M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB.. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với ABtạiI.. Đường thẳng BC cắt đường tròn O’ tại J.. a Ch
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6đ)
Cho biÓu thøc
P = - + ( víi x≥ 0 ; x≠ 1)
a) Rót gän biÓu thøc P
b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + 2
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P
Câu 2: (4đ)
a) Giải phương trình:
11 21 2
1 2 3 4 9
2x2 − x+ + x− = x2 + x−
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = xy z + yz x + zx y với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
Câu 3: (3đ)
a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2x6 + y2 –2 x3y = 320
b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 6
x y+ y z+z x =
Chứng minh rằng: 3x+31y+2z+3x+21y+3z +2x+31y+3z ≤32
Câu 4: (6đ)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ
đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung
CD vuông góc với ABtạiI Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất
Câu 5: (1đ)
Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83
Trang 2
-Hết -PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN 9
Năm học: 2015– 2016
1
(6đ)
a P = - +
=
=
= =
=
=
b Đặt y = +
⇔ y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + )
⇔ y = 14 - 3y
⇔ y +3y -14 = 0
…………
⇔ (y- 2)( y + 2y + 7) = 0 ( vỡ y + 2y + 1 + 6 ≥ 6)
⇔ …… ⇔ y = 2 ⇒ x = 4
Thay x =4 vào biểu thức rút gọn của P ta đợc
P = 4
c P = = = +3 + … - 6
Áp dụng bất đẳng thức Cụ si đối với 2 số dơng ta có
P = +3 + - 6 ≥ 2 - 6
P ≥ 10 - 6 = 4 Vậy Min P = 4 ⇔ +3 = ⇔ x = 4
0,5.
0,5.
0,5 0,5
0,75 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,5 0,5
0,5 0,25 2
(4đ)
Trang 3Biến đổi:
) 1 ( 0 1 2
0 ) 11 3
4 ( 1 2
0 1 2 11 1
2 3 1 2 4
1 2 11 1
2 3 1 2 4
11 21 2
1 2 3 4 9
=
−
⇔
= +
− +
−
−
⇔
=
− +
−
− +
−
−
⇔
− +
=
− +
−
−
⇔
− +
=
− +
+
−
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
Hoặc x− 4 + 3 − x+ 11 = 0 (2)
1,0
Giải (1) được x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) được x=5 (thỏa mãn) 0,5
b A =
y
zx x
yz z
xy+ +
2 2 2
2 2 2
2 2
+ +
+
y
x z x
z y z
y x
( vì x2+y2+z2 =1) = B +2
0,75
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2y
x z
z y y x x
z y z
y
2
2 2 2
2 2
2z
y
x z x
z
2 2
2 2 2
2 2
2x
y
x z z
y
Do đó A2 = B +2 ≥3 nên A ≥ 3
Vậy Min A = 3 ⇔ x=y=z=
3 3
0,5
3
(3đ)
a Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3-y)2 +(x3)2=320
mà x nguyên nên x £ 2
Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6
Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2
0,75
Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là:
Trang 4b Áp dụng BĐT 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ (với a, b > 0)
1 1 1 1
4
0,5
Ta có:
( ) ( )
16 x y x z y z
3x 2y 3z 16 x z x y y z
0,5 Cộng vế theo vế, ta có:
3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z
.6
0,5 4
(6đ)
1,0
a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB⇒ ⊥CD : gt)
⇒AC // DM, mà AC⊥CB (do C thuộc đường tròn đường kính
C
J
A I M
D
O O’ B
Trang 5⇒DM⊥CB; MJ⊥CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
Ta có : IDM + IMD = 90· · 0(vì ·DIM = 90 )0
Mà IJM = IDM· · (do IC = IJ = ID : ∆CJD vuông tại J có JI là
trung tuyến)
MJO' = JMO' = IMD(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’);
ˆ '
JMO và IMDˆ đối đỉnh)
0,5
⇒ IJM + MJO' 90 · · = 0⇒IJO 90¶ = 0⇒ IJ là tiếp tuyến của (O’),
J là tiếp điểm
0,5
b Ta có: IA = IM⇒IO’ =
2
AB
= R (R là bán kính của (O))
∆JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
0,5
Mà IJ2 + O’J2 ≥2IJ.O’J = 4SJIO’
Do đó SJIO’
2
4
R
≤
0,5
SJIO’ = 2
4
R khi IJ = O’J và ∆JIO’ vuông cân
có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2 ⇒O’J = 2
2
R
0,5
5
(1đ)
Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83
4 2 2 1 167 (2 1)(2 1) 167
xy x y
0,5
Do x,y nguyên dương⇒ (2x+ 1);(2y+ ∈ 1) Z
(2x 1);(2y 1)
Lập bảng tìm được (x,y)=(0;83);(83;0)
0,5