b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.. d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900.. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM AN
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
ĐỀ BÀI Câu 1 (6 điểm)
4 3 2 3
3 8
3 3
4 6
x x
x
x x
x
3 3
1
3 3
a, Rút gọn P
b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 (4 điểm)
a, Giải phương trình:
x + 2 x 3 = x + 4
b, Cho 00 < < 900 và sin + cos
5
7
Tính tan
Câu 3 (3 điểm)
a, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn biểu thức a + b + c = 1
Chứng minh rằng: abc bac cab 2
b, Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của A x x 5x
1
Câu 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC có A 1v, kẻ đường cao AH (H thuộc BC)
Vẽ đường tròn ( I; AH2 ) nó cắt AB tại P và AC tại Q Qua P và Q vẽ hai tiếp
tuyến với đường tròn ( I;
2
AH
), chúng cắt BC lần lượt tại E và F
Chứng minh rằng:
a, PE// QF
b, AB AP = AQ AC
c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm Tính EF
d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900 Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức:
2012x2015 + 2013y2018 = 2015
Hết
-Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường
Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy
ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9
Trang 2Năm học: 2015 – 2016
1
4 3 2 3
3 8
3 3
4 6
x x
x
x x
x
3 3
1
3 3
đk:
3 0
x x
P =
4 3 2 3
3 8
3
4 6
3
x x
x x
x
x x
x
3 3
1
3
2 3 3 4 6
x x
x
x x x
x x
x x x
3 3
1
3 3 1 3 1
P = 3 23 2 3 4
3 2 3 4 6
x x
x
x x
x
(1 - 3x + 3x - 3x )
P = 3 23 2 3 4
4 3 2 3
x x
x
x x
(3x - 2 3x + 1)
P = 3 2
1
x ( 3x - 1)2
2 3
1
x x
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Ta có P
2 3
1
x
2 3
1 2 3 2 2
x
x x
P = ( 3x- 2) + 2 + 31 2
x
P = 3x + 31 2
x
Để P có giá trị nguyên thì
U x
Z n n x
) 1 ( 2 3
) (
3 2
(2)
Từ (2) có
1 2 3
1 2 3
x
x
1 3
3 3
x
x
) ( 3 1
) ( 3
loai x
TM x
Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0.5đ
0,5đ 0,5đ
2
(4 điểm)
a, Giải phương trình:
x + 2 x 3 = x + 4 điều kiện: x -3
2 x 4 x 3 = 2x + 8
2x + 8 - 2 x 4 x 3 = 0
(x - 2 x+ 1) + x + 3 - 4 x 3 + 4 = 0
2 2
2 3
0 2 3 0 1
2 2
x x
0 2 3 0 1
x x
x=1 (thỏa mãn)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ
b, b, Cho 00 < < 900 và sin + cos
5 7
Tính tan
Trang 3Vì sin + cos
5
7
cos
5
7
Mà sin 2 cos 2 1
5
2
5
14 25
50 cos 2 7 cos 24 0
25 cos 2 35 cos 12 0
25 cos 2 20 cos 15 cos 12 0
(5cos - 4) (5cos - 3) = 0
5
3 cos
5
4 cos
5
4 sin
5
3 sin
3
4 tan
4
3 tan
Vậy tan 43 nếu cos 54 và sin 53
Hoặc tan 34 nếu cos 53 và sin 54
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,75đ
0,25đ
0,25đ
3
(3 điểm)
a, Ta có: abc a 1 bc a(abc) bc (ab)(ac)
Tương tự: bac (ba)(bc) và cab (ca)(cb)
2
1 ) )(
(ab ac abac
2
1 ) )(
(ba bc babc
2
1 ) )(
(ca cb cacb
2
1
bc b ac c ab a b c a b c a
Dấu (=) xảy ra khi
b c
a c
c b
a b
c a
b a
c b
a
= b = c =
3 1
0,25đ 0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
b, Ta có: 0 < x < 1 1 – x > 0
Và A x x x x x 5 5x x 5x
1
5 1
1
5 ) 1 ( 5
x
x x
x x
x x
x x
x A
1 2 ) 1 ( 5
x x
x x
x x
x
Do đó: A 2 5 5 Dấu (=) xảy ra khi
x x x x x
) 1 ( 5 1 1
Kết luận: giá trị nhỏ nhất của A là (5 + 2 5) khi x =
4
5
5
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
Trang 40,5đ 4
(6 điểm)
Vẽ hình đúng được 0,25điểm
A
Q
I
P
B
a, Chứng minh được: E H F C
+) P, I, Q thẳng hàng
+) PE, QF cùng vuông góc với PQ
0,5đ 0,75đ
b, +) APHQ là hình chữ nhật
+) góc BAH bằng góc C
+) góc APQ bằng góc BAH
+) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g)
0,5đ 0,25d 0,25đ 0,5đ
c, +) Tính BC = 13cm
+) E là trung điểm của BH; F là trung điểm của HC
+) EF = 21 BC = 6,5cm
0,5đ 0,5đ 0,5đ
d, Kẻ AKPQ ta có SAPQ= 21 AK PQ = 21 AK AH
Vì AK
2
1
AH nên SAPQ
4
1
AH2 SAPQ lớn nhất AH lớn nhất AH là trung tuyến của ABC ABC là vuông cân
tại A
0,5đ 0,5đ 0,5đ 5
(1 điểm)
Ta có với mọi x thì 2012x2015 4 nên là số chẵn
+) Nếu y là số chẵn thì 2013.y2018 là số chẵn, vì y2018 là số chẵn
Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) là số chẵn
mà 2015 Là số lẻ (vô lí)
+) Nếu y là số lẻ thì y1009 là số lẻ
Do đó chọn y1009 = (2n+1) (nZ )
Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1)
= 4 2013 (n2 +n) +2013
Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho 4 dư 1
Còn số 2015 chia cho 4 dư 3 (vô lí)
Vậy không có số nguyên x, y nào mà
2012x2015 2013.y2018 = 2015
0,25đ
0,25đ 0,5đ
I K