Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 7.. Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB.. Số đứng sau được viết 48 vào giữa số đứng trước.. Chứng minh rằng tất cả các s
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN
THANH OAI
( Trường THCS Thanh Cao )
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học ( 2015 –2016) Môn TOÁN : (Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1: (6,0 điểm )
1 Cho biểu thức:
3 x
3 x 1 x
x 2 3
x 2 x
19 x 26 x x P
+
− +
−
−
− +
− +
= a/ Rút gọn P
b/ Tính P khi x=3 5 + 12 3 + 3 5 − 12 3
c/ Tìm GTNN của P
2 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 7 5 2n + 12 6n 19
Bài 2: (4,0 điểm)
1 Giải phương trình sau: x2 +3x +1 =(x + 3) x2 + 1
2 Chứng minh rằng :Nếu x + y + z = 0 thì 2.(x5 + y5+ z5) = 5xyz(x2 + y2+ z2)
Bài 3: (3,0 điểm)
1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
19x5 + 5y +1995z =x2 –x +3
2 Cho a,b,c >0 và 2
1
1 1
1 1
1
= +
+ +
+
c b a
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho (0;
2
AB
) Điểm M thay đổi trên (0), (M≠A,B) Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H Từ
A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến (M) Cmr
a/ CD là tiếp tuyến (0)
b/ Tổng AC+DB không đổi Từ đó tính GTLN của AC.DB
c/ Lấy N cố định trên (0) Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB Tìm tập hợp điểm P
Bài 5: (1,0 điểm)
Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,… (Số đứng sau được viết 48 vào giữa số đứng trước) Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính phương
HẾT ………
Trang 2phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
( Trường THCS Thanh Cao )
Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9
N¨m häc 2015 - 20 16
Bài 1: (6,0 điểm )
1 a ) Rút gọn
3 x
16 x P
+
+
= 2đ
b) Tính x=1 ∈ đkxđ Suy ra p=
4
17
1đ
c) Pmin=4 khi x=4 1đ
2 =7.25n + 19.6n – 7.6n 1đ =7.19.( ) + 19.6n 19 1đ Bài 2: (4,0 điểm)
1 Đặt x2 + 1 =t (t≥ 0 )phương trình đã cho trở thành
t2+3x=(x+3).t ⇔t=3 hoặc t=x 1đ +) Với t=3 => x=± 2 2
+) Với t=x => vô nghiệm 1đ
2 Từ x + y + z = 0 ⇒y + z = -x ⇒(y + z)5 = - x5
⇔y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 +5yz4+z5 = - x5
⇔( x5 + y5+ z5) + 5yz(y3 +2y2z + 2yz2 +z3) = 0
⇔( x5 + y5+ z5) + 5yz((y +z)(y2 – yz +z2)+2yz(y + z)) = 0 1đ
⇔( x5 + y5+ z5) + 5yz(y + z)( y2 + yz +z2)= 0
⇔( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + yz +z2)= 0
⇔2 ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)= 0
⇔2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)
⇔2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz(( y + z)2 + y2 +z2)
⇔2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( x2 + y2 +z2) ( đpcm) 1đ
Bài 3: (3,0 điểm)
1 ⇔20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3 0,5đ
⇔20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3 0,5đ
Ta thấy VT5 con VP không chia hết cho 5 nên pt vô nghiệm 0,5đ
y x c
z y x
x z b
z y x
z y
+
= + + +
+
= + + +
+
=
1
; 1
1
; 1
1
0,5đ
a= c x z y
x z
y b z y
x
+
= +
= + ; ; 0,5đ
) (
) ( ) (
) ( ) (
)
≥ +
− + +
− + +
−
y x xy
y x z x z xz
x z y z y yz
z y x
(luân đúng) Dấu “=” xảy ra khi x=y=z 0,5đ
Bài 4 (6,0 điểm)
Trang 3a/ Tính góc CMD=1800 => C, M, D thẳng hàng =>đpcm 2đ b/ AC+DB=AB không đổi 0,5đ AC.BD≤
4
) 2 (AC+BD 2 = AB2 (BĐT cosi) 0,5đ
=>(AC.BD)max =
4
2
AB
khi AC=BD ⇔H≡0⇔M chính giữa cung AB 1đ c/ Gọi K là giao của PI và AN
Vì IK//AM =>K là trung điểm của AN =<K cố định 1đ =>KB cố định =>P chuyển động trên dường tròn đường kính KB 1đ
Bài 5: (1,0 điểm)
Ta có:
A = 4.44 488 9= 9 + 8.10 + 8.102 +…+ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2…+4.102n+1
Ta viết 9 = 1+4+4 và 8 = 4+4 ta được:
A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102+…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1
= 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1)
= 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1) 0,5đ = 1+4
9
1
10n +1 −
+4
9
1
10 2n +2 −
=
9
4 10
4 4 10
.
4
=
9
1 10
4 10
.
=
2 1
n
3
1 10
.
2
Ta có: 2.10n+1+13 (Có tổng các chữ số chia hết cho 3) Nên số trong ngoặc tạo thành một số chính phương Suy ra A là số chính phương 0,5đ