Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (11)

Gọi M là giao của AB và EF; N là giao của AE và BF.. Cho ABC nhọn.

Trang 1

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – TT KIM BÀI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

Năm học 2015-2016

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I: (6đ)

1 Tính giá trị của biểu thức:

3 3

: 1 1 2

1 1

xy y x

y y x x y x y x y x y x

A

































Với

2

15 8 2

15







x ; y 3 5  2 13  3 5  2 13

2 Tìm tất cả các số hữu tỉ x để

2

11 3





x

B là số nguyên

3 Cho các số thực x, y thỏa mãn 1 2 1 2 1





x

Tính giá trị biểu thức Cx2015 y2015

Câu II(4,5đ)

Giải các phương trình sau:









x x x x

x

b) 3 2 2 4 38





x

c)  2 1 4  1







x

x ( x,yZ )

Câu III(1,5đ)

Tìm GTNN của biểu thức    

 1 1

2 2 3 3











y x

y x y x

D trong đó x, y là số thực lớn hơn 1

Câu IV (8đ)

1) Cho (O) và (O/) ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và chung trong EF (

) ( , );

(

,E O B D O/

A   ) Gọi M là giao của AB và EF; N là giao của AE và BF Chứng minh

a) AOM  BMO/

b) AE  BF

c) O, N, O/ thẳng hàng

2 Cho ABC nhọn Chứng minh rằng Cos2A + Cos2B + Cos2C < 1

===Hết===

ĐÁP ÁN TOÁN 9

Câu 1: (6đ)

Trang 2

1 (2,5)

Đặt đk : x>0, y>0

y x xy

y x xy y xy x y x y x y x xy

y x A















































) (

) )(

( :

2

y x xy

y x y x xy

y x

xy

y x

xy xy

y

x



.

2

= x  xy y

Biến đổi

4

15 2 16 4

15 2







x

2

1 15 2

1







= 1























0

1 0 9

9 10

13 2 5

3 13 2 5

1 3 2

5

3

y

y y











1

0 10

1 2

y

y y

y

1

.

1

1 1





0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

2, ĐK x 0

B=

2

5 3

2

11

3







x x

x

là số nguyên

2

5





x là số nguyên

Lập luận 25

2

5





x

0,25 0,25 0,25

0,25

1

2

5







2

5





3, Ta có  2 1  2 1  1







x

y y

x

x     

Tương tự y2  1  y x2  1 x

0,25 0,25

Trang 3

y x y

x y x y

x           

0

)

(

0

0     





0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 2:(4,5đ)

1 (1,5đ)

ĐK 











0 0

2 2

x x x x

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có

2

1 2

1 1

1

.

2 2























x

Dấu “ =” xảy ra 













1 1

2 2

x x x x

 xo

2, (1,5đ)

3 2 2 4 38





x

 3x3  6x2  12x 8  0

 6 12 8 0

4 3  3  2   

4  

2

4

3





3 4

1

2





3 (1,5đ)

 3 21 41 412 4 1

2















y y x

x

y y x

x

1 2 1



Đặt d = ƯCLN  1 , 2 1



 x x



d= 1

1



 x và x2  1 là các số chính phương  x2 1 k 2 ((k  Z)

 ,   0 , 0   ; 0 , 1 

0 1

1 1









    



















y

x

x x

k x k

x k x k x

k x

k

Câu III Biến đổi 21 21









x

y y

x D

Do x >1, y >1  x 1  0 ,y 1  0

Áp dụng BĐT Cô si ta có  21.  1

y x

xy D

Theo BĐT Cô si ta có

   

2 2

1 1 1

1

x      

   

2 2

1 1 1

1

y      

2







y x

xy D

D = 8 

















1 1

1 ,

2 2

x

x y y

x y x









2 2

y x

0,25

0,75 0,5

0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Trang 4

Vậy Min D = 8  x 2 ,y 2

Câu IV.

a) AOM  BMO/

Vì AOM = BMO/ (cùng phụ với OMA)

b) MOAE, MO/  BF, MO MO/  AEBF

c) OIN   OMO/ : vì AI và BK là hai đường cao tương ứng của hai 

đồng dạng AOM và BMO/ (câu a)

/

MO

MK

OM

OI



IN OM

OI



 /

OMO OIN  



/

ˆ

ˆN M O O

O

  O,N,O/ thẳng hàng

2)

Kẻ 3 đường cao AD, BE, CF

AEB  AFC(g.g)

AC

AF AB

AE AC

AB

AF

AE









ABC



0,25

0,75 1đ

0,5 0,5đ

0,25

B

O

O’

I

N K

F E

A

C

E F

Trang 5

A Cos AB

AE

S

ABC



















Tương tự Cos B

S

ABC

BDF 2

ABC

CDE

S

C Cos2

1

2 2

2











ABC

CDE BDF AEF

S

S S S C Cos B Cos

A

Cos

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5đ

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	218 KB