Bài tập chủ đề số phức trong giải tích 12 nâng cao

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ Bài tập chủ đề số phức trong Giải tích 12 - Nâng cao” là do tôi thực hiện, không có sự trùng lặp với đề tài của tác giả... Thực hiện các phép toán

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và biết ơn sâu sắc đến

cô giáo Th.S Dương Thị Hà – người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá

trình thực hiện đề tài này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ phương pháp đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu cả về lý thuyết lẫn thực tiễn – là nền tảng khoa học để tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè là những người luôn động viên, giúp

đỡ tôi trong quá trình làm khóa luận

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thu Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “ Bài tập chủ đề số phức trong Giải tích 12 -

Nâng cao” là do tôi thực hiện, không có sự trùng lặp với đề tài của tác giả

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1:HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT CHỦ ĐỀSỐ PHỨC Ở GIẢI TÍCH 12 – NÂNG CAO 3

CHƯƠNG 2:MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN NÂNG CAO THPT 11

2.1 Một số dạng bài tập về phép toán số phức thường gặp 11

2.1.1 Thực hiện các phép toán về số phức, tìm phần thực, phần ảo, số phức đối, số phức liên hợp 11

2.1.2 Giải các phương trình đơn giản trên £ 13

2.1.3 Một số bài toán về biểu diễn hình học của số phức 18

2.1.4 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức 23

2.2 Một số dạng bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2 trên £ 27

2.2.1.Tìm căn bậc 2 của một số phức 27

2.2.2 Giải phương trình bậc hai trên £ 33

2.3 Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức và ứng dụng 39

2.3.1 Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức 39

2.3.1.1 Tìm dạng lượng giác của một số phức 39

2.3.1.2 Xác định môđun và một acgumen của số phức 43

2.3.1.3 Tìm dạng đại số của số phức 48

2.3.1.4 Căn bậc hai, căn bậc n của số phức (dạng lượng giác) 53

2.3.2 Một số dạng bài tập ứng dụng số phức 59

2.3.2.1 Ứng dụng số phức vào toán tổ hợp, lượng giác 59

2.3.2.2 Phép biến hình và số phức 63

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

MỞ ĐẦU

Hệ thống số thực đã được xây dựng nhằm giải quyết trước hết vấn đề đo đạc Nhờ hệ thống số này vấn đề đó thực sự đã được giải quyết trọn vẹn Tất cả các đại lượng vật lí, hóa học, kinh tế, xã hội v.v… đều biểu thị được bằng những số thực Vì vậy nếu chỉ xét vấn đề đo đạc thì khó thấy được vì sao lại

mở rộng thêm hệ thống số thực

Song bên cạnh yêu cầu giải quyết các vấn đề thực tế như đong đếm, đo đạc, việc mở rộng các hệ thống số còn nhằm giải quyết vấn đề thực hiện được phép toán này hay phép toán khác mà hệ thống số cũ chưa giải quyết được Chẳng hạn, trong hệ thống các số thực, phép khai căn bậc chẵn của các số âm không thể thực hiện được Vì vậy cần phải mở rộng hệ thống các số thực thành

hệ thống các số phức để có thể thực hiện được phép khai căn của bất kì số thực nào

Ở cấp THPT, nội dung số phức có rất nhiều ứng dụng để dễ dàng tiếp cận những bài toán sơ cấp khó, đó cũng là một trong những lí do mà trong những năm gần đây, Bộ Giáo dục đã đưa vào chương trình giảng dạy ở cấp phổ thông Trong các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học hiện nay, nội dung số phức xuất hiện ngày càng nhiều và trở thành một phần không thể thiếu trong các đề thi, tuy nhiên do là kiến thức mới được đưa vào chương trình phổ thông cho nên mà các em học sinh còn cảm thấy lo lắng và sợ khi gặp các bài tập về

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu nội dung chương trình số phức lớp 12 THPT và một số ứng dụng

của số phức trong chương trình toán nâng cao THPT

- Thu thập và giải một số đề thi về số phức trong các kì thi cao đẳng và đại

học

4 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chương trình dạy học số phức trong chương trình toán nâng cao THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Hệ thống hóa lý thuyết chủ đề số phức ở Giải tích 12 - Nâng

cao

Chương 2: Một số dạng bài tập số phức trong chương trình toán nâng cao THPT

và số i thỏa mãn i = -2 1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.

* i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của

z + z =a+a + b+ b i

b) Tính chất của phép cộng số phức

* Tính chất kết hợp:

b) Mô đun của số phức

* Mô đun của số phức z = a + bi là a = a2 + b2

1.1.6 Biểu diễn hình học của số phức

* Trong mặt phẳng Oxy mỗi số phức z, = a + bi ( , ba Î ¡ được biểu diễn )bằng một điểm M a( ; )b

* Mặt phẳng tọa độ

 Gốc tọa độ O biểu diễn số 0

 Các điểm trên trục hoành biểu diễn số thực, do đó trục Ox gọi là trục

* Cho các số phức z = a + bi z; '= a'+ b i a b a' ( , , ', 'b Î ¡ ) được biểu diễn bằng các điểm M a( ; b , ) M '(a' ; 'b Lúc đó số phức ) z + z' được biểu

, số phức z - z' được biểu diễn

1.2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.2.1 Căn bậc hai của số phức

Định nghĩa: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là

một căn bậc hai của số phức w

Cách tìm căn bậc hai của số phức w là tìm nghiệm của phương trình

 Hai căn bậc hai của 1- là i và i-

 Hai căn bậc hai của - a2 (a ¹ 0, a Î ¡ là ai và ai) -

của hệ cho ta một căn bậc hai z = x + yi của số phức w = a + bi

 Mỗi một số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau

z = - + d z = - - d (trong đó d là một căn bậc hai của D )

 Nếu D = B2 - 4AC = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm kép

 Phương trình bậc hai: A z2 + Bz + C = 0, ( , , A B C Î ¡ , A ¹ 0)nếu

có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) thì là hai số phức liên hợp nhau

 Phương trình bậc n (n Î ¢ ) +

A z0 n + A z1 n-1+ L + A n-1z + A n = 0,

(A , A , A n- , A n Î £, A ¹ 0)luôn có n nghiệm phức (không nhất

thiết phân biệt)

1.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

1.3.1 Số phức dưới dạng lượng giác

a c

r b r

j j

ìï

ïïí

Với mọi n nguyên dương,

và khi r = 1, ta có: ( osc j + isin )j n = cosn j + isinj

b) Ứng dụng vào lượng giác

Đối chiếu công thức Moa-vrơ và khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức

c j + i j , ta có thể biểu diễn cos nj và sin nj theo các lũy thừa của cos j và sin j

c) Căn bậc hai dưới dạng lượng giác

Từ công thức Moa-vrơ, số phức z = r c( osj + isin ), j r > 0 có hai

KẾT LUẬN

Trong chương 1, tôi đã hệ thống hóa lại một số kiến thức cơ bản về số

phức ở Giải tích 12 - Nâng cao Những kiến thức đó sẽ được sử dụng làm kiến

thức nền tảng để giải các bài tập phân dạng tương ứng được trình bày ở chương

2

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TRONG

CHƯƠNG TRÌNH TOÁN NÂNG CAO THPT

2.1 Một số dạng bài tập về phép toán số phức thường gặp

2.1.1 Thực hiện các phép toán về số phức, tìm phần thực, phần ảo, số phức đối, số phức liên hợp

+

×- Giải

Vậy số phức z có phần thực là 3- ; phần ảo là 8- ; số phức đối là 3+ 8i và số phức liên hợp là 3- + 8i

b) z = ( 3- 2 )i 2 = 3- 4 3i + 4i2 = - 1- 4 3i

Vậy số phức z có phần thực là 1- ; phần ảo là 4 3- ; số phức đối là 1- 4 3i

và số phức liên hợp là 1- + 4 3i

Ví dụ 3 ( ĐH khối A - 2010 CB) Tìm phần ảo của số phức z , biết

(A) 22; (B) 22i- ; (C) 2+ 22i ; (D) 22i

c) Cho z1 = 1- 3 , i z2 = 2+ i z, 3 = 3- 4i z z1 2 + z z2 3 là

(A) 1- + 4i; (B) 1+ 4i; (C) 1- 4i; (B) 1- - 4i

22

* Chú ý

Ta đưa về phương trình bậc nhất theo z , thực hiện các phép tính số phức

và tính z

Nếu phương trình chứa z , z , z thì ta đặt z = x + yi x y ( , Î ¡ rồi suy )

ra z = x - yi và z = x2 + y2 Sau đó, ta biến đổi hai vế theo , x y và cân

ìï = ïí

i x

ìï =ïí

ìï = ïí

(A) x = 30, y = 10; (B) x = - 30, y = 10; (C) x = - 10, y = 30; (D) x = 10, y = 30

b) Nghiệm của phương trình ẩn z : (1+ i z) = 4- 2i là

5

23

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm A , B , C không thẳng

hàng biểu diễn các số phức a , b , c Gọi M là trung điểm A B , G là

trọng tâm DA B C và D là điểm đối xứng của A qua G Các điểm M ,

G , D lần lượt biểu diễn các số phức m , g , d

a) Tính các số phức m , g , d theo , , a b c

b) Nếu thêm giả thiết a = b = c , chứng minh rằng DA B C là tam giác đều nếu và chỉ nếu a+ b+ c = 0

1 Cho tam giác A BC có các đỉnh A z( )1 ; B z( )2 ; C z( )3 (tức là các đỉnh A ,

B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1, z2, z3)

a) Tìm ( )G z (G là trọng tâm tam giác A BC )

b) Chứng minh rằng nếu z1 = z2 = z3 thì DA B C đều khi và chỉ khi

1 2 3 0

z + z + z =

c) Chứng minh rằng z12 + z22 = z z1 2 ¹ 0 thì DOA B đều (O - gốc tọa độ)

2 Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M , A , B lần lượt biểu diễn các số

3

i z

Cho 3 điểm A , B , C lần lượt biểu diễn các số phức a = 1, b= - 1+ a i

và c = b2 Khi đó, các số phức được biểu diễn bởi các vectơ A B

uuur, A C

uuur, BC

uuurlần lượt là

z + z + z = Û z = 0Û G º 0 Û DA B C có cùng trọng tâm với tâm

đường tròn ngoại tiếp Û DA BC đều

c) Chứng minh rằng nếu z12 + z22 = z z1 2 ¹ 0 thì DOA B đều (O là gốc tọa

OM = z và

23

Vậy DMOB vuông tại O với mọi z Î £

Tứ giác OMA B có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

3 (C)

2.1.4 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức

* Chú ý

+ Giả sử các điểm M , A , B lần lượt biểu diễn các số phức z , a , b

z - a = z - b Û MA = MB Û M thuộc đường trung trực của đoạn A B

Hệ thức w = f z( ) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x , y , u , v

Nếu biết hệ thức giữa x , y ta tìm được một hệ thức giữa u , v và suy ra

Biểu diễn số phức z = x + yi bởi điểm M x y( ; ) trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

ta có:

x + yi - i = (1+ i x)( + yi)

Û x + (y - 1)i = (x - y) (+ x + y i)

Khi k > - (x20 + y02) thì tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm là

điểm biểu diễn số phức: - w = - x0- y i0

a) Biết z thỏa mãn hệ thức z - (2+ i)= 1 Tập hợp điểm M z là ( )

(A) Đường tròn tâm A(2;1), bán kính R = 1;

;

x = x = - × b) z- z + 5- 2i = 4 ( )2

Vậy 4- có hai căn bậc hai là 2i và 2i-

b) Gọi z = x + yi x y ( , Î ¡ ) là căn bậc hai của 3+ 4i, ta có:

(A) ±(1- 4i); (B) ± -( 1- 4i); (C) ±(1+ 4i); (D) ± -( 1+ 4i)

x y

Ta chứng minh được với mọi phương trình bậc hai hệ số thực, nếu

z = x + yi x Î ¡ y ¹ là một nghiệm thì z = x - yi cũng là nghiệm của phương trình

Do tính chất của phép nhân số phức, định lí Viet vẫn đúng cho phương

trình bậc hai ẩn z Î £ Do đó các tính chất nhẩm nghiệm của phương

Ví dụ 12 Giải các phương trình bậc hai sau trên £ (ẩn z )

a) z2- 2z + 3= 0; b) z2- 2z + 2= 0

Giải a) z2- 2z + 3= 0

Giải a) z2 + (1+ i z) - (1- i)= 0 có: D = (1+ i)2 + 4(1- i)= 4- 2 i

5 2 1 10

y xy

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

32

b) Cho hai số phức có tổng z1 + z2 = S và z z1 2 = P Chứng minh rằng z1

và z2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai z2- Sz + P = 0

Giải a) Phương trình A z2+ Bz + Cz = 0 (A ¹ 0) có: D = B2 - 4AC Gọi d là

một căn bậc hai của D Phương trình có hai nghiệm là

a) z2 - 2(2- i z) + 6- 8i = 0;

b) z2 - (2+ i z) + i+ 1= 0

3 Cho phương trình bậc hai ( ) 2

1- i z + B z + C = 0 Biết phương trình này có hai nghiệm z =1 2 và z2 = 1+ 2i Tính B , C

(A) z2+ 6z + 13= 0; (B) z2- 6z + 13= 0; (C) z2+ 6 z - 13 = 0; (D) z2- 6 z - 13= 0

d) Tìm hai số biết tổng của chúng là 1+ 8i và tích của chúng là 29

2.3 Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

2.3.1 Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức

2.3.1.1 Tìm dạng lượng giác của một số phức

z z z

r = , giả sử z1 có một acgumen là j sao cho:

r = , giả sử z2có một acgumen là j sao cho:

1 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

-×-

Với z = a+ bi a b ( , Î ¡ , ta có môđun của ) z là r = z = a2 + b2 và một

acgumen của z thỏa mãn

2 2

2 2

ossin

a c

b

j j

Với z = r c( osj + isin )j thì môđun của z là r và một acgumen của z là j Chú ý, một số phép biến đổi suy ra môđun và một acgumen của z :

Với z = r c( osj - isin )j Þ z = r céêos(- j )+ isin(- j )ùú

i

+

Giải

21sin

2

c j j

ìï

ïïïí

ïïïî

4

p j

2 2

1os

23sin

2

c j j

ìï

-ïïïí

ïïïî

23

p j

a) Môđun của số phức sin os

c) 1 os2 sin2 2 sin2 2 sin os

1( 2)

Vậy dạng đại số của z là ( 2)-10i

Ví dụ 20 Tìm số nguyên dương n để các số phức sau là số thực, là số ảo

n

i z

Theo định nghĩa, căn bậc hai của số phức w là số phức z2 = w

+ Căn bậc hai của 0 là 0

+ Với w ¹ 0, w = R c( osq+ isin ), q R > 0, đặt z = r c( osj + isin )j , ta

lấy k = 0, 1 ta được hai giá trị của j

+ Một số phức w = R c( osq+ isin ), q R > 0 có hai căn bậc hai là:

+ Hai căn bậc hai của w ¹ 0 được biểu diễn trong mặt phẳng phức bởi hai

điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Tính căn bậc n của số phức w :

Căn bậc n của số phức w là số phức z thỏa mãn z n = w

+ Căn bậc n của 0 là 0

+ Với w ¹ 0, w = R c( osq+ isin ), q R > 0, ta đặtz = r c( osj + isin )j ,

ta có: z n = w Û r n(cosn j + isinn j )= R c( osq+ i sin )q

+ Một số phức w = R c( osq+ isin ), q R > 0, có n căn bậc n ( n ³ 3) được

biểu diễn trong mặt phẳng phức bởi n điểm là đỉnh của n - giác đều nội

tiếp đường tròn tâm O , bán kính n R

Ta đặt z = r c( osj + isin ) (j r > 0) là một căn bậc hai của w thì ta có:

3 3( os3 sin 3 ) os sin

2, 0, 2

4

r r

k k

1 a) 1 t an5 1 os5 sin 5

5

os8

, 0, 1.

63

r r

k k

Một số công thức rút gọn các biểu thức lượng giác:

( osc j + isin )( os 'j c j + isinj ') = éêëcos(j + j ')+ isin(j + j ')ùúû

( os sin ) os( ') sin( ')

1 Tính các biểu thức sau theo sin x và cos x

a) os4 , sin4c x x ; b) os5 , sin5 c x x

a) Mệnh đề nào sau đây sai

(A) cos4x = 4 osc 4x + 8 osc 2x + cosx ;

(B) cos5x = 16cos5x - 20cos3x + 5 cosx;

sin 4 = 4 sin cosx x x cosx - sin x ;

(D) sin 5x = 16sin5x - 20 s in3x + 5 sinx

b) Cho z = r c( osj + isinj ), kí hiệu z = e i j Khi đó, e i j + e-i j,

e j - e- j lần lượt là các giá trị nào sau đây

(A) 2 os , 2 sinic j j ; (B) 2 os , 2 sin c j j ;

sin 4 = 4 sin cosx x x cosx - sin x

b) cos5x + isin 5x = (cosx + isinx)5

Mặt khác (cos sin ) cos sin

Phép biến hình: Trong mặt phẳng phức, phép biến hình f biến điểm M z ( )

thành điểm M '( )z được xác định bằng một hệ thức giữa ' z và ' z : z'= f z( )

+ Phép tịnh tiến: 'z = z + c (c là số phức cho trước)

+ Phép quay tâm O , góc quay j : ' z = ( osc j + isin ) j z

Đặc biệt: Phép quay tâm O , góc quay 90± o

z = ± iz

+ Phép đồng dạng: 'z = r c( os + sin ) j i j z

Đối với dạng toán này, ta thường quy về tọa độ của điểm

a) Ví dụ

Ví dụ 25 Cho hình vuông A B CD có 4 đỉnh theo thứ tự đó (ngược chiều

kim đồng hồ), lần lượt biểu diễn các số phức , , a b c và d

a) Cho a = 2+ i b, = 3- 2 i Tìm c và d ;

b) Cho a = - 2+ 5 , i c = 4- 8i Tìm b và d

Giải a) Phép quay tâm A , góc quay 90o

biến điểm B thành điểm D , suy ra: