Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (8)

a Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.. b Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định.. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ n

phßng Gd & §t Thanh oai

TRƯỜNG THCS KIM THƯ

( Đề gồm 01trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

Môn : Toán Năm học : 2015-2016

Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức:

1 ( 2 5 1 ) : 1

4 1

A

x





a/ Rút gọn A

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên

2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3  2 2 + 3 3  2 2

Bài 2: (4đ)

a) Cho ba số dương x y z, , thoả mãn 1 1 1 1.

x  y  z  Chứng minh rằng:

x yz  y zx  z xy  xyz  x  y  z

b)Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2  n 6 là số chính phương

Bài 3 : (4đ)

a , Giải phương trình :

3x2  4x 10 2 14  x2  7

b, Tìm nghiệm của phương trình:

x2+ 2y2 + 2xy + 3y - 4 =0

Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một

điểm M di động trên đường thẳng d  OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với

đường tròn (B,C là tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K

a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố

định

b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định

c) Cho biết OA= 2R Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC

nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5 ( 1.0 đ):T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn dư¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b - 1

( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

Thanh oai

TRƯỜNG THCS KIM THƯ

HƯỚNG dÉn chÊm thi häc sinh giái líp9

N¨m häc 2015 - 2016 M«n thi : To¸n

Bài 1

(5đ)

1a)

(2đ)

a/(2đ)Cho biểu thức

x

1

4

A=

:



A=1-4 2 5 2 1 (2. 1)2

0,25 0,5

0,5 0,75

1b)

(1đ)

Ta có : b/(2đ) Tìm xZđể A nguyên

2

1 2

1 2

x

Do x 0;x 1;x Z  x 0

Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên

0,5 0,5

2.(2đ)

Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), Đặt a=3 3  2 2 , b=3 3  2 2

Ta có

 x= a+b  x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)

=> x3 = 6 + 3x  x3- 3x = 6 Suy ra B = 2006

0,5 0,5 0,25

0,25 0,5

Bài 2

(4đ)

a)(2đ) Bất đẳng thức đã cho tương đương với

a bc  b ca  c ab   ab bc  ca

với a 1,b 1, c 1, a b c 1.

Tacó : a bc  a a b c(   )bc

Tương tự: b ca b   ca c ab c;    ab

Từ đó ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi x y z  3.

0,75

0,75 0,5

A n  n là số chớnh phương nờn A cú dạng





(Vỡ 23 là số nguyờn tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)

Vậy với n = 5 thỡ A là số chớnh phương

0,5 0,5

0,5 0,5

Bài 3

(4đ)

a)(2đ)

b)(2đ)

a) Giải pt sau: 3x2 4x10 2 14 x2  7 ĐKXĐ:

2

2

x

x

















Ta cú: (1) 3x24x10 2 7 2  x2  1 0  x24x42x2  1 2 2x2  1 7 7 0   2  2 2

2

2

2 0

2 2

x x

x x





 



 (TMĐK)

Vậy PT cú nghiệm là: x = -2 b)

Biến đổi phương trình

x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4=0  (y+4)(y-1) =-(x+y)2

0  - 4 y1 vì y thuộc Z nên y

 4 ;  3 ;  2 ;  1 ; 0 ; 1



ĐS sáu cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là

(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)

0,25

0,25

0,75

0,75 0,5 0,25

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 4

(5đ)

Vẽ

hình

(0,25)

a)(2đ)

b)(1đ)

c)

(1,75)

a  HOK   AOM

 OA OK  OH OM

 vBOM có OB2 = OH OM

OA

R OK

 K là điểm cố định

b

H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định

c

BC OM 2

1 BH OM S

2

Smin  OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất

 M  A , BC  OK  H  K  M  A

3 R

min 

0,25

0,5 0,5 0,5 0,5 1đ

0,5 0,5 0,5 0,25

Bài 5

(1đ)

Bµi 5: (1®)

x  xy  y x  xy  x xy  x y xy   2(x y xy) 2

§Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi k Z

NêuT×m được x=4 ; y=3 Nếu k 2  2(x y ) 2(  xy 2)  x y xy    2 (x 1)(y 1) 1 0   v«

lÝ (lo¹i) VËy x=4 y=3

0,25 0,5 0,25

A

B

O

H K C

M d

( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )