Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng

Ở chương trình phổ thông, học sinh đãđược làm quen với một số phép biến hình trong mặt phẳng như phéptịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự,..... Một cách tự nhiên ta có th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2015

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán

sơ cấp với đề tài “Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng”

là của tôi Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ

Tác giảNguyễn Hùng Cường

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đếncác thầy cô giáo của khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên đã trang bị kiến thức cơ bản, tạo điều kiện tốt nhất cho tác giảtrong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS TrầnNguyên An, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả

có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoànthành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giảNguyễn Hùng Cường

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh sách ký hiệu iv

Mở đầu 1

Chương 1 Các phép biến hình trong mặt phẳng 2

1.1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.2 Phép tịnh tiến 3

1.3 Phép đối xứng qua đường thẳng 6

1.4 Phép quay xung quanh một điểm 8

1.5 Phép dời hình 10

1.6 Phép vị tự 13

1.7 Phép đồng dạng 20

1.8 Phép nghịch đảo 22

Chương 2 Các phép biến hình trong không gian 25

2.1 Phép tịnh tiến 25

2.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng 29

2.3 Phép quay xung quanh một đường thẳng 32

2.4 Phép dời hình 33

2.5 Phép vị tự 38

2.6 Phép đồng dạng 43

2.7 Phép nghịch đảo 46

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

∆ABC Tam giác ABC.

T~ Phép tịnh tiến theo véc tơ ~ v.

D∆ Phép đối xứng qua đường thẳng ∆.

Mở đầu

Các phép biến hình là công cụ hữu hiệu và quan trọng trong việcnghiên cứu Hình học sơ cấp Ở chương trình phổ thông, học sinh đãđược làm quen với một số phép biến hình trong mặt phẳng như phéptịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, Các phép biếnhình giúp ta giải quyết được một số dạng toán: Chứng minh, quĩ tích,dựng hình, cực trị, Một cách tự nhiên ta có thể mở rộng các phép biếnhình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong không gian Mụcđích chính của luận văn là trình bày một số phép biến hình trong khônggian và đưa ra một số ví dụ áp dụng Để thấy được sự mở rộng từ cácphép biến hình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong khônggian luận văn trình bày hệ thống lại một số kết quả của phép biến hìnhtrong mặt phẳng

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Phép biến hình trong mặt phẳng Trong Chương 1, chúngtôi trình bày một số phép biến hình trong mặt phẳng và 24 bài toán sửdụng phép biến hình để giải

Chương 2 Phép biến hình trong không gian.Trong Chương 2, chúngtôi trình bày một số phép biến hình trong không gian và mở rộng 24 bàitoán hình học phẳng sang bài toán hình học trong không gian

Chương 1

Các phép biến hình trong mặt

phẳng

Chương này trình bày một số phép biến hình cơ bản trong mặt phẳng

và một số ví dụ áp dụng Mục đích của việc trình bày chương này là hệthống lại các phép biến hình trong mặt phẳng để từ đó mở rộng tươngứng sang các phép biến hình trong không gian

1.1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa (Phép biến hình) Trong mặt phẳng (không gian) chomột quy tắc f Với mỗi điểm M bất kì, theo quy tắc f ta xác định đượcduy nhất điểm M0 Khi đó ta nói M0 là ảnh của M qua quy tắc f vàđược kí hiệu f : M → M0 Điểm M được gọi là tạo ảnh của M0, f đượcgọi là một phép biến hình trong mặt phẳng (phép biến hình trong khônggian)

1.2 Định nghĩa (Phép biến hình 1-1) Ta biết rằng mỗi ảnh của mộtđiểm M qua phép biến hình f có thể có nhiều tạo ảnh khác M Nếu mỗiảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phépbiến hình 1 − 1

1.3 Định nghĩa (Phép biến hình đồng nhất) Ta nói f là phép biếnhình đồng nhất, nếu f biến mọi điểm M thành chính M

1.4 Định nghĩa (Phép biến hình ngược) Giả sử f : M → M0 với mọiđiểm M trong mặt phẳng (không gian) Nếu tồn tại một phép biến hình

g biến M0 thành M , thì ta nói g là phép biến hình ngược của f và f làphép biến hình có ngược

1.5 Định nghĩa (Tích của phép biến hình) Tích của hai (hoặc nhiều)

phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ việc thực hiện liêntiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho.

1.6 Định nghĩa (Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳngbất động của một phép biến hình) Ta nói O là một điểm bất động (hoặcđiểm kép) của một phép biến hình f , nếu f biến O thành O

Ta nói đường thẳng d là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của một phépbiến hình f , nếu mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f

Ta nói mặt phẳng (P ) là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của mộtphép biến hình f , nếu mọi điểm thuộc (P ) là điểm bất động của f

Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P )) là bất biến của một phép biếnhình f , nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )) thành chính

nó Khi đó đường thẳng d (mặt phẳng (P )) còn được gọi là đường thẳngkép (hoặc mặt phẳng kép)

1.7 Định nghĩa (Phép biến hình đối hợp) Phép biến hình f được gọi

là phép biến hình có tính chất đối hợp nếu f (M ) = M0, f (M0) = M00 thì

1.9 Định nghĩa (Chiều quay của tam giác) Chiều quay của tam giácABC là chiều quay từ A đến B, tiếp đó đến C Nếu chiều quay của tamgiác ABC ngược chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều thuận(hay chiều dương)

1.10 Định nghĩa (Chiều của tứ diện) Tứ diện ABCD được gọi là cóchiều dương nếu trong nửa không gian với biên là mặt phẳng (BCD)chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm Nếu tam giác BCD xét trongnửa không gian trên có chiều dương thì tứ diện ABCD có chiều âm

1.2.2 Tính chất

1 Phép tịnh tiến là một phép biến hình 1 - 1

2 Phép tịnh tiến không có điểm kép

3 Mọi đường thẳng a//−→v thì a là đường thẳng kép.

4 Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

5 Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A0, B0, C0thẳng hàng, do đó nó biến đường thẳng d thành đường thẳng d0 songsong hoặc trùng với d

6 Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm

A0, B0, C0 không thẳng hàng, do đó nó biến tam giác ABC thànhtam giác A0B0C0 bằng với nó

7 Phép tịnh tiến bảo toàn số đo góc T− →v : α → α0 = α

8 Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.1.2.3 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1.2.1 Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng ∆ cố định, mộtđường tròn (O0, R0) luôn tiếp xúc với (O, R), trong đó R0 không đổi Ởmỗi vị trí của (O0, R0) kẻ tiếp tuyến M x//∆ Tìm tập hợp tiếp điểm Mkhi (O0, R0) chuyển động

Giải a Trường hợp đường tròn (O0, R0) tiếp xúc ngoài với (O, R) Vì

là ảnh của đường tròn W qua T− →v

Vì có hai ~v (ngược hướng nhau)

cùng thỏa mãn điều kiện trên nên

bài toán có hai nghiệm hình

b Trường hợp đường tròn

(O0, R0) tiếp xúc trong với (O, R)

Tương tự như trên, ta có hai tập hợp điểm M và tập hợp điểm M0 cũng

là hai đường tròn Vì tập hợp O0 là đường tròn λ(O, |R − R0|) nên tập

hợp M là đường tròn λ0(O2, |R − R0|), trong đó λ0 = T− →v(λ) Tập hợp M0

là đường tròn λ1(O02, |R − R0|), trong đó λ1 là ảnh của λ qua T−~v

Ví dụ 1.2.2 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B bất kì không thuộc

d Tìm trên d hai điểm M, N sao cho M N = m và M A = N B

Giải a Phân tích Giả sử đã dựng được M, N thỏa mãn điều kiện đầubài Chọn ~v sao cho |~v| = m, ~v//d, A0 = T~(A), N = T~(M ) từ đó ta có

M A = N A0 = N B, nên ta suy ra N là giao của d và d0 (d0 là đường trung

c Biện luận Nếu A0B ⊥ d thì bài toán vô nghiệm

Ví dụ 1.2.3 Cho đường tròn (O, R), điểm A cố định thuộc (O, R) vàmột điểm I cố định không thuộc (O, R) Một đường thẳng d chuyểnđộng qua I, đường thẳng d cắt (O, R) ở B và C Chứng minh rằng trựctâm H luôn thuộc một đường tròn cố định

Giải Do H là trực tâm của ∆ABC nên ta suy ra AH = 2OM

đó ta suy ra H thuộc đường tròn

tâm I’ bán kính I0M = IO0 = IO,

trong đó I0 = T−→

OA(I)

Ví dụ 1.2.4 Cho hai đường tròn (O, R) và (O0, R0) Dựng M ∈ (O) và

N ∈ (O0) sao cho M N = m và M N//OO0 (m là độ dài cho trước).Giải Dễ thấy điểm N ≡ T~(M ), trong đó véc tơ ~v//−−→

OO0, |~v| = m,

Hình 1.4

mà điểm M ∈ (O, R) nên ta suy ra

N ∈ (O1, R) là ảnh của (O, R) qua

T~ Vậy N ≡ (O1) ∩ (O) từ đó ta suy

Cho một đường thẳng ∆ cố định, một phép biến hình f biến M thành

M0 sao cho ∆ là đường trung trực của M M0 thì f được gọi là phép đốixứng trục qua đường thẳng ∆, ký hiệu D∆ : M → M0

1.3.2 Tính chất

1 D∆ là một phép biến hình 1 - 1

2 ∆ là đường thẳng kép hoàn toàn

3 D∆ là một phép biến hình có tính chất đối hợp

4 D∆ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

5 D∆ bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm A, B, C

6 D∆ biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’không thẳng hàng, biến 4ABC thành 4A0B0C0 = 4ABC.

Ví dụ 1.3.1 Cho một đường tròn (O, R), đường thẳng ∆ và một điểm

A, B ∈ (O) Tìm tập hợp điểm C sao cho AB = AC và BC//∆

Ví dụ 1.3.2 Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B nằm cùng phía bờ

∆ Tìm trên đường thẳng ∆ một điểm M sao cho M A + M B nhỏ nhất.Giải

Hình 1.7

Lấy A0 là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục D∆, điểm M là giao

của A0B và đường thẳng ∆ khi đó M A + M B nhỏ nhất Thật vậy, lấyđiểm M0 bất kỳ thuộc đường thẳng ∆, ta suy ra

Hình 1.9

Cho một điểm O và một góc α có hướng

Một phép biến hình f biến M thành M0 sao

cho: OM = OM0, (−−→

OM ,−−→

OM0) = α + k2π thì fđược gọi là phép quay tâm O, góc quay α, ký

4 QαO Bảo toàn tính thẳng hàng của 3 điểm và thứ tự của chúng, do

đó phép quay biến đường thẳng d thành d0 sao cho (d, d0) = α

Giải Qua Q−90B 0 : C → E, vì C thuộc nửa đường tròn đường kính AB,

Hình 1.11

nên điểm E thuộc nửa đường tròn đường kính

A0B là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB

• Phép dời hình bảo toàn độ lớn góc

• Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.1.5.3 Sự liên hệ giữa các phép tịnh tiến, đối xứng và phép quay

1.5.4 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1.5.1 Cho 2 điểm O và O0, hãy xét tích DO 0.DO?

Giải Lấy điểm M bất kỳ, qua DO : M → M0, DO0 : M0 → M00,

2 −−→

OO0 (Hình 1.12)

Ví dụ 1.5.2 Cho 3 đường thẳng a, b, c Hãy

xác định tích: Dc.Db.Da trong hai trường hợp

Hình 1.15

Giải Giả sử hình F có hai tâm đối xứng là O1 và O2 Lấy một điểm

M bất kỳ, qua DO1 : M → M0, qua DO2 : M0 → M00 từ đó ta suy ra

O2 ≡ O1 Vậy F chỉ có một tâm đối xứng

Ví dụ 1.5.4 Cho một hình F có diện tích S, chứng minh rằng nếu F

có từ hai trục đối xứng trở lên thì các trục đối xứng phải cắt nhau tạimột điểm

Giải a) Giả sử F có hai trục đối xứng là a và b trong đó a//b (hình 1.16)

Hình 1.16

Lấy M ∈ F , khi đó qua Db.Da(M ) = M00 = T~(M ) ta suy ra −−−→

M M00 = ~v,trong đó |~v| = 2h và h = ρ(a, b) (ρ(a, b) là khoảng cách từ a đến b) Qua

Db.Da : M00 → M000 suy ra |−−−−→

M00M000| = 2h do đó |−M M−−−→000| = 4h, cứ tiếptục như vậy thì ảnh của M là Mx sẽ không thuộc F Vậy a phải cắt b.b) Giả sử F có 3 trục đối xứng a, b, c ta chứng minh a, b, c đồng quy

tại O (hình 1.17).

Hình 1.17

Thật vậy, giả sử a, b, c không đồng quy tại một điểm, chúng tạo thành

∆ABC Gọi M là một điểm nằm trong ∆ABC, I ∈ F và M I lớn nhất.Gọi I0 = Da(I), N ≡ M I0 ∩ a ta suy ra N I = N I0 và M N + N I0 =

M I0 = M N + N I > M I Vậy I0 có khoảng cách tới M lớn hơn khoảngcách từ I tới M từ đó ta suy ra I0 không thuộc F , (điều đó vô lí vì a làtrục đối xứng của F ) Do đó a, b, c phải cắt nhau tại một điểm.Vậy nếu

F có quá 2 trục đối xứng trở lên thì chúng phải đồng quy

3 Nếu k > 0 thì M và M0 cùng phía đối với I

4 Nếu k < 0 thì M và M0 khác phía đối với I

5 Nếu |k| > 1 thì IM0 > IM

6 Nếu |k| < 1 thì IM0 < IM

5 Phép vị tự bảo toàn số đo góc.

6 Phép vị tự biến đường tròn (O, R) thành đường tròn (O0, R0) saocho −→

I : (O, R) → (O0, R0) và Vk=−

R0 R

J : (O, R) →(O0, R0)

b tích hai phép vị tự khác tâm:

Vk2

I 2 Vk1

I 1 = VIk, k = k1.k2.Trong đó I1, I2, I thẳng hàng và I thỏa mãn −→

I2I = k2 (1−k 1 )

1−k 1 k 2

−−→

I2I1.1.6.3 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1.6.1 Cho hai đường tròn (O, R) và (O0, R0) tiếp xúc với nhautại A Đường thẳng OO0 cắt (O) và (O0) ở B và B0 Một đường thẳng dqua A, d cắt (O) và (O0) ở C và C0 Tìm tập hợp điểm M là giao của

Giải Vì AB//CD nên BMM D = ABCD ⇒ BM +M DBM = a+ABAB = k từ đó ta

Hình 1.21

suy ra −−→

BM = k−−→

BD, do đó VBk : D → M Vì tập hợp D là đường tròn

(A, m) nên tập hợp M là đường tròn (A0, m0), trong đó A0 = VBk(A), m0 =k.m0.

Ví dụ 1.6.3 Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định, một cát tuyến

d đi qua A, d cắt (O) ở B và C Kẻ phân giác góc [BOA, gọi I là giaocủa phân giác với AB Tìm tập hợp điểm I

Giải Theo tính chất của phân giác IAIB = OBOA nên AI+IBAI = R+OAOA = k,

Hình 1.22

ta suy ra−→

AI = k.−→

AB do đó VAk : B → I Vì tập hợp điểm B là đường tròn(O, R) nên tập hợp điểm I là đường tròn (O0, R0) sao cho −−→

Mặt khác, vì M P2 + M O2 = M B2 + M O2 = OB2 = R2 nên tậphợp M là đường tròn (I, ρ) trong đó I là trung điểm của OP , và

A : (W ) → (I) ((I) nội tiếp ∆ABC)

Hình 1.24

Gọi I0 là trung điểm của DE, J là tâm của

(W ), ta có ∆ABK v ∆ADJ(g.g) nên ta suy

J là tâm của (W ) nên I0 là tâm của (I) Vậy

DE đi qua tâm nội tiếp của tam giác ABC

(Hình 1.24)

Ví dụ 1.6.6 (VMO 2003) Cho hai đường tròn

(O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại M Một điểm

A thay đổi trên đường tròn (O2), Từ A vẽ hai

tiếp tuyến AB, AC đến (O1) với B, C là hai tiếp

điểm BM, CM lần lượt cắt (O2) tại D và E DE cắt tiếp tuyến tại Acủa (O2) tại F Chứng minh rằng F thuộc một đường thẳng cố định khi

A di chuyển trên (O2) không thẳng hàng với O1 và M

Giải

Hình 1.25

Xét phép vị tự V

R1 R2

M , khi đó ta có A → A0; E → C; D → B; DE →BC; Ax → A0y (tiếp tuyến tại A0 của (O1)) Do đó F → K (giao điểmcủa A0y và BC) Mặt khác, theo tính chất của cực đối cực thì A0y, BC

và tiếp tuyến tại M (M z) của (O1) đồng quy Do đó K ∈ M z, mà M z

cũng là tiếp tuyến của (O2) Do đó F ∈ M z.

Vậy F thuộc đường thẳng M z vuông góc với O1O2

Ví dụ 1.6.7 (IMO shortlist 2006) Hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúcngoài nhau tại C và tiếp xúc trong với (O) tại D và E Gọi (d) là tiếptuyến chung của (O1) và (O2) tại C AB là đường kính của (O) sao cho

A, D, O1 cùng phía đối với (d) Chứng minh rằng AO1, BO2, và DE đồngquy

Giải Xét phép vị tự V

R R1

D : (O1) → (O) Vì O1C//OB, nên ta suy ra

Hình 1.26

(O1C) → (OB) và C → B, do đó D, C, B thẳng hàng Hơn nữa nếu gọi

X là giao điểm của CO1 và (O1) thì X → A, nên ta suy ra X ∈ AD.Tương tự ta cũng có A, C, E thẳng hàng và Y ∈ EB, trong đó Y là giaođiểm của CO2 và (O2), do đó [AEB = \ADB = 900 Từ đó ta suy ra C làtrực tâm của tam giác ∆M AB (M là giao điểm của AD và BE) nên tasuy ra M ∈ (d) Gọi P, H lần lượt là giao điểm của M C với ED và AB,khi đó ta có (M CP H) = −1, nên ta suy ra (AD, AP, AC, AH) = −1.(1) Mặt khác, xét chùm (AD, AO1, AC, AH) đường thẳng qua O1 songsong với AH cắt AD và AC tại X và C, O1 là trung điểm của CXnên (AD, AO1, AC, AH) = −1 (2) Từ (1) và (2) ta có A, O1, P thẳnghàng Chứng minh tương tự ta cũng có B, O2, P thẳng hàng Do đó ta

có AO1, BO2, DE đồng quy tại P

1.7 Phép đồng dạng

1.7.1 Định nghĩa

Một phép biến hình f : M → M0; N :→ N0 sao cho M0N0 =

kM N (k > 0) thì f được gọi là phép đồng dạng tỷ số k, ký hiệu D(k) :

4 Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn của góc

5 Phép đồng dạng biến (O, R) → (O0, R0) trong đó O → O0, R0 = kR1.7.3 Phân loại phép đồng dạng

b Dạng chính tắc Mọi phép đồng dạng nghịch D(k) đều có thể phântích thành tích (giao hoán và duy nhất) của một phép đối xứng trục ∆

và một phép vị tự thuận D(k) = VOk.D∆ = D∆.VOk : M → M0; N → N0.Trong đó tỷ số k vị tự bằng với tỷ số k đồng dạng, ∆ là đường thẳng

đi qua I, J (I và J là hai điểm chia trong đoạn M M0 và N N0 theo tỉ sốkhông, tâm O nằm trên ∆ ) D(k) = D(O,α,k)

1.7.4 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1.7.1 Cho nửa đường tròn đường kính AB, C là điểm nằmtrên nửa đường tròn đường kính AB Dựng hình vuông CBEF sao cho(−→

tập hợp điểm E là nửa đường tròn đường kính

A0B, trong đó A0 = D(B,−450 , √

2)(A)

Ví dụ 1.7.2 Cho một điểm O và hai đường

thẳng a//b (O∈a, b) Điểm A ∈ a và B ≡ OA ∩

b Qua B kẻ đường thẳng x ⊥ OB, trên Bx lấy

B0 sao cho BB0 = BA Tìm tập hợp điểm B0

Giải Kẻ đường thẳng OEF ⊥ a, b ta suy ra OAOB = OEOF Do đó ta có

NIk : M → M0 Chú ý:

• Nếu k > 0 thì M, M0 cùng phía đối với I

• Nếu k < 0 thì M, M0 khác phía đối với I

4 Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M và M0 là ảnh của nhau qua NIk

là có hai đường tròn (O) và (O0) cùng đi qua M và M0 và trực giaovới đường tròn W (đường tròn nghịch đảo)

5 Nếu qua NIk : A → A0, B → B0 thì 4 điểm A, A0, B, B0 thuộc mộtđường tròn

6 Tích hai phép nghịch đảo đồng cực Nk2

I Nk1

I = Vk=

k2 k1

I

7 Phép nghịch đảo bảo toàn độ lớn góc

1.8.3 Ảnh của đường thẳng

1 Ảnh của một đường thẳng đi qua cực là chính nó

2 Ảnh của một đường thẳng d không đi qua cực I là đường tròn (O)

đi qua I