TIỂU LUẬN Một số bài toán về hình học không gian

Tiếp theo là giới thiệu một cách trực quan những yếu tố của hình học không gian và những tính chất cơ bản của quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian.Quan hệ vuông góc đư

MỤC LỤC

Trang

PHẦN MỞ ĐẦU 4

I Lí do chọn đề tài……… 4

II Đối tượng nghiên cứu 4

III Mục đích nghiên cứu 4

IV Phương pháp nghiên cứu 5

V Nội dung đề tài……… 5

PHẦN NỘI DUNG 6

1 Các kiến thức cơ bản……… 6

1.1 Các tiên đề cơ bản của hình học không gian 6

1.2 Điều kiện xác định mặt phẳng 6

1.3 Hai đường thẳng song song……… 6

1.3.2 Các tính chất……… 6

1.4 Hai đường thẳng vuông góc 7

1.4.1 Định nghĩa 7

1.4.2 Nhận xét 7

1.5 Hai mặt phẳng song song 7

1.5.1 Định nghĩa……… 7

1.5.2 Các tính chất……… 8

1 5.3 Định lí Talet 8

1.6 Hai mặt phẳng vuông góc 9

1.6.1 Định nghĩa……… 9

1.6.2 Các tính chất……… 9

1.7 Đường thẳng song song với mặt phẳng……… 10

1.7.1 Định nghĩa …… 10

1.7.2 Các tính chất 10

1.8 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 11

1.8.1 Định nghĩa 11

1.8.2 Các tính chất ……… 11

1.9 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng

và mặt phẳng……… 11

1.9.1 Các tính chất……… 11

1.10 Góc……… 12

1.10.1 Góc giữa hai đường thẳng………12

a Cách xác định……… 12

b Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng vuông góc ……… 12

1.10.2 Góc giữa hai mặt phẳng ……… 13

a Cách xác định……… 13

b Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau…… 13

1.10.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ……… 13

a Định nghĩa………13

b Điều kiện cần và đủ để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau……… 14

1.11 Khoảng cách……… 14

1.11.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng ……… 14

1.11.2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song……… 14

1.11.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……… 14

1.11.4 Nhận xét……… 14

1.12 Hình chóp, hình lăng trụ……… 14

1.12.1 Hình chóp và hình tứ diện……… 14

a Hình chóp……… 15

b Hình tứ diện……….……… 15

c Thể tích của khối chóp……… 15

1.12.2 Hình lăng trụ và hình hộp……… 16

a Hình lăng trụ……… 16

b Hình hộp……… 16

c Thể tích của khối lăng trụ……… 16

2 Các dạng toán cơ bản………17

2.1 Dạng 1: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ……… 17

2.2 Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng………18

2.3 Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian………… 19

2.4 Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau……… 20

2.5 Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song……… 20

2.6 Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng……… 22

2.7 Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song……… 23

2.8 Dạng 8: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng……… 24

2.9 Dạng 9: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng……… 25

2.10 Dạng 10: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng……… 27

2.11 Dạng 11: Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……… 28

2.12 Dạng 12: Tính số đo góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng……… 29

2.13 Dạng 13: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……… 30

2.14 Dạng 14: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng……… 33

2.15 Dạng 15: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ……… 34

2.16 Dạng 16: Xác định thiết diện của một hình đa diện n mặt tạo bởi mặt phẳng () ( () thỏa các điều kiện cho trước )………35

2.17 Một số ví dụ về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến, thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mạt phẳng……… 39

2.18 Dạng 17 Tính thể tích khối đa diện……… 44

3 Bài tập đề nghị……… 48

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Chương trình môn Toán ở lớp 11 hiện nay có những thay đổi khá căn bản Đầu tiên là nghiên cứu phép dời hình trong mặt phẳng; từ phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay để đi đến định nghĩa phép dời hình và khái niệm hai hình bằng nhau Sau đó là phép vị tự, phép đồng dạngvà khái niệm về hai hình đồng dạng, tổng quát hóa của khái niệm hai tam giác đồng dạng ở cấp THCS Tiếp theo

là giới thiệu một cách trực quan những yếu tố của hình học không gian và những tính chất cơ bản của quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian.Quan hệ vuông góc được xây dựng dựa trên khí niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng trước đây chỉ có trong chương trình Hình học 12 thì nay đã được đưa vào lớp 11 để làm cho việc chứng minh một số định lí được gọn gàng và có hệ thống hơn

Tuy nhiên hình học không gian là môn học có tính trừu tượng cao đồng thời

có tính trực quan nên trong quá trình học tập của học sinh cũng như quá trình giảng dạy của giáo viên gặp không ít khó khăn Ý thức được điều đó nên em chọn đề tài:

“Một số bài toán về hình học không gian” cho học phần tiểu luận tốt nghiệp.

II Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu một số bài toán hình học không gian còn các định nghĩa, tính chất, định lý chỉ hệ thống lại cho người đọc dễ dàng ôn tập cũng như ghi nhớ

III Mục đích nghiên cứu

Việc nghiên cứu đề tài Một số bài toán về hình học không gian bên cạnh mục

tiêu là hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp, nó cũng là dịp để em ôn tập củng

cố lại các kiến thức đã học, đồng thời nâng cao thêm vốn hiểu biết của mình về hình học không gian để giảng dạy tốt hơn ở lĩnh vực này khi ra trường Và em hi vọng đây sẽ là một nguồn tài liệu bổ ích để các bạn sinh viên và những ai quan tâm đến

môn học Hình học không gian tham khảo.

IV Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã sử dụng phương pháp thống kê, phân tích, tổng hợp một số tài liệu

có liên quan đến Hình học không gian.

V Nội dung đề tài

Đề tài “Một số bài toán về hình học không gian” gồm có ba phần

Vì thời gian có hạn, nên nội dung đề tài chắc sẽ không tránh khỏi những sai lầm và thiếu sót, kính mong sự đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên

PHẦN NỘI DUNG

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Các tiên đề cơ bản của hình học không gian

-Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

-Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước -Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng

-Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó (đường thẳng chung đó dược gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng trên)

-Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng

thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó

1.2 Điều kiện xác định mặt phẳng

-Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.-Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó

-Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau

Ba điều kiện xác định mặt phẳng đều có thể quy về một nội dung cơ bản cần

nhớ là: “Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng của mặt phẳng đó”.

1.3 Hai đường thẳng song song

c a

biêt phân b

b a

Q P

c

R Q

b

R P

a

, ,

 





song song môt đôi c b a

quy đông c b a

, ,

, ,

d Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song

b Q

a P

d Q

b a

a c

b a

b c

1.5 Hai mặt phẳng song song

Q a

b a

P b

R P

biêt phân Q

b Q

'C

B

BC

='

' A

C CA

Định lí Talet đảo

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a Lấy các điểm phân biệt A,B,C trên a

và A’,B’,C’ trên a’ sao cho:

'C

B

BC

='

' A

C CA

Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC, lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng

1.6 Hai mặt phẳng vuông góc

1.6.1 Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

a P

  P   Q

b Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng

a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q)

b Q

P

P a

Q P

a

P A

Q P

R P

a Q

P

 a   R

e Qua một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P)

1.7 Đường thẳng song song với mặt phẳng

P b

P a

//

 a //  P

b Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q)

chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a

P

a Q

a P

c Q

a Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

P a

b d

a d

P a

biet phan b

P

Q a

P a

,

  P //  Q

e Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.

b a

P a

 a //  P

g Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)

và l2

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900

0  (d1, d2)  900

Nếu u,v lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng d1, d2và (u,v)=

thì góc giữa hai dường thẳng d1và d2 bằng  nếu   900và bằng 180o- nếu 

> 900

b Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng d1, d2được gọi là vuông góc với nhau nếu (d1, d2) = 900

a  b  u.v= 0

(u,v lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng a,b)

1.10.2 Góc giữa hai mặt phẳng

a Cách xác định

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến  Để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với , lần lượt cắt (P) và (Q)theo các giao tuyến p, q Lúc đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường p, q Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P’) thì S’=S.cos, trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’)

b Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 900

b Điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) 1.11 Khoảng cách

1.11.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng )

1.11.2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất

kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

1.11.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa khoảng cách chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2 Angọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2 An

Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp Đa giác A1A2 An gọi là mặt đáy của hình chóp Các cạnh của mặt đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp Các đoạn thẳng

SA1, SA2,…., SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp Mỗi tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1gọi là một mặt bên của hình chóp Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

b Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD Các đỉnh A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện Các đoạn thẳng AB,

BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là các mặt của

tứ diện Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó

Đặc biệt, hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là hình tứ diện

đều

c Thể tích của khối chóp

Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.

Kí hiệu: diện tích mặt đáy của khối chóp là Sđáyvà chiều cao của khối chóp là h (h là khoảng cách từ đỉnh khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối chóp) thì thể tích V của khối chóp đó được tính theo công thức

V=

3

1Sđáy.h

1.12.2 Hình lăng trụ và hình hộp

a Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) song song Trên (P) cho đa giác A1A2 An Qua các đỉnh A1, A2, , An, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và lần lượt cắt mặt phẳng (P’) tại A’1, A’2, , A’n Thấy rằng các tứ giác A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…, AnA1 A’1A’n là những hình bình hành và hai đa giác A1A2 An, A’1A’2 A’n có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

Hình hợp bởi các hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…,AnA1A’1A’n và hai đa giác A1A2 An, A’1A’2 A’n gọi là hình lăng trụ hoặc lăng trụ và kí hiệu là A1A2 An.A’1A’2 A’n

Mỗi hình bình hành nói trên là một mặt bên của hình lăng trụ Hai đa giác A1A2 An, A’1A’2 A’ngọi là mặt đáy của hình lăng trụ.Các cạnh của hai đa giác đó gọi là cạnh đáy; các đoạn thẳng A1A’1, A2A’2,…, AnA’n gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.Các đỉnh ủa hai mặt đáy gọi là các đỉnh của hình lăng trụ

Nếu đáy của hình lăng trụ là một tam giác, tứ giác, ngũ giác thì lăng trụ tương ứng được gọi là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác

b Hình hộp

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp

Như vậy, hình hộp có sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành Mỗi mặt có một mặt song song với nó Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện

Bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Điểm cắt nhau đó gọi là tâm của hình hộp

c Thể tích của khối lăng trụ

Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao

của khối lăng trụ đó

Kí hiệu: diện tích mặt đáy của khối lăng trụ là S và chiều cao của khối

lăng trụ là h thì thể tích V của khối lăng trụ đó được tính theo công thức

Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AD, G là trọng

tâm tam giác BCD Tìm giao điểm của:

ABG AE

BMN BF

Bước 1: Chọn mặt phẳng (Q) chứa a và có điểm chung với (P)

Bước 2: Xác định giao tuyến b của (P) và (Q)

Bước 3: Xác định giao điểm M của a và b

Nếu có điểm chung M thì điểm M là giao điểm của a và (P)

Nếu không có điểm chung M thì a không cắt (P)

A

B

C

D E

N M

SAC AC

'

3 '

'

SBD D

B O

SAC C

A I

SAC S

Từ (1)-(6) suy ra: S, I, O là ba điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD), nên S, I, O thẳng hàng

2.3 Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian

Ví dụ

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng () có hai cạnh AB và CD không song song với nhau Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng và M là trung điểm của đoạn SC

a Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB) Gọi giao điểm này

A' B'

S

I D'

SBD BN

SAC AM

BN AM I

B A

S

D N

b Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba

c Dùng tính chất: Hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng ấy

d Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng:

b a

Q P

c

R Q

b

R P

a

, ,

 





song song môt đôi c b a

quy đông c b a

, ,

, ,

a Chứng minh AC và BD chéo nhau.

b Gọi M là một điểm trên đoạn AC, N là một điểm trên đoạn BD Khi đóđường thẳng MN có thể song song với AB hoặc CD được không?

c Gọi O là một điểm trên đoạn MN Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắtDM

Giải

a Giả sử AC và BD không chéo nhau và chúng cùng nằm trong một mặtphẳng Mặt phẳng này chứa cả bốn điểm A, B, C, D Từ đó suy ra hai đường thẳng

a, b cùng đồng phẳnglà trái với giả thiết (a, b chéo

nhau) Vậy AC và BD chéo nhau

b Nếu MN//AB ta suy ra AM và BN đồng

phẳng Điêù này trái với kết quả của câu a Vậy MN

không thể song song với AB

Lập luận tương tự ta chứng minh được MN

không thể song song với CD

c Trong mp(CAN) đường thẳng AO không song song với CN nên cắt CN tại

I Trong mp(BMD) đường thẳng BO không song song với MD nên cắt MD tại K

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

a MN//CD

b Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (AND) Hai đường thẳng AN

và DP cắt hau tại I Chứng minh SI//AB và

SA//IB

Giải

a MN là đường trung bình của

tam giác SAB nên MN//AB mà AB//CD,

theo giả thiết, nên suy ra MN//CD

tại P, ta có P là giao điểm của SC và mặt phẳng (AND).

Ta có: AB (SAB), CD (SCD) mà AB // CD và SI SAB  SCD nên SI //

AB // CD

Vì SI = 2MN và AN = NI nên SABI là hình bình hành Do đó SA // IB

Ví dụ 3

Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD Gọi (P) là

mặt phẳng chứa Ị và cắt AD, AC lần lượt tai M, N Chứng minh rằng tứ giác IJMN

là hình thang Khi nào nó là hình bình hành?

Giải

Ba mặt phẳng (ACD), (BCD) và (P) đôi một cắt

nhau theo các giao tuyến CD, IJ và MN Vì IJ // CD

(đường trung bình của tam giác BCD) nên theo định lí

2 ta có IJ // MN Vậy tứ giác IJMN là hình thang

Hình thang IJMN là hình bình hành khi IN // JM

Khi đó hai mặt phẳng (ABC), (ABD) lần lượt chứa hai

đường thẳng song song IN và JM nên giao tuyến AB

của chúng song song với IN và JM Tứ giác IJMN là hình bình hành khi M và N lần

lượt là trung điểm của AC và AD

2.6 Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm

của tam giác SAB và I là trung điểm của AB Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho

C

N A

J

M

B

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) (a không nằm

trong (P)) ta chứng minh a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P)

O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm hai đường chéo BD và AC.

M, N là trung điểm SB, SA nên:

OM là đường trung bình của SBD, do đó:

A

C

M

N I

SDmpSCD

SD

OM //

 OM//(SCD) (1)Tương tự:

SCmpSCD

SD

ON //

 ON//(SCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (OMN)//(SCD)

Từ (3) và (4) suy ra: (ONP)//(SBC)

2.8 Dạng 8: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H, K lần

lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng:

M

D

C B

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta chứng

minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng nằm trong (P)

Giả sử tứ diện ABCD có ABCD, BCDA Cần chứng minh CADB

Trước hết ta chứng minh hệ thức sau đây

Do đó nếu AB. DC = 0 và BC  DA = 0, nghĩa là ABDC và BCDA thì CA. DB =0, nghĩa là CADB.

Ví dụ 2

Cho hình lăng trụ tam giác

ABC.A’B’C’ Gọi H là trực tâm tam giác

ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt

phẳng (ABC) Chứng minh rằng: AA’BC

Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không đồng phẳng có hai đường chéo

AC và BF vuông góc Vẽ CH vuông góc BE và FK vuông góc DA

a Chứng minh các tam giác ACH và BFK là các tam giác vuông

BH

gt BE CH

/  AHCH (định lí ba đường vuông góc)

Vậy tam giác ACH vuông tại H

gt BE CH

B'

C' A'

B C

K

F A

H

E D

Vậy: HABF (định lí ba đường vuông góc).

Ta có: AB=AC=a và BC=a 2suy ra tam giác

ABC vuông tại A, nênAC  AB =0 và tam giác SAB đều

AB SC

1

Do đó góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 600

2.11 Dạng 11: Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ

C

B A

Phương pháp:

Để tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () ta đi xác định d’ là hình chiếu của d trên mặt phẳng () Khi đó góc giữa đường thẳng d và d’ chính là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () Ta đi tính số đo của góc này