RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA MÔN ĐẠI SỐ 10

 Đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan ít nhiều đến việc rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh, chẳng hạn như: Luận án tiến sĩ của Đinh Quang Minh 2004 về “Vận dụng quan điểm h

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

 Nhà toán học Nga Khichin cho rằng: “Không có khái niệm nào có thể biểu hiện

được ở trong đó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như tư duy hàm” [6, tr.33] Sự cần thiết của tư duy hàm cũng được GS Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm, một loại hình

tư duy được hàng loạt công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh trong dạy học các bộ môn, đặc biệt là môn toán”[2,tr122]

 Đối tượng của toán học là tư duy, vì môn toán xuất phát từ thực tiễn, phản ánh thực tiễn qua các bài toán Chẳng hạn muốn đo khảng cách từ Hà Nội đến thành phố Hồ Chí Minh thì ta có thể xem Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh là hai điểm

 Tư duy hàm (TDH) là một loại tư duy đặc biệt, xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông, TDH giúp người học xem xét sự vật - hiện tượng trong trạng thái biến đổi, phụ thuộc lẫn nhau

 Đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan ít nhiều đến việc rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh, chẳng hạn như: Luận án tiến sĩ của Đinh Quang Minh (2004) về “Vận dụng quan điểm hàm trong dạy học toán lớp 10 phổ thông nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh” hay luận văn thạc sĩ của Nguyễn Ly Na (2001) về “Rèn luyện và phát triển tư duy hàm cho học sinh THCS thông qua dạy học môn Đại số”, nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu về việc rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh THPT

Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài luận văn “Rèn luyện và phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT thông qua dạy học môn đại số 10”.

2 Mục đích nghiên cứu

 Đưa ra cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn về việc rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh THPT thông qua dạy học môn Đại số 10;

 Vạch rõ nội dung, kèm theo một số biện pháp để rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh theo từng chủ đề kiến thức trong chương trình Đại số 10

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

(1) Làm rõ các khái niệm liên quan đến tư duy, hàm, TDH và mối liên hệ hữu cơ

giữa TDH với các loại tư duy khác như: Tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng, … (2) Tìm hiểu thực tiễn ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Đắk Nông về việc dạy học đáp ứng yêu cầu phát triển TDH cho học sinh

(3) Tìm hiểu các biểu hiện, các đặc trưng của TDH trong chương trình Đại số lớp

10 hiện nay

(4) Đề xuất các biện pháp rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh THPT thông qua dạy học môn Đại số lớp 10

(5) Xây dựng hệ thống các bài tập nhằm phân tích, làm rõ lý luận để phát triển TDH cho học sinh THPT

(6) Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở tôn trọng chương trình sách giáo khoa hiện hành, nếu coi trọng đúng mức việc rèn luyện và phát triển tư duy hàm cho học sinh sẽ góp phần tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh, nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học toán

ở trường THPT.

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phân tích các tài liệu liên quan đến: Tư duy, các hoạt động trí tuệ nhằm hình thành và phát triển tư duy, khái niệm hàm, TDH, các loại tư duy có liên quan với TDH; Nhiệm vụ phát triển tư duy có cơ sở từ triết học, tâm lý học, giáo dục học; Sử dụng hàm số hoặc tương ứng hàm để giải toán

5.2 Phương pháp điều tra – quan sát

Phát phiếu điều tra giáo viên và học sinh ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Đắk Nông về việc dạy – học đáp ứng nhu cầu phát triển TDH hiện nay; Trực tiếp dự giờ và kiểm tra ở một số lớp thuộc trường THPT Trần Hưng Đạo, huyện ĐắkMil, tỉnh Đắk Nông

5.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Sưu tầm các bài toán, các vấn đề có liên quan, đúc rút kinh nghiệm từ bản thân và từ các đồng nghiệp

5.4 Phương pháp thực nghiệm

Trực tiếp dạy và nhờ đồng nghiệp dạy một số tiết lý thuyết và bài tập ở khối 10 thuộc trường THPT Trần Hưng Đạo nhằm minh hoạ và khẳng định bước đầu tính khả thi của một số vấn đề đã được nghiên cứu

6 Ý nghĩa của vấn đề nghiên cứu

Những nghiên cứu trong luận văn, bằng những biện pháp sư phạm cụ thể sẽ góp phần vào việc rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh thông qua dạy học những chủ đề kiến thức trong chương trình Đại số 10

Chương 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh THPT thông qua dạy học môn Đại số lớp 10 1.1 Các khái niệm cơ bản

Tư duy là gì? “Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được

các đối tượng và các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng, hiện tượng và giữa các đối tượng, hiện tượng với nhau” [4, tr.3]

Có thể chỉ ra một vài định nghĩa khác của tư duy như: “Tư duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [8, tr.8] hay hiểu một cách ngắn gọn hơn thì tư duy là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề

Như vậy, tư duy phản ánh sự vật, hiện tượng trong thực tế vào bộ óc con người, giúp con người nhận thức được hiện thực khách quan Tư duy là sản phẩm trí tuệ bậc cao của con người, mang tính chủ động Do đó, ta có thể chủ động rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Tư duy toán học là gì? Tư duy toán học là hình thức tư duy được xem xét trong

phạm vi toán học Những tri thức toán mà ta đã biết trước đây là chưa đủ Tri thức toán là vô tận, quá trình nhận thức nó cũng vô tận Vì vậy, tư duy toán học là cần thiết cho mỗi học sinh, mỗi chúng ta trong hoạt động học tập cũng như trong các hoạt động khác của cuộc sống Trong quá trình học tập, nhờ tư duy tích cực và sáng tạo mà học sinh đã lĩnh hội được tri thức mới, làm giàu cho kiến thức của mình và đã giải quyết được những bài toán cũng như những đòi hỏi khác trong cuộc sống

Như vậy, tư duy toán học cũng là một quá trình tâm lí, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên quan, liên hệ bên trong có tính chất quy luật của

toán học nhằm giúp con người nhận thức và ứng dụng toán học vào thực tế cuộc sống

Tư duy hàm là gì? Theo Trần Thúc Trình: “Tư duy hàm là hoạt động trí tuệ liên

quan đến những tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của các tập hợp đĩ, trong sự vận động của chúng” [6, tr.33] Nĩi cách khác, TDH là cách suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề dựa vào mối liên hệ một - một giữa sự vật, hiện tượng này với sự vật hiện tượng khác

1.2 Mối liên hệ giữa TDH với các loại tư duy khác

Trong thực tế của quá trình tư duy tốn học, tất cả những loại hình tư duy đều cĩ sự tác động qua lại một cách hữu cơ với nhau, kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác tư duy này hay tư duy khác Vì vậy khi phát triển TDH cho học sinh thì đương nhiên chúng ta cũng đã cĩ sự liên hệ với nhiều loại hình tư duy khác

1.2.1 Với tư duy biện chứng

Với TDH, ta nghiên cứu sự vật hiện tượng trong trạng thái biến đổi chứ khơng phải trong trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ khơng phải tách rời Do

đĩ, khi rèn luyện TDH là đã gĩp phần bồi dưỡng các quy luật của tư duy biện chứng “Chúng tơi quan niệm rằng, tư duy hàm thể hiện một phần của tư duy lơgic hình thức và tư duy biện chứng ” [9, tr.20]

1.2.2 Với tư duy sáng tạo (TDST)

Khi rèn luyện cho học sinh về TDH thì chúng ta cũng đã cung cấp cho học sinh một cách nhìn mới để giải quyết một bài tốn, do đĩ phát triển TDH cũng gĩp phần phát triển TDST cho học sinh

Chẳng hạn: Khi dạy học giải hệ phương trình: 















) 2 ( 1 1

) 1 ( 1 1

2 2

x y

y x

Đây là hệ đối xứng loại 2, học sinh cĩ thể giải được bằng cách lấy (1) trừ (2) để giải, nhưng cách giải này hơi phức tạp Nếu ta dùng phương pháp hàm số để giải thì bài tốn sẽ trở nên đơn giản hơn

Cách 1: điều kiện 





 1 1

y x

, xét hàm số f(t)  t 1  1, ta cĩ:

)

; 1 ( ,

0 1 1

1 )

(

)

(

2 1 2

1 2

1

2













t t t

t t

t

t f

t

f

, do đĩ f (t) là hàm đồng biến

Khi đĩ hệ trở thành y2 f(x) , nếu 1 x  y thì 2 2 ( ) ( )

x f y f y

x    , do f (t)

là hàm đồng biến, suy ra y  x là mâu thuẫn Tương tự, nếu 1 y  x cũng mâu thuẫn Vậy x  y Khi x  y thay vào hệ ta được phương trình 2 1 1





 x

Để giải phương trình này, bằng cách đặt ẩn phụ u x 1, dẫn đến việc giải hệ phương trình đối xứng loại 2 là:













1 1

2

2

x

u

u

x

, hệ này vơ nghiệm, suy ra (3) vơ nghiệm, suy ra hệ đã cho vơ nghiệm

Tuy nhiên ta cĩ thể giải (3) bằng cách đưa ra nhận xét như sau: ( 3 ) 2 1 1







Đây là pt hồnh độ giao điểm của Parabol (P): 2 1



x

y và đồ thị (C): y x 1 Nhưng (P) nằm trên đường thẳng y  x, cịn (C) nằm dưới đường thẳng y  x nên (P) và (C) khơng cắt nhau, do đĩ (3) vơ nghiệm

Cách 2: Với đk 





 1 1

y x

, đặt ( ) 2 , ( ) 1 1







t g t t t

f , rõ ràng f(t),g(t) là những hàm đồng biến trên khoảng (  1 ; ) Khi đĩ hệ trở thành 







) ( )

(

) ( )

(

x g y

f

y g x f

Nếu 1 x  y thì f(x)  f(y)  g(y) g(x)  yx là mâu thuẫn Tương tự, nếu

x

y 



1 ta cũng suy ra điều mâu thuẫn Vậy x  y, đến đây ta tiếp tục giải như cách 1

Như vậy qua ví dụ trên, ta hồn tồn cĩ thể phát triển TDST cho học sinh trong quá trình phát triển TDH

1.3 Tìm hiểu tình hình thực tiễn ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Đăk Nơng về việc dạy học đáp ứng yêu cầu phát triển TDH

Qua phiếu điều tra giáo viên và học sinh, từ đĩ đưa ra nhận xét và kết luận chung

về tình hình đáp ứng yêu cầu phát triển TDH ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Đăk Nơng

 Phiếu điều tra giáo viên

Nội dung phiếu điều tra gồm 10 câu hỏi dưới dạng trắc nghiệm (chọn 1 trong

3 phương án: đồng ý, không đồng ý, phân vân) tập trung vào việc trả lời 3 câu

hỏi sau:

(1) Có tồn tại loại hình TDH trong dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay? Nếu có thì TDH có những đặc trưng gì?

(2) Nhận thức của giáo viên về vị trí, vai trò của TDH trong dạy học toán ở trường phổ thông?

(3) Mức độ ảnh hưởng của TDH trong dạy học toán như thế nào? Những nội dung dạy học nào có thể rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh?

 Phiếu điều tra học sinh

Nội dung phiếu gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm tập trung vào việc trả lời 4 câu hỏi sau đây:

(1) Sự hứng thú của các em khi học về chủ đề hàm số?

(2) Mức độ tiếp thu của các em khi học khái niệm hàm số?

(3) Có bao nhiêu cách để biểu diễn một hàm số?

(4) Khái niệm hàm số có những đặc trưng nào?

1.4 Tổng kết chương 1

Chương 2

Các biện pháp sư phạm và hệ thống bài tập tương ứng nhằm

rèn luyện và phát triển TDH cho học sinh THPT

thông qua dạy học môn Đại số 10 2.1 Một số vấn đề về sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao và sự thể hiện TDH trong từng chủ đề cụ thể

2.2 Các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện và phát triển TDH

2.2.1 Cơ sở để đưa ra các biện pháp

Vận dụng quan điểm hoạt động thể hiện ở những thành tố cơ sở của phương pháp dạy học: Hoạt động và hoạt động thành phần, động cơ hoạt động, tri thức và tri thức phương pháp, phân bậc hoạt động Để phát triển TDH trong dạy học bộ môn toán, GS Nguyễn Bá Kim đã nêu lên 4 tư tưởng chủ đạo sau:

Thứ nhất: Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng

những sự tương ứng trong khi nhằm vào truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng toán học;

Thứ hai: Thực hiện gợi động cơ, đặc biệt là gợi động cơ kết thúc đối với

những hoạt động TDH, sao cho các hoạt động này trở thành những khả năng gợi động cơ nội tại toán học;

Thứ ba: Hình thành ở học sinh những biểu tượng tiến tới những tri thức về

sự tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về TDH;

Thứ tư: Phân bậc hoạt động về TDH theo số lượng biến, theo mức độ trực

quan của đối tượng, theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt động của người học, [2, tr130]

2.2.2 Hệ thống các biện pháp sư phạm

 Biện pháp 1

Gợi động cơ hoạt động TDH, đặc biệt là động cơ kết thúc với những hoạt động TDH, sao cho các hoạt động này trở thành những khả năng gợi động cơ nội tại Tốn học

Ví dụ 1: Giải phương trình x + 3 3 + 4 = x x x (1)

Ta mong đợi lời giải với lập luận đại để như sau: Trước hết dễ nhận thấy rằng x 0

và x 4 là hai nghiệm của phương trình (1) Một câu hỏi đặt ra là ngồi hai nghiệm trên thì phương trình (1) cịn cĩ nghiệm nào khác nữa khơng? Sự nghiên cứu hàm số

sẽ giúp ta trả lời câu hỏi này

Ta thấy rằng nếu x là nghiệm khác 0 và 4 của phương trình (1) thì 0 x 4 hoặc

4 x Vì vậy ta chỉ xét trong hai trường hợp sau:

TH1: Nếu 0 x 4 thì 4x x 

+ 3 3 + 4 > + 3 3 + > + 3 >

TH2: Nếu x 4 thì 4x x

+ 3 3 + 4 < + 3 3 + < + 3 <

Vậy phương trình đã cho chỉ cĩ hai nghiệm là x 0 và x 4

Với ví dụ trên, việc khảo sát tính đơn điệu của hàm số y = 4 - x x sẽ gợi động cơ kết thúc trong việc giải một số phương trình vơ tỉ

 Biện pháp 2

Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng sự tương ứng như là mục đích và phương tiện nhận thức để giải quyết vấn đề

Ví dụ 2: Dùng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x2  2x m 0 theo tham số m

 Biện pháp 3

Hình thành ở học sinh những biểu tượng về sự tương ứng, hình thành tri thức về phương pháp hàm số

Ví dụ 3: Các vị trí tương đối của hai đường trịn tương ứng với mối quan hệ giữa

đoạn thẳng nối tâm của chúng với tổng và hiệu của hai bán kính (biểu tượng về sự tương ứng hàm)

 Biện pháp 4

Phân bậc hoạt động về TDH theo trình độ độc lập và thành thạo các hoạt động của học sinh, theo số lượng biến, theo mức độ trực quan của đối tượng

Ví dụ 4: a) CMR: x2 2cos , x x (đã rõ hàm số)

b) CMR: Nếu a b  2 thì a2b2 2 (khơng rõ hàm số như bài trên) c) CMR: Nếu a b c , , 0;1 thì

3 3

 Biện pháp 5

Tạo mối liên hệ giữa kiến thức Tốn với các tình huống thực tế, từ đĩ phát hiện ra

sự tương ứng giữa các yếu tố trong bài tốn thực tế với tương ứng hàm của tốn học

Ví dụ 5: Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

2.3 Hệ thống bài tập tương ứng với từng biện pháp

2.4 Tổng kết chương 2

Chương 3

Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài thơng qua dạy một số tiết lý thuyết và bài tập ở khối 10 trường THPT Trần Hưng Đạo, huyện ĐăkMil, tỉnh Đăk Nơng

3.2 Nội dung thực nghiệm

 Khái niệm và tính chất của hàm số;

 Hàm số bậc nhất;

 Hàm số bậc hai

3.3 Tổ chức thực nghiệm

 Bản thân tác giả trực tiếp dạy một số tiết;

 Nhờ đồng nghiệp dạy một số tiết;

 Chọn một lớp thực nghiệm và một lớp đối chứng tương đương về sĩ số, chất lượng học sinh;

 Thời gian thực nghiệm dự kiến từ ngày 10/10/2007 đến ngày 10/11/2007 3.4 Đánh giá thực nghiệm

3.4.1 Đánh giá các tiết dạy thực nghiệm

 Thu thập ý kiến nhận xét của giáo viên dự giờ hay những giáo viên được nhờ dạy;

 Rút kinh nghiệm của bản thân qua các tiết dạy;

 Nhận xét ưu, nhược điểm, thời gian thực hiện, lượng kiến thức trong mỗi tiết dạy

3.4.2 Đánh giá của học sinh

Phát phiếu điều tra học sinh sau mỗi tiết dạy, về:

 Khơng khí lớp học;

 Nội dung bài học;

 Lượng kiến thức;

 Mức độ tiếp thu bài học;

 Đề xuất ý kiến cho tiết dạy tiếp theo (nếu có).

3.4.3 Đánh giá bài kiểm tra

Viết lại đề kiểm tra, phân tích dụng ý sư phạm trong từng đề kiểm tra

3.4.4 Đánh giá kết quả kiểm tra

 Đánh giá định tính;

 Đánh giá định lượng

3.5 Toång keát chöông 3

Phần kết luận