Chinh phục hình học giải tích oxy

 Đến đây, chúng ta sẽ phải suy luận để ra được MẤU CHỐT BÀI TOÁN LÀ THẤY ĐƯỢC HA=HK … một cách để xác định ta đã biết như: kẻ hình chính xác rồi mình dùng thước đó cách này cũng hện xu

1

CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXY do GIA ĐÌNH LOVEBOOK biên soạn

Đội ngũ anh em tham gia: Nguyễn Anh Văn, Lê Hoàng Nam, Nguyễn Hà Ngọc Thiện, Hoàng Thị Ngọc Ánh, Nguyễn Ngọc Huyền, Bùi Quang Nhật

Phiên bản 2.0 có thêm sự tham gia của đệ Nguyễn Đình Huynh

Đặt trước sách Lovebook phiên bản 2.0: https://goo.gl/XeHwk5

Giải đáp các thắc mắc trong sách Lovebook: http://goo.gl/A7Dzl0

Tài liệu Lovebook chọn lọc:http://goo.gl/nU0Fze

Kênh bài giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w

Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG

NHÌN LẠI CÂU HÌNH HỌC PHẲNG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2015-VÀ CUỐN CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐÃ GIÚP

GÌ CHO CÁC BẠN

Câu 8: [Đề thi quốc gia 2015] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử H(-5;-5), K(9;-3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x-y+10=0 Tìm tọa độ điểm A

Bình luận: Chắc nhiều bạn cũng đã làm và tìm lời giải cho bài toán này rồi đúng không nào  Bài viết này mình xin giới đến các bạn 1 cách mà theo quan sát các tài liệu trên mạng của mình thì chưa ai trình bày này theo hướng này Nào let’s go ;)

Chúng ta sẽ phác thảo hình vẽ nhé:

Phân tích:

 Trước tiên, ta vẽ hình một cách chuẩn xác và đi từ dữ kiện nhỏ nhất, dễ thấy nhất Đó chính là tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH Từ các dữ kiện này, ta có thể suy ra tích vô hướng giữa các vecto tương ứng bằng 0, rất dễ để suy ra một phương trình nhưng nó có hiệu quả hay không thì còn phải cân nhắc Tiếp theo, D là điểm đối xứng của B qua H, ta dễ suy ra tam giác ABD có đường cao AH đồng thời

là trung tuyến, suy ra tam giác ABD cân tại A, từ đó ta lại có thêm các giả thiết về cạnh và góc bằng nhau

 Tiếp theo, một dữ kiện khó nhìn hơn, nhưng thực ra lại là mấu chốt, đó chính là các góc vuông ở giả thiết Cạnh AC được điểm H nhìn dưới một góc vuông, và điểm K cũng nhìn cạnh AC dưới góc vuông như vậy, theo giả thiết Từ đây rất dễ nhận thấy AHKC là tứ giác nội tiếp, tuy nhiên, ta phải cân nhắc

3

dùng tính chất nào Gọi M là trung điểm của AC, dễ thấy ngay M chính là tâm đường tròn nội tiếp ấy Điểm M ấy hoàn toàn có thể tìm ra nhờ việc xâu chuỗi các giả thiết của đề bài Tham số hóa điểm M, ta được một phương trình, lại có MH=MK nên M thuộc đường trung trực của HK, ta có một phương trình nữa Giải hệ vừa lập được, ta có ngay tọa độ điểm M

 Đến đây, chúng ta sẽ phải suy luận để ra được MẤU CHỐT BÀI TOÁN LÀ THẤY ĐƯỢC HA=HK … một cách để xác định ta đã biết như: kẻ hình chính xác rồi mình dùng thước đó ( cách này cũng hện xui :D vì không có tính logic gì hết), Còn khác nữa như các đáp án mà các bạn đọc đó là kiểu suy luận:HKA HCA

 Minh tin chắc khi các bạn biết đến đinh lý này thì bài toán này rất dễ:

Tính chất quen thuộc ai cũng để ý : 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì 2 góc đó bằng nhau Nhưng các bạn có để ý đến : 2 góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung khác nhau thì 2 cung đó bằng nhau VD:

BAD DAC BD DC

2 định lý có trong sách giáo khoa lớp 9 đó 

Như vậy giả sử bạn biết tính chất số 2 mình nói thì áp dụng vào bài này luôn nha

Khi gặp tam giác vuông này các bạn cũng rất quen thuốc với dữ kiện BAH BCA

Dữ kiện tam giác BAC cân sẽ dễ dàng đưa ta đến suy nghĩ BAH HAK

Từ 2 dữ kiên trên ta có HAK ACH HAK chắn HK, HCA chắn cung AH nên ta có AH=HK Bài toán coi như được giải quyết

C

B

A

H

Cuốn CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH nhóm mình viết đã đưa tính chất này vào phần lí thuyết của cuốn sách

Và nếu bạn đọc rồi , nhóm đã sử dụng tích chất này để giải quyết 1 bài toán toán tương tự, đó là bài toán 1 – phần bài tập lớn trang 246 phiên bản 1.0 Rất vui khi nhiều bạn sau khi thi xong đã gửu lời cảm ơn đến nhóm tác giả vì đã giúp các bạn đó giải quyết bài này 1 cách dễ dàng

Điều muốn nói ở đây là gì ? sẽ rất nguy hiểm nếu các bạn không biết đến tính chất này mặc dù đây là một kết quả không cần chứng minh, nó đúng trong mọi trường hợp (SGK lớp 9) Theo đáp án thì cái này các bạn phải chứng minh… như vậy nếu gặp bài toán toán biến đổi cái hình đi thì các bạn lại không biêt đường mà

sử dụng lại phải mò cách suy luân để ra – nó là rất khó

Trích câu 1 trang 246

Bài 1: Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC cóA 4;3 , đường phân giác trong góc A có phương trình   x – y –1=0

và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I  

32;

2 Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC gấp 2 lần diện tích tam giác IBC

y =2

5

XIN MỜI CÁC EM THAM KHẢO TRÍCH ĐOẠN CUỐN SÁCH CỦA NHÓM PHIÊN BẢN 2.0

PHẦN 2.TỪ BÀI TOÁN GỐC HÌNH HỌC PHẲNG ĐẾN BÀI TOÁN GIẢI TÍCH

PHẲNG

Bài toán gốc 2:

Cho hình chữ nhật ABCD có K là trung điểm của CD Gọi H M, lần lượt là hình chiếu của B

trên AC và trung điểm của AH Chứng minh rằng BM MK.

Chứng minh

Gọi E là trung điểm của HB suy ra ME là đường trung bình trong HAB nên

ME AB KCAB

Ta có điều phải chứng minh

 Nhận xét: trong bài toán gốc này, ta không chú trọng vào một tính chất nào mà sẽ phải biển đổi dựa trên kết quả gốc Để hiểu rõ hơn thì chúng ta sẽ đến với một số bài toán sau

Bài toán 2.1

Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B C, lần lượt thuộc d 2x y 2 0 d x y 5 01:    , 2:    Gọi H

là hình chiếu của B xuống AC Biết M 9 2 K 9 2 

5 5; , ,

  lần lượt là trung điểm của AH và CD

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết điểm C có hoành độ lớn hơn 4

 Phân tích

Giả thiết của bài toán đề cập xoay quanh các điểm là

M K B C, , , Sau khi vẽ hình xong, việc mà chắc hẳn

chúng ta thường làm là sẽ tìm ba điểm nào đó có mối

quan hệ đặc biệt với nhau Bằng cách áp thước thật

chính xác, chúng ta sẽ nhận ra được BM MK. Khi

chúng ta xác định đươc điều này, không hẳn một mực

là tin đó là tính chất Dựa trên giả thiết bài toán, hai

điểm đã cho sẵn là M K, Hơn nữa điểm còn lại chính là

một phần của yêu cầu bài toán Khi đó thì chúng ta mới

thừa nhận để sử dụng tính chất này Sau khi công đoạn

đầu xong xuối, chúng ta tìm cách để chứng minh được

tính chất trên Thật là khó nếu cứ nguyên si hình mà ta chứng minh Bằng cách nào đó thì chúng ta nên tạo thêm một điểm đặc biệt có ích Chúng ta nên xuất phát từ chính điều cần chứng minh, BM MK. Một lời khuyên

là ta nên tạo thêm điểm sao cho xuất hiện một đường khác cũng vuông góc với BM hoặc MK Mà bài toán đã cho hai điểm M K, là trung điểm, ta cần đường song song, vậy nên chọn MK là thích hợp hơn để dễ kẻ đường song song Bây giờ công việc dẫn dắt đến là tìm một đường song song với MK Ta mạnh dạn dê thước từ từ vói phương trình với phương của đường MK và và dừng lại tại một điểm cố định nào đó Kĩ năng của việc này là sau khi kẻ, điểm mới được tại sẽ lại có một mối liên hệ nào với điểm cho sẵn, để thuận tiện việc chứng minh Chọn điểm C để bắt đầu vẽ Ta kẻ đường thẳng qua C song song với MK Lấy giao điểm với cạnh BH tại E Theo cách dực ta có nhận xét BE MC và CE BH suy ra E là trực tâm của tam giác MBC Từ đó suy ra là trung điểm của BH Đây là mục đích chính của chúng ta, tìm bản chất của điểm cần dựng thêm Và đi ngược từ dưới lên trên, ta sẽ chứng minh được Bây giờ tính đi tìm các điểm còn lại Còn một giả thiết chưa đụng đến là điều kiện tọa độ điểm C Vì vậy ta sẽ nhắm tới điểm C trước Một suy nghĩ nhanh nhẹn là có điều kiện thì sẽ có hai nghiệm để loại Với điểm M nằm trơ như vậy thì không lợi dụng được gì rồi Còn lại hai điềm B K, Lại có

BC.CK0 nên việc tìm C coi như xong Kế đến, xét với M là trung điểm AH nên việc tìm H sẽ giúp được tìm

A Mà BH MC nên coi như xong việc tìm H , kế đó tìm được A qua tâm hình chữ nhật tìm được D

Lời giải:

Gọi E là trung điểm của HB suy ra ME là đường trung bình trong HAB nên

ME AB KCAB

Phương trình đường thẳng BM qua M vuông góc MK là 9x 2y 85 0.  

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 9x 2y 85 0 x 1 B 1 4 

7

13x

  là trung điểm của HC Biết đỉnh D 2 2 ; và điểm B thuộc d x 2y 4 0:    Tìm tọa

độ các đỉnh của hình thang ABCD

 Phân tích

Đọc qua đề bài toán, chúng ta tính ý sẽ nhận ra

câu văn có sự quen thuộc, chỉ khác đây là hình

thang với điều kiện độ dài hai đáy? Phần thiếu là

phần lo, chúng ta cứ liều mà nối thêm vào cho

trọng vẹn một hình chữ nhật xem? Dựng hình chữ

nhật ADCE, vẽ các điểm như giả thiết đưa ra

Thật tuyệt vời! Bài toán không hề có sự thay đổi

gì nhiều ngoại trừ cắt xén phần thừa ra Đến đây

các bạn có thể yên tâm mà chiến đấu với nó Tuy

vậy với các bạn còn xa lạ với bài toán này, ở đây

chúng ta cùng nghĩ thêm một phương pháp mới,

phương pháp TỌA ĐỘ HÓA Về phương pháp này

thì chỉ nên áp dụng cho những bài toán có tính đối

xứng hoặc có giả thiets đặc biệt Ta thường chọn ba điểm để làm gốc Do đây là hình thang vuông tại A và D nên ta sẽ chọn điểm A hoặc D làm gốc, và từ đó biểu diễn các điểm còn lại theo ẩn và thực hiện các phép toán chứng minh Một điều cần lưu ý thêm ở bài toán với hình thang có tỉ lệ độ dài hai cạnh đáy đó là việc ứng dụng định lí Thales để xây dựng qun hệ tọa độ Xét IB IA AB 1

ID IC CD 2   , đây cũng sẽ là một tính chất được ứng dụng nhiều Sau khi chứng minh được DM MB ta sẽ tìm được tọa độ B , áp dụng công thức ID 2IB tọa độ I Viết phương trình DH và AC ta tìm được H suy ra tọa độ C và A

Phương trình đường thẳng AC ax cy ac 0:    . Phương trình DH: cx ay 0.

Tọa độ điểm H thỏa:

Phương trình đường thẳng BM qua M vuông góc với MD là 3x y 16 0.  

Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ 3x y 16 0 x 4 B 4 4 

Phương trình AC qua I và M là x 2y 10 0.   Phương trình DH 2x y 2 0:   

Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ

14x

Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với I IA, 

Do BEC CFB 90   tứ giác BFEC nội tiếp suy ra

AFE ECB (do cùng bù với BFE )

Mặt khác ta có xAB ACB (cùng chắn AB ) nên suy ra

xAB AFE suy ra Ax EF

Mà Ax IA nên IA EF.

Hay ta có điều phải chứng minh

Bài toán 3.1

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  C x: 2y25 Đường thẳng AC đi qua K 2 1 ;

Kẻ hai đường cao BM và CN Biết phương trình MN 4x 3y 10 0:    và hoành độ A dương

Tìm tọa độ các điểm A B C, ,

9

 Phân tích

Đọc xong bài toán, bước đầu là nhắm đến xem tìm được cái gì

trước Bây giờ mà lấy giao điểm của MN và đường tròn  C thì

tạo ra hai điểm không liên quan gì cả Vì vậy ta cần lồng ghép

các giả thiết với nhau Từ phương trình đường tròn, ta có được

 

O 0 0; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo tư duy

tức thời thì có một điểm, một phương trình đường thẳng ta sẽ

cố gằng tìm ra được hai đường thẳng vuông góc hoặc song song

với đường thẳng MN Từ phương của đường MN , cầm thước

rà theo phương vuông góc với MN , ta sẽ phát hiện được mối

liên hệ MN IA. Nếu muốn thử lại thì có thể vẽ một hình vẽ

khác để kiểm chứng, vẫn thấy đúng Vậy chúng ta bắt tay vào để

chứng minh Nhẩm lại các phương pháp chứng minh hai đường

thẳng vuông góc, ta có thể chứng minh một đường song song

với một đường khác cũng vuông góc với đường IA Theo “hình địa”, ta thấy IA là bán kính của đường tròn, vậy nên cách đơn giản nhất để tìm ra một đường vuông góc với IA là kẻ tiếp tuyến Ax với  C tai A Ta hướng mục đích tới chứng minh MN Ax Phản xạ đầu tiên là cố gắng chứng minh ANM NAx , đây là hai góc so le trong, cứ để im thì không có manh mối gì cả Bây giờ ta cần một “cầu nối” bắc trung gian giữa hai góc trên Ta

có nhận xét NAx ABC (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp) Vậy để xem liệu ANM ACB? Vì hai góc ở vị trí khá là xa lạ, ta lại tiếp tục dùng một “cầu nối” để khẳng định chúng Bằng việc quan sát hình vẽ, kết hợp tứ giác BNMC nội tiếp, ta có thêm một nhận xét ACB BNM 180 ANM BNM 180  ,   ACB ANM Công việc chứng minh đã hoàn tất Sau đó, ta vẽ viết được phương trình IA Do giả thiết đưa ra điều kiện của A nên dễ dàng chúng ta loại được nghiệm Để ý một giả thiết còn sót lại là điểm K , thường thì cho ra các điểm có tính chất như thế này để ta có thể viết được phương trình chứa nó Do A có sẵn nên ta viết được phương trình AC, từ đó tìm được tọa độ C Yêu cầu bài toán còn lại điểm B Ta sẽ viết phương trình BM qua M vuông góc với AC Lấy giao điểm với  C ta tìm được

B Phát sinh thêm một điều là ra hai điểm B Để xem giả thiết còn cái gì ta chưa dùng? Đây là một điều rất dễ

bỏ qua mà không để ý, đó chính là tam giác ABC nhọn, ta chỉ cần xét BA BC là sẽ phân biệt được

Lời giải:

Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với I IA,  Đường tròn  C tâm O 0 0 ; , bán kính R 5

Do BMC CNB 90   tứ giác BNMC nội tiếp suy ra ANM MCB (do cùng bù với BNM )

Mặt khác ta có xAB ACB (cùng chắn AB ) nên suy ra xAB ANM suy ra Ax MN

Mà Ax IA nên IA MN.

Phương trình đường thẳng IA qua I vuông góc với MN là 3x 4y 0. 

Tọa độ điểm A thỏa mãn

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: x 3y 5 02 2 x 5 x 4 C 5 0 

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: x 3y 5 0 x 1 M 1 2 

Phương trình đường thẳng BM qua M vuông góc với AC là 3x y 5 0.  

Với B 0 5 ; BA BC    40 0 B tù, loại trường hợp này

Với B 3 4  ;  BA BC 20 0   B nhọn, thỏa mãn, suy ra B 3 4 ; 

Đọc xong bài toán, giọng điệu bài toán nghe quen quen, khi đọc

bài toán lần thứ hai, chắc hẳn chúng ta sẽ thấy ngay sự quen

thuộc của nó Không quá lâu để nhớ lại tính chất IA FE. Coi như

một phần của bài toán đã trở nên nhẹ nhõm đi Nhưng nhìn lại

thì thấy tính chất này vẫn chưa có tác dụng cho lắm Đọc thêm

giả thiết diện tích và độ dài, bài cho ra ắt hẳn sẽ có liên quan đến

nhau Để ý tiếp là EF IA, là đường chéo của tứ giác AEIF Ta đi

tìm một mối liên hệ giữa chúng Một công thức quen thuộc của

diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau

2 .

 Từ đó suy ra độ dài IA R và viết được phương

trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Thật may mắn là đã

có phương trình BC, đặc biệt còn hơn là điều kiện tọa độ điểm

C Hướng đi của chúng ta là hoàn toàn hợp lí Yêu cầu của bài toán là tìm điểm A Còn một giả thiết chưa dùng đến đó là điểm K Có C K; ta viết được phương trình AC, lấy giao điểm với I IA,  ta sẽ suy ra được tọa độ A Xét thấy không có điều kiện thêm, ta kết thúc bài toán

Lời giải:

Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với I IA, 

Do BEC CFB 90   tứ giác BFEC nội tiếp suy ra AFE ECB (do cùng bù với BFE )

Mặt khác ta có xAB ACB (cùng chắn AB ) nên suy ra xAB AFE suy ra Ax EF

PHẦN 5 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ CÁC ĐỀ THI THỬ CỦA CÁC

TRƯỜNG

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC AB có đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D sao cho HA HD , đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E 2 2 ;  và AB tại F Tìm tọa độ các đỉnh A;B;C của tam giác ABC biết phương trình CF x 3y 9 0:    , đường thẳng BC đi qua K 5 12 ;  và điểm C có hoành độ dương

Phân tích: Theo kinh nghiệm làm các dạng bài Oxy thì điều kiện đề bài cho chúng ta ở cuối mỗi bài toán khá quan trọng trong việc xác định hướng làm 1 bài toán Chẳng hạn với bài toán trên đây, mình sẽ ưu tiên tìm điểm C trước ( vì đề bài đã cho điều kiện hoành độ C dương) Khi bám sát vào điểm C thì mình thấy nó cũng có 1dữ kiện CF x 3y 9 0:    nên việc tìm C là rất khả quan Tiếp tục nhận xét đề bài thì mình thấy nên khai thác thêm điểm E và điều kiện HA HD để tìm C(vì điểm K là 1 điểm vu vơ trên BC, nên mình sẽ không khai thác K) Khi sử dụng HA HD mình thu đượcADH 45 0nhưng không khả quan lắm cho viêc tìm C Nhưng đừng nản

vì đã có công cụtứ giác nội tiếp khá mạnh để suy ra được ADH BEA 45  0 có góc BEA 45 0cũng chưa làm nên trò chống gì  nản rồi đây, có lẽ nào bỏ cuộc từ đây Điểm mấu chốt của Oxy là sự linh hoạt từ góc

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A(0;2) ;B(4;4) C(3;-4)

Câu 2 :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của BA và trên cạnh BC lần lượt lấy các diểm E và F sao cho BE BF , gọi N 12 29

Phân tích: Hình vuông có những tính chát vượt trội hơn các hình thông thường, nên bài tập về nó cũng

có những nét đặc sắc riêng Nhiều bài tập khai thác tính chất vuông góc, nhiều bài khai thác tính chất độ dài cạnh và sự tương quan độ dài cạnh và đường chéo nhiều bài khai thác kết hợp nhiều tính chất khác nhau của hình vuông Bài toán này theo mình là khá đặc sắc , để đi tới tính chất lớn, chúng ta cần tinh ý khám phá các tính chất nhỏ ẩn chưa trong hình vẽ Bắt đầu giải 1 bài toán Oxy, mình thường chú trọng hình vẽ, nhiều người nói Oxy không cần sử dụng hình vẽ cũng làm được nhưng đó chỉ là những bài tập đơn giản Với những bài tập

có tính chất hình học, việc vẽ hình đúng đóng vai trò rất quan trọng để tìm ra chìa khóa mở ra hướng giải Mình khuyên các bạn khi vẽ hình hãy vẽ thật chính xác các mô phỏng của đề bài, sau đó có thể đoán các góc đẹp , cũng như đoán xem 2 đoạn nào bằng nhau và thử lại bằng thước đo độ và thước kẻ

Chẳng hạn bài toán này, khi vẽ xong hình thì mình

thấy FE//BD , đồng thời AN EC và mình đi kiểm

chứng bằng cách thử chứng minh điều đó Khéo léo

tính góc nhờ các tam giác vuông là việc chứng minh

song song được thực hiện , và cũng nhờ EF//BD mà

mình thu được FE AC Vậy là F là trực tâm của ACE

và hiển nhiên điều minhg đoán AN EC là hoàn toàn

có căn cứ Oki, giờ mình sẽ lập BD qua B và song song

với FE Việc tiếp theo là ràng buộc quan hệ giữa 2

điểm cho trước B và N với 1 điểm thứ 3, và mình

nhận thấy điểm I có 1 liên hệ khá đặc biệt với B và N,

một hệ thức độ dài mấu chốt IB=IN (nhờ phát

hiện AN EC mà mình nhận ra tính chất đó khá dễ) Sau đó tham số hóa I và tìm I thôi

Có I và B mình tìm ngay được D, còn A và C nữa, nhưng đơn giản hơn nhiều công đoạn trước đó vì tới đây bài toán trở thành 1 bài xử lí hình vuông cơ bản Lập AC qua I vuông với BD, tham số hóa A ( hoặc C) và sử dụng hệ thức vecto là ra thôi Nhưng ra tận 2 cặp A;C, có nên chọn hết hay không ???? Muốn biết có nên loại hay không thì mình nên xem xét vị trí tương đối giữa A với 1 điểm và 1 đường xác định cho trước và mình chọn điểm B, nhân thấy B và A cùng phía với FE nên mình sẽ loại điểm A không thỏa mãn

Ta thấy ANC 90 0 N thuộc đường tròn đường kính AC

Tương tự, B thuộc đường tròn đường kính ACIB IN

TH1A 0;1 C 0;7 Thay tọa độ A vào FE ta được 1 5 0 

Thay tọa độ B vào FE ta được 4 5 0 Suy ra A;B cùng phía với EF(chọn ) TH2 A 0;7 C 0;1 Thay tọa độ A vào FE ta được 7 5 0 

Thay tọa độ B vào FE ta được 4 5 0 Suy ra A;B khác phía với EF(loại )

15

Vậy tọa độ 4 đỉnh hình vuông cần tìm là A 0 1 B 3 4 C 0 7 D 3 4      ; ; ; ; ; ;  ; 

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD với đường thẳng AB;AC lần lượt có phương trình là x-y+5=0 và x+3y-7=0 Trọng tâm G của tam giác CDA nàm trên đường thẳng d:2x-y-6=0 Tìm tọa độ các đỉnh của hìn chữ nhật ABCD

Phân tích: Đây là 1 bài toán khá đơn giản nhưng với bài toán này, mình muốn các bạn biết tới 1 cách làm khá thú vị đó là lập đường theo ẩn cũng như khéo léo biến đổi các điểm đặc biệt về 1 ẩn để mình khai thác

1 phương trình 1 ẩn để tìm điểm dễ dàng

Bắt đầu cũng không có gì đặc biệt, tìm được cái gì tì cứ tìm, tìm sớm cho chắc “ăn” một ít điểm đã, và cũng vì có càng nhiều dữ kiện thì mở nút bài toán sẽ dễ hơn Chúng ta cùng tìm điểm A nhé, cách làm vẫn như thường lệ

là giải hệ tương giao giữa hai đường thẳng chứa A Xong A 

Bây giờ , mình để ý đề có 3 phương trình 3 đường thẳng, có 2 đường AB và AC xác định còn đường qua G là 1 đường ngẫu nhiên, nên hãy tập chung vào 2 đường xác định trước Mình chọn tham số hóa điểm B nhé, bạn hoàn toàn có thể làm như vậy với điểm C Gọi B(b;b+5), thì ta sẽ lập được phương trình BC qua B và vuông góc với AB, tất nhiên sẽ theo ẩn b rồi Sau đó thì tìm C theo b bằng cách giải hệ tương giao, ta sẽ tìm được tọa độ điểm C hoàn toàn theo b Và cũng nhờ tính chất hình bình hành ( giao điểm 2 đường chéo là trung điểm mỗi đường mà mình tìm được luôn điểm D) Cuối cùng dùng tới G , bằng công thức trọng tâm thôi!!!! Tìm tọa độ G theo b và thay vào phương trình đường thẳng chứa G và giải ra b Vậy là cùng 1 lúc mình đã tìm ra luôn 3 điểm B;C;D rồi Bắt tay vào làm cho quen nhé!!

Vì B thuộc AB nên tọa độ B có dạng B(b;b+5)

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AB nên

Vậy tọa độ 4 đỉnh của hình chữ nhật là A 2 3 B 1 6 C 7 0 D 4 3 ;      , ; , ; , ; 

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E là trung điểm cạnh BC và F là điểm nằm trên cạnh AD sao cho FA=3FD Phương trình BF là 5x+y-5=0, phương trình đường thẳng đi qua B vuông góc với DE l y 5 0  Biết điểm C nằm trên đường thẳng  :x 2y 6 0  và tung độ dương, tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Phân tích: Khi đọc xong đề bài, không cần quan tâm tới hình vẽ thì chúng ta đã thấy “cái ăn được” rồi

Ăn ngay điểm B bằng cách giải hệ hai phương trình tương giao giữa 2 đường thẳng chứa B Ăn chắc 0,25 nhé!! Bây giờ xem xét xem nên dùng đường nào, nên tham số điểm nào nhé!! người ta cho mình 3 đường BF;DE và

1 đường qua C , cái mấu chốt là bài trên có tính chất vuông góc để lập đường còn bài này thì không nên mình

sẽ chọn tham số 1 điểm có liên quan với điểm B đã biết và 1 điểm khác chưa biết thuộc 1 trong 3 đường này

Và mình chọn C vì tọa độ của E;B;C có mối liên hệ tuyệt vời Mình tham số C đầu tiên theo ẩn c nào đó sau đó là tìm tọa độ E theo c Lại do DE vuông góc với D nên ta hoàn toàn có thẻ lập DE theo ẩn c Bây giờ thì không đơn giản nhưu bài trước là tìm luôn tương giao để được 1 điểm mới, mà mình sẽ mạo hiểm tham số thêm 1 điểm

để sử dụng nốt dữ kiện tỉ lệ độ dài cạnh hình chữ nhật Và mình chọn 1 điểm trên cạnh đối diện đó là F vì mình phát hiện 1 hệ thức khá là đẹp FD 1BC

17

Ta có ABCD là hình chữ nhật B 0 5 C 4 1 D 2 1    ; ; ; ; ;  A 2 3 ; 

Vậy tọa độ 4 đỉnh cần tìm là B 0 5 C 4 1 D 2 1 A 2 3    ; ; ; ; ;  ;  ; 

Câu 5: (chuyên Vĩnh Phúc 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

  C : x 1  2 y 1 225 và các điểm A 7 9 B 0 8   ; ; Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Phân tích: Đây là một bài toán cực trị hình học-là 1 dạng bài khó trong hình phẳng chương trình THCS

và cũng là 1 dạng bài khó và hiếm gặp trong hình học tọa độ phẳng Thường thì bài toán này có hai hướng giải quyết

1)Kẻ hình phụ: dang toán này thì chúng ta sẽ sử dugj 1 số phép dời hình như đối xứng trục, đối xứng tâm, sử dụng tam giác bằng nhau

2)Đại số hóa hình học, đây là 1 cách làm khá là hay cho những bài toán có giả thiết là những biểu thức tỉ lệ, và

1 biểu thức cồng kềnh Sau khi biến đổi các dữ kiện bài toán về 1 biến t nào đó, có thể khảo sát hàm số hay sử dung bất đẳng thức ta giác, bất đẳng thức cổ điển để giải và tìm ra giá trị t thỏa mãn, sau đó ghép vào điều kiện

A và B đều nằm ngoài đường tròn và có 1 điểm đáng lưu ý là IA=2R Vì vậy, mình sẽ gọi E là trung điểm của IA

để chứng minh tam giác IEM cân tại I Quan điểm của mình là có trung điểm nghĩ tới đường trung bình nên mình sẽ lấy thêm trung điểm F của IM để tạo ra đường trung bình và suy ra MA=2EF; đồng thời gọi J là trung điểm của EI để suy ra độ dài hai trung tuyến bằng nhau MJ=EF Tới đây, mình sẽ thu được 1 hệ thức dễ nhìn hơn, đồng thời sử dụng luôn bất đẳng thức tam giác để thu đượcP MA 2MB 2EF 2MB 2 MJ M       B2 JB

và suy ra được điều kiện của M trong bài toán đó là M thuộc JB

Sau đó xử lí bình thường như 1 bài Oxy thuần túy, quên đi điều kiện biểu thức P mà chỉ cần nghĩ tới điều kiện thu được để giải Việc cần làm tới đây chỉ là BJ và giải hệ tương giao giữa đường thẳng và đường tròn Bài toán được giải quyết nhé!!

Ta thấy (C) có tâm I(1;1) và bán kính R=5 Mặt khác IA 7 1  2 9 1210

  2 2

IB 1 0  1 8 5 2 A,B nằm ngoài đường tròn (C)

Gọi E, J lần lượt là trung điểm của IA;IE tam giác IEM cân tại I

FE MJ

  (hai trung tuyến của tam giác cân )

Ta có P MA 2MB 2EF 2MB 2 MJ M       B2 JB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc BJ(vì B nằm ngoài (C) và J nằm trong đường tròn (C))

Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường tròn (C) và đoạn BJ

Các bài toán có đường tròn (loại trừ các bài toán cơ bản như tương giao, tìm tâm khi biết 3 đỉnh của tam giác nội tếp đường tròn, lập đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp khi biết 3 đỉnh ) thì chúng ta không thể không nghĩ tới 1 công cụ khá là mạnh được đề cập và sử dụng nhiều trong chương trình toán 9, cũng như các bài toán thi vào 10, đó là tính chất tứ giác nội tiếp Chứng minh đơn giản, ứng dụng và hệ quả lại rất hay và rất cần thiết sử dụng Trong bài này, mình sử dụng tính chất góc ngòi ở đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện để suy ra 2 cặp góc tưởng chừng không có họ hàng gì lại là anh em sinh đôi  Mình thu được 2 cặp góc ACI BEI

19

và ABI CDI Như vậy, chúng ta đã chứng minh được IBE IDC g c g  IB ID, vậy ta có tam giác IBD cân tại I và dĩ nhiên IBD IDB Mặt khác, ta có IBD IAD (cùng chắn cung ID) Cũng hoàn toàn tương tự thì BDI BAI IAD BAI  AI là phân giác góc BAC Bây giờ bài toán đã trở thành: cho tam giác ABC có phương trình BC, có phân giác trong AI và có 2 điểm M;N thuộc AB;AC Từ 1 bài toán khó, bằng các cách chứng minh yếu tố hình học, mình đã tạo ra 1 bài toán khá cơ bản Cách làm chắc các bạn vẫn nhớ: khi có phân giác, hãy nghĩ tới cách lấy 1 điểm đối xứng với 1 điểm đã cho thuộc 2 cạnh thuộc góc có phân giác và lập đường Do vậy chúng ta có thể lập AB và AC, sau đó việc còn lại là giải tương giao AB với BC để tìm B, AC với Bc để tìm C, AC với AB để tìm A Bây giờ chúng mình cùng nhau trình bày nhé!

Suy ra tam giác IBD cân tại I IBD IDB Mặt khác IBD IAD (cùng chắn cung ID)

Tương tự BDI BAI IAD BAI  AI là phân giác góc BAC

Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua AI , NN AI H'   N AB'

Phân tích : Khi đề cho điều kiện tung độ điểm

B lớn hơn 3 thì 90% bạn khai thác tìm B trước là 1

hướng làm đúng đắn và nhanh gọn Bài này thì không

ngoại lệ, mình sẽ tìm B bằng cách tham số hóa điểm

B và giải phương trình độ dài đoạn chứa B và 1 điểm

khác cố định bằng 1 hằng số Chọn G, đó cũng là 1

hướng suy nghĩ, tuy nhiên thì cũng có cách tìm 1

điểm phụ khác B để tính độ dài đoạn chứa điểm đó và

B Mình sẽ phân tích hướng giải 2 cách để các bạn

cùng thấy sự đa dạng và muôn màu của Oxy

Cách 1 nhé! Tìm B dựa vài độ dài BG:

Đầu tiên,mình tính diện tích tam giác ABG theo diện tích hình chữ nhật ABCD Trước hết phải tính tỉ số GN 2

BC 3dựa vào định lí Thales đã, sau đó khi đã có tỉ số đáyGN 2

BC 3 , thì tỉ số diện tích dễ dàng được suy ra:

   Mặt khác chiều cao hạ từ G xuống AB của tam giác ABG chính là khoảng cách từ G xuống AB nên mình tính chiều cao dễ dàng, tiếp đó là tính độ dài đáy AB khi có diện tích tam giác và chiều cao Cái mình cần tính là BG mà mình đã có độ dài GN nên cần tính thêm BN nữa, và việc đó giúp mình nghĩ tới tỉ lệ BN

AB để tìm AB Tìm AB rồi thì sử dụng định lí Thales 1 lần nữa để tìm ra tỉ số

BN

ABđể tìm ra BN Cuối cùng sử dụng Pytago để tính BG nhé

Cách 2: Tìm trung gian qua điểm N

Rõ ràng việc tìm N là rất khả quan, vì G đã biết , AB đã biết, việc lập 1 đường thẳng đi qua 1 điểm G và vuông góc với 1 đường đã cho đã quá quen với chúng ta Khi lập xong GN và tìm N bằng cách giải hệ tương giao giữa

GN và AB thì việc còn lại là tính độ dài BN Cũng như cách trên , tính BN dựa vào diện tích hình chữ nhật và tỉ lệ các điểm chia, thực tế là làm y hệt và bớt đi bước ghép Pytago tìm BG

Xong xuôi điểm B ở cả 2 cách, các bước còn lại ở 2 cách là giống nhau: khi đã có B;N thì sử dụng hệ thức vecto này BA 3BN sẽ giúp mình tìm được tọa độ điểm A, cũng tương tự vói hệ thức vecto 3

2

 , khi đã có A;G thì tìm C là rất dễ dàng Có A; B; C, tìm D dựa vào tính chất 1 đường chéo hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Mình sẽ trình bày cách 2, cách 1 các bạn tự luyện nhé

Gọi N là giao điểm của d và AB

Tọa dộ điểm N là nghiệm của hệ 2x y 0 x 6 N 6 3 