TÍCH PHÂN VÔ HƯỚNG F EYNMAN MỘT VÒNG BỐN CHÂN VỚI KHỐI LƯỢNG PHỨC

Ý tưởng của phương pháp này như sau: biểu diễn biên độ Feynman một vòng On-về tập các tích phân vô hướng một vòng-1, 2, 3, 4-chân với các hệ số được tính bằngphương pháp Unitary trong kh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Đỗ Hoàng Sơn Thầy khôngnhững là người truyền đạt kiến thức, phương pháp làm khoa học mà còn là ngườitruyền cho tôi niềm đam mê nghiên cứu khoa học Thầy cũng đã dành rất nhiềuthời gian và tâm huyết để dẫn dắt tôi trên con đường Vật Lý, cũng như hướng dẫntôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ nhiệt tình của Giáo Sư Patrick Aurenche,

và những trao đổi chuyên môn hiệu quả của TS Lê Đức Ninh

Xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ của Giáo Sư Trần Thanh Vân và quỹ học bổngRencontres du Vietnam/Odon Vallet

Tôi xin gửi lời cảm ơn những đóng góp quý báu của GS TS Phạm Quang Hưng

đã truyền thụ kiến thức và những kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời giantôi học Đại Học và học Cao Học.

Xin gửi lời biết ơn đến quý thầy cô phổ thông, những người luôn mong mỏi tôi

có được thành công trên con đường học tập và chính điều đó là động lực cho tôiphấn đấu đễ được ngày hôm nay Xin cảm ơn TS Võ Văn Ớn trường ĐH Thủ DầuMột đã luôn động viên và giúp đở tôi rất nhiều trong cuộc sống

Cảm ơn những người bạn làm việc trong phòng Vật Lý Tính Toán, Khoa Lý,Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh Những người đã có nhữngtrao đổi chuyên môn thú vị và bổ ích cho tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này

Cảm ơn những người bạn thân của tôi: Phan Toại Tuyn, Nguyễn Trường Cơ, LêVăn Hưng, Nguyễn Tấn Lộc những người luôn luôn giúp đỡ và động viên tôi trongcuộc sống cũng như suốt thời gian tôi thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến cha mẹ và anh em tronggia đình của tôi, gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập, gia đình

là chỗ dựa tinh thần lớn nhất của tôi

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 1 năm 2010

Phan Hồng Khiêm

Mục lục

2 Tổng quan về các phương pháp tính tích phân tensor Feynmam

2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman 6

2.2 Phương pháp On-Shell 10

2.3 Phương pháp bán giải tích 11

2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song 12

3 Nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức 15 3.1 Phân tích hàm dưới dấu tích phân 15

3.2 Tích phân theo biến x 17

3.2.1 Tích phân D+ 0 18

3.2.2 Tích phân D− 0 20

3.3 Tích phân theo y 21

3.3.1 Phép quay Wick trong mặt phẳng phức t 21

3.3.2 Tích phân theo biến y 24

3.4 Tích phân theo biến t 27

3.5 Tích phân theo biến z 34

MỤC LỤC i

4 Xây dựng chương trình tính tích phân vô hướng một vòng bốn

4.1 Cấu trúc của XLOOPS-GiNaC 40

4.2 Cấu trúc chương trình tính tích phân vô hướng một vòng bốn chân 41 5 Kết quả và thảo luận 43 5.1 Tham số nhập của XLOOPS-GiNaC và LoopTools 43

5.2 Kết quả và thảo luận 45

5.2.1 Trường hợp khối lượng thực 45

5.2.2 Trường hợp khối lượng phức 46

6 Kết luận và hướng phát triển 52 A Các hàm toán học cơ bản 53 A.1 Hàm ln(x) 53

A.2 Hàm Li2(x) 54

B Các công thức tích phân cơ bản 55 B.1 Công thức tích phân cơ bản 1 55

B.2 Công thức tích phân cơ bản 2 56

C Điều kiện cho q21 và q32 thực 57 C.1 Điều kiện cho q21 thực 57

C.2 Điều kiện để q32 thực 58

D Hàm Im S(σ,z) P z+Q không phụ thuộc vào σ 59 E Dấu của biểu thức Dmlk 61 F Cấu trúc hàm con của chương trình tính tích phân vô hướng một vòng bốn chân 62 F.1 Hàm con R1(x, y, a) 62

F.2 Hàm con R2(a, b, x, y) 64

F.3 Hàm con Θ(A0, B0, C0, x, y) 64

MỤC LỤC

Danh mục các từ viết tắt

• Lý thuyết EW(Electroweak theory): lý thuyết điện yếu

• Xung lượng ngoài là time-like : p2 > 0

• Xung lượng ngoài là space-like : p2 < 0

• Xung lượng ngoài là light-like : p2 = 0

• Lý thuyết QCD (Quantum chromodynamic theory): lý thuyết sắc động họclượng tử

• MPI (massage passing interface) : giao thức truyền thông tin không phụ thuộcvào ngôn ngữ sử dụng trong tính toán song song

• Phân kỳ IR (Infrared) : Phân kỳ hồng ngoại

• Phân kỳ UV (Ultraviolet ) : Phân kỳ tử ngoại

Danh sách hình vẽ

2.1 Giản đồ Feynman một vòng N chân 6

4.1 Cấu trúc của XLOOPS-GiNaC 41

4.2 Cấu trúc chương trình D0 của XLOOPS-GiNaC 42

5.1 Giá trị thực của D0 của XLOOPS-GiNaC 47

5.2 Giá trị thực của D0 của LoopTools 48

5.3 Giá trị ảo của D0 XLOOPS-GiNaC 49

5.4 Giá trị ảo của D0 của LoopTools 50

5.5 Giản đồ Feynman quá trình gg −→ b¯bH 50

5.6 Giá trị thực D0 của XLOOPS-GiNaC 51

5.7 Giá trị ảo D0 của XLOOPS-GiNaC 51

F.1 Cấu trúc của hàm R1(x, y, a) 63

F.2 Cấu trúc của hàm R2(a, b, x, y) 65

F.3 Cấu trúc của hàm Θ(A0, B0, C0, x, y) 67

i

Danh sách bảng

3.1 Vị trí cực x0 trong mặt phức x 183.2 Vị trí cực t1,2 của D+

0 trong mặt phẳng phức t 223.3 Vị trí cực t1,2 của D−

0 trong mặt phẳng phức t 223.4 Vị trí của y0 trong mặt phẳng phức y của tích phân D±

0 245.1 Tham số nhập của XLOOPS-GiNaC và LoopTools 435.2 Trường hợp tất cả khối lượng m2

i = 0, và ρ = 10−30 455.3 Trường hợp m2

i = (6561, 8281, 6561, 8281), và ρ = 10−30 465.4 Trường hợp khối lượng phức 46E.1 Biểu thức của Dmlk 61

ii

Việc tính các bổ chính bậc cao có chứa các hạt không bền (như W, Z, top quark )

là nhiệm vụ khó bởi vì các tích phân Feynman vòng thường chứa các dị thường, mộttrong số đó là dị thường Landau Từ góc độ toán học, các dị thường Landau đượcgiải thích như sau: trong trường hợp khối lượng thực, các tích phân Feynman vòng

là các tích phân Improper (Improper integral), nó được xác định thông qua giới hạnđường lấy tích phân về trục thực Chúng ta thấy rằng vị trí các cực của hàm dướidấu các tích phân này phụ thuộc vào giá trị của khối lượng hạt trong và xung lượngngoài, do đó có khả năng các cực này sẽ kẹp (pinch) đường lấy tích phân, kết quả làchúng ta không thể lấy giới hạn đường lấy tích phân về trục thực Khi đó tích phânFeynman vòng có dị thường Landau Về mặt vật lý, sự xuất hiện dị thường Landau

là do chúng ta sử dụng hàm truyền Feynman của các hạt bền cho các hạt khôngbền Điều này nghĩa là chúng ta đã không tính đến thời gian sống hữu hạn của cáchạt không bền xuất hiện trong quá trình tán xạ Một trong những cách đề nghị cóthể khử dị thường Landau là bổ sung vào hàm truyền Feynman bề rộng phân rãcủa hạt, nó giúp kéo cực ra xa trục thực và do đó dị thường Landau không xảy ra

1

1 Giới thiệu 2trong vùng vật lý Với việc đưa vào hàm truyền Feynman bề rộng phân rã của hạtkhông bền, tích phân Feynman vòng bây giờ là tích phân với khối lượng phức Vìthế việc tính các tích phân Feynman vòng với khối lượng phức là nhiệm vụ cần thiết

để khử dị thường Landau

Phương pháp truyền thống tính tích phân Feynman vòng là phương pháp của

’Hooft-Veltman-Passarino (được gọi tắt là phương pháp HPV) Trong phương phápnày, các tích phân tensor Feynman một vòng được rút gọn về tập các tích phân vôhướng một vòng-1, 2, 3, 4-chân bởi Passarino,Veltman (hay còn gọi là phương pháprút gọn tích phân tensor PV) [1] Kết quả tính các tích phân vô hướng một vòng-

1, 2, 3, 4-chân với khối lượng thực và phức được trình bày bởi ’Hooft, Veltman [2],cùng các tác giả khác [3, 4] Điểm bất lợi của phương pháp PV là sự xuất hiện các dịthường ảo trong quá trình rút gọn, một trong số dị thường này là dị thường Gram(định thức ma trận rút gọn Gram bằng 0 trong một số vùng không gian pha, xemchi tiết trong mục 2.1) Các dị thường này sẽ gây khó khăn cho quá trình tính toán

tự động Gần đây Denner và Dittmaier đã phát triển một phương pháp rút gọn tíchphân tensor trong trường hợp giá trị định thức Gram nhỏ [5, 6] Tuy nhiên hạn chếcủa phương pháp này là khá phức tạp và không phải trường hợp nào cũng làm được.Như vậy phương pháp của ’Hooft-Veltman-Passarino đã giải quyết được vấn đề dịthường Landau nhưng vẫn chưa giải quyết triệt để vấn đề dị thường Gram

Một phương pháp khác tính biên độ Feynman một vòng là phương pháp Shell Ý tưởng của phương pháp này như sau: biểu diễn biên độ Feynman một vòng

On-về tập các tích phân vô hướng một vòng-1, 2, 3, 4-chân với các hệ số được tính bằngphương pháp Unitary trong không gian 4 chiều và số hạng hữu tỷ được tính bằngphương pháp đệ qui On-Shell [7] Phương pháp này vẫn chưa giải quyết được vấn

đề dị thường Gram

Phương pháp bán giải tích được phát triển bởi các tác giả T Binoth và các cộng

sự [8, 9, 10] Trước hết, phương pháp này thực hiện rút gọn tích phân tensor mộtvòng về tập các tích phân cơ sở (có thể là tích phân tensor hoặc vô hướng): tích phânmột vòng 4 chân trong không gian 6 − 2ε chiều và tích phân một vòng -1, 2, 3-chântrong không gian 4 − 2ε chiều Sau đó các tích phân cơ sở được tách thành 2 phần:phần phân kì được tính giải tích, phần hữu hạn được giải số Với cách chọn hệ các

1 Giới thiệu 3tích phân cơ sở trên, phương pháp này giải quyết được vấn đề dị thường Gram Tuynhiên, cho đến hiện tại phương pháp bán giải tích vẫn chưa phát triển kỹ thuật tínhtoán cho các tích phân tensor vòng với khối lượng phức Vì thế phương pháp nàycũng chưa giải quyết được bài toán dị thường Landau.

Phương pháp giải số toàn phần các tích phân tensor Feynman vòng được pháttriển bởi nhóm Minamitateya [11, 12] Phương pháp này cho phép chúng ta giải sốtoàn phần các tích phân tensor Feynman vòng với khối lượng thực và phức [13] với

độ chính xác cao Tuy nhiên, để đạt được kết quả với độ chính xác cao thì cần thờigian tính toán rất lớn đến mức không thực tế

Khi tính tiết diện tán xạ và bề rộng phân rã ở gần đúng bậc cao của lý thuyếtnhiễu loạn, chúng ta cần phải tính một số lượng lớn các tích phân tensor Feynmanvòng, công việc này vượt xa khả năng tính bằng tay của con người Vì thế xây dựngchương trình tự động hoá tính toán các đại lượng này là rất cần thiết Trong vòngvài thập niên qua, có rất nhiều nỗ lực của nhà vật lý trong việc xây dựng chươngtrình tính toán tự động các tích phân Feynman vòng Từ những nỗ lực này, hiệntại chúng ta có các chương trình chính tính toán tự động tích phân Feynman vòngnhư: LoopTools [14], BlackHat [15, 16, 17], CutTools [18], Rocket [19], Golem95[8, 9, 10] và Grace [13], vv Các chương trình tính toán này được xây dựng dựa trêncác phương pháp giới thiệu ở trên và vẫn chưa giải quyết được đồng thời hai vấn đề

dị thường Gram và dị thường Landau

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một phương pháp khác tính tích phântensor Feynman vòng, phương pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trựcgiao và song song Phương pháp này được giới thiệu bởi Collins [20] và được pháttriển bởi Kreimer [21] cùng các cộng sự [22, 23] Sự khác biệt của phương pháp nàyvới các phương pháp khác là cho phép chúng ta tính giải tích trực tiếp tích phântensor Feynman vòng Do đó phương pháp này mở ra hy vọng có thể giải quyết đượcđồng thời hai vấn đề dị thường Gram và dị thường Landau với tốc độ tính toán cao.Mục đích nghiên cứu của nhóm chúng tôi là phát triển phương pháp tích phânFeynman vòng trong không gian trực giao và song song để tính tích phân tensorFeynman một vòng N chân Chúng tôi cũng bổ sung kết quả tính giải tích này vàochương trình XLOOPS-GiNaC [24] để tính toán tự động tích phân tensor Feynman

1 Giới thiệu 4một vòng N chân với khối lượng thực và phức với mục đích giải quyết vấn đề dịthường Gram và dị thường Landau.

Mục đích của luận văn này là phát triển phương pháp tích phân man vòng trong không gian trực giao và song song để tính tích phân vôhướng một vòng bốn chân với khối lượng phức Trong luận văn này, chúngtôi chỉ trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốnchân với khối lượng phức trong trường hợp tất cả các xung lượng chânngoài là time-like Kết quả tính toán này cũng được thêm vào chươngtrình tính toán tự động tích phân Feynman vòng XLOOPS-GiNaC vàđược kiểm tra chéo với chương trình LoopTools Các trường hợp tối thiểumột xung lượng ngoài là time-like và tất cả xung lượng ngoài là space-like

Feyn-là hướng phát triển tiếp theo của luận văn này

Nội dung của luận văn được tóm tắt như sau

Trong chương số 2, chúng tôi giới thiệu về tổng quan về các phương pháp tínhtích phân Feynmam một vòng Sau khi giới thiệu ngắn về các phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman, phương pháp On-Shell, phương pháp bán giải tích và phươngpháp giải số toàn phần tích phân tensor Feynman vòng, chúng tôi trình bày phươngpháp tính tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song.Trong chương số 3, chúng tôi trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướngmột vòng bốn chân với khối lượng phức trong không gian trực giao và song song.Trong chương số 4, chúng tôi giới thiệu chương trình tính toán tự động tích phânFeynman một vòng XLOOPS-GiNaC Dựa trên cấu trúc của chương trình tính tíchphân XLOOPS-GiNaC, chúng tôi xây dựng chương trình con tính tích phân vôhướng một vòng bốn chân

Trong chương số 5, chúng tôi trình bày kết quả của chương trình tính tích phân

vô hướng một vòng bốn chân XLOOPS-GiNaC Kết quả của chương trình chúngtôi được kiểm tra chéo với chương trình LoopTools trong trường hợp cả khối lượngthực và khối lượng phức

Chương 2

Tổng quan về các phương pháp

tính tích phân tensor Feynmam

một vòng

Trong khuôn khổ của lý thuyết nhiễu loạn, để tính tiết diện tán xạ và bề rộng phân

rã, chúng ta cần tích các biên độ giản đồ Feynman Ở gần đúng bậc thấp nhất,chúng ta tính biên độ của các giản đồ cây Ở gần đúng bậc cao hơn, chúng ta phảitính biên độ của các giản đồ Feynman vòng Tính tích phân tensor Feynmam vòng

là một bước quan trọng trong quá trình tính biên độ của các giản đồ Feynman vòng.Tổng quát biên độ Feynman một vòng N chân có thể biểu diễn qua các tích phântensor Feynman một vòng N chân được định nghĩa như sau

TN,µ1 µ 2 µ P =

Z

dDl(2π)Di

D0 =

Z

dDl(2π)Di

1

P0P1P2P3

5

2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman 6

Hình 2.1: Giản đồ Feynman một vòng N chân

Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về các phương pháp tính tích phântensor Feynman một vòng

2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman

Đây là phương pháp truyền thống tính toán các tích phân Feynman vòng, phươngpháp này được giới thiệu bởi ’Hooft, Veltman và Passarino [1, 2] Quá trình tínhtoán tích phân tensor Feynman một vòng được chia làm hai bước chính

Bước 1: Thực hiện rút gọn tích phân tensor Feynman một vòng về tập các tínhphân vô hướng một vòng A0, B0, C0 và D0 (tương ứng một chân, hai chân, ba chân

và bốn chân) theo phương pháp Passarino-Veltman [1] Bước này gồm các bước nhỏ

2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman 7sau:

• Phân tích tích phân tensor Feynman một vòng về các tensor hiệp biến Lorentznhư sau [5]

• Nhân hai vế phương trình (2.3) lần lượt với 2pµi

Ở đây C0(k), C0(0) lần lượt là tích phân vô hướng Feynman một vòng 3 chân tương

ứng với nghịch đảo hàm truyền thứ k và 0 trong D0 được bỏ đi Cụ thể có dạng

tổng quát như sau

C0 =

Z dDl(2π)Di

1

P0P1P2

(2.7)Các tích phân này được tính giải tích trong bước 2 Phương trình (2.6) có thể được

viết lại dưới dạng

Khi det(G) = 0 quá trình rút gọn tích phân tensor Dµxuất hiện một dị thường Dị

thường này gọi là dị thường Gram Đây là một dị thường phi vật lý, nó sẽ gây khó

khăn cho quá trình tính toán tự động

Bước 2: Các tích phân vô hướng một vòng có số chân N ≥ 5 có thể biểu diễn

qua tập các tích phân A0, B0, C0 và D0, do đó trong phương pháp này chỉ cần tích

tập các tính phân vô hướng một vòng −1, 2, 3 và 4− chân là đủ Các bước tính tích

phân vô hướng gồm

• thực hiện tham số hoá Feynman tích phân vô hướng Feynman một vòng như

sau:

T0N =

Z

dDl(2π)Di

2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman 9

• thực hiện tích phân (2.10) theo xung lượng đường trong dDl

– thực hiện quay Wick l0 → iω để chuyển tích phân theo xung lượng đườngtrong l trong không gian Minkowski về không gian Euclid D = 4 − 2εchiều

1(M − iρ)N −D2

(2.12)

với M là hàm của xung lượng ngoài và khối lượng hạt đường trong

• thực hiện tính tích phân theo các tham số Feynman, chúng ta nhận được kếtquả giải tích của tích phân vô hướng Feynman một vòng Đây là bước khónhất trong ba bước tính tích phân vô hướng và là điểm khởi đầu của nhiềuphương pháp khác nhau

Thuận lợi của phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman là cho phép chúng ta tínhtích phân tensor Feynman một vòng với cấu hình xung lượng ngoài bất kì với khốilượng thực và phức Phương pháp này cũng đã giải quyết được bài toán dị thườngLandau Hạn chế của phương pháp này là quá trình rút gọn tích phân tensor xuấthiện dị thường ảo Gram, do đó phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman gặp khókhăn trong quá trình tính toán tự động ở năng lượng cao với các quá trình tán xạbao gồm các hạt không bền

LoopTools/FF là công cụ tính tích tích phân Feynman một vòng dựa trên phươngpháp ’Hooft- Passarino-Veltman Phiên bản đầu tiên của chương trình này có tên

FF được viết bằng ngôn ngữ Fortran bởi van Oldenborgh [25] Dựa trên gói chươngtrình này, Hahn và đồng nghiệp phát triển thư viện LoopTools cho phép tính tích

2.2 Phương pháp On-Shell 10phân vô hướng và tensor một vòng với số chân ngoài N ≤ 5 Hiện tại, LoopTools/FFcũng đã hoàn thành gói D0C [4] cho phép tính tích phân vô hướng Feynman mộtvòng bốn chân với khối lượng phức Như vậy LoopTools/FF đã giải quyết được vấn

đề dị thường Landau Tuy nhiên, chương trình này vẫn chưa giải quyết được vấn đề

dị thường Gram

2.2 Phương pháp On-Shell

Phương pháp On-Shell được phát triển bởi C F Berger và các cộng sự [7, 15, 16, 17].Phương pháp này được chia làm hai phương pháp chính: phương pháp Unitarity vàphương pháp đệ qui On-Shell (On-Shell recursion) Các bước cần thiết tính biên độFeynman một vòng theo phương pháp này như sau:

• Tổng quát biên độ Feynman một vòng N chân có thể tách làm hai phần nhưsau

4 chiều [7]

• Số hạng hữu tỷ được định nghĩa như sau

RN = AN

I i −→0 (2.15)

2.3 Phương pháp bán giải tích 11

Số hạng này được tình bằng phương pháp đệ qui On-Shell [7]

Thuận lợi của phương pháp này là cho phép chúng ta tính các biên độ Feynman

1 vòng với số chân lớn, điều này rất khó thực hiện bởi phương pháp tính giản đồFeynman truyền thống Phương pháp này áp dụng rất tốt vào tính toán các biên độFeynman một vòng của các quá tình tán xạ trong QCD

BlackHat là gói công cụ tính biên độ Feynman một vòng dựa trên phương phápOn-Shell [7, 16] Chương trình này được viết bằng ngôn ngữ lập trình C++ BlackHatrất hiệu quả trong việc tính toán các biên độ một vòng với số chân lớn Tuy nhiênhạn chế của chương trình này là chỉ áp dụng cho quá trình tán xạ trong QCD.Hơn nữa cho đến hiện tại BlackHat vẫn chưa phát triển công cụ tính toán biên độFeynman một vòng với khối lượng phức

CutTools là gói công tính biên độ Feyman một vòng dựa trên phương pháp Shell và phương pháp rút gọn OPP [18] Chương trình này được viết bằng ngôn ngữFortran 90 CutTools cho phép chúng ta tính biên độ Feynman một vòng với khốilượng thực Cho đến hiện tại CutTools vẫn chưa hoàn thành công cụ tính toán tíchphân Feynman một vòng cho khối lượng phức

On-2.3 Phương pháp bán giải tích

Phương pháp này được phát triển bởi các tác giả T Binoth và các cộng sự [8, 9, 10].Các bước cần thiết để tính tích biên độ Feynman vòng:

• Biểu diễn biên độ giản đồ Feynman một vòng về tích phân tensor một vòng

và số hạng hữu tỷ Thực hiện rút gọn tích phân tensor một vòng về tập cáctích phân cơ sở: tích phân một vòng 4 chân trong không gian 6 −2ε chiều, tíchphân một vòng 1, 2, 3− chân trong không gian 4 − 2ε chiều

• Thực hiện tham số hoá Feynman các tích phân cơ sở Nếu tích phân cơ sở cóchứa phân kỳ tử ngoại hoặc phân kỳ hồng ngoại thì tích phân này được tách

ra hai phần: phần hữu hạn và phần phân kỳ Phần phân kỳ thì được tính giảitích, trong khi đó phần hữu hạn được giải số

2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song 12Thuận lợi của phương pháp bán giải tích là cho phép chúng ta tính tích phân tensorFeynman một vòng khối lượng thực với số chân lớn, giải quyết được bài toán dịthường Gram Hạn chế của phương pháp này là vẫn còn giải số một số tích phân, do

đó sai số kết quả lớn, cũng như tốc độ tính toán chậm Hơn nữa, phương pháp bángiải tích vẫn chưa phát triển kỹ thuật tính toán cho trường hợp khối lượng phức.Golem95 là gói công cụ tính tích phân Feynman một vòng dựa trên phương phápbán giải tích trên Chương trình này được viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran95.Thuận lợi của Golem95 là có thể tính toán biên độ một vòng với số chân ngoài lớn,giải quyết được vấn đề dị thường Gram Tuy nhiên hiện tại Golem95 chỉ hạn chếtính toán quá trình tán xạ hay phân rã trong QCD Hơn nữa, cũng tương tự nhưBlackHat và CutTools, cho đến hiện tại Golem95 vẫn chưa hoàn thành công cụ tínhtoán tích phân Feynman một vòng cho khối lượng phức, do đó chương trình này vẫnchưa giải quyết được vấn đề dị thường Landau

2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian

trực giao và song song

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một phương pháp khác tính tích phântensor Feynman vòng, phương pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trựcgiao và song song Phương pháp này được giới thiệu bởi J Collins [20] và được pháttriển bởi Dirk Kreimer [21] từ năm 1992 cùng các cộng sự [22, 23] Ý tưởng chínhcủa phương pháp là tách không gian tính tích phân thành tổng của không gian consong song với xung lượng ngoài và phần bù trực giao của không gian con song song.Trong phương pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và songsong, chúng ta không cần phải thực hiện tham số hoá Feynman như các phươngpháp khác mà thay vào đó chúng ta phải làm việc trong hệ qui chiếu đặc biệt, hệqui chiếu gắn liền với xung lượng ngoài Phương pháp này cũng mở ra cách mới chophép tính trực tiếp tích phân tensor vòng với hi vọng có thể giải quyết được bàitoán dị thường Gram

Để dễ hình dung, chúng ta lấy ví dụ đơn giản, tích phân vô hướng một vòng hai

2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song 13chân Tích phân vô hướng một vòng hai chân có dạng như sau

lµ→ (lk, ~l⊥) (2.17)và

lµpµ= lkp10+ 0 (2.18)Làm việc trong hệ qui chiếu này cho phép chúng ta tách không gian lấy tích phân

D chiều thành không gian con song song với xung lượng ngoài có số chiều J = 1 vàphần bù trực giao của nó có số chiều là D − J = D − 1

Khi đó B0 được viết dưới dạng sau

Z

dΩD−2 = 2π

D−1 2

Công thức (2.22) chính là dạng tích phân vô hướng một vòng hai chântrong không gian trực giao và song song

2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song 14Một cách tổng quát, tính phân tensor một vòng N chân trong công thức (2.1)

có thể biểu diễn về dạng sau [23]

Tp0 ,p 1 p⊥

D−J 2

số Lorentz Trong phương pháp này, chúng tôi gọi tích phân trong công thức (2.23)

là tính phân tensor một vòng N chân trong không gian trực giao và song song Bậccủa tensor (2.23) được tính như sau p0+ p1+ + pJ−1+ p⊥

XLOOPS-GiNaC là chương trình tự động tính tích phân tensor một vòng một,hai, ba chân và tích phân hai vòng hai chân [21, 23, 24] dựa trên phương pháp tíchphân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song Chương trình nàyđược viết bằng ngôn ngữ lập trình C/C++ và dựa trên thư viện GiNaC [24] Kếtquả hiện tại của XLOOPS-GiNaC như sau:

• Tính toán các tích phân tensor một vòng một, hai, ba chân với khối lượngthực

• Tính toán các tích phân tensor hai vòng hai chân với khối lượng thực

Trong luận văn này, chúng tôi bổ sung vào XLOOPS-GiNaC một chươngtrình con tính tích phân vô hướng một vòng 4−chân với khối lượng thực

và phức Nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khốilượng phức trong không gian trực giao và song song và cấu trúc chương trình contính tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng thực và phức được trìnhbày trong các chương tiếp theo

Chương 3

Nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức

Trong chương này, chúng tôi trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướng mộtvòng bốn chân với khối lượng phức trong không gian trực giao và song song Tínhtoán trong chương này có tham khảo một phần bài tính tích phân vô hướng mộtvòng bốn chân với khối lượng thực của tác giả J Franzkowski [22]

3.1 Phân tích hàm dưới dấu tích phân

Tương tự như công thức (2.2), tích phân vô hướng một vòng bốn chân trong khônggian trực giao và song song trong trường hợp D = 4 có dạng như sau

3.1 Phân tích hàm dưới dấu tích phân 16

h(l0+ qk0)2− (l1+ qk1)2 − (l2+ qk2)2− l2

⊥− m2

k+ iρi

3.2 Tích phân theo biến x 17Thực hiện phép biến đổi tích phân

3.2 Tích phân theo biến x

Để lấy tích phân theo x, ta thực hiện phép biến đổi tích phân

l0 = x + z , l1 = y

l2 = x , l⊥ = t (3.6)Jacobian của phép biến đổi này là

|J| =

∂(l0, l1, l2, l⊥)

∂(z, y, x, t)

F (x, y, z, t) = 1

h2xz − z2− y2− t2− m2

k+ iρi

4

Q

l=1 k6=l

h

alkz + blky + AClkx + dlk

i,

3.2 Tích phân theo biến x 18

−Γk− ρ2z ,

(3.9)

Vị trí của x0 trong mặt phẳng phức của x được xác định trong bảng (3.1) Chúng

z Im(x0) Vị trí x0

z ≥ 0 − Nửa dưới của mặt phẳng phức x

z < 0 + Nửa trên của mặt phẳng phức x

Bảng 3.1: Vị trí cực x0 trong mặt phức x

ta tách tích phân D0 dưới dạng sau

D0 = D0++ D−0, (3.10)với

3.2 Tích phân theo biến x 19

0 được tính theo lý thuyết thặng dư như sau

3.2 Tích phân theo biến x 20vào (3.14), Chúng ta nhận được

3.3 Tích phân theo y 21Tương tự D+

Trước khi tuyến tính hoá theo y của hàm dưới dấu tích phân (3.15,3.16), chúng ta

sẽ thực hiện phép quay Wick trong mặt phẳng t để nhận được y2 và t2 trái dấu

3.3.1 Phép quay Wick trong mặt phẳng phức t

Hàm dưới dấu tích phân (3.15,3.16) có các cực theo t như sau

Vị trí của t1,2 trong mặt phẳng phức t được xác định trong bảng (3.2, 3.3)

Từ phân tích trong bảng (3.2, 3.3) kết hợp với biểu thức (3.16, 3.15), chúng tathấy rằng khi z > 0 thì Im−dlk

(−∞, 0) h0, − Γk +ρ

Im(−AClk2dlk)

i

Góc phần tư số 1 và 3(−∞, 0) − Γk +ρ

Im(−AClk2dlk), ∞ Góc phần tư số 2 và 4

Xét hàm f(t2) thoả điều kiện lim

t→∞f (t2) → 0 Tích phân f(t2) theo đường cong tronghình (3.3.1),

3.3 Tích phân theo y 23

Im(t)

Re(t)

(I)(II)

(Amlkz + Bmlky + Cmlk)

1h

(Amlkz + Bmlky + Cmlk)

1h

3.3 Tích phân theo y 24

3.3.2 Tích phân theo biến y

Để tuyến tính hoá theo y, chúng ta thực hiện phép biến đổi tích phân t = t + y Vớiphép biến đổi này, tích phân D±

(Amlkz + Bmlky + Cmlk) (3.26)

− lk



1 − δ(AClk)h

t Im[y0] Vị trí của y0 trong mặt phẳng phức y

B mlkzt − 2Cmlk

B mlkt + E′

mlkz + t2− m2

k+ iρivà

3.3 Tích phân theo y 26giờ là [0, ±∞], chúng ta nhận được

4

X

m=1 m6=l m6=k

AC2 lk

= −a

2

lk− b2

lk− c2 lk

AC2 lk

= −4(ql− qk)

2

AC2 lk

(3.38)

Trong luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày kết quả tính giải tích tíchphân vô hướng một vòng bốn chân trong trường hợp Dmlk < 0 hay tươngứng với điều kiện vật lý là tất cả các xung lượng ngoài phải là time-like(xem phụ lục E)

3.4 Tích phân theo biến t 27

3.4 Tích phân theo biến t

Để tuyến tính theo t, chúng ta thực hiện phép quay

Inmlk(z, t) = 1

[z + βmlkt + Fnmlk] [Qmlkt + Pmlktz + Emlkz + Zmlkz2− m2

k+ i̺](3.41)

3.4 Tích phân theo biến t 28với

3.4 Tích phân theo biến t 29

Trong các tính toán dước đây, để đơn giản chúng tôi bỏ qua các chỉ số n, m, l, k Đểthực hiện tính tích phân theo t, chúng ta tách hàm dưới dấu tích phân (3.41) dướidạng sau

3.4 Tích phân theo biến t 30

Bmlk − αlk)2− Dmlk, (3.47)thì Zmlk= 0 và Pmlk = 0 Do đó phương trình

Zmlk+ Pmlkσ = 0, (3.48)với σ = −ϕmlk hoặc σ = −1/βmlk Khi đó hàm logarit trong thức (3.45,3.46) códạng đơn giản hơn và việc tính tích phân theo biến z sẽ thuận lợi hơn Tuy nhiênvới giá trị của ϕmlk như (3.47) thì Jacobian của phép biến đổi tích phân (3.39) bằng

0 Phép biến đổi tích phân như vậy là không hợp lệ Vì thế chúng ta chọn ϕmlk nhưsau

ϕmlk = (Amlk

Bmlk − αlk) +

r(Amlk

Bmlk − αlk)2− Dmlk = βmlkDmlk ≥ 0 (3.49)Với giá trị của ϕmlk này, tích phân (3.45, 3.46) được viết lại như sau

Nghiệm giải tích tích phân vơ hướng vòng bốn chân với khối lượng phức< /h2>

Trong chương này, chúng tơi trình bày nghiệm giải tích tích phân vơ hướng mộtvịng bốn chân với khối lượng phức khơng... XLOOPS-GiNaC chươngtrình tính tích phân vơ hướng vịng 4? ?chân với khối lượng thực

và phức Nghiệm giải tích tích phân vơ hướng vịng bốn chân với khốilượng phức không gian trực giao song... tính tích phân vơ hướng mộtvịng bốn chân với khối lượng thực tác giả J Franzkowski [22]

3.1 Phân tích hàm dấu tích phân< /h3>

Tương tự cơng thức (2.2), tích phân vơ hướng vịng bốn