Bài tiểu luận tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊNTIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Học viên thực hiện : Nhóm 4 NGƯỜI HƯỚNG DẪNPGS... 32

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

————oOo————

TIỂU LUẬNTÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ

BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Thực hiện : Nhóm 4 Lớp : Giải tích K09 Khóa học : 2014 - 2016

Đắk Lắk, 09/2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TIỂU LUẬN

TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ

BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Học viên thực hiện : Nhóm 4

NGƯỜI HƯỚNG DẪNPGS TS Thái Thuần Quang

Đắk Lắk, 09/2015

DANH SÁCH HỌC VIÊN LÀM TIỂU LUẬN

1 Huỳnh Thị Thanh Hương

2 Hách Thị Hồng Hoa

3 Phạm Thị Yên Ly

4 Bùi Thị Phương Thảo

5 Nguyễn Thị Thu Hiền

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

2 Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các

2.1 Tính chất đồng liên tục của họ các ánh xạ chỉnh hình 72.2 Tính bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình 10

MỞ ĐẦU

Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánhcủa toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến sốđều là số phức (các ánh xạ giữa Cn và Cm) Khoảng hơn 50 năm trước,dựa trên sự phát triển của Giải tích hàm, Giải tích phức đã nghiên cứucác ánh xạ giữa các không gian vector tôpô phức vô hạn chiều, đặc biệt làcác không gian định chuẩn Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong nhiềungành khác của toán học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng.Một trong những đối tượng chính của giải tích phức là các ánh xạ giảitích phức, thường gọi là các ánh xạ chỉnh hình Vì phần thực và phần ảocủa một hàm giải tích một biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giảitích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán vật lý hai chiều.Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình là một trong những hướng nghiên cứuquan trọng của Giải tích phức Các kết quả đạt được theo hướng nghiêncứu này ngày càng nhiều và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Tiểu luận trình bày và làm sáng tỏ một vài vấn đề về Tính chất đồngliên lục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình mong sẽ làtài liệu tham khảo đối với những học viên quan tâm đến Giải tích phức

mà cụ thể là hàm chỉnh hình

Nội dung của tiểu luận được trình bày trong hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương này dành cho việc trình bày các khái niệm, kiến thức cơ sởcần cho việc trình bày và chứng minh trong chương 2

Chương 2: Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ cácánh xạ chỉnh hình

Chương này giới thiệu về tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phươngcủa họ các ánh xạ chỉnh hình trong không gian Banach phức Bên cạnh

đó giới thiệu một số ví dụ và bài tập liên quan

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sơ cần chonhững trình bày và chứng minh trong chương 2

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E là không gian tuyến tính trên trường K(thực hoặc phức) Hàm ||.|| : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu

nó thỏa mãn các điều kiện sau:

là (E, k.k) hay đơn giản là E

Nhận xét 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X, k.k) Với mọi x, y ∈ X,đặt d(x, y) = kx − yk thì d là metric trên X Do đó mọi không gian địnhchuẩn đều là không gian metric với metric xác định như trên

Các tính chất và mệnh đề trong không gian metric đều đúng cho không

Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian địnhchuẩn E trên trường số thực hay số phức với một chuẩn k.k sao cho mọidãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = kx − yk có giới hạn trongE).

Định nghĩa 1.1.6 Cho tập X Một họ τ các tập con của X gọi là mộttôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:

(1) X và ∅ thuộc τ

(2) Hợp của họ tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ

(3) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ

Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô Để chỉ rõ

τ là tôpô của không gian X ta viết (X, τ )

Định nghĩa 1.1.7 Cho U là tập mở của E Ánh xạ f : U → F là ánh

xạ chỉnh hình nếu với mỗi a ∈ U tồn tại một hình cầu mở B (a; r) ⊂ U

và chuỗi đa thức Pm ∈ P (mE, F ) sao cho f (x) =

Khi F = C ta có thể viết H (U ; C) = H (U ).

Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (X, d)

a) Với mỗi r < 0, x ∈ X Tập S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} (hay

S [x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}) được gọi là hình cầu mở (đóng) tâm x,bán kính r

b) Điểm x gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mọi r > 0 sao choS(x, r)T A 6= ∅ Tập các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, kí hiệu

là ¯A hay [A]

c) Điểm x gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại r(x) > 0 saocho S(x, r) ⊂ A Tập các điểm trong của A gọi là phần trong của A, kíhiệu là Ao hay int A

d) Điểm x gọi là điểm biên của tập hợp A nếu x là điểm dính của A

và X A, tức là mọi r > 0 ta có S(x, r)T A 6= ∅và S(x, r) T(X A) 6= ∅.Tập hợp các điểm biên của A gọi là biên của A và kí hiệu là ∂A

Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, d) và K ⊂ X Tập K gọi

là compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ K đều có một dãy con hội tụ tới mộtphần tử của K Tập K gọi là compact tương đối nếu bao đóng ¯K là tậpcompact

Ví dụ 1.1.10

+ Trong không gian Rn, tập compact tương đối là tập bị chặn

+ Trong không gian metric, tập compact tương đối là tập hoàn toàn

bị chặn (tức là có thể phủ nó bằng một số hữu hạn các hình cầu có bánkính nhỏ tùy ý ↔ mọi dãy trong đó đều rút ra được một dãy Cauchy).Định lí 1.1.11 Cho U là tập mở của E Khi đó với mỗi f : U → F thìcác mệnh đề sau là tương đương:

(a) f là G – chỉnh hình khi và chỉ khi f là G – chỉnh hình yếu.

(b) f là hàm chỉnh hình khi và chỉ khi f là hàm chỉnh hình yếu

Chương 2

Tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình.

Trong chương này chúng tôi giới thiệu về tính chất đồng liên tục và bịchặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình trong không gian banachphức.Trong suốt chương này hầu như các không gian là không gian Banachphức Đặc biệt, các chữ E và F sẽ luôn luôn đại diện cho không gianBanach phức

2.1 Tính chất đồng liên tục của họ các ánh xạ chỉnh hìnhĐịnh nghĩa 2.1.1 Cho X là không gian tôpô và F là không gian banach

1 Họ F ⊂ Fx được gọi là đồng liên tục nếu với mỗi a ∈ X và  > 0tồn tại một lân cận V của a trong x sao cho: kf (x) − f (a)k ≤ , ∀x ∈

V, f ∈ F

2 Họ F ⊂ Fx được gọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi a ∈ X tồn

tại một lân cận V của a trong X và hằng số c > 0 sao cho:

kf (x)k ≤ c, ∀x ∈ V, f ∈ FĐịnh nghĩa 2.1.2 Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếumột tập A ⊂ X là mở khi A ∩ K là mở trong K với mỗi tập con compact

Mệnh đề 2.1.5 Nếu X là một k-không gian thì C ((X; F ) , τc) là đầy đủvới mọi không gian Banach

Chứng minh

Giả sử (fi) là một dãy suy rộng Cauchy trong C ((X; F ) , τc) Khi đó(fi(x)) là một dãy suy rộng Cauchy trong F với mỗi x ∈ F Nếu chúng tađịnh nghĩa f : X → F bởi f (x) = lim fi(x) khi đó dễ thấy rằng dãy (fi)hội tụ đều tới f trên mỗi tập con compact của X Do đó f /K là liên tục vớimỗi tập con compact K của X, từ đó X là một k-không gian và chúng ta

Mệnh đề 2.1.6 Một không gian tôpô X là nửa compact hay đếm đượctại vô cùng nếu tồn tại một dãy (Kn)∞n=1 của các tập con compact của X

là chứa trong Kn nào đó

Ví dụ 2.1.7 Mỗi tập mở U ⊂ Cm là nửa compact Thật vậy nó đượcthỏa mãn với

Kn = {x ∈ U : kxk ≤ n, dU (x) ≥ 1/n}

Dễ dàng có kết quả sau

Mệnh đề 2.1.8 Nếu X là một không gian nửa compact thì C ((X; F ) , τc)

là metric được với mọi không gian Banach F Giả sử X là một không giantôpô và F là một không gian Banach Khi đó như thông thường ta kýhiệu FX là không gian vec tơ của tất cả các ánh xạ từ F vào X Khônggian tôpô hội tụ theo từng điểm là tôpô lồi địa phương τP trên FX sinhbởi họ các nửa chuẩn f → sup

x∈A

kf (x)k, ở đây A chạy qua các tập conhữu hạn của X Tôpô hội tụ theo từng điểm trên FX chính là tôpô tíchTychonoff

Định nghĩa 2.1.9 Cho X là một không gian tô pô và F là một khônggian Banach (a) Một họ F ⊂ FX được gọi là liên tục đồng bậc nếuvới mỗi a ∈ X, và  > 0 , một lân cận V của a trong X thỏa mãn[kf (x) − f (a)k ≤ ε với mọi x ∈ V và f ∈ F (b) Một họ F ⊂ FX đượcgọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi a ∈ X, một lân cận V của a trong

X và một hằng số c > 0 thỏa mãn kf (x)k ≤ c với mọi x ∈ V và f ∈ F

Ví dụ 2.1.10 Nếu F là một họ hữu hạn các ánh xạ liên tục thì F là một

họ liên tục đồng bậc

Tính chất 2.1.11 Từ định nghĩa ta thấy nếu F là họ ánh xạ liên tụcđồng bậc thì mọi ánh xạ f thuộc F là liên tục Điều ngược lại khôngđúng

Ví dụ 2.1.12 F = {fn : (0, 1) → R|n ∈ N, fn(x) = 1/xn} F gồm cáchàm liên tục nhưng F không liên tục đồng bậc

Bổ đề 2.1.13 Cho X là không gian tôpô và F là không gian Banach.Nếu mỗi họ F ⊂ FX thì F đồng liên tục Khi đó, bao đóng F của F vớitôpô hội tụ theo từng điểm cũng đồng liên tục.

Mệnh đề 2.1.14 Cho X là không gian tôpô và F là không gian Banach.Khi đó, tôpô hội tụ compact và tôpô hội tụ theo từng điểm tạo ra tôpôtương tự trên mỗi tập con đồng liên tục của C (X; F )

Chứng minh

Cho F là tập con đồng liên tục của tập C (X; F ) Ta luôn có τP ≤ τC

và chỉ ra được rằng 2 tôpô này trùng khớp nhau trên F Lấy K là tậpcompact của X và lấy  > 0 Khi đó, F đồng liên tục tại mọi điểm a ∈ K,lấy lân cận Vα sao cho kf (x) − f (α)k < ε, ∀x ∈ Vα, ∀f ∈ F

Khi đó K là tập compact, lấy tập hữu hạn A ⊂ K sao cho K ⊂

Định nghĩa 2.2.1 Một hàm f ∈ H (D, F ) gọi là bị chặn địa phương nếuvới mọi z ∈ D, tồn tại một lân cận U của z trong D sao cho f (U ) bị chặn

Ví dụ 2.2.2 Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục với miền xác định hay miềngiá trị là không gian banach là bị chặn địa phương.

Định lí 2.2.3 Cho E là một không gian metric, F là không gian banach,nếu f bị chặn địa phương trên mọi tập compact của E thì f bị chặn địaphương trên E

Chứng minh

Ta chứng minh phản chứng Giả sử f bị chăn địa phương trên mọi tậpcompact và tồn tại một điểm x0 ∈ E sao cho f không bị chặn trên mọilân cận của x0 ∈ E Chọn một dãy xn → x0, f (xn) ≥ n, ∀n ∈ N Khi đótập x0.x1 , là một tập compac Do đó f bị chặn trên E (vô lý) Vậy f bị

Định lí 2.2.4 Cho X là một không gian tôpô, khi đó mỗi đồng liên tục,tập bị chặn theo theo từng điểm của C(X) là compact tương đối trongC(X) với tôpô compact mở

Chứng minh

Cho F là một đồng liên tục, tập bị chặn theo từng điểm trong C(X), vàcho F là bao đóng của F trong CX Khi đó, F rõ ràng bị chặn theo từngđiểm, và do đó nó compact trong CX bởi định lí tích số Tychonoff Bâygiờ, tập F là đồng liên tục theo bổ đề 9.10 và do đó tôpô tích và tôpô mởcompact trùng nhau trên F bởi mệnh đề 9.11 Do đó F là tập compact của

Ví dụ 2.2.5 Cho I = [a, b], hiển nhiên I là tập compact trong R

Xét ánh xạ h : I → R, kí hiệu không gian các hàm h đo được, bị chặntrên I và có giá trị trong R là B(I, R) = B(I) Dễ thấy B(I) là không

gian Banach với chuẩn ||h||B(I) = sup

Vậy K là tập compact trong B(I)

Sau đây thiết lập một số tính chất tôpô của không gian các ánh xạliên tục, chúng ta chú ý đến ánh xạ chỉnh hình

Mệnh đề 2.2.6 Nếu U là một tập mở của E Khi đó H(U ; F ) là mộtkhông gian vectơ đóng của (C(U ; F ), TC).(H(U ; F ), TC) nói riêng là đầyđủ

Chứng minh

Cho (fi) là một lưới trong H (U ; F ) hội tụ về một ánh xạ f ∈ C (U ; F )với tôpô compact mở Cho a ∈ U, b ∈ E và ψ ∈ F0 tập gi(λ) =

ψofi(a + λb) và g (λ) = ψof (a + λb), với mỗi λ ∈ Λ = {λ ∈ C : a + λb ∈ U }.Khi đó mỗi gi là chỉnh hình trongV và lưới (gi) hội tụ về g đã cho trên mỗitập compact của V Theo định lí Weierstrass về hàm chỉnh hình của mộtbiến phức, hàm g là chỉnh hình trên V Khi đó theo định lí 1.1.11, 1.1.12

(b) F bị chặn địa phương

(c) F đồng liên tục và bị chặn đều

Chứng minh

(a)⇒(b)

+ Giả sử F không bị chặn địa phương

⇒ ∃a ∈ U, ∃(fn) ⊂ F ; (an) ⊂ U sao cho:

||an − a|| < 1

n và |fn(an)| > n, ∀n ∈ N+ Ta đặt K = {an : n ∈ N}S {a} là tập hợp compact của U Khi đó, F

Vậy F đồng liên tục.

(c)⇒(b)

+ Cho a ∈ U Vì F bị chặn điểm ⇒ ∃c > 0 sao cho ||f (a)|| ≤ c ∀f ∈ F+ Vì F đồng liên tục nên tồn tại một lân cận V của a trong U, chọn  = 1sao cho

kf (x) − f (a)k ≤ 1 ∀x ∈ V , ∀f ∈ F+ Ta có

KẾT LUẬN

Tiểu luận giới thiệu những kết quả lí thuyết ban đầu về tính chất đồngliên lục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình Ngoài ratiểu luận còn làm sáng tỏ việc chứng minh các định lí và bổ xung các ví

dụ minh họa

TÀI LIỆU THAM KHẢO