Tính đặt chỉnh, đặt không chỉnh của bài toán thuận và bài toán ngược

MËT SÈ KÞ HI›U DÒNG TRONG KHÂA LUŠNR: ÷íng th¯ng thüc Rn: khæng gian Euclid n-chi·u C: m°t ph¯ng phùc... Khæng gian tuy¸n t½nh trang bà chu©n ÷ñc gåi l khæng gian tuy¸nt½nh ành chu©n...

MÖC LÖC

Trang

MÖC LÖC 1

LÍI NÂI †U 3

Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc bê trñ 5

1.1 Mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch h m 5

1.2 Kh¡i ni»m ¡nh x¤ kh£ vi giúa c¡c khæng gian Banach 8

1.3 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n v  to¡n tû tuy¸n t½nh khæng bà ch°n 16 Ch÷ìng 2: T½nh °t ch¿nh, °t khæng ch¿nh cõa b i to¡n thuªn v  b i to¡n ng÷ñc 20

2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh, b i to¡n °t khæng ch¿nh v  c¡c v½ dö minh håa 21

2.2 Mèi quan h» v· t½nh °t ch¿nh, °t khæng ch¿nh cõa b i to¡n thuªn v  b i to¡n ng÷ñc 24

2.3 T½nh ên ành câ i·u ki»n cõa b i to¡n ng÷ñc 26

K˜T LUŠN 29

T€I LI›U THAM KHƒO 30

MËT SÈ KÞ HI›U DÒNG TRONG KHÂA LUŠN

R: ÷íng th¯ng thüc

Rn: khæng gian Euclid n-chi·u

C: m°t ph¯ng phùc

<: ph¦n thüc cõa mët sè phùc

Ω: mi·n cõa khæng gian Rn

h·, ·i: t½ch væ h÷îng trong khæng gian Hilbert H

k · k: chu©n trong khæng gian Hilbert H

B i to¡n ng÷ñc cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng xuy¶n xu§thi»n trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa cæng ngh», àa vªt lþ, thõy ënghåc, y håc, xû lþ £nh, â l  nhúng b i to¡n khi c¡c dú ki»n cõa qu¡tr¼nh vªt lþ khæng o ¤c ÷ñc trüc ti¸p m  ta ph£i x¡c ành chóng tønhúng dú ki»n o ¤c gi¡n ti¸p Trong Khâa luªn n y, chóng tæi · cªptîi t½nh °t ch¿nh, °t khæng ch¿nh cõa b i to¡n thuªn v  b i to¡n ng÷ñc.J.S Hadamard (1865 - 1963) l  ng÷íi ¦u ti¶n chia c¡c ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng th nh hai lo¤i: B i to¡n °t ch¿nh v  B i to¡n °t khængch¿nh Mët b i to¡n ÷ñc gåi l  °t ch¿nh n¸u nâ thäa m¢n ba i·u ki»na) nâ câ nghi»m, b) nghi»m duy nh§t, c) nghi»m phö thuëc li¶n töc (theomët tæpæ n o â) theo dú ki»n cõa b i to¡n N¸u ½t nh§t mët trong ba

i·u ki»n n y khæng thäa m¢n th¼ ta nâi r¬ng b i to¡n °t khæng ch¿nh.Khâa luªn câ c§u tróc nh÷ sau

- T i li»u tham kh£o

Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc bê trñ cho nëidung ch÷ìng 2, cö thº l  tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch h m,

¡nh x¤ kh£ vi giúa c¡c khæng gian Banach, to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n

v  to¡n tû tuy¸n t½nh khæng bà ch°n

Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y v· kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh,

3

b i to¡n °t khæng ch¿nh, mèi quan h» v· t½nh °t ch¿nh, °t khængch¿nh cõa b i to¡n thuªn v  b i to¡n ng÷ñc, v½ dö minh håa, t½nh ên

ành câ i·u ki»n cõa b i to¡n ng÷ñc

V¼ thíi gian khæng nhi·u v  kh£ n«ng cõa b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶nkhâa luªn ch­c h¯n s³ khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§tmong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n

Khâa luªn n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh, tªnt¥m cõa th¦y gi¡o, TS Nguy¹n V«n ùc v  sü gióp ï cõa c¡c th¦y cægi¡o trong tê Gi£i t½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc Vinh còng vîi gia

¼nh v  b¤n b± T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o, TS.Nguy¹n V«n ùc - ng÷íi ¢ d nh cho t¡c gi£ sü quan t¥m gióp ï tªnt¼nh v  chu ¡o trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nhkhâa luªn

Cuèi còng, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban chõ nhi»m khoa To¡n,c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ trang bà nhúngki¸n thùc v  kinh nghi»m bê ½ch cho t¡c gi£ trong suèt 4 n«m håc, xinc£m ìn tªp thº lîp 49A - To¡n ¢ t¤o måi i·u ki»n gióp ï t¡c gi£ trongqu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh khâa luªn cõa m¼nh

Vinh, n«m 2012T¡c gi£

MËT SÈ KI˜N THÙC BÊ TRÑ

1.1 Mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch h m

1.1.1 Khæng gian Banach

Cho X l  khæng gian tuy¸n t½nh thüc

ành ngh¾a 1.1 nh x¤ k · k : X → R ÷ñc gåi l  chu©n n¸u

(i) kuk > 0, ∀u ∈ X;

(ii) kuk = 0 ⇔ u = 0;

(iii) kλuk = |λ|kuk, ∀u ∈ X, λ ∈ R;

(iv) ku + vk 6 kuk + kvk, ∀u, v ∈ X

Khæng gian tuy¸n t½nh trang bà chu©n ÷ñc gåi l  khæng gian tuy¸nt½nh ành chu©n

Khæng gian Banach X l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n ¦y õ.1.1.2 ành lþ ç thà âng

N¸u E v  F l  c¡c khæng gian ành chu©n th¼ E × F công l  khæng gian

ành chu©n vîi chu©n

k(x, y)k = kxk + kyk

ành ngh¾a 1.2 Gi£ sû E v  F l  c¡c khæng gian ành chu©n, v 

f : E → F l  ¡nh x¤ tø E v o F Ta gåi tªp

Gf = {(x, f (x)) ∈ E × F : x ∈ E}

f (xn) → f (x) khi n → ∞ (1.2)M°t kh¡c mët d¢y trong khæng gian metric n¸u hëi tö th¼ ch¿ hëi tö tîimët iºm duy nh§t n¶n tø (1.1), (1.2) suy ra y = f(x).

Do â (x, y) ∈ Gf V¼ vªy Gf âng trong E × F

ành lþ 1.4 (ành lþ ç thà âng) Gi£ sû E, F l  hai khæng gianBanach v  f : E → F l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Khi â f li¶n töc n¸u v  ch¿n¸u ç thà cõa nâ l  tªp âng trong E × F

Chùng minh i·u ki»n c¦n cõa ành lþ l  tr÷íng hñp °c bi»t cõa Bê

· 1.3

i·u ki»n õ: Gi£ sû E, F l  hai khæng gian Banach, f : E → F l  ¡nhx¤ tuy¸n t½nh v  Gf tªp âng trong E × F ta c¦n chùng minh f li¶n töctùc l  c¦n chùng minh tçn t¤i h¬ng sè k sao cho kf(x)k ≤ kkxk ∀x ∈ E

Ta câ h» qu£ : Gi£ sû k.k1, k.k2 l  hai chu©n tr¶n khæng gian tuy¸nt½nh E Khi â n¸u (E, k.k1), (E, k.k2) l  hai khæng gian Banach v  k.k1

kxn − xmk → 0,

kf (xn) − f (xm)k → 0 (1.5)khi n, m → ∞ Tø (1.5) suy ra {xn} l  d¢y Cauchy trong khæng gianBanach (E, k.k) v  {f(xn)} l  d¢y Cauchy trong khæng gian Banach(F, k.k) V¼ vªy, tçn t¤i x ∈ E, y ∈ F sao cho xn → x ∈ E v 

f (xn) → y ∈ F (1.6)

Do â (xn, f (xn)) → (x, y) ∈ E × F M°t kh¡c {xn, f (xn)} ⊂ Gf ângtrong E × F V¼ vªy (x, y) ∈ Gf ngh¾a l  y = f(x)

K¸t hñp vîi (1.6) ta câ kxn − xk → 0 v  kf(xn) − f (x)k → 0 Do â

kxn− xk1 = kxn− xk + kf (xn) − f (x)k → 0

Suy ra xn → x ∈ (E, k.k1) V¼ vªy (E, k.k1) l  khæng gian Banach M°tkh¡c k.k ≤ k.k1 n¶n ta câ k.k1 ∼ k.k Suy ra k.k1 ≤ k.k, ngh¾a l  tçn t¤ih¬ng sè c sao cho kxk1 ≤ ckxk, ∀x ∈ E Do â kxk + kf(x)k ≤ ckxk.Tùc l  kf(x)k ≤ (c − 1)kxk, ∀x ∈ E V¼ vªy f li¶n töc ành lþ ÷ñcchùng minh

1.1.3 Khæng gian Hilbert

Cho H l  khæng gian tuy¸n t½nh thüc

ành ngh¾a 1.5

1 nh x¤ h·, ·i : H × H → R ÷ñc gåi l  t½ch væ h÷îng n¸u

(i) hu, vi = hv, ui , ∀u, v ∈ H;

(ii) ¡nh x¤ u 7→ hu, vi l  tuy¸n t½nh vîi måi v ∈ H;

(iii) hu, ui > 0;

(iv) hu, ui = 0 ⇔ u = 0

Khæng gian Hilbert l  mët khæng gian Banach vîi chu©n ÷ñc sinh rabði mët t½ch væ h÷îng

2 (i) Hai ph¦n tû u, v ∈ H l  trüc giao n¸u hu, vi = 0 ;

(ii) Mët cì sð ¸m ÷ñc {wk}k>1 ⊂ H l  mët cì sð trüc chu©n, n¸u

1.2.1 Kh¡i ni»m ¤o h m

ành ngh¾a 1.6 Cho f : Ω → F , ð ¥y Ω l  tªp mð trong khæng gian

ành chu©n E cán F l  khæng gian Banach Ta nâi f kh£ vi t¤i x0 tr¶n

Ω n¸u tçn t¤i S ∈ L(E, F ) sao cho

kf (x0 + h) − f (x0) − S(h)k = o(khk) (1.7)

i·u n y câ ngh¾a l  vîi  > 0 ∃δ > 0 ∀khk < δ ⇒

kf (x0 + h) − f (x0) − S(h)k ≤ (khk)

(1.7) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng quen thuëc

kthk =

ktS(h) − tT (h)k

|t|khk =

kS(h) − T (h)kkhkvîi ∀t ∈ R, t 6= 0 Suy ra

kS(h) − T (h)kkhk = limt→0

kS(th) − T (th)k

kthk = 0.

Do â kS(h) − T (h)k = 0 i·u n y câ ngh¾a l  S(h) = T (h), ∀h 6= 0.Suy ra S(h) = T (h), ∀h ∈ E Vªy S ≡ T

Nh÷ vªy n¸u f kh£ vi tr¶n Ω ta câ ¡nh x¤ f0

: Ω → L(E, F ) cho bði

L§y f = S ∈ L(E, F ), khi â

= kS(h1, h2)k ≤ kSk kh1k kh2k = o(k(h1, h2)k)

n¶n f kh£ vi t¤i (x0

f0(x01, x02)(h1, h2) = S(x01, h2) + S(h1, x02) ∀(h1, h2) ∈ E1 × E2.Mët c¡ch têng qu¡t n¸u f = S \ Ω, Ω ⊂ E1 × × En l  tªp mð cán

S ∈ L(E1, , En; F ) th¼ f kh£ vi t¤i måi (x1, , xn) ∈ Ω v 

f0(x1, , xn)(h1, hn) = S(h1, x1, , xn) + + S(x1, , xn−1, hn)

∀(h1, , hn) ∈ E1 × × En

1.2.2 C¡c quy t­c v· ¤o h m

ành lþ 1.9.

Gi£ sû E l  khæng gian ành chu©n, F l  khæng gian Banach, Ω l  tªp

mð trong E v  x0 ∈ Ω Khi â

(i) N¸u f, g : Ω → F kh£ vi t¤i x0, th¼ αf + βg công kh£ vi t¤i x0 vîimåi α, β ∈ R v 

(αf + βg)0(x0) = αf0(x0) + βg0(x0)

(ii) N¸u f : Ω → R, g : Ω → R kh£ vi t¤i x0, th¼ gf : Ω → R kh£ vit¤i x0 v 

= lim

= |f (x0) − f (x0)|kg0(x0)k.Suy ra A3 = 0

1g(x0 + h) − 1

g(x0 + h) − g(x0)g(x0 + h)g(x0) − g

a To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Banach

Cho X v  Y l  c¡c khæng gian Banach thüc

ành ngh¾a 1.11

(i) nh x¤ A : X → Y gåi l  to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u

A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R

(ii) N(A) = {u ∈ X : Au = 0} gåi l  nh¥n cõa to¡n tû A

R(A) = {Au : u ∈ X} gåi l  £nh cõa to¡n tû A

To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y ÷ñc gåi l  ìn ¡nh n¸u N(A) = {0}.To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y ÷ñc gåi l  to n ¡nh n¸u R(A) = Y (iii) To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y l  bà ch°n n¸u

kAk := sup{kAukY|kukX 6 1} < ∞

b To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Hilbert

Cho H l  khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h., i

ành ngh¾a 1.12

(i) N¸u A : H → H l  to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n, to¡n tû li¶n hñpcõa nâ l  A∗ : H → H thäa m¢n

hAu, vi = hu, A∗vi , ∀u, v ∈ H

(ii) A l  tü li¶n hñp n¸u A∗ = A

(iii) To¡n tû tuy¸n t½nh A : H → H l  to¡n tû compact n¸u nâ bi¸nméi tªp bà ch°n trong H th nh mët tªp compact t÷ìng èi trong H.Hiºn nhi¶n mët to¡n tû tuy¸n t½nh compact th¼ li¶n töc M°t kh¡cn¸u mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc A câ mi·n gi¡ trà húu h¤n chi·u th¼

A compact

ành lþ 1.13 Gi£ sû A : H → H l  to¡n tû tü li¶n hñp th¼

(i) Gi¡ trà ri¶ng cõa A l  sè thüc;

(ii) C¡c vectì ri¶ng ùng vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng kh¡c nhau l  trüc giao.1.3.2 To¡n tû tuy¸n t½nh khæng bà ch°n

Mët trong nhúng °c iºm ch½nh cõa to¡n tû khæng bà ch°n, khi so s¡nhvîi to¡n tû bà ch°n, â l  chóng khæng x¡c ành tr¶n to n bë khæng gian

ành ngh¾a to¡n tû tuy¸n t½nh khæng bà ch°n

Li¶n hñp cõa to¡n tû khæng bà ch°n A : D(A) ⊂ H → H l  to¡n tû

A∗ : D(A∗) ⊂ H → H

sao cho

hAx, yi = hx, A∗yi ∀x ∈ D(A), ∀y ∈ D(A∗), (1.9)vîi D(A∗) l  khæng gian con lîn nh§t cõa H Chi ti¸t hìn, n¸u y ∈ H,th¼ ϕy(x) = hy, Axi x¡c ành h m tuy¸n t½nh ϕy : D(A) → C Chóng ta

nâi r¬ng y ∈ D(A∗) n¸u ϕy bà ch°n tr¶n D(A) Trong tr÷íng hñp n y, tøD(A) l  trò mªt trong H, n¶n ϕy câ mët mð rëng duy nh§t th nh mëtphi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n trong H Tø â, theo ành lþ biºu di¹nRiesz, tçn t¤i duy nh§t mët vectì z ∈ H sao cho ϕy(x) = hz, xi Do â

hy, Axi = hz, xi vîi ∀x ∈ D(A), v  chóng ta ành ngh¾a A∗y = z

ành ngh¾a 1.14 Gi£ sû r¬ng A : D(A) ⊂ H → H l  to¡n tû khæng bàch°n, x¡c ành tr¶n mi·n trò mªt trong khæng gian Hilbert H To¡n tû

A∗ : D(A∗) ⊂ H → H l  to¡n tû vîi mi·n x¡c ành

D(A∗) = {y ∈ H\ ∃z ∈ H, hAx, yi = hx, zi, ∀x ∈ D(A)}

N¸u y ∈ D(A∗), th¼ chóng ta x¡c ành A∗y = z vîi z l  ph¦n tû duy nh§tsao cho hAx, yi = hx, zi, ∀x ∈ D(A)

Chóng ta chó þ r¬ng D(A∗) câ thº khæng trò mªt trong khæng gianHilbert H, ngay c£ khi D(A) l  trò mªt Trong tr÷íng hñp â ta côngkhæng x¡c ành ÷ñc A∗∗

b¬ng vîi mi·n cõa A N¸u A âng th¼ A−1 l  to¡n tû bà ch°n

M»nh · 1.17 N¸u A : D(A) ⊂ H → H l  to¡n tû x¡c ành tr¶n mi·ntrò mªt trong khæng gian Hilbert H vîi to¡n tû ng÷ñc A−1 : H → H,th¼ (A∗)−1 = (A−1)∗

Chùng minh Tø A−1 l  bà ch°n suy ra nâ câ to¡n tû li¶n hñp l  to¡n tû

bà ch°n N¸u x ∈ D(A∗) v  y ∈ H, th¼

h(A−1)∗A∗x, yi = hA∗x, A−1yi = hx, AA−1yi = hx, yi

Do â (A−1)∗A∗x = x, ∀x ∈ D(A∗) Ngo i ra, n¸u x ∈ H, y ∈ D(A) th¼

hA∗(A−1)∗x, yi = h(A−1)∗x, Ayi = hx, A−1Ayi = hx, yi

Tø D(A) l  trò mªt trong khæng gian H, suy ra (A−1)∗x ∈ D(A∗) v 

A∗(A−1)∗x = x Do â (A−1)∗x = (A∗)−1x Hay (A−1)∗ = (A∗)−1

TNH T CHŸNH, T KHÆNG CHŸNH CÕA B€I

TON THUŠN V€ B€I TON NG×ÑC

Gi£ sû A l  to¡n tû âng, x¡c ành trò mªt trong khæng gian Hilbert

H X²t b i to¡n gi¡ trà ¦u

N¸u A l  to¡n tû bà ch°n, ho°c H l  khæng gian húu h¤n chi·u, th¼

b i to¡n gi¡ trà ¦u v  b i to¡n gi¡ trà cuèi thüc ch§t l  b i to¡n Cauchycho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ¦u v  chóng l  °t ch¿nh; chóngthäa m¢n c¡c i·u ki»n tçn t¤i nghi»m, duy nh§t nghi»m, v  nghi»m phöthuëc li¶n töc v o dú ki»n

N¸u u0

(t) = Au(t) mi¶u t£ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng, th¼k¸t qu£ l  ho n to n kh¡c Trong tr÷íng hñp n y A l  to¡n tû khæng bàch°n trong khæng gian Hilbert H væ h¤n chi·u Chóng tæi chùng tä r¬ngn¸u b i to¡n gi¡ trà ¦u (2.1) - (2.2) °t ch¿nh trong H th¼ b i to¡n gi¡trà cuèi (2.3) - (2.4) °t khæng ch¿nh, thªm ch½ vîi dú ki»n g bà thu hµptr¶n mi·n D(A) cõa A

20

2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh, °t khæng ch¿nh

v  c¡c v½ dö minh håa

2.1.1 B i to¡n °t ch¿nh, b i to¡n °t khæng ch¿nh

Cho H l  khæng gian Hilbert v  A l  to¡n tû tuy¸n t½nh trong H, c ∈ [a, b],

f ∈ H Nghi»m cõa b i to¡n Cauchy

(A) Tçn t¤i Vîi méi f ∈ V th¼ tçn t¤i nghi»m u

(B) Duy nh§t Vîi méi f ∈ V câ duy nh§t nghi»m u

(C) Phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n Vîi méi t ∈ [a, b] th¼ tçn t¤i h¬ng

sè Mt sao cho vîi méi f ∈ V nghi»m u cõa b i to¡n Cauchy thäa m¢nku(t)k ≤ Mtkf k

N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n n y khæng thäa m¢n th¼ ta nâi r¬ng

b i to¡n °t khæng ch¿nh

Chó þ r¬ng n¸u b i to¡n Cauchy °t ch¿nh v  V l  to¡n tû âng, th¼h¬ng sè Mt trong (C) câ thº l§y ëc lªp vîi t Thüc vªy, n¸u i·u ki»n(A) − (C) ÷ñc thäa m¢n, th¼ nghi»m u cõa b i to¡n Cauchy vîi dú ki»n

f câ thº ÷ñc vi¸t v· d¤ng u(t) = U(t)f, vîi U(t) : V → H l  to¡n tû

bà ch°n, ∀t ∈ [a, b] Tø dú ki»n nghi»m u li¶n töc tr¶n [a, b], tçn t¤i h¬ng

sè Mf sao cho kU(t)fk ≤ Mf, a ≤ t ≤ b, vîi méi f ∈ V Do â b¬ngnguy¶n lþ bà ch°n ·u [3, p46], tçn t¤i h¬ng sè M sao cho kU(t)k ≤ Mvîi a ≤ t ≤ b

ç thà G(A) cõa A s³ ÷ñc trang bà chu©n

k[u, Au]k = kuk + kAuk;

v¼ vªy n¸u A l  to¡n tû âng, th¼ G(A) l  khæng gian Banach

º ti»n lñi cho c¡c th£o luªn v· sau, trong möc n y chóng tæi tr¼nh b yc¡c kh¡i ni»m v· ¡nh gi¡ ên ành v  ch¿nh hâa b i to¡n °t khæng ch¿nh(xem [1])

Gi£ sû ta c¦n gi£i ph÷ìng tr¼nh

Au = f

vîi A l  to¡n tû (tuy¸n t½nh ho°c phi tuy¸n) tø khæng gian h m X v okhæng gian h m Y n o â, cán f l  dú ki»n ¢ cho thuëc khæng gian Y Khi b i to¡n °t khæng ch¿nh, th¼ khæng ph£i vîi dú ki»n f n o b i to¡ncông câ nghi»m v  th÷íng l  khi nghi»m cõa b i to¡n tçn t¤i (theo mëtngh¾a n o â), th¼ líi gi£i n y khæng phö thuëc li¶n töc (theo mët metric

n o â) v o dú ki»n f Do t½nh khæng ên ành n y cõa b i to¡n n¶n vi»cgi£i sè nâ g°p khâ kh«n Lþ do l  mët sai sè nhä trong dú ki»n cõa b ito¡n câ thº d¨n ¸n mët sai sè lîn b§t ký trong líi gi£i Möc ½ch cõa

lþ thuy¸t b i to¡n °t khæng ch¿nh l  ÷a ra c¡c ph÷ìng ph¡p sè húuhi»u º gi£i c¡c b i to¡n n y mët c¡ch ên ành º ¤t ÷ñc möc ½ch

â tr÷îc h¸t ph£i nghi¶n cùu v· t½nh ên ành câ i·u ki»n cõa b i to¡n,ngh¾a l  ch¿ ra mët lîp M n o â cõa khæng gian X º líi gi£i cõa b ito¡n thuëc lîp n y phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n cõa b i to¡n

C¡c ¡nh gi¡ n y khæng ch¿ nâi l¶n t½nh ch§t ành t½nh cõa b i to¡n

m  cán gióp ta trong vi»c ph¡t triºn c¡c ph÷ìng ph¡p sè º gi£i b i to¡n

v  ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p º ìn gi£n, ta gi£ thi¸t r¬ng X v 

Y l  c¡c khæng gian ành chu©n vîi chu©n t÷ìng ùng l  k · kX v  k · kY.Gi£ sû r¬ng, n¸u ta chån ÷ñc mët tªp hñp M v  bi¸t ÷ñc n¸u u ∈ Mth¼ nâ s³ phö thuëc li¶n töc v o f, ngh¾a l , tçn t¤i mët h m ω mët bi¸n

thüc, li¶n töc, vîi ω(0) = 0, sao cho

kukX 6 ω(kf kY)

¡nh gi¡ n y ÷ñc gåi l  ¡nh gi¡ ên ành ([2]) v  trong tr÷íng hñp

n y, b i to¡n ÷ñc gåi l  ên ành câ i·u ki»n hay ên ành theo ngh¾aTikhonov ([5]) (Tikhonov l  ng÷íi ¦u ti¶n ÷a ra nhªn x²t n y v o n«m

1943 ([6])) Tªp M th÷íng l  nhúng tªp m  ð â líi gi£i cõa b i to¡n câ

þ ngh¾a vªt lþ, ch¯ng h¤n nh÷ â l  tªp m  ð â líi gi£i bà ch°n (nhi»t

ë ho°c vªn tèc cõa mët qu¡ tr¼nh vªt lþ th¼ giîi nëi, ), ho°c â l  mëttªp lçi, tªp c¡c h m khæng ¥m, tªp c¡c h m ìn i»u, N¸u ω(t) = ctα

vîi α > 0 n o â, th¼ ta câ ¡nh gi¡ ên ành kiºu Holder v  ta câ mët

"b i to¡n tèt" N¸u ω l  mët h m d¤ng logarithm th¼ ta câ ¡nh gi¡ ên

ành kiºu logarithm - ¥y l  "b i to¡n x§u" Cán n¸u ta khæng câ mët

¡nh gi¡ n o v· tèc ë ti¸n tîi 0 cõa ω(t) khi t → 0 th¼ ta câ mët "b ito¡n r§t x§u"

2.1.2 C¡c v½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh

H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh

Nhi·u b i to¡n thüc t¸ ÷ñc quy v· gi£i h» ¤i sè tuy¸n t½nh, trong â

câ mët sü thay êi nhä h» sè cõa h» ph÷ìng tr¼nh d¨n ¸n thay êi lînnghi»m cõa h», thªm ch½ l m cho h» trð n¶n væ nghi»m ho°c væ ành.Nhúng h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh câ t½nh ch§t nh÷ vªy ÷ñc gåi

l  h» ph÷ìng tr¼nh i·u ki»n x§u Ma trªn A t¤o bði h» sè cõa h» ph÷ìngtr¼nh n y ÷ñc gåi l  ma trªn i·u ki»n x§u

2.1.1 V½ dö H» ph÷ìng tr¼nh



2x1 + x2 = 22x1 + 1, 01x2 = 2, 01 (2.7)