Dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất trong chương trình toán phổ thông

2 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài “Dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất trong chương trình toán phổ thông” do bản thân em nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Th.S Đào Thị Hoa,

1

LỜI CẢM ƠN

Bằng lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn Th.S Đào Thị Hoa

đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thiện khóa

luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các

thầy cô trong tổ phương pháp, cùng các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện

thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thuỷ

2

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài “Dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất trong chương trình toán phổ thông” do bản thân em nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Th.S Đào Thị Hoa, giảng viên khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2 Đề tài không sao chép từ bất cứ luận văn có sẵn nào khác Kết quả nghiên cứu không trùng với kết quả của tác giả khác

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thuỷ

3

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

ĐN: định nghĩa đgl: được gọi là GV: giáo viên HS: học sinh HĐ: hoạt động MĐ: mục đích SGK: sách giáo khoa VD: ví dụ

4

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Nội dung 4

Chương 1: Nội dung dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất 4

1.1 Ý nghĩa 4

1.2 Mục đích- yêu cầu của việc dạy một số yếu tố của tổ hợp và xác suất 4

1.3 Nội dung triển khai chủ đề tổ hợp và xác suất ở phổ thông 5

Chương 2: Dạy học chủ đề tổ hợp và xác suât ở phổ thông 9

2.1 Tổ hợp 9

2.1.1 Hai quy tắc đếm cơ bản 9

2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 14

2.1.3 Nhị thức Niu-tơn 18

2.2 Xác suất 21

2.2.1 Phép thử và biến cố 21

2.2.2 Các định nghĩa xác suất 23

2.2.3 Các quy tắc tính xác suất 26

2.2.4 Biến ngẫu nhiên rời rạc 30

Kết luận 33

Phụ lục 34

Tài liệu tham khảo 47

5

MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài:

Toán học rất đa dạng, phong phú và kiến thức của toán học được sử dụng

rộng rãi trong khoa học và cuộc sống Trong đó phải kể đến mạch toán ứng dụng Nội dung cơ bản của mạch toán này được đưa vào dạy trong chương trình toán phổ thông để học sinh có thể giải quyết một số bài toán trong thực tiễn

Phần kiến thức trọng tâm của mạch toán này là “Tổ hợp và xác suất” được trình bày khá chi tiết trong chương trình toán Đại số và Giải tích lớp 11 nhằm giúp học sinh giải quyết các bài toán xác định số phần tử của một tập hợp hay bài toán xét khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên

Nội dung của “Tổ hợp và xác suất” được trình bày trong SGK gắn liền thực tiễn, tuy nhiên nó là phần kiến thức còn rất mới đối với học sinh Do vậy,

để học sinh tiếp thu một cách tốt nhất, đảm bảo cho việc dạy học nội dung này có hiệu quả nhất, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị cho mình những hành trang tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết về phương pháp dạy học nội dung này

Với lí do trên em đã nghiên cứu đề tài “Dạy học một số yếu tố của tổ hợp

và xác suất trong chương trình toán phổ thông”

II Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu việc dạy học tổ hợp và xác suất trong chương trình toán phổ thông nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học nội dung này sau khi ra trường

- Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học “Tổ hợp và xác suất”

IV.Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài có sử dụng các phương pháp:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra quan sát

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

1.2 Mục đích - yêu cầu dạy học tổ hợp và xác suất

1.3 Nội dung triển khai tổ hợp và xác suất ở phổ thông

Chương 2 Dạy học tổ hợp và xác suất ở phổ thông

2.1 Tổ hợp

2.2 Xác suất

7

NỘI DUNG

Chương 1 Nội dung dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất 1.1 Ý nghĩa:

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường gặp các bài

toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó, ta gọi đó là bài toán đếm Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu các bài toán mang cấu trúc rời rạc, trong đó có bài toán đếm Nhờ nghiên cứu lí thuyết về tổ hợp mà chúng

ta có thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng, chính xác mà không cần liệt kê tất cả các phần tử vì trong nhiều trường hợp điều đó là không khả quan Từ đó mà ta thấy được rằng việc dạy học những yếu tố của tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều ứng dụng trong thực tiễn, hơn nữa chúng còn phục vụ cho giải toán xác suất

Bản thân mỗi người thường tiếp xúc, va chạm với các biến cố ngẫu nhiên, những tình huống có yếu tố may rủi, những sự kiện không thể dự đoán trước được chắc chắn xảy ra hay không xảy ra Lí thuyết xác suất là ngành toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng tính toán xác suất của một biến cố ngẫu nhiên Bởi vậy, lí thuyết xác suất được sử dụng trong tất cả các ngành, các lĩnh vực của đời sống xã hội Hơn nữa, lí thuyết của xác suất còn được sử dụng để nghiên cứu các quy luật thống kê

Lí thuyết tổ hợp thì được sử dụng để giải các bài toán xác suất còn lí thuyết xác suất được sử dụng để nghiên cứu các mô hình của quy luật thống kê

8

Do vậy, việc nghiên cứu tổ hợp và xác suất không những có ứng dụng trong thực tiễn mà còn có ứng dụng ngay trong lý thuyết toán học và trở thành một ngành toán học đa diện cả về chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng

Như vậy, việc nghiên cứu tổ hợp và xác suất là rất cần thiết Cần dạy cho học sinh nghiên cứu và ứng dụng những nội dung cơ bản của phần lí thuyết này

để giải những bài toán thực tiễn

1.2 Mục đích - yêu cầu của việc dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất:

Phần kiến thức về tổ hợp và xác suất đưa vào trong chương trình toán phổ thông nhằm cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu, cơ bản về nội dung này

Và mục đích của việc dạy học nội dung này là sau khi học xong thì HS đạt được:

Nắm được công thức nhị thức Niu-tơn, cách thiết lập tam giác Pa-xcan Nắm được các khái niệm: phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho một biến cố

Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Nắm được quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất

Đối với ban tự nhiên thì được làm quen thêm với các khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của nó là kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Nhớ các công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

9

b) Về kĩ năng:

HS biết cách vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán

vị, số tổ hợp, số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản

Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn vào các bài toán có liên quan

Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất

Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản

Đối với ban tự nhiên thì biết lập bảng phân bố xác suất, biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc

1.3 Nội dung triển khai chủ đề “Tổ hợp và xác suất” ở phổ thông:

Chủ đề này được đưa vào trong chương trình toán Đại số và giải tích 11 gồm những nội dung sau:

A Tổ hợp

1 Hai quy tắc đếm cơ bản:

Nội dung này được trình bày trong SGK bao gồm hai quy tắc: quy tắc cộng

và quy tắc nhân Nhưng giữa sách cơ bản và sách nâng cao có sự khác nhau trong cách phát biểu định nghĩa:

Ở sách cơ bản, quy tắc cộng được phát biểu cho “một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động”

Ở sách nâng cao phát biểu quy tắc cộng cho “một công việc được thực hiện bởi phương án hoặc ” và thêm phát biểu “một công việc được thực hiện bởi

11

+ SGK nâng cao gồm các bài:

 Biến cố và xác suất của biến cố

 Các quy tắc tính xác suất

 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Tuy có sự trình bày khác nhau nhưng phần xác suất này gồm những nội dung cơ bản sau:

là một định nghĩa mang tính hình thức, không phải là định nghĩa chuẩn

2 Xác suất của biến cố:

Phần này giới thiệu cho HS các định nghĩa của xác suất bao gồm: định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê của xác suất, cách tính xác suất dựa vào định nghĩa cổ điển

Định nghĩa thống kê của xác suất được trình bày trong nội dung chính của bài học trong SGK nâng cao, còn trong SGK cơ bản thì nó được trình bày trong bài đọc thêm

3 Các quy tắc tính xác suất:

12

Nội dung này bao gồm các khái niệm: hợp và giao của hai biến cố, hai biến

cố xung khắc, hai biến cố độc lập và quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất

Ở ban cơ bản thì các khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc được học trước khi đưa ra khái niệm xác suất, còn ở ban tự nhiên thì ngược lại Tuy có sự sắp xếp khác nhau song không ảnh hưởng gì đến việc nắm bắt nội dung của HS ban cơ bản và ban tự nhiên

SGK nâng cao còn có thêm quy tắc cộng cho nhiều biến cố đôi một xung khắc và quy tắc nhân cho nhiều biến cố Trong khi đó, SGK cơ bản lại có thêm

mở rộng công thức công thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kì cùng liên quan đến một phép thử được trình bày trong bài đọc thêm

4 Biến ngẫu nhiên rời rạc:

Nội dung này chỉ có trong SGK nâng cao mà không được trình bày trong SGK cơ bản Nó gồm có định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc, kì vọng, phương sai

và độ lệch chuẩn

13

Chương 2 Dạy học chủ đề tổ hợp và xác suất ở phổ thông

2.1 Tổ hợp

2.1.1 Hai quy tắc đếm cơ bản

Mục tiêu của bài này là giúp HS nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản, vận dụng chúng để giải các bài tập áp dụng, biết khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi nào sử dụng quy tắc nhân và nhiều khi biết cách phối hợp hai quy tắc này để giải các bài toán tổ hợp

SGK đã trình bày rất chi tiết, cụ thể nhưng để đạt được mục tiêu trên thì trong quá trình dạy và học nội dung này cần có những lưu ý cho HS:

Việc phát biểu quy tắc cộng và quy tắc nhân trong sách cơ bản và nâng cao

có sự khác nhau (như đã trình bày ở phần nội dung triển khai) Nhưng đây chỉ là cách sử dụng ngôn từ khác nhau, về bản chất chúng là một Chỉ có lưu ý thêm là trong quá trình dạy HS ban cơ bản thì có thể mở rộng quy tắc cộng và nhân trong trường hợp tổng quát cho các em

Khi trình bày quy tắc cộng, cần lưu ý cho HS là các phương án (hoặc hành động) ở đây phải phân biệt Tức là không có cách nào được xem là thuộc cả hai phương án (hành động) nào đó

Ví dụ 1:

Lớp 7A có 15 học sinh biết tiếng Anh, 20 học sinh biết tiếng Pháp và 5 học sinh không biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp

Nếu bài toán yêu cầu tính số HS lớp 7A thì sẽ có em nhầm lẫn trong việc

sử dụng ngay quy tắc cộng để tính trực tiếp số HS là:

14

15 + 20 + 5 = 40 (học sinh)

Phân tích sai lầm: nếu như không có HS nào vừa biết tiếng Anh và tiếng Pháp thì mới được sử dụng quy tắc cộng (do số HS biết tiếng Anh độc lập với số học sinh biết tiếng Pháp), còn nếu lớp 7A có những HS vừa biết tiếng Anh vừa biết tiếng Pháp thì không được sử dụng trực tiếp ngay quy tắc cộng (do số HS biết tiếng Anh không độc lập với số HS biết tiếng Pháp)

“Chú ý” trong SGK đưa ra quy tắc cộng phát biểu dưới dạng tập hợp:

“Nếu và là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của được tính bằng số phần tử của cộng với số phần tử của :

” (2 1) Tương tự, khi dạy nên yêu cầu HS phát biểu quy tắc cộng cho nhiều tập hợp:

“Nếu là các tập hữu hạn đôi một không giao nhau thì:

” (2 2) Trong quá trình dạy phải lưu ý cho HS là các tập hợp phải “hữu hạn phần tử ” và

“đôi một không giao nhau”

Quy tắc nhân được phát biểu cho một công việc gồm hai hoặc nhiều công đoạn Nhưng khi dạy cần lưu ý cho HS là số cách của công đoạn sau không phụ thuộc vào cách nào của công đoạn trước

Khi dạy nên lấy thêm ví dụ mà HS dễ nhầm lẫn trong quá trình sử dụng quy tắc nhân

Ví dụ 2:

15

Xếp các bạn A, B, C, D vào các vị trí 1, 2, 3, 4 trong một bàn học Biết rằng bạn A không ngồi ở vị trí thứ 1, vị trí thứ 2 dành cho B hoặc C, hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Có học HS giải như sau:

Bước 1: Vị trí thứ 1: có 3 cách chọn (B, C, D)

Bước 2: Vị trí thứ 2: có 2 cách chọn (B, C)

Bước 3: Vị trí thứ 3: có 2 cách chọn (hai người còn lại sau hai bước)

Bước 4: Vị trí thứ 4: có 1 cách chọn (người còn lại)

Bước 4: Vị trí thứ 4:có 1 cách chọn (người còn lại)

Vậy số cách chọn là: 2 2 2 1 = 8 (cách)

Học sinh dễ nhầm lẫn quy tắc cộng với quy tắc nhân:

Ví dụ 3:

Nhóm văn nghệ của trường có 6 bạn Nhưng nhà trường chỉ chọn ra 2 bạn

để tham gia biểu diễn cấp tỉnh Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Có HS làm như sau:

17

Một công việc được thực hiện theo công đoạn ( ), công việc phải được hoàn thành bởi bước thực hiện liên tiếp: thực hiện một cách ở công đoạn , một cách ở công đoạn một cách ở công đoạn

Khi dạy chúng ta nên vận dụng phương pháp dạy học theo nhóm vào bài này Ví dụ: đưa ra một số bài toán về hai quy tắc đếm ghi trên phiếu học tập sau

đó phát cho từng nhóm Mỗi thành viên trong nhóm độc lập nghiên cứu lời giải các bài toán ghi trong phiếu Sau đó, cả nhóm thảo luận khi nào, bài nào thì sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân Trong mỗi bài toán nên có cả hai quy tắc, tạo điều kiện để HS phân biệt được hai quy tắc đó

Trong SGK nâng cao có bài đọc thêm về quy tắc cộng mở rộng cho hai tập hợp hữu hạn bất kì:

“ Cho hai tập hữu hạn bất kì, ta có:

” (2.4) Nên giải thích thêm cho các em thông qua biểu đồ ven

Có thể bổ sung thêm cho HS quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hơn hai tập hợp:

“ Cho là các tập hợp hữu hạn Khi đó:

(2 5) Công thức này chỉ nên đưa ra để tham khảo, không tìm cách chứng minh cho

HS

18

Xét ví dụ 1 có cho thêm dữ kiện:

“ Lớp 7A có 15 học sinh biết tiếng Anh, 20 học sinh biết tiếng Pháp và 5 học sinh không biết cả hai thứ tiếng này Biết rằng số học sinh biết cả tiếng Anh

và tiếng Pháp là 3 em Tính số học sinh lớp 7A?”

Gọi: Tập hợp số học sinh lớp 7A biết tiếng Anh là

Tập hợp số học sinh lớp 7A biết tiếng Pháp là

Vậy: Tập hợp số học sinh biết ít nhất một trong hai thứ tiếng là

Tập hợp số học sinh biết cả hai thứ tiếng là

Ta có:

Mà

Vậy số học sinh lớp 7A là : 32 + 5 = 37 (học sinh)

2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Mục tiêu của bài này là giúp HS hiểu rõ thế nào là hoán vị của phần tử, chỉnh hợp chập của phần tử, tổ hợp chập của phần tử Biết tính và biết khi nào sử dụng các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp

Khi dạy chúng ta cần có những lưu ý sau:

Cho HS hiểu rõ thế nào là “hoán vị”, “chỉnh hợp chập của phần tử”, “tổ hợp chập của phần tử”, và lưu ý HS sử dụng đúng ngôn từ vì nhiều lúc HS

, trường hợp là không thỏa mãn

Định nghĩa tổ hợp cũng chỉ xét với k nguyên thỏa mãn , khi quy ước thì công thức:

(2 7) vẫn đúng với trường hợp

Phân tích cho HS thấy rõ sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp chập của phần tử để các em sử dụng công thức cho đúng:

+ Tổ hợp là một cách lấy ra phần tử của phần tử không kể thứ tự sắp xếp

+ Chỉnh hợp là một cách lấy ra phần tử của phần tử có sắp thứ tự

Ví dụ 4:

Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào 6 chỗ ngồi của một bàn

Có HS làm như sau:

20

Bốn bạn sẽ ngồi vào 4 chỗ của bàn học nên số cách xếp là:

Phân tích sai lầm:

Làm như trên HS đã không xét các vị trí của mỗi bạn trong bàn nên đã dẫn đến sai lầm

Cho 3 điểm A, B, C phân biệt

a) Có bao nhiêu cách ghi 3 điểm đó trên một đường thẳng

b) Với 3 điểm này có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác

c) Giả sử A, B, C không thẳng hàng Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 trong 3 điểm đó

d) Gỉả sử A, B, C không thẳng hàng Có thể lập được bao nhiêu tam giác nhận 3 điểm đó làm đỉnh

Ở ý a) khi xếp 3 điểm nằm trên 1 đường thẳng thì 3 điểm đó nằm ở 3 vị trí

có thứ tự (có điểm nằm giữa hai điểm còn lại, điểm nằm bên trái hay bên phải điểm ở giữa) Do đó, số cách ghi chính là số hoán vị của 3 vị trí:

22

,

(2.11) ,

,

2.1.3 Nhị thức Niu-tơn

Mục tiêu của bài này là giúp HS nắm được công thức nhị thức Niu-tơn,

cách thiết lập hàng thứ của tam giác Pa-xcan khi đã biết hàng thứ , biết

vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn để tìm khai triển các đa thức dạng

Khi dạy nội dung này chúng ta cần có những lưu ý sau:

Việc đưa ra công thức nhị thức nhị thức Niu-tơn cho HS mang tính chất

thừa nhận, không yêu cầu chứng minh:

(2 12)

Khai triển được suy ra từ công thức nhị thức Niu-tơn:

(2 13)

23

Trong công thức nhị thức Niu-tơn lũy thừa của giảm dần theo các hạng tử, lũy thừa của tăng dần, nhưng ta có thể viết khai triển của theo lũy thừa tăng của và giảm của theo các hạng tử:

Trừ (2.17a) và (2.17b)

25

Hàng thứ của tam giác Pa-xcan là một dãy gồm số:

Đây là các hệ số trong khai triển , để tính các hệ số này ngoài bằng công thức (2 7) ta có thể sử dụng tam giác Pa-xcan để tính Nhưng cách này chỉ sử dụng với nhỏ, đối với khá lớn thì nên dùng công thức (2 7) Giả sử với

thì việc tìm bằng tam giác Pa-xcan là không khả quan vì như vậy ta phải thiết lập hàng thứ của tam giác

2.2 Xác suất

Ở phần này giữa sách cơ bản và sách nâng cao có sự trình bày khác nhau

Do đó, chúng ta sẽ cùng nhau nghiên cứu các lưu ý theo từng vấn đề:

2.2.1 Phép thử và biến cố

Mục đích là giúp HS nắm được hai khái niệm của lí thuyết xác suất là phép thử và biến cố

Khi dạy nội dung này chúng ta cần có những lưu ý sau:

Phân biệt “phép thử” và “phép thử ngẫu nhiên” cho HS “Phép thử” là một thí nghiệm hay một hành động nào đó, “phép thử ngẫu nhiên” là một phép thử

mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng lại có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó Nhưng để đơn giản, người ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử và lưu ý trong quá trình dạy HS phổ thông ta chỉ xét các phép thử có một số hữu hạn kết quả

Việc định nghĩa không gian mẫu trong SGK là dễ hiểu, chỉ lưu ý cho HS là khi xác định không gian mẫu là phải đầy đủ, không bỏ sót một trường hợp nào vì