Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm I.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9
Môn : Toán Năm học : 2015-2016
Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm)
1,Cho biểu thức: K = + + −
−
+
−
− +
+ +
1
1 1
1 : 1 2
2 3
x x
x
x x x
x
x x
a/ Rút Gọn K
b/ Tính giá trị của biểu thức K khi x = 24+ 5− 3− 29 12 5− .
c / Tìm x để : 1 − x8+1≥1
K
2,Cho các số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện
2
3 1
1
1−y2 +y −z2 +z −x2 =
2
3 2 2
2 +y +z =
x
Bài 2: (4điểm) a ) Giải phương trình 7−x + x+1=x2 −6x+13
b )Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn : a + b +c = a + b + c =2
Chứng minh rằng :
) 1 )(
1 )(
1 (
2 1
1
c b
b a
a
+ + +
= +
+ +
+ +
Bài 3: (3điểm)
a)
Tìm GTNN của x 2 y 2 z 2
A
biết x, y, z > 0 ,
xy + yz + zx 1 =
+ + + với a, b, c > 0
Bài 4:(6 điểm).Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R>r) Dựng tiếp tuyến
chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E
a) Chứng minh tam giác ABC vuôngtại A
b) OE cắt AB tại N ; IE cắt AC tại F Chứng minh N;E;F; A cùng nằm trên một đường tròn
c) ChứngtỏBC2 =4Rr
Tính diện tích tứ giác BCIO theo R ;r
Bài5: (1 điểm )Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
xy2 + 2xy – 243y + x = 0
Trang 2
-Hết -(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG
Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9
N¨m häc 2015- 2016 M«n thi : To¸n
Bài 1
(6đ)
1.(4đ)
a)(2đ)
b)(1 đ)
c )(1đ
)
2)(2đ)
a, Với x≥0 , x≠ 1 ta có:
K =
x
x
2
1 +
b,Ta có :
x = 24+
= 24+
= 24+
= 24+
= 25 Thay x = 25 vào K ta có:
K =
5
3 25 2
1 25
= +
0 ) 1 (
8
9 6
0 1 8
1 1
2 1 8
1 1
≥ +
− +
−
⇔
≥
−
+
− +
⇔
≥
+
−
x
x x
x x
x x
K
(*) Do : 8 ( x + 1 ) ≥ 0 ∀xnên (*)
0 ) 3 (
0 ) 3
−
9 3
0 ) 3
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có
2
3 2
1
2
1 2
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
=
− + +
+
− + +
− +
≤
− +
− +
−
x z
z y
y x
x z
z y y x
1 1 1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
dpcm x
z
z y
y x
x z
z y
y x
⇒
−
=
−
=
−
=
⇔
−
=
−
=
−
=
0,5 0,75
0,75
0,5
0,75
0,75
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 3Bài 2
(4đ)
Bài 3
(3đ)
a,(2đ)
b(2đ)
a, ĐK: −1≤ x≤7 Ápdụng BĐT Bunyakovsky tacó
4 1 7
16 ) 1 7
( 2 ) 1 7
) lạicóx2 −6x+13=(x−3)2 +4≥4
0 3
1 7
=
⇔
=
−
+
=
−
x
x x
b) Đặtx = a;y = b;z = c thì
1 2
2 2 ) (
2
2 2
2 2 2
= + +
⇒
=
−
= + +
⇒
= + +
= + +
zx yz xy zx
yz xy
z y x z y x
Do đó :
) )(
( 1
) )(
( 1
) )(
( 1
2 2 2
y z x z z zx yz xy c
x y z y y zx yz xy b
z x y x x zx yz xy a
+ +
= + + +
= +
+ +
= + + +
= +
+ +
= + + +
= +
Vìvậy
) 1 )(
1 )(
1 (
2 )
)(
)(
(
) (
2
) )(
( ) )(
( ) )(
( 1
1 1
c b a x
z z y y x
zx yz xy
y z x z
z x
y z y
y z
x y x
x c
c b
b a
a
+ + +
= + +
+
+ +
=
+ +
+ + +
+ + +
= +
+ +
+ +
0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
a(1,5đ
)
b(1,5)
a :
+ +
Cauchy :
min A = 1
2
1
x y z
3
b )Theo bấtđẳngthức Cauchy :
0,5
0,5 0,5
0,5
Trang 4Bài 4
(6đ)
+ ≤ + + = + +
Do đó : a 2a
b c a b c + ≥ + + Tươngtự :
a c a b c + ≥ + + a b a b c + ≥ + +
+ +
Xảyradấuđẳngthức :
a b c
c a b
= +
= + ⇒ + + =
= +
, tráivớigiảthiết
a, b, c > 0
Vậydấuđẳngthứckhôngxảyra
0,5
0,5
a(1,5đ
)
b(1,5đ
)
Hìnhvẽ
B E C
N F
O A I
a )Ta có : BE và AE là 2 tiếptuyếncắtnhau⇒AE = BE Tươngtự ta có AE =EC ⇒AE BE EC BC
2
1
=
=
=
⇒ tam giác ABC vuông tai A
b) Theo tínhchất 2 tiếptuyếncắtnhauthì EO làphângiáccủa tam giáccân AEB ⇒OE làtrungtrực AB hay
0 90
=
⇔
⊥ AB ENA∧ OE
TươngtựEÈA∧ =900
MàNAF∧ =900 ⇒tứgiác FANE là hìnhchữnhật
4 điểm F ;A ; N ;E cùngnằmtrênđườngtròn
c )tứgiác FANE là hìnhchữnhật
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
Trang 5Bài 5
1đ
c(1,5)
d(1,5)
OEI
∆
Ápdụnghệthứclượngtrongtamgiácvuông ta cóAE2 =OA.AI
4
;
; 2
2
2
=
⇔
=
⇒
=
=
= d/SBCIO=? Ta cótứgiác BCIO là hìnhthangvuông
⇒SBCIO=OB+IC×BC
2
⇒S=
2
) (r+R rR
Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = 0 ⇔x(y + 1)2 = 243y (1)
Từ (1) vớichú ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1)2làướccủa 243
Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5