Các dạng khác nhau của định lý haln banach và ứng dụng

Nét tiêu biểu của giải tích hàm là xét các không gian vô hạn chiều, gồm các hàm, các dãy hay các đối tượng chung khác, và cả các phép tính đối với phần tử của các không gian đó.. Với mon

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Cấu trúc khóa luận 3

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach 4

1.2 Quan hệ thứ tự và bổ đề Zorn 12

1.3 Tập lồi 14

1.4 Hàm cỡ 20

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG 22

2.1 Dạng giải tích 22

2.2 Dạng hình học 27

2.3 Lý thuyết hàm lồi liên hợp 32

KẾT LUẬN 40

LỜI NÓI ĐẦU

số tuyến tính và hình học nhiều chiều

Khái niệm quan trọng nhất của giải tích hàm là khái niệm tổng quát về không gian Nét tiêu biểu của giải tích hàm là xét các không gian vô hạn chiều, gồm các hàm, các dãy hay các đối tượng chung khác, và cả các phép tính đối với phần tử của các không gian đó Cùng với sự phát triển khái niệm không gian thì khái niệm hàm số cũng được tổng quát hóa Đại lượng biến thiên không phụ thuộc đối bằng số, mà phụ thuộc một hàm số nào đó được gọi là phiến hàm Phiếm hàm là một hàm số xác định trên không gian hàm nào đó Một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích hàm là nguyên lý thác triển Haln – Banach

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích hàm, em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng” làm khóa luận tốt nghiệp đại học của mình Nghiên cứu đề tài này, chúng ta có thêm những hiểu biết về định lý

Haln – Banach, các dạng khác nhau và một số ứng dụng của nó

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach

1.1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1 Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là , ,

Các phần tử của V gọi là vectơ, các phần tử của K gọi là các vô hướng

Phép cộng “” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là nhân vectơ với

vô hướng

Khi K  R thì V được gọi là không gian vectơ thực Khi K  thì V

được gọi là không gian vectơ phức

Một số ví dụ

Ví dụ 1.1 Tập các vectơ tự do trong không gian với các phép toán cộng vectơ

và nhân vectơ với một số thực như đã định nghĩa trong chương trình bậc phổ

thông trung học là một không gian vectơ thực

Ví dụ 1.2 Cho trường K và n  Xét tích đề các 1

n

K = {( ,x x1 2,,x n) x iR,i1, 2,,n} với hai phép toán:

x x1, 2,,x n( ,y y1 2,,y n)x1 y x1, 2 y2,,x n y n

x x1, 2,,x n  x1,x2,,x n,  K

thì K cùng với hai phép toán trên là một K – không gian vectơ n

Ví dụ 1.3 Tập X là tập khác rỗng, V là một K – không gian vectơ Tập 

Giả sử V là một K không gian vectơ Các tính chất sau đây suy ra ngay

từ định nghĩa của không gian vectơ:

1.1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2 Hàm số thực p X  R xác định trên không gian tuyến tính :thực X gọi là một nửa chuẩn trên X nếu với mọi ,x yX và với mọi

 K, ta đều có

1) p x  y p x  p y ;

2) px  p x 

Nếu p là một nửa chuẩn trên X thì ( ) p x  với mọi 0 xX

Thật vậy, với mọi xX

a) ( x X) x 0, x 0x; (ký hiệu phần tử không là )

b) ( x X),(  P) x   x ;

c) (x y, X) xy  x  y

số x gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là

X Các tiên đề a), b), c) gọi là hệ tiên đề chuẩn

Một số ví dụ

Ví dụ 1.6 Đối với số thực bất kỳ x  R ta đặt

x  x (1.1) Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho

một chuẩn trên R Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là 1

x x

x x





  (1.3)

Từ công thức x d x , và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.3)

cho một chuẩn trên  Không gian chuẩn tương ứng ký hiệu là 2  2

Định nghĩa 1.4 Dãy điểm ( )x n của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm xX , nếu lim n 0

   Ký hiệu

c) Nếu dãy điểm ( ) x n hội tụ tới x , dãy điểm  y hội tụ đến y trong n

không gian định chuẩn X , dãy số  n hội tụ tới số  , thì

Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P là

trường số thực hoặc trường số phức ) Ánh xạ A từ không gian X vào

không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

i) (x x, 'X A x) ( x')AxAx';

ii)  x X  P A x  Ax

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện i) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện ii) thì A gọi là toán tử thuần nhất

Định nghĩa 1.7 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn Không gian đối ngẫu, kí hiệu *

X , là không gian của tất cả các hàm tuyến tính bị chặn trên X :



*

X được định nghĩa là một chuẩn trên *

X , được gọi là chuẩn, với mọi

1)2) Giả sử toán tử A liên tục

Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi điểm xA , do đó toán tử A

liên tục tại điểm x0X

2)3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0X , nhưng toán tử A không bị

Vì vậy toán tử A liên tục tại điểm x0X thì bị chặn

3)1) Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa C  0

1.1.3 Không gian Banach

Định nghĩa 1.8 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach

nếu mọi dãy Cauchy trong không gian này đều hội tụ

Nhận xét : - Trong không gian Banach, một dãy hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

- Không gian Banach cũng là không gian định chuẩn đầy

Ví dụ 1.9 Cho  a   Khi đó, b X C a b ,  là không gian Banach thực, với chuẩn

Vậy sự hội tụ trong (1.7) là đều trên a b , 

Từ các điều kiện trên ta có u:a b  R,  liên tục Chứng tỏ uC a b ,  và

n

u u khi n   trong X

Hay C a b là không gian Banach thực với chuẩn  ,  ax ( )

 , với ( )u n  X trên trường K , n 1, 2,

Khi đó, dãy ( )u n , n 1, 2, là một dãy Cauchy trong X

3) x  và y y z  xz với mọi , ,x y zX (bắc cầu)

Khi ấy ta gọi quan hệ  là một thứ tự (hay thứ tự bộ phận) trên tập X ,

và X được sắp thứ tự bộ phận theo thứ tự đó

Một số ví dụ

Ví dụ 1.10 Trong , , , quan hệ  thông thường là quan hệ thứ tự

Ví dụ 1.11 Trong *

xét quan hệ “chia hết” a chia hết cho b nếu tồn tại

*

q  sao cho a.q = b, kí hiệu a b  Quan hệ này là quan hệ thứ tự

Ví dụ 1.12 Quan hệ bao hàm ( ) trong tập hợp ( ) S các tập con của một tập

S là quan hệ thứ tự

1.2.2 Quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận

Định nghĩa 1.10 Cho S là một tập được sắp thứ tự Nếu với x y,  ta có S

x  hoặc y y  thì ta nói x và y so sánh được với nhau x

Nếu mọi ,x y đều so sánh được với nhau thì ta nói S S là tập sắp thứ

tự toàn phần (còn gọi là sắp thứ tự tuyến tính hay sắp thẳng)

Trong trường hợp trái lại ta nói S là tập sắp thứ tự bộ phận

hạn 2 và 3 không so sánh được với nhau)

Ví dụ 1.15 Nếu X  thì ( )2  X với quan hệ  là quan hệ thứ tự bộ phận

Thật vậy, chọn a b, X, a thì {a}b { }b và { }b { }a nên { }a và { }b không so sánh được với nhau

1.2.3 Bổ đề Zorn

Định nghĩa 1.11 c là cận trên của Q nếu aQ suy ra a  , m được gọi là c phần tử lớn nhất trong Q nếu và chỉ nếu a Q ta có m  , khi đó a m a 

Bổ đề 1.2 Nếu S là một tập sắp thứ tự bộ phận và mọi tập sắp thứ tự tuyến

tính của tập S đề có cận trên, thì tập S có một phần tử tối đại

1.3.3 Các tính chất: Là hệ quả trưc tiếp từ định nghĩa

Định lý 1.1 K là tập lồi trong không gian tuyến tính X trên trường số thực

R Giả sử cho x x1, 2,,x nK Khi đó, mọi x có dạng:

1

n

j j j

a





 (1.9) đều thuộc K

theo định nghĩa tập lồi

- Giả thiết quy nạp, kết luận của bài toán đúng với n  k, tức là

x x K



- Xét nk Lấy1 x x1, 2,,x x k, k1K, lấy i  , 0 i1,k 1

1 1

k i i

x x K



Vậy kết luận của bài toán cũng đúng với nk1

Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh

x được xác định trong (1.9) gọi là tổ hợp lồi của x x1, 2,,x k.

Định lý 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực:

a) Tập  là lồi;

b) Một tập con chỉ chứa một điểm là lồi;

c) Mọi không gian tuyến tính con của X là lồi;

d) Tổng của hai tập con lồi là lồi;

e) Nếu K lồi thì - K cũng lồi ;

f) Giao của họ tùy ý các tập hợp lồi là lồi ;

g) Cho { K j} là dãy các tập con lồi được sắp xếp theo thứ tự toàn phần bởi phép bao hàm Khi đó, hợp của các K j:K j là lồi;

h) Ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính là lồi;

i) Nghịch ảnh của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là lồi

f) Chứng minh bằng quy nạp

- n  2

Lấy ,a b tùy ý thuộc A1A2 và  là số tùy ý sao cho 0 1

Do A A là hai tập hợp lồi, mà 1, 2 a b, A1; a b, A2, nên

1

2

(1 )(1 )

- Giả sử kết luận đúng với n , nghĩa là: k

nếu A A1, 2, ,A lồi thì k A1 A2  A k lồi

Ta chứng minh kết luận đúng với nk Thật vậy, 1

1.3.4 Định nghĩa 1.13 Siêu phẳng H là tập các điểm x thỏa mãn phương

trình f x  với mỗi  R và f là hàm tuyến tính khác 0.

Bao lồi của A được định nghĩa là giao của tất cả các tâp lồi chứa A

Kí hiệu: coA

Định lý 1.3

a) Bao lồi của A là tập lồi nhỏ nhất chứa A

b) Bao lồi của A gồm tất cả các tổ hợp lồi những điểm thuộc A

Chứng minh

Phần a) dễ thấy theo định nghĩa bao lồi

Phần b) thật vậy, dĩ nhiên một tổ hợp lồi của một hoặc hai phần tử của

A bao giờ cũng thuộc vào coA

Giả sử ta đã chứng minh được rằng mọi tổ hợp lồi của k  phần tử của A 2

đều thuộc coA , và cho x là một tổ hợp lồi của k  phần tử của A 1

1

n

j j j

Nhưng rõ ràng y là một tổ hợp lồi của các x x1, 2, ,x k nên theo giả thiết quy

nạp: ycoA Mà x là tổ hợp lồi của y và x k1, vậy xcoA

Như thế, nếu gọi D là tập tất cả các tổ hợp lồi của những phần tử của A thì

DcoA Mặt khác, chính D cũng là tổ hợp lồi, vì rằng nếu:

k k

Định nghĩa 1.16 Cho K là tập con trong không gian tuyến tính

- S K là tập cực biên nếu với mỗi x y, K, tồn tại t 0,1 để

Ví dụ 1.16 K là đoạn 0 x 1, hai mút 0 và 1 là các điểm cực biên của K

Ví dụ 1.17 K là hình cầu mở x2 y2 không có điểm cực biên 1

Ví dụ 1.18 K là một khối đa diện gồm tất cả các mặt Các tập con cực biên

1.4 Hàm cỡ

1.4.1 Định nghĩa 1.17 Cho C là một tập con lồi, mở của X chứa gốc

Ta định nghĩa hàm cỡ của C là ánh xạ p X:  R xác định bởi: 



 , nên

ta có p x y p x  p y 2 

3) Ta có C là mở, nên tồn tại r  sao cho 0 C B0,r.

Vì thế, theo định nghĩa của p x ta thấy rằng:  

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN –

BANACH VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Dạng giải tích

2.1.1 Những định lý mở rộng của các phiếm hàm tuyến tính

Định lý Hahn – Banach liên quan đến sự mở rộng của các phiếm hàm tuyến tính từ một không gian con của không gian tuyến tính lên toàn không gian

Định lý 2.1 (Dạng thực của định lý Hahn – Banach)

Cho X là không gian tuyến tính thực và cho : p X  R là một phiếm

hàm thỏa mãn:

p tx t p x , p x y p x  p y 

với mọi t  ,0 x y, X Cho f Y  R tuyến tính với Y là không gian con :

của X sao cho f x  p x ,  x Y

Khi đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính : X  R sao cho

Trong P , ta nói h1h2 nếu và chỉ nếu D h 1 D h 2 và h1h2 trong D h ( )1

Hiển nhiên, P là tập khác rỗng (vì nó chứa ít nhất f )

Cho h xác định trên A D h  và cho h x h x với xD h 

Sắp thứ tự này tốt bởi vì  h A là tập sắp thứ tự toàn phần (vì thế, tất cả h

đúng trên biên) Theo định nghĩa của , ta có h là cận trên

Do vậy, theo bổ đề Zorn cho P  , ta thấy rằng P có phần tử lớn nhất, , 

ΛΛ

 nếu t 0)

Vậy có số a hay không? Điều đó đủ để kiểm tra rằng:

( ) Λ

Do đó

y x

Định lý được chứng minh

Định lý 2.2 (Dạng phức của định lý Haln – Banach)

Cho X là không gian tuyến tính phức : p X  R là ánh xạ sao cho

với y Y  và  x  p x ,  x X

Chứng minh

Ta kí hiệu phần thực và phần ảo của ( )f x tương ứng là R và f f T

Ta sẽ đưa về trường hợp biến thực Kí hiệu l x  Rf x  là phần thực của f

Vì f ix if x , nên ta có l ix Rf ix Rif x  Tf x  Vì vậy

f x l x il x

Khi đó với mỗi z  , ta có Rz  z , nên l x  f x   p x 

Áp dụng dạng thực của định lý Hahn – Banach đối với l và p

p  xy  p x p y  

tồn tại phiếm hàm tuyến tính L xác định trên X sao cho

2.1.2 Những ứng dụng của định lý Haln – Banach

Định lý 2.3 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và f là phiếm hàm

tuyến tính xác định trên không gian con Y  X với

Sử dụng một trong hai dạng thực hoăc phức của định lý Haln – Banach

(phụ thuộc vào trường vô hướng K , trên X ) với p x  f Y* x X

Dễ dàng kiểm tra rằng nó thỏa mãn tính chất nửa chuẩn của giả thiết trong

định lý Haln – Banach và f  p trong Y

Cho Y  Kx0 x0,K, ở đây K là trường, g Y  K được xác :định bởi

X

t x

Cố định x  và xét 0 0 0

0

f g x

Vậy đẳng thức thứ nhất được chứng minh

Đẳng thức thứ hai, ta lưu ý rằng cận trên đúng đạt được tại 0

0

X

f g x

Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu một dạng của định lý Haln – Banach

tách các tập lồi bởi siêu phẳng Với mục đích trên, ta giả sử rằng X là không

gian tuyến tính định chuẩn thực

g Rx R được xác định bởi g tx( 0) Sau đó, áp dụng dạng thực của t

định lý Haln – Banach đối với g và p là hàm cỡ của C Muốn vậy, ta chỉ

cần kiểm tra g p trên Rx0

Nếu t 0 thì p tx( 0)tp x( )0  t g tx( 0) vì p x  với x( ) 1 C (tính chất 4 trong mệnh đề 1.4)

Trái lại, nếu t  thì 0 g tx( 0)  t 0 p tx( 0) Vậy g p trên R Từ x0

định lý Haln – Banach, ta có một phiếm hàm tuyến tính f sao cho f g

trên R và f x0  p trên X Với x thì 0 f x( )0 g x( ) 10 

Nhưng, với x C thì ( )f x  p x( ) 1 (theo tính chất 2 của mệnh đề 1.4)

Theo tính chất 2 của mệnh đề tương tự, p bị chặn và vì f tuyến tính và bị chặn bởi p trên *

Như vậy với mọi xA y, B, f x  y 0

Do đó theo tính chất tuyến tính của f , ta có f x  f y  với mỗi xA,

Vì A đóng, nên l , do đó A lAB (Mâu thuẫn với ,A B rời nhau)

Do đó từ dạng hình học thứ nhất của định lý Haln – Banach, tồn tại f X*, 0

Chú ý Cách phát biểu khác của Hệ quả 2.2

Y  X là không gian con trù mật   f X*, f 0trên Y suy ra f  0

(trên X )