Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải bài toán Đại số ở trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học

Cho nên con đường giải bài toán như vậy bao giờ cũng bắt đầu bằng việc nghiên cứu đặc điểm của các dữ kiện và chính nhờ các đặc điểm đó mà sớm bóc đi được cái vỏ bên ngoài rắm rối dễ sợ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong quá trình dạy toán cũng như học toán chúng tôi nhận thấy có một số lươngTrong quá trình dạy toán cũng như học toán chúng tôi nhận thấy có một số lượng bài toán đại số tương đối lớn ở cấp THCS

có nhiều dạng hay Nhưng để giải được nó không phải là ai củng có thể giải được

Yếu tố tâm lý rất quan trọng khi bắt tay vào giải một bài toán, đặc biệt là những bài toán “ngáo ộp” đó là những dạng toán kiểu rất lạ, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, học sinh bình thường mới nhìn vào đã thấy hoang mang không định hướng ra được hướng giải Thường bài ra độc đáo tìm lời giải củng phải đọc đáo Cái độc đáo ấy thường được những mối quan hệ bình thường đơn giản che lấp dưới những hình thức rắc rối có khi dễ sợ nhưng cứ giải theo thông thường Cho nên con đường giải bài toán như vậy bao giờ cũng bắt đầu bằng việc nghiên cứu đặc điểm của các dữ kiện và chính nhờ các đặc điểm đó mà sớm bóc đi được cái vỏ bên ngoài rắm rối dễ sợ để thấy được cái cốt lõi bình thường

ẩn náu bên trong, nếu gặp nhiều lần những bài toán như vậy thì dần dần người làm toán sẽ thấy bình tĩnh, tụ tin và phát hiện, tìm tòi tích lũy ngày càng nhiều kinh nghiệm để giải toán

Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững kiến thức còn cần phải có phương pháp suy luận khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được trong quá trình học tập, rèn luyện Trong môn toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật toán để giải Đối với những bài toán ấy, phải cố gắng hướng dẩn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn Đây là cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị cho học sinh một số tri thức, phương pháp nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học Tìm tòi lời giải là một bước quan trọng trong hoạt động giải toán, nó quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh hay chậm của việc giải toán, biết định hướng đúng để tìm ra được đường đi đúng, không có thuật toán tổng hợp nào để giải được mọi bài toán cả

Đây chính là lý do chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu đề

tài ”Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải bài toán Đại số ở trường

THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học” Chúng tôi chỉ là những

sinh viên lần đầu bước vào công việc nghiên cứu khoa học với rất ít tài liệu cùng với sự hiểu biết nhỏ bé nhưng mong rằng đề tài này sẽ không nhàm chán mà có thể hữu ích một phần nhỏ bé trong việc nghiên cứu, tìm tòi để giải quyết các bài toán một cách dễ dàng, linh hoạt đúng đắn hơn

2 Nội dung nghiên cứu.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung chính của đề tài gồm 2 chương

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2:Rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải bài toán Đại Số ở trường THCS nhằm nâng cao chất lượng dạy học.Nội dung chương 2 chình là nội dung chính của đề tài,trong chương này chúng tôi nghiên cứu một số dạng sau

Sử dụng quy tắc suy luận để tìm tòi lời giải

3 Đối tượng nghiên cứu

Khả năng tìm tòi lời giải và ứng dụng vào giải toán Đại Số ở trường THCS

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng phương pháp lập luận cùng các tài liệu sư phạm liên quan đến đề tài

Trong quá trình nghiên cứu đề tài mặc dù bản thân đã có nhiều

cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện

và hữu ích hơn

Hà Tĩnh, Tháng 4 năm 2012Tác giả: Nguyễn Thị Hương Đào Thị Thanh Liên K17 Toán Lý

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Bài toán

a Polya viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt được một mục đích trong thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”

b Rubinstein viết: Một vấn đề hoặc một tình huống có vấn đề được trước hết ở chổ trong nó có cái chưa biết, củng tức là cái lỗ hỏng cần được lấp đầy, có cái x nào đó cần được thay bởi giá trị tương ứng Như vậy một tình huống có vấn đề luôn luôn chứa ái đó còn là ẩn _ trong quan hệ với cái đã cho _ cần được xác định dưới dạng hiện Ông củng viết “Bài toán

là sự phát triển vấn đề bằng lời”

c Ở đây chúng ta hiểu : “Bài toán là yêu cầu cần có để đạt được mục đích nào đó” Với cách hiểu này bài toán đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ… Mục đích nêu trong bài toán có toán có thể là một tập hợp bất kỳ (Của các số, các hình, các biểu thức…) hoặc sự đúng đắn của nhiều biện luận,vv

2 Lời giải của một bài toán

Được hiểu là một ập hợp đã xếp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt mục đích nêu trong bài toán đó, có thể nói ngắn gọn là các bước tiến hành sau:

a Như vậy lời giải đồng nghĩa với bài toán hay bài làm của học sinh

b Đáp án là một lời giải vắn tắt (lời giải đã được thu gọn)

c Thao tác có thể là phép tính cơ bản, phép dựng hình cơ bản,bước suy luận, sự chỉ dẫn, quy tắc

d Một bài toán có thể có một lời giải, cũng có thể có nhiều lời giải hoặc không có cách giải

e Yêu cầu của một lời giải

+ Lời giải không có sai lầm

+ Lập luận phải có căn cứ chính xác

+ Lời giải phải đầy đủ

Ngoài ba yêu cầu trên, trong dạy học bài tập còn yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn gian nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí

Tìm được một lời giải hay của một bài toán,tức là đã khai thác được những điểm riêng của bài toán, điều đó làm học sinh ‘‘Có thể biết được cái quyến rũ của sự sang tạo cùng niềm vui thắng lợi’’

3 Ý nghĩa của việc giải toán

Ở trường phổ thông, mỗi bải tập toán học được sử dụng với dụng ý khác nhau, có thể tạo tiền đề để xuất phát, để gợi động cơ, để làm viêc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra

Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy hoc Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng rẽ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài toán cụ thể, tức là nói đến chức năng ấy đươc thực hiện một cách tường minh công khai

4 Phân loại bài toán

Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định,thường để sử dụng các bài toán đó được thuận tiện một số cách phân loại thường gặp

a Phân loại theo hình thức:

Theo polya,bài toán được chia thành

-Bài toán tìm tòi (bao gồm tính toán, toán dựng hình, quỹ tích…) là bài toán mà yêu cầu của nó thường thể hiện các từ: Tìm, tính, giải, xét…Các phần chính của bài toán bao gồm: Cái đã cho (còn gọi là điều kiện và dữ kiện), còn cái phải tìm (còn gọi là ẩn) Giải bài toán tìm tòi là tìm ra ẩn thõa mãn điều kiện và các dữ kiện cho trước

- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà yêu cầu của nó thường thể hiện bằng các cụm từ chứng minh rằng, chứng tỏ rằng, tại sao… Các phần chính của bài toán bao gồm cái đã cho (giả thiết) và cái phải tìm(kết luận) Giải một bài toán chứng minh là tìm ra mối liên hệ logic giữa cái đã cho và cái phải tìm Cấu trúc của bài toán chứng minh thường

có dạng A→B hay giả thuyết suy ra kết luận

- Bài toán hỗn hợp (hay bài toán tổng hợp) là bài toán có phần là bài toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh Các bài toán có nội dung thực tiễn sau khi toán học hóa thì bài toán cũng được coi là bài toán tổng hợp

b Phân loại bài toán theo nội dung

- Bài toán số học

- Bài toán đại số

- Bài toán hình học

- Bài toán rời rạc

c.Với bài tập đại số có thể phân thành các loại

- Toán tính toán

- Toán chứng minh

- Toán quy nạp

5 Phương pháp để giải bài toán

Một số người tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát,đó là điều ảo tưởng Ngay cả đối voái những bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải.Tuy nhiên trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tim tòi, phát hiện cách giải bài toán lại có thể và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết cua polya (1975) vế cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung môn toán

Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm,cái chứng minh

Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải và bài toán cũ tương ứng,một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh, phản chứng, quy nạp Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan Tìm tòi những cách giải, So sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

6 Một số chú ý khi dạy học sinh tìm lời giải bài tập.

- Như chúng ta đã biết, dạy học sinh giải một bài tập không chỉ đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải của bài toán đó, mà còn cần giúp học sinh cách tìm lời giải bài toán, tức là thông qua dạy tri thức

để truyền thụ tri thức phương pháp Với cách làm như vậy lâu dần học sinh đúc kết được phương hướng giải toán, tiến tới có phương pháp học tập bộ môn

- Khi đã hiểu được mỗi bài tập có dụng ý gì, việc tiếp theo là “Dạy học sinh giải một bài tập như thế nào?” Việc học sinh tự trình bày lời giải của bài toán để người học cảm thấy niềm vui chiến thắng

- Có thể việc làm như trên sẽ chiếm nhiều thời gian song không nên ngại điều đó

+ Trước hết không nên nhầm giữa dạy học sinh giải bài tập với việc chữa bài tập, chữa bài tập mới chỉ cung cấp cho học sinh lời giải (Đúng) của một bài tập cho trước chứ chưa hướng dẩn cho học sinh cách tìm lời giải bài toán đó, do đó càng học học sinh càng tích lũy thêm, ghi nhớ máy móc thêm lời giải của những bài toán cụ thể mà chưa thể tự mình giải được bài toán Tình trạng này sẽ dẫn đến quá tải tại một thời điểm nào đó đối với người học

+ Không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy cần dự kiến thời gian cho bài tập trọng tâm (Là bài có điều kiện củng cố, khắc sâu kiến thức, Kỹ năng) rồi lựa chọn bài tập có cách giải tương tự để học sinh

tự lực luyện tập Như vậy trong tiết luyện tập có những bài được giải chi tiết, có những bài chỉ cần hướng dẩn

+ Khi đã hiểu được chức năng của bài tập toán trong dạy học môn toán ta không nên tách bạch quá đáng bài dạy khái niệm mới với bài dạy giải bài tạp Trong khi dạy giải bài tập ta có điều kiện để củng cố khắc sâu, hệ thống hóa kiến thức Đồng thời muốn khắc sâu kiến thức mới cách tốt nhất là làm bài tập Do đó giáo viên cần cân đồi tỉ lệ Lý

thuyết – Thực hành trong một giờ giảng sao cho giúp học sinh có thể hiểu tốt nhất kiến thức được học.

- Chú ý rằng: “Giải toán là một nghệ thuật thực hành giống như bơi lội, trượt tuyêt, chơi đàn Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành Không có chìa khóa thần kỳ để mở mọi cửa ngõ, Không có hòn đá thần kỳ để biến mọi kim loại thành vàng”

(Đề-các và Leibnitz)

Do đó để hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán Do đó để hướng dẩn học sinh tìm lời giải bài toán, trước hết giáo viên phải đóng vai trò của người học, tự mình tìm ra các kiến thức cơ bản,dạng toán,các bước tiến hành để có lời giải bài toán.Trên cơ sở đó phân bậc hoạt động phù hợp với đối tượng học sinh cụ thể của mình,dự kiến các câu hỏi dẫn dắt, gợi mở sao cho thông qua hoạt động học sinh không những tìm được lời giải bài toán mà cả tri thức về phương pháp giải toán

7 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài tập có giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học , những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ Trong thực tế cho thấy hoạt động của học sinh liên hệ mật thiếttuệ chung và hoạt động ngôn ngữ Trong thực tế cho thấy hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện

Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường THCS là độ đạt mục tiêu Mặt khác những bài tập toán học củng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán cụ thể là:

a Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

b Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

c Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của con người lao động mới.

Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong lý thuyết

Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học bài tập toán học là giá mang hoạt động bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động tự giác, tích cực, chủ động

và sang tạo được thực hiện độc lập tronđược thực hiện độc lập trong giao lưu

Trong thực hiện dạy học bài tập được thể hiện với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy họ đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới củng cố xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới củng cố hoặc kiểm tra dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển củaặc kiểm tra dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC

2.1 Sử dụng quy tắc suy luận để tìm tòi lời giải.

Dạng 1: Phân tích và tổng hợp.

Phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản vì vậy để phát triển trí tuệ cho học sinh cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích và tổng hợp Phân tích là dung trí óc để chia cái toàn thể thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó Ngược lại, với phân tích, tổng hợp dung trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó

Tuy là hai thao tác trái ngược nhau nhưng chúng luôn liên kết chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất

Bài toán 1: Một số chia cho 7 thì dư 6, chia cho 8 thì dư 5 Hỏi số

đó chia cho 56 thì số dư là bao nhiêu

Giải:

Em đã gặp bài toán này bao giờ chưa, hay đã gặp bài toán tương tự chưa Hướng giải của nó như thế nào và có bao nhiêu cách để giải nó?

Ta có thể giải theo một số cách như sau:

Gọi số bị chia là a, theo giả thiết ta có: q= 7q1 + 6 (1)

q= 8q2 + 5 (2)

Để tìm số dư r khi chia a cho 56, ta tìm cách biểu diễn a= 56q + r với 0 < r < 56

Ta chú ý đến 56 = 7.8 và 8a – 7a = a, ta có thể đi đến 2 cách sau:Cách 1 : Để tạo ra bội của 56, ta nhân 2 vế của (1) với 8 và của (2) với 7 ta có :

Bài toán 2 : hãy thêm vào bên trái của số 1995 một chữ số và bên

phải một chữ số để được một số mới chia hết cho 45

Giải : với bài toán này em sẽ phân tích nó như thế nào ? Dựa vào dấu hiệu nào ?

Ta phân tích 45 = 5.9 là tích của 2 số nguyên tố cùng nhau Từ đó suy ra 1 số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9 Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 ta tìm được chữ số thêm vào bên phải, rồi dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 ta sẽ tìm được chữ số thêm vào bên trái

Bài toán 3 : Một xí nghiệp có 3 phân xưởng, phân xưởng thứ nhất

có 99 công nhân, phân xưởng thứ 2 có 63 công nhân và phân

xưởng thứ 3 có 72 công nhân Trong đợt liên hoan tổng kết cuối năm toàn xí nghiệp công nhân được chia thành từng tổ sao cho số người của mỗi xưởng được chia đều cho mỗi tổ Có thể chia nhiều nhất là bao nhiêu tổ ?

Giải :

Bài toán cho ta những dữ kiện nào ? hướng giải nó ra sao ? Ta sẽ đi phân tích đây là bài toán về tìm tòi, ẩn là số tổ có thể chia được nhiều nhất, dữ kiện : số người của 3 phân xưởng lần lượt là 99 ;

63 ; 72 Điều kiện : số người của mỗi phân xưởng chia đều cho mỗi

tổ, từ điều kiện của bài toán ta suy ra số tổ được chia phải là ước chung của 99 ; 63 ; 72 Số tổ có thể chia được nhiều nhất ứng với ước chung lớn nhất của 99 ; 63 và 72 Phân tích 99 ; 63 ; 72 thành tích của các thừa số nguyên tố, từ đó suy ra số tổ có thể chia được nhiều nhất là 9

Bài toán 4 : hai bạn giỏi toán An và Bảo nói chuyện với nhau An

nói : trong 100 số tự nhiên đầu tiên đó bạn tìm được ra 2 số mà ước chung lớn nhất của chúng là lớn nhất, Bảo nói : thế thì tôi cũng đố bạn : trong 100 số tự nhiên đầu tiên tìm 2 số mà bội chung nhỏ nhất của chúng là lớn nhất Cả 2 bạn đều tìm đúng đó là những số nào

Giải : Với bài toán này ta có thể biến đổi như thế nào ? Trước hết

ta đi tìm hai số mà ước chung lớn nhất của chúng là lớn nhất Để

tìm hai số đó chúng ta chú ý đến những số lớn nhất trong các số đã cho.Số lớn nhất trong 100 số đầu tiên là 100 Mặt khác,ước chung lớn nhất của 2 số cungr là ước của mỗi số và 50 là ước thật sự của 100,suy ra 50 là số lớn nhất trong các ước chung lớn nhất của hai

số trong 100 số tự nhiên đầu tiên Từ đó ta được hai số cần tìm là

100 va 50

Để tìm hai số mà BCNN của chúng là lớn nhất trong các số đã cho

Ta thấy 100 và 99 là 2 số lớn nhất mà chúng là nguyên tố cùng nhau, do đó 100 và 99 là 2 số có BCNN của chúng là lớn nhất

Bài toán 5 :Cho số a không chia hết cho b.Biết;BCNN(a,b)=630,

ƯCLN(a,b)=18.tìm a và b

Giải:Bài toán cho ta những dữ kiện gì ?.Phương hướng giải như thế nào?

Ta biết BCNN(a,b)=630 và UwCLN(a,b)=18.Ta sẽ biết

a.b=UCLN(a,b).BCNN(a,b)=18.630.Mặt khác,ƯCLN(a,b)=18 nên a=18a1,b=18b1 và a1 , b1 nguyên tố cùng nhau Thay a = 18 a1, b =

18 b1 vào tích a.b = 18.630 ta sẽ có : a1.b1 = 630 : 18 = 35 Phân tích 35 thành các thừa số nguyên tố 35 = 5.7 Từ đó ta sẽ tìm được

a1 và b1, do đó sẽ tìm được a và b

Dạng 2:Tổng quát hóa.

Tổng quát hóa la suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đến một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu.Trong hoạt động giải toán, việc tổng quát hóa một bài toán có thể cho ta một bài toán rộng hơn có tính khái quát hơn, có khi lại giúp tìm kiếm lời giải thuận lợi dể dàng hơn

Bài toán 1: Tính tổng

T=0,01+0,03+0,05+……+0,15+0,17+0,19

Giải: Với bài toán này ta xác định hướng đi như thế nào?.ta nhận thấy T là tổng của nhiều số hạng,nếu lần lượt thực hiện các phép tính thì sẽ mất rất nhiều thời gian, chú ý đến các số hạng của tổng

ta thấy mỗi số hạng đứng sau đều lớn hơn số hạng đứng trước đều