MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA CÁC BÀI TẬP

Với những lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài: “MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA CÁC BÀI TẬP” Trong phần nội dung bên dưới chúng tôi xin được giới thiệu một số bài tậpđặc trưng, p

1 Lí do chọn đề tài

Phép tính vi tích phân chiếm một vị trí quan trọng trong Toán học, tích phân

có nhiều ứng dụng rộng rãi như diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, …

Nó còn là nền tảng và được ứng dụng rộng rãi trong xác suất, thống kê, vật lí, cơhọc, …

Trong chương trình toán THPT thì phép tính tích phân được giới thiệu trongchương trình lớp 12 Nó là một phần quan trọng chiếm nhiều thời lượng trongphân phối chương trình Đặc biệt hơn, nó luôn có mặt trong các đề thi đại học,cao đẳng môn toán

Thực tế hiện nay có rất nhiều học sinh gặp khó khăn khi đối mặt với các bàitoán về tính tích phân Nguyên nhân chủ yếu là các em chưa có phương pháp giảihợp lí trong khi các bài tập về tính tích phân rất đa dạng, phong phú

Với những lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài: “MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA CÁC BÀI TẬP”

Trong phần nội dung bên dưới chúng tôi xin được giới thiệu một số bài tậpđặc trưng, phương pháp cùng với những hoạt động phân tích giảng dạy của mìnhgiúp cho các em học sinh có một nền tảng kiến thức cơ bản để hoàn thành tốt cácbài toán trong tính tích phân bất định Qua đó giúp các em có kĩ năng tính toán,phân tích, lập luận phát huy tính sáng tạo để giải quyết các bài toán khó

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đề tài vẫn còn nhiều thiếu sót Rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô, bạn đọc để đề tài đượchoàn thiện hơn

2.Mục đích nghiên cứu

Đưa ra phương pháp dạy học giải bài toán tích phân một cách tối ưu nhấtgiúp học sinh vận dụng tốt lí thuyết vào làm bài tập

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

4 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục đề tài gồm 2 chương:

Chương 1: Hệ thống lí thuyết

Chương 2: Một số hoạt động dạy học nguyên hàm qua các bài tập

2.1 Một số bài toán sử dụng định nghĩa, bảng nguyên hàm cơ bản

2.2 Một số bài toán sử dụng phương pháp đổi biến số

2.3 Một số bài toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần

2.4 Một số bài toán giải bằng nhiều phương pháp

2.5 Tính tích phân bằng tổng hợp nhiều phương pháp

Chương I – HỆ THỐNG LÍ THUYẾT

1 Nguyên hàm

1.1 Khái niệm nguyên hàm

Khái niệm nguyên hàm có liên quan chặt chẽ tới khái niệm đạo hàm Trướckhi nêu định nghĩa nguyên hàm cần làm cho học sinh hiểu rõ vấn đề đặt ra bằngcách đặt ra một bài toán cụ thể

Bài toán mở đầu: Vận tốc của viên đạn được bắn lên theo phương thẳngđứng tại thời điểm t là v(t) = 160 – 9,8t (m/s) Tính quãng đường đi được củaviên đạn kể từ khi bán lên cho đến thời điểm t (xem t0 = 0)

Gọi s(t) là quãng đường đi được của viên đạn sau khi bắn được t giây

Ta đã biết v(t) = s’(t) Do đó ta cần tìm hàm số s = s(t) thỏa mãn điều kiện:s’(t) = 160 – 9,8t

Nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật đã dẫn tới bài toán sau: Cho hàm số fxác định trên K, ở đó K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng nào đó.Hãy tìm hàm số F sao cho F’(x) = f(x) với mọi x K∈

Sau quá trình giúp học sinh hình thành vấn đề ta đi vào định nghĩa

2) Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 12

cos x trên khoảng

π π

Định lí:

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm f trên K.

b) Với mỗi nguyên hàm G của hàm f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C x K∀ ∈ .

1.2 Nguyên hàm một số hàm số thường gặp

Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm Việctìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp thường được đưa về tìm nguyênhàm của các hàm số đơn giản hơn Sau đây là bảng tính nguyên hàm các hàm sốthường gặp

1 2

x

11

2.1 Phương pháp xác định nguyên hàm

Một số bài toán chúng ta dùng đến định nghĩa và các phép phân tích cơ bản

để tìm nguyên hàm của hàm số

Định nghĩa: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), khi đó hàm số y =

F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi F′(x) = f(x), ∀x∈(a;b).

Vì (uv)’ = u’v + uv’, ( )'u u 'v uv'2

Sử dụng các biến đổi cơ bản:

2.2 Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lí:

Bước 1: Chọn x = ϕ(t), trong đó (t)ϕ là hàm số ta chọn cho thích hợp

Bước 2: lấy vi phân dx = '(t)ϕ dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

Bước 4: Tính I = ∫g(t)dt

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

x ln(x x 1I

2.4 Một số phương pháp khác

2.4.1 Phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác định nguyên hàm của f(x) bằng kĩthuật dùng nguyên hàm phụ là tìm kiếm một hàm số g(x) sao cho nguyên hàmcủa các hàm số f (x) g(x)± dễ xác định hơn so với hàm số f(x), từ đó suy ranguyên hàm F(x) của hàm số f(x)

Quy trình:

Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f (x) g(x)± tức là:

1 2

F(x) G(x) A(x) C

(I)F(x) G(x) B(x) C

Tổng hợp, hệ thống lại lí thuyết nguyên hàm là một trong những hoạt độngquan trọng của dạy học nguyên hàm Nó giúp học sinh nắm bắt cơ sở lí thuyết đểvận dụng vào làm bài tập.

Tính tích phân bất định (nguyên hàm) là một trong những phần quan trọngcủa chương trình toán 12 ở Trung Học Phổ Thông, nó có hệ thống bài tập rất đadạng, phong phú Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp được học để làmbài tập là một hoạt động quan trọng Học sinh nhận biết được bài tập, đưa ra cácphương pháp giải phù hợp chính là thành công hay nói đúng hơn là việc dạy họcphần nguyên hàm đạt được mục tiêu đề ra Để giúp học sinh rèn luyện kĩ nănggiải toán chúng tôi xin đưa ra một số hoạt động dạy học giải bài tập trong phầntích phân bất định

Chương II – MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC NGUYÊN HÀM QUA

Ví dụ 1: Xác định họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x2 + 3x + 2)ex

Giáo viên đặt câu hỏi mở:

– Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa nguyên hàm trên một khoảng?

Học sinh: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K Hàm số F(x) được gọi lànguyên hàm của f(x) trên K nếu f(x) = F’(x) với mọi x ∈ K

– Hãy biến đổi f(x) về dạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]ex ?

Học sinh: f(x) = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = [(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)’]ex.– Hãy xét hàm số: F(x) = (x2 + x + 1)ex Tính F’(x) = ?

Học sinh: F’(x) = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = (x2 + 3x + 2)ex = f(x)

Lời giải :

Ta có: f(x) = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = [(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)’]ex.Xét hàm số: F(x) = (x2 + x + 1)ex Ta có:

F’(x) = [(x2 + x + 1)ex]’ = [(x2 + x + 1) + (2x + 1)]ex = (x2 + 3x + 2)ex = f(x).Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) = (x2 + x + 1)ex + C

Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tính nguyên hàm của hàm sốdạng: f(x) = [g(x) + g’(x)]ex thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét hàm số F(x) = f(x)ex Nhận xét rằng:

F’(x) = f(x)ex + f’(x)ex = [f(x) + f’(x)]ex

Bước 2: Vậy F(x) = f(x)ex + C là nguyên hàm của hàm số f(x)

Ví dụ 2: Xác định họ nguyên hàm của hàm số: f (x) = 2 48 3x− x.

−

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Biến đổi f(x) về dạng: f(x) = u’v + uv’ ?

Vậy họ nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = x 4 x− + C

Từ ví dụ trên, giáo viên rút ra kết luận: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số

có dạng f(x) = u’v + uv’ thì ta làm như sau:

Bước 1: Xét hàm số: F(x) = u.v Ta thấy F’(x) = u’v + uv’

Bước 2: Vậy F(x) = u.v + C là họ nguyên hàm của hàm số f(x)

Chú ý: Trong một số bài toán thì ta có thể biến đổi hàm số f(x) thành một

trong hai dạng trên, tuy nhiên không phải bài toán nào cũng dễ dàng đưa được về

dạng như trên Ngoài phương pháp tính bằng định nghĩa như trên thì ta còn cóthể sử dụng bảng nguyên hàm để giải một số bài toán tìm nguyên hàm.

* Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Yêu cầu học sinh nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản ?

Học sinh: Nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản

)x(

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Với hàm số f(x) như vậy thì ta có thể sử dụng ngay bảng nguyênhàm cơ bản hay chưa ?

xx

x)x(

1 6

1 3 2 3

3 3

−

++

=+

+

=

– Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính nguyên hàm của f(x) ?

xx

x)x(

1 6

1 3 2 3

3 3

−

++

=+

2

3x

7

6x

5

3dxx

xxdx

7 3

5 3

1 6

1 3 2

Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng có thể sử dụng ngay bảng

nguyên hàm cơ bản được, muốn sử dụng được thì ta phải trải qua một hoặc một

số bước biến đổi, phân tích Bây giờ ta sẽ xét thêm một số ví dụ sau:

Ví dụ 5: Tính nguyên hàm của hàm số sau:

a)

xcos.xsin

1)

x

(

b) f(x) = tan2 x

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

a) – Với hàm số này thì ta chưa thể sử dụng ngay bảng nguyên hàm được,vậy ta phải biến đổi hàm số f(x) trên như thế nào?

Theo công thức lượng giác đã được học thì sin2x + cos2x = ? Áp dụng nóvào bài này như thế nào?

Học sinh: sin2x + cos2x = 1, do đó ta phân tích

xsin

1x

cos

1x

cos.xsin

xcosx

sin

2 2

2 2

2 2

+

=+

– Sử dụng bảng nguyên hàm để tính ?

Học sinh:

Lời giải:

Ta có: sin2x + cos2x = 1, do đó:

f(x) =

xsin

1x

cos

1x

cos.xsin

xcosx

sin

2 2

2 2

2 2

+

=+

Suy ra:

.Cxcotxtan

dxxsin

1dx

xcos

1dx

xsin

1x

cos

1dx

)x

11

)xtan1(1)

x(

11

)xtan1(1)

dxxcos

1dx

dxxcos

11

Giáo viên đưa ra một số bài tập tương tự:

Bài 1 Xác định họ nguyên hàm của các hàm số sau:

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Đây là đa thức bậc ba đơn giản, hãy phân tích (2x + 3)3 ?

2

)1x2(C8

tdt2

tdx)1x2(

4 4

3

+

Từ bài toán trên, giáo viên rút ra kết luận: Như vậy, với việc đặt t = 2x +1thì bài toán trên trở nên đơn giản và dễ dàng hơn Đây chính là phương pháp đổibiến số, đó là một phương pháp được sử dụng phổ biến để giải quyết các bài toántính tích phân Phương pháp đổi biến số này có hai dạng là: t = ϕ(x) và x = ϕ(t).

Ở bài trên ta đã sử dụng phương pháp đổi biến số dạng t = ϕ(x).

* Phương pháp đổi biến số dạng t = ϕ(x)

Bài toán 1: Tính tích phân bất định I = ∫f(x)dx bằng phương pháp đổi

biến số dạng: t = ϕ(x).

Quy trình giải toán

Bước 1 Chọn t = ϕ(x), trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợprồi xác định x = ϕ(t) (nếu có thể);

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: I = ∫ − dx

x1

x2

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh:

– Ở đây, hàm số

x1

x2

− thuộc dạng nào trong những dạng trên và ta sẽ sửdụng phương pháp đổi biến số như thế nào ?

Học sinh: Hàm số có dạng: f (x, ϕ(x)) Ta đặt: t = 1− x

– t phải có điều kiện gì ?

Học sinh: Điều kiện: t 0≥

t1(dxx1

x

2 2

– Để tính tích phân trên thì ta phải làm như thế nào?

Học sinh: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân theo t, sau đóthì thay t = 1− x vào

)15t

10t

t25

t(2dt

)1t2t(2dt

t

)t2)(

t1(dxx

1

x

I

2 2

4

3 5

2 4 2

2

+++

−

−

=++

−

−

=

++

−

−

=+

dxI

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Hàm số trong dấu tích phân có dạng như thế nào ? Ta sẽ sử dụng phươngpháp đổi biến số như thế nào ?

11

x2

)2x(2

1)

1x(2

01x

2x2

11

x2

x

12

2t dt

)2x(1x(

dx

=++

⇔Khi đó, ta có:

t

dt2

* Trường hợp 2: x 2

02x

01x

Suy ra:

)2x(2

1)

1x(2

−

)2x(

1)

1x(

12

−

−

)2x(1

Ví dụ 4: Tính tích phân bất định sau: =∫ + dx

x1

1I

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Đối với bài toán này thì ta có thể áp dụng dấu hiệu nào ở trên không ?Học sinh: Không

– Nếu đặt t = x − 1+ x2 thì x = ?

Học sinh: Ta có:

t2

1tx1txt2

x1)tx(x1txx

1xt

2 2

2 2

2 2

−

=

⇒

=+

=

−

⇒+

1t

Lời giải:

Đặt: t =x − 1+ x2 ⇒ x −t = 1+ x2 ⇒(x − t)2 =1+ x2

t2

1tx1txt2

1t

2

2 + Khi đó, ta có:

Cx

1xlnC

tlndt

t

1dt

t2)1t(

)1t(t2

2 2

2

++

−

−

=+

−

=

−

=+

t thì dx = ? Bài toán sẽ trở thành thếnào?

tcos

tcosdt

tcos

1ttan1

– Từ đó, suy ra sint = ?

Học sinh:

1x

x1

x

11

tsin

2 2

+

=+

tcos

tcosdt

tcos

1ttan1

x1

+

Ngoài phương pháp đổi biến số dạng: t = ϕ(x) như trên thì ta có thêmphương pháp đổi biến số dạng: x = ϕ(t).

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm:

I = ∫f (x)dx.

Quy trình giải toán:

Bước 1: Chọn x = ϕ(t), trong đó (t)ϕ là hàm số ta chọn cho thích hợp;

Bước 2: Lấy vi phân dx = '(t)ϕ dt;

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt;

Giáo viên đặt câu hỏi :

– Có dấu hiệu gì để nhận biết bài toán trên hay không ?

Học sinh: Hàm số trong dấu tích phân có dạng a2 − x2 nên ta sẽ đặt x = sint– Với cách đặt như vậy thì t phải có điều kiện gì?

Học sinh: Điều kiện: t∈− π2; π2

t2sint2

1dt2

t2

cos

1

++

=+

Trên đây là một số dạng toán cơ bản và khá phổ biến, với mỗi dạng toán thì

có mỗi cách đổi biến khác nhau Tuy nhiên, trong thực tế thì có nhiều bài toánkhi nhìn qua thì ta chưa thể nhìn ngay ra dạng nào và muốn giải được thì ta phảitrải qua một số bước biến đổi, phân tích để đưa bài toán về một trong các dạngtrên Và việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân để lựa chọn phép đặt ẩn phụthích hợp là một công việc hết sức quan trọng trong việc giải các bài toán Bâygiờ ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: =∫ + ++ + −

3x2x3x2x

dx)1x2(

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

– Tích phân bất định trên có thuộc một trong những dạng trên hay không ?Học sinh: Không

Biến đổi I về dạng: ∫ ( + + ) −

+

=

41xx

dx)1x2(

Giáo viên hướng dẫn:

– Bây giờ ta sẽ phân tích biểu thức ở mẫu: 4sin x cos x Hãy đưa hàm3 5cosx hoặc sinx ra ngoài căn bậc bốn?

3

cos xsin x cos x sin x cos x tan x

cosxtan

dxx

cosxsin

dx

Ta đặt: t = tanx ⇒ dt = dx

xcos1

Khi đó: I = 4 3 44 t C 44 tanx

t

dt

=+

=

Ví dụ 8: Tính tích phân bất định sau: dx

2x

2x

2

∫ −+

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở hướng dẫn học sinh:

– Phân tích: Làm thế nào để đưa biểu thức ở tử ra khỏi dấu căn? Nếu nhân

cả tử, cả mẫu với x2 +2 ta được điều gì? Từ đó phân tích hàm số dưới dấu căn

Học sinh: Ta có:

2x

32

x

11

x

31

2x

1

1x

3)1x(2x

11

x.2x

2x1

x

2x

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

−+

++

=

−+

1I

2 2

−+

= ∫

Sử dụng phương pháp đổi biến số: Đặt t =

2x

x

2 + .

2 2

t2x

2x

Học sinh:

( ) ( ) 2(x 1)

dt)2x(1x.2x2

dt.2x)2x(1x.2x

dx

2

2 2

2

2 2

++

=

−+

.1t3

dt1

1

t

2

2 2

2x3xln32

1

C13t

13tln32

11t3

)3t(d3

11t3

dtI

2 2

2

2 2

2 2

+++

+

−

=

++

32

x

11

x

31

2x

1

1x

3)1x(2x

11

x.2x

2x1

x

2x

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

−+

++

=

−+

2 2

2 2

t2x

2x

dt.2x)2x(1x.2x

dx

2

2 2

2

2 2

++

=

−+

.

1t3

dt1

t1

t22

dt2t1

t2

2 2

2 2 2

2x3xln32

3

2

2

+++

+

−

2x3x

2x3xln2

3

2

2

+++

5 = ∫

xsin

dx

x

e1

dxI

1xx1

dx

xsin1xcos

xsinI

- Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính đạo hàm của một tích ?

Học sinh: (uv)’ = u’v + uv’

- Lấy nguyên hàm hai vế ta được điều gì ?

Học sinh: (uv)'dx∫ =∫(u 'v uv')dx+ ⇔ uv =∫vdu + ∫udv

- Từ đó ta có: udv uv∫ = −∫vdu

Trong thực tế có rất nhiều bài toán khi tính tích phân udv∫ thì rất khó khăn(hoặc không thể tính được theo các phương pháp đã học) nhưng nếu chuyển sangtính uv− ∫vdu thì sẽ dễ dàng hơn nhiều

Ví dụ 1: Tính I= ∫xcosxdx

Giáo viên hướng dẫn:

− Các em hãy tính I bằng phương pháp đặt ẩn phụ hay phân tích ?

− Việc tính I bằng các phương pháp trên là rất khó khăn, mà gần như làkhông thực hiện được Vậy các em hãy xem x sin xdx∫ là udv∫ và tính vdu ?∫

Học sinh:

v sin x ( cosxdx dv)cosx dv

Giáo viên: Như vậy với việc dùng phương pháp tích phân từng phần thì việc

những tích phân phức tạp sẽ được tính dễ dàng hơn bằng việc tính qua một tíchphân khác Phương pháp này sẽ phát huy hiệu quả nếu dùng đúng với nhữnghàm số nhất định như hàm lượng giác, siêu việt

Dấu hiệu nhận biết một số hàm số sử dụng phương pháp tích phân từngphần:

Ví dụ 2: Tính tích phân bất định I =∫x cos xdx3

Giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi mở:

− So với ví dụ 1 thì đa thức P(x) ở đây có bậc như thế nào?

− Nếu đặt u = x3, dv = cosxdx thì kết quả thế nào?

Học sinh:

+) P(x) có bậc cao hơn đa thức ở ví dụ 1 (bậc 3 > bậc 1)

+) dv = 3x2, v = sinx