Chu vi DEF Chu vi ∆ DEF có giá trị lớn nhất AD lớn nhất.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
Trường THCS Phương Trung
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2015 – 2016 Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
+
−
− +
−
=
2 2
2 :
1
3 1
3
x
x x
x
x x
x x
A
a Rút gọn A
b Tìm giá trị x khi A= x− 1
c Tính giá trị A khi 3 3
27
125 9 3 27
125 9
=
x
2 Cho n∈N* chứng minh rằng
n n n n
A= 2 + 11 − 2 2 − 3 2 chia hết cho 14 Câu 2: (4 điểm)
1 Giải phương trình
1000 8000
1 1000
x
2 Cho x> 0 ,y > 0 ,z > 0 và x+ 2y+ 3z≥ 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
z y x z y x
2
9
3 + + +
+ +
=
Câu 3: (4 điểm)
1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
xy y x y
x x
y2 + + + 1 = 2 + 2 2 + 2
2 Cho a, b, c > 0 chứng minh
b a
c a
c
b c
b
a a
c
c c b
b b a
a
+
+ +
+ +
<
+
+ +
+ +
Câu 4: (5 điểm)
Cho BC là 1 dây cung của (o) bán kính R ((BC ≠ 2R) Một điểm A di động trên
cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong ∆ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H
a, Chứng minh ∆AEF ∆ABC
b, Gọi A’ là trung điểm của BC
Chứng minh AH = 2 A’O
c, A1 là trung điểm của EF
Chứng minh RAA1 = AA’ OA’
d, Tìm vị trí điểm A để chu vi ∆DEF có giá trị lớn nhất
Câu 5: (1 điểm)
Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 dội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu 1:
6 đ
1
a, Rút gọn A:
1
4 +
=
x
x A
b, Tìm x / A = x − 1
5 4 9 4
1 1
1
+
x x
c, Tính được x= 1
2 2
4 =
=
A
2 điểm
1 điểm
1 điểm
2 A= 2n + 11n − 2 2n − 3 2n
n n n
=
7 : ) 7 7
(
).
2 9 ( ).
4 11
(
) 2 9 ( 4 11
C B
C B
n n n n
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
A là số chẵn
14
2
A
A
⇒
⇒
1 điểm
1 điểm
Câu 2:
4đ
1.Giải phương trình
1000 8000
1 1000
x
Đặt 1 + 8000x+ 1 = 2y
x y
y
y y x
y x
8000 4
4
1 4 4 8000 1
1 2 8000 1
2
2
=
−
+
−
= +
⇒
−
= +
⇒
x y
y2 − = 2000
⇒
Ta có
x y
y
y x
x
2000
2000 2
2
=
−
=
−
⇒ x y x y
(x−y)(x+ y+ 1999)= 0
Từ hệ phương trình suy ra
2001
2000 2 2
2 2
〉 +
= +
+
= +
− +
y x y x
y x y
x y x
y x
y x
y x
y x
=
⇒
=
−
⇒
>
+ +
⇒
>
+
⇒
0
0 1999 0
Ta được x2 −x= 2000x⇒x(x− 2001)= 0
0
=
x (Loại)
2001
=
x
Vậy phương trình có 1 nghiệm x= 2001
2điểm
Trang 3z y x z y x
2
9
3 + + +
+ +
=
+ + +
+ +
+ +
+
=
4
3 2 4
4 4
1 2
9 2
1 4
3
z
z y
y x
x
Áp dụng BĐT cô si
13
5 3 2 4
1 4
3 2 4
2
4 4
1
3 2
9 2
1
3
3 4
3
≥
⇒
≥ + +
= + +
≥ +
≥ +
≥ +
P
z y x z y x
z z
y y
x x
Min P = 13 x = 0
y = 3
z = 4
2 điểm
Câu 3 1.Tìm nghiệm nguyên
1 2
2
2 1
2
2
2 2
2
2 2 2
= + +
−
−
=
−
−
− + +
⇔
+ +
= + + + +
x y y x
y x x y xy y x
xy y x y
x x y
⇔ x− 1 = 1 hoặc x− 1 = − 1
− 2y2 +y+x= 1 − 2y2 +x+ y= − 1
( ) ( ) ( ); = 2 ; 1 ; 0 ; 1
⇒ x y
2.Áp dụng BĐT cô si
c b a
a c
b a
c b a
a c
b a
a c
b a c b a
c b a c b a
+ +
≥ +
⇒
+ +
≥ +
⇒ +
≤ + +
⇒
>
+
≥ + +
2
2 1
2
0 2
Tương tự
( )1 2 2
2
≥ +
+ +
+ +
⇒
+ +
≥ +
+ +
≥ +
b a
c a
c
b c
b a
c b a
c b
a c
c b a
b a
c b
2 điểm
1điểm
Trang 4K
c b a
c a b a a
c b a b a
bc c
b a
c a b a a
+ +
+
<
+
⇒
<
+ + +
−
= + +
+
−
Tương tự
c b a
b a c b
b
+ +
+
<
+
2
<
+
+ +
+ +
⇒
+ +
+
<
+
b a
c c b
b b a a
c b a
c b b a c
Từ (1)(2)
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c c b
b b a
a
+
+ +
+ +
<
+
+ +
+ +
⇒
1điểm
Câu 4
(5 đ)
1 Cos
AB
AE
A= , cos
AC
AF
A=
AC
AF AB
AE =
⇒
A chung
AEF
∆
⇒ ∆ABC (c.g.c)
0.5điểm
1 điểm
2.Kẻ đường kính AOK
KC
⇒ => BH // KC => BHCK là hình bình hành
BH ⊥AC
BK ⊥ AB => BK // CH
CH ⊥ AB
Nên BC ∩ HK tại trung điểm mỗi đường.
Có A’ là trung điểm của BC
A’ là trung điểm của HK
Vậy 3 điểm H, A’, K thẳng hàng
Xét ∆ AHK có O là trung điểm của AK
0.5 điểm
E C’
A1 B’
F O
H
Daaa A
Trang 5A’ là trung điểm của HK.
OA’ là đường trung bình => AH=2OA’
1điểm
3 4 điểm A, E, H, F ∈ 1 đường tròn đường kính AH
=> Bán kính là
2
1
AH = OA’ = r
∆ AEF ∆ ABC
=>
R
r
= '
AA
AA
=> R.AA 1 = AA’ r
R AA 1 = AA’ OA’
4 ∆ AEF ∆ ABC
=>
R
r
=
BC
EF
=> R EF = BC OA’ = 2 SBOC Chứng minh tương tự
∆ BDF ∆ BAC
=
R
OB'
AC
DF
=> R DF = AC OB’ = 2SOAC ∆ CDE ∆ CAB
=
R
OC'
AB
DE
=> R DE = OC’ AB = 2SBOA
SABC = SBOC + SAOB + SAOC
2 SABC = REF + R OF + R DE
=> 2 SABC = R ( EF + DF DE)
2 SABC = R Chu vi ∆ DEF
AD BC = R Chu vi DEF
Chu vi ∆ DEF có giá trị lớn nhất AD lớn nhất
( BC, R cố định)
AD lớn nhất A là trung điểm cung lớn AB
1điểm
1điểm
Câu 5 Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ
Có xy = 4 ( x+ y)
( x - 4) (y – 4 ) = 16 = 1.16 = 2 8 = 4.4
x – 4 = 1 x = 5
=> y – 4 = 16 => y = 20
x – 4 = 16 x = 20
y – 4 = 1 y = 5
1điểm
XÁC NHẬN CỦA BGH
Phạm Thị Kim Hoa
Tổ chuyên môn
Đỗ Thị Xuân
Người ra đề
Đỗ Thị Xuân