Luyện thi đại học môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 2 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài...
Trang 1III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:
a) I4=∫sin3x dx b) I5=∫cos5x dx c) I3=∫cos4x dx
Hướng dẫn giải:
4
cos
3
x
5
c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được:
2
Khi đó 3 cos4 3 1cos 2 1cos 4 3 1sin 2 1 sin 4
x
Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 2 cos
sin 3sin 2
x dx I
=
2 2
sin cos
x
x
=∫
c) 3
sin 3 sin
=
+
I
dx I
x
=∫
Hướng dẫn giải:
I
1 2
b)
( )( )
+ − −
2
c)
sin 3 sin 2sin 2 cos 4sin cos 4 sin cos 4 1 cos cos
I
Đặt
2 2
1
cos
−
( )( )
1 2
3 2
2
1
ln
= − +
∫
dt
C
Trang 2Thay t = cosx vào ta được 3 1 1 1ln1 cos
−
x
d)
I
−
Đặt
sin
C
Thay t = sinx vào ta được 4 1 1 1 ln sin 1
x
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
a) 5
sin cos
dx
I
3 6
4sin
1 cos
x dx I
x
= +
x dx I
x
=
−
Hướng dẫn giải:
a)
sin cos sin cos sin 1 sin
I
−
Đặt
2
5
sin cos
dx
b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có:
4sin 4sin sin
4 1 cos sin 4sin 2sin 2
−
4sin
1 cos
x dx
x
+
c) 7 sin3 (cos )3
I
I
Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được
1
=
3
1
1 3
d t
t dt
−
1
dt
−
1
t
t
+
Từ đó 7 1ln 3 1 1ln 1 1 2 arctan 2 1 1ln 3 1 1ln 1 1 arctan 2 1
Trang 3Bình luận:
Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau
−
I
Thay vào ta được :
+
∫
u
Ví dụ 4: Tính các nguyên hàm sau:
sin cos
I
3=∫sin 2 (2 sin+
2 cos 4 1
=
−
I
x
Ví dụ 5: Tính các nguyên hàm sau:
sin
=∫ dx
I
3
cos sin
I
x
sin cos
I
Ví dụ 6: Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 1 sin 22
cos
+
3 cos
= +
x
c) 3 sin 2
1 cos
=
+
cos
2 cos 2
= +
x
Ví dụ 7: Tính các nguyên hàm sau:
a) I1=∫cos2x.cos 4xdx b) I2=∫ 1 cos− 3x.sin cosx 5x dx
3=∫sin cos (1 cos )+
1 sin cos
= +
Ví dụ 8: Tính các nguyên hàm sau:
1=∫cos 2 (sin +cos )
3
sin
1 cos
= +
x
c) I3=∫(sin3x+cos3x dx)