C là một điểm thay đổi trên đường tròn C khác A và B, kẻ CH vuông góc với AB tại H.. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn O;R tại M, MB cắt CH tại K.. c Xác
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNGTHCS TÂN ƯỚC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao
đề)
(Đề này gồm 01 trang)
Bài 1 (6,0 điểm):
Với x 0; x 4; x 9 ≥ ≠ ≠ a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của biểu thức A -1 khi x= 6+ 6+ 6 + ( có vô hạn dấu căn) là 6
c) Với giá trị nào của x thì 1
A đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó 2) Cho x = 3 84 3 84
+ + − Chứng minh x có giá trị là một số nguyên
Bài 2 (4,0 điểm )
a) Giải phương trình + + = (x+y+z) -3000
b) Chứng minh rằng : nếu ( ) ( )
x yz y xz
x yz y xz
Với x≠ y yz, ≠1,xz≠1,x≠0,y≠0,z≠0
Thì x y z 1 1 1
x y z
+ + = + +
Bài 3 (3,0 điểm)
a , Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : y2+ 2xy -7x-12=0
2
a 3a + b b 3b + a ≥
+ với a, b là các số dương.
Bài 4 (6 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của
AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh K là trung điểm của CH
c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R
Bài 5 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 33
A x y
xy
Hết
-Đề chính thức
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán
điểm
a) Với điều kiện ( )* ta có:
:
)
( 9 2)(4 3)2: 1 1
x
+
( 2)( 3 3) : 1 1
x
x
+
− −
:
x
+
− + − b) ta có x= 6+ 6+ 6 + ( vô hạn dấu căn) với x>0
⇒ x2 = 6+ 6+ 6+ 6 + ( vô hạn dấu căn)
⇒ x2 = 6 +x
⇒ x2- x -6 =0
⇒ ( x+2)(x-3) = 0
⇒ x= -2( loại) hoặc x=3( nhận)
+ − = + − + =
Do vậy, giá trị của biểu thức A-1 tại x=3 là:
3 3( 3 2) 3( 3 2)
3 4
3 2
+
−
−
A
A
Để 1
A có GTNN thì 3
1
x+ có GTLN, hay x+1 có GTNN.Ta có: x+ ≥ 1 1, dấu "=" xảy ra khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất của 1
A là 1 3 1 3 2
0 1
+ , xảy ra khi x = 0
(0,5
đ)
(0,5đ) (0,5đ)
(0,5đ) (0,5đ)
(0,5đ)
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25đ
+ = − = ⇒ x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = 1
3
− .
Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suy ra: x3 = 2 – x ⇔x3 + x – 2 = 0 ⇔(x - 1 x) ( 2 + x + 2)= 0
⇔x = 1 Vì x2 + x + 2 =
2
+ >
Từ đó suy ra điều phải chứng
minh
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trang 3Bài 2
a)
Do ≥ 0, ≥ 0, ≥0
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có :
= ≤
= ≤
= ≤
Vậy : + + ≤ (x+y+z)-3000
Dấu "=" xảy ra ⇔ x-2000= y-2001= z-2002=1
⇔
=
=
=
2003 2002 2001
z y
x
( thoả man đk (*) )
Vậy nghiệm của phương trình là: x=2001, y=2002, z=2003
x yz y xz
x yz y xz
x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz
0
( ) ( 2 2) ( 2 2) 2( ) 0
(x y xy xyz x y) ( ) (z x y) xyz2 0
0
xy xyz x y z x y xyz
⇔ − + + + − = (vì x≠ ⇒ − ≠y x y 0)
( ) 2
xy xz yz xyz x y xyz
( ) 2
xyz x y xyz
xy xz yz
+ + + +
1 1 1
x y z
x y z
⇔ + + = + +
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Vậy ta có
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 4Hoặc
+ + = − =
Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện đề bài là:
(x;y) ∈{( 3;3);( 4; 4) − − }
(1)
a 3a + b b 3b + a = 4a 3a + b 4b 3b + a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:
4a + (3a + b) 7a + b
4b + (3b + a) 7b + a
Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b( ) + 4b 3b + a( ) ≤ 4a + 4b 4( )
Từ (1) và (4) suy ra:
a + b 2(a + b) 1
4a + 4b 2
a 3a + b b 3b + a ≥ =
+ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a = b.
0,25đ
0,25đ 0,25 đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
Bài 4
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn (2đ)
Chứng minh OI ⊥AC
Suy ra ∆OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC
CH ⊥ AB (gt) ∆CHO vuông tại H ⇒H thuộc đường tròn đường
kính OC
Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC, hay C, I, O, H
cùng thuộc một đường tròn
0.75đ 0.25đ 0.75đ 0.25đ
2) Chứng minh K là trung điểm của CH (2điểm)
K
M
I
C
A
Trang 5⇒ KH HB KH AM.HB AM.HB
Chứng minh cho CB // MO ⇒AOM CBH· = · (đồng vị)
C/m ∆MAO đồng dạng với ∆CHB
Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH ⇒ CK = KH ⇒ K là trung điểm
của CH
0,25đ 0.75đ 0.25đ
3) Chu vi tam giác ACB là P ACB = AB AC CB 2R AC CB + + = + +
Ta lại có:
AC CB − ≥ ⇒ 0 AC + CB ≥ 2AC.CB ⇒ 2AC + 2CB ≥ AC + CB + 2AC.CB
( 2 2) ( )2 ( 2 2) 2
(theo đl pitago)
2
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB ⇔M là điểm chính giữa cung AB.
Suy ra P ACB ≤ 2R 2R 2 2R 1 + = ( + 2) , dấu "=" xảy ra khi M là điểm
chính giữa cung AB
Vậy max P ACB = 2R 1( + 2) đạt được khi M là điểm chính giữa cung
AB
0,25đ
0,5 đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
x y x xy y
x y
+
Cũng từ
x y xy x y xy
x y xy
xy
+
Từ ( *) Và (**) suy ra A = 2 2 33 8 33 65
x y
xy
+ + ≥ + = dấu " =" xảy ra ⇔ = =x y 2.
Vậy Min A = 65 2
4 ⇔ = =x y
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ