãy Cauchy ( dãy cơ bản ) nếu với mọi

Định nghĩa1.9 Giả sử không gian định chuẩn  là một không gian

Metric đầy đủ ( với khoảng cách dx y,  xy ) Khi đó  được gọi là

một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.10 Không gian định chuẩn  trên trường được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

Định nghĩa 1.11 Cho hai không gian tuyến tính  và Y trên trường

 Ánh xạ  từ không gian  vào không gian Yđược gọi là tuyến tính nếu

 thỏa mãn:

1) x y   x y , với x y,  

2) x  , với  x   x ,

 cũng được gọi là toán tử tuyến tính

Khi đó, nếu  chỉ thỏa mãn 1) thì được gọi là toán tử cộng tính, nếu

 chỉ thỏa mãn 2) thì  được gọi là toán tử thuần nhất Khi Y   thì toán

tử tuyến tính  được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa1.12 Cho không gian định chuẩn  và Y Toán tử tuyến tính từ không gian vào không gian Ygọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số

Định nghĩa1.13 Cho hai không gian định chuẩn  và Y Kí hiệu £

, Y là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian  vào không gian Y Ta đưa vào £, Y hai phép toán:

 Tổng của hai toán tử   , £, Ylà toán tử, kí hiệu là

  , xác định bởi biểu thức:

   x     , với x x x   

 Tích vô hướng của  (   hoặc   ) với toán

tử £, Ylà toán tử kí hiệu là  , được xác định bởi biểu thức:

 x x

Dễ kiểm tra được rằng   £, Y,  £, Yvà hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, tập £, Y trở thành một không gian tuyến tính trên trường 

Định lý 1.2 Nếu Y là một không gian Banach thì £, Y là không gian Banach

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.14 Cho không gian tuyến tính  trên trường (  

hoặc   ) Ta gọi tích vô hướng trên không gian  mọi ánh xạ từ tích Descartes   vào trường , kí hiệu  ., thỏa mãn các tiên đề sau:

Các phần tử , , , x y z gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số x y , 

gọi là các tích vô hướng của hai nhân tử x và y Các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5)

gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.15 Không gian tuyến tính  trên trường  cùng với một tích vô hướng trên  gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.3 Cho  là không gian tiền Hilbert Với mỗi x   , ta đặt

2)  là không gian Banach với chuẩn x  x x,  với x  

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert là không gian Hilbert con của không gian 

1.1.5 Điều kiện Lipschits

Ta nói rằng trên a b ánh xạ ;   thỏa mãn điều kiện Lipschits theo biến

y nếu tồn tại £ 0 sao cho với y y, a b;  ta có bất đẳng thức:

Như vậy với mỗi t cố định thuộc a b thì ;  x t n  n1

 là dãy cơ bản trong 1 Vì 1 là một không gian đầy nên dãy x t n  n1

 hội tụ trong 1 Đặt   lim n 

Tức là dãy x t hội tụ đều tới n  x t  

Vậy x t liên tục trên   Ca b;  và x t Ca b;  và x t n  n1

 hội tụ tới

 

x t trong Ca b;  Nói cách khác,Ca b;  là không gian Banach với chuẩn ( 1.1 )

1.1.7 Không gian £p,

Giả sử  là một tập nào đấy, F là một - đại số các tập con của tập ,

 là một độ đo trên F Ta kí hiệu: £p, là tập tất cả các hàm x t đo  

được theo độ đo  trên tập sao cho:

 p

E

x t d  

Tập £p, là không gian tuyến tính trên trường số thực với các phép toán thông thường cộng hai hàm số và nhân một số thực với hàm số

Dễ dàng kiểm tra công thức ( 1.3 ) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn

Do đó, £p, trở thành không gian định chuẩn (1.3 )

Nếu  a b;  và p  thì ta có không gian £2 2a b ; 

Hàm x t £  pa b  ;   2

b a

b a

x t   x t dt

  ( 1.4 )

1.2 Tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 1.2.1 Phương trình toán tử

Cho  là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn  vào chính nó

Phương trình dạng: x   x f ( 2.1)

Trong đó f cho trước, f   ,  là tham số thực hoặc phức được gọi

là phương trình loại 2 đôi khi còn gọi là phương trình Fredholm loại 2

1.2.2 Phương trình tích phân

Định nghĩa 1.18 Phương trình tích phân là phương trình mà hàm ẩn

nằm dưới dấu tích phân

Định lý: Cho t s,  là một hàm số liên tục theo hai biến

t s, a b;   a b; , x s là hàm số liên tục trên   a b hay ;  x s Ca b; 

Đặt:     ,   

b a

+ Do t s,  liên tục theo hai biến trên a b;   a b; , x s là hàm số  

liên tục trên a b;  nên t s, , x s  là hàm liên tục theo hai biến

t s, a b;   a b; .Do đó, theo định lý về tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số, ta có x t  liên tục trên a b; 

Suy ra  ,     ; 

b

a b a

t s x s ds C

Vậy toán tử  tác động từ Ca b;  vào Ca b; 

Hàm t s,  trong (2.2) được gọi là nhân ( hạch ) của toán tử  +  toán tử tuyến tính

Trong đó hàm hai biến t s,  gọi là nhân của toán tử tích phân

ii) Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 là phương trình dạng:

x   x f ( 2.3 )

Trong đó: , x f   - không gian định chuẩn, thường xét  là không gian Ca b;  hoặc L a b 2 ; 

 , ,  là toán tử tích phân Fredholm

( 2.3 ) được gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2

Chương II Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính

d  x, x d x x,  Hằng số  được gọi là hệ số co của 

Dễ thấy mọi ánh xạ co đều liên tục

n j j

 x n n0 thành lập trên đây là một dãy cơ bản trong không gian .Do

đó, tồn tại giới hạn của dãy  x n trong không gian , kí hiệu:

Giả sử tồn tại x y,   thỏa mãn x  x và y  y thì ta có:

Vậy tồn tại duy nhất x  sao cho x  x

b) Cho m   trong biểu thức:

a Xét trong không gian Ca b; 

Ta áp dụng nguyên lý Banach về ánh xạ co để giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2

b a

    ,   

b a

C m  t s ds )

C  dx y, 

Đặt  C  , nếu 0C   thì 1  là ánh xạ co từ Ca b;  vào chính nó

Từ đó ta có định lý sau:

Nếu hàm t s,  liên tục trên hình vuông a b;   a b;  và

Mặt khác  ,   

b a

b a

n a

x f  t s  f s ds là nghiệm của (2.3), t s, , được gọi là kết

thức của phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2: x   x f

b Xét trong không gian £2a b ; 

b a

phương khả tích Lesbesgue trên hình vuông a b;   a b; )

+ Tìm điều kiện để  là ánh xạ co từ £2a b vào chính nó Áp dụng ; 

bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski-Schwarz với x £2a b;  ta có:

2 2

,

b a

0      1  

1 2 2

+ Cách giải (2.3) tương tự như xét trong không gian Ca b; 

2.2 Phương pháp cầu phương

Bản chất của phương pháp này là sự thay thế tích phân bằng tổng hữu hạn Giả sử đã biết rằng:



Trong đó,  và k t -tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu k

phương, R x phần dư của công thức cầu phương n 

Nếu quy tắc (2.2.1) áp dụng để tính tích phân (2.3) thì chúng ta có:

Trong đó, s k t k, k1;2; ;n còn t -là các nút của công thức (2.2.1) k

Ta giả thiết rằng giá trị R kx n  là nhỏ và có thể không cần tính đến, giả sử trong phương trình (2.2.2) ta thay t  khi đó: t i

1

!,

Ở đây, x là kí hiệu giá trị i x t nghĩa là giá trị nghiệm đúng  i x t của  

phương trình (2.3) tại các nút t Công thức (2.2.3) là hệ phương trình đại số i

tuyến tính có n phương trình và n ẩn x1, ,x chưa biết Sau khi giải hệ n

phương trình (2.2.3) chúng ta sẽ tìm được các giá trị x1, ,x n và ta có thể viết nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.3) dưới dạng giải tích:

Ta có thể có được hàm x t n  theo một quy tắc khác nào đó, ví dụ khi

sử dụng các công thức Lagrange hoặc Newton và giá trị x1, ,x n tại các nút

3 5 2 1

2

ax

n ji

i n j

Điều căn bản ở đây là ước lượng sai số của công thức cầu phương

n

R x Đạt được việc này là tương đối khó bởi vì hàm t s x s,    chứa nghiệm chưa biết dưới dạng nhân tử Việc áp dụng phép biểu diễn thông thường sai số R nx đòi hỏi phải biết ước lượng đạo hàm bậc cao của

Chương III Các ví dụ ứng dụng

cos sin1

2

n

n n



Vậy nghiệm cần tìm của phương trình ban đầu là:

1 1 0 0

4)      

0

12

(Áp dụng công thức hình thang với 2n  ) 4

0,96

2 2 0

12

tong2 : 100

1:100

3.3.2 Phương pháp cầu phương

Ví dụ: Giải phương trình:

20102

b a

 for i from 1 to n do lprint ( x i  subs (sols,   x i )):od;  

Kết luận

Chúng ta đang sống trong thời đại khoa học và công nghệ, các ngành khoa học phát triển vô cùng mạnh mẽ và đáp ứng được nhu cầu sử dụng rộng rãi trong thực tiễn Chính vì lẽ đó, mà việc giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính cũng như các dạng phương trình tuyến tính khác từ đó giải quyết các bài toán thực tiễn lại càng trở nên cần thiết hơn Khóa luận tốt nghiệp này đã tóm tắt được một số kiến thức có liên quan, đã trình bày được một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2, đã giới thiệu được một số ví dụ giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 bằng phương pháp ánh xạ co và bằng phương pháp cầu phương

Vấn đề nghiên cứu còn rất nhiều điều lý thú và bổ ích.Tuy nhiên do lần đầu tiến hành nghiên cứu khoa học, do thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong khóa luận này còn rất nhiều điều thiếu sót cần bổ sung, góp ý Em rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong

khoa toán, các thầy, cô trong tổ giải tích, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS Khuất

Văn Ninh-người đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!