Bài toán thác triển và bài toán cousin đối với hàm chính quy nhận giá trị trong đại số quaternion và đại số clifford

cho thày nhiéu tinh chat quan trong cùa hàm chinh hình mot va nhiéu bién phùc, cùng nhu hàm giài tich suy róng theo nghia I.. Y nghla to lón cùa huóng nghién cuu này là ma róng pham vi ù

Trang

Mò dau 3

Chircmg 1 Bài toàn thàc trién doi vai nghiem cùa he phirang trình

dao hàm riéng tuyén tinh càp mot 11

LL Bài toàn thàc trien doi vai nghiem cùa he p h u a n g trình dao

hàm riéng tuyén tinh càp mot, he so hàng va càc ù'ng dung

cùa nò 11

L2 Bài toàn thàc trién doi vai nghiem cùa he p h u a n g trình dao

hàm riéng vai he so hàm 39

Chircmg 2 Bài toàn thàc trien va bài toàn Cousin doi vai hàm chinh

quy nhan già tri trong dai so Quaternion 52 2.0 Mot so khài niem va ti'nh chat ca bàn ve dai so Quaternion 52

2.1 Bài toàn thàc trién doi vói hàm chinh quy 56

2.2 Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc

diéu hòa vào t h a m so 65

2.3 Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm song chinh quy 76

C h u a n g 3 Bài toàn thàc trién va bài toàn Cousin doi vói hàm chinh

quy nhan già tri trong dai so Clifford 85 3.L Bài toàn thàc trién doi vói hàm d a chinh quy 86

3.2 Bài toàn kieu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich

thirc vào t h a m so 101

3.3 Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc chinh

hình vào t h a m so 115

K e t luàn 123 Càc bài b à o co lién quaji d e n l u a n à n 124

Tài liéu t h a m k h à o 126

Rank D - hang cùa ma tran D

det D - dinh t h u c cùa ma tran D

A - toàn Laplace

H - dai so Quaternion

A - dai so Clifford (thuc)

Cm - dai so Clifford (phuc)

i?(fì, R) - t a p tà t cà càc hàm nhan già tri t h u c , dièu hòa trong fi

7?-(fì,IHI) - t i p tà t cà càc hàm chinh quy trong fi, nhan già tri trong H

T^H{^I X Q 2 Ì U ) - t a p tàt cà càc hàm chinh quy trong fii, dièu hòa trong Q2, nhan già tri trong H

TZHÌ^I X f)2, H ) - tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) trong fìi, dièu hòa

trong 0.2-, n h a n già tri trong H

7?,s(fi, H) - t a p tàt cà càc hàm song chinh quy trong fi, n h a n già tri trong H Co°(fi,IHI) - t a p tàt cà càc hàm thuoc lóp C°° co già tri compact trong fi, nhan già tri trong H

ujm+i - dien tich mat càu don vi S'^ trong khòng gian ]R"^~^-^

7^^(fii X fi2, vA) - t a p tàt cà càc hàm chinh quy trong fii, giài tich t h u c trong

fi2, nhan già tri trong A

TZA{^I X fi2, ^ ) - tap tàt cà càc hàm chmh quy (co ky di) trong fii, giài tich

t h u c trong fi2, nhan già tri trong A

7^-^(fii X fi2, C) - t a p tàt cà càc hàm chinh quy trong fii, chinh hình trong fi2, n h a n già tri phùc

7è>^(fii X 0.2^^) - tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) trong fi^, chinh

hình trong fi2, nhàn già tri phùc

7^(fi, C) t a p t à t cà càc hàm chinh hình trong fi

>l(fi, R) - t a p t à t cà càc hàm nhan già t h u c , giài tich t h y c trong fi

Dq, 9 - càc dang vi phàn trong dai so Quaternion

dau, du - càc dang vi phàn trong dai so Clifford A (hoac C ^ )

Tu hai thàp ky gàn day, viéc nghién cuoi toàn tu Cauchy- Riemann suy róng va toàn tu Dirac dà tra thành de tài trung tàm cùa nhiéu ngành toàn hoc hien dai

Mot mat, nhiéu bài toàn toàn cuc duoc nghién culi co lién quan chat che vói càc tinh chat cùa hai toàn tu này trén càc da tap Mat khàc, viéc nghién

cuu càc tình chat dia phuang cùa nghiem cùa toàn tu Cauchy - Riemann suy

róng va toàn tu Dirac dàn dèh mot vàn de mói me trong ly thuyét hàm là giài tich Qifford ([6]-[10], [13]-[15]) Giài tich Qifford là su ma róng cùa giài tich phùc cho lóp hàm nhan già tri trong mot dai so' két bop, khóng giao hoàn, bao hàm nhùng dai so' quan trong trong ùng dung cùa vàt ly ly thuyét, ly thuyét hat ca bàn va ly thuyét truòng luang tu nhu: Dai so Quartemion, Dai so' Dirac, Dai so Pauli,

Nhùng két qua cùa F Brackx, R Delanghe, R Gilbert, B Goldschmidt,

V P Palamodov, D Partici, W Pincket, G B Rizza, J Ryan, F Sommen,

Le Hung Son, D C Struppa, cho thày nhiéu tinh chat quan trong cùa hàm chinh hình mot va nhiéu bién phùc, cùng nhu hàm giài tich suy róng (theo nghia I N Vekua) dà duac ma róng cho càc hàm chinh quy va chinh quy suy róng, nhan già tri trong mot dai so Qifford Y nghla to lón cùa huóng nghién cuu này là ma róng pham vi ùng dung cùa giài tich phùc cho mot lóp róng han càc he phuang trình dao hàm riéng, bao góm nhùng he phuang trình quan trong nhà't trong vàt ly ly thuyét, ca hoc luang tu, ly thuyét truòng va ùng dung ky thuat nhu : he Maxwell, he Riesze, he phuang trình biéu dién Sohton,

he biéu dién càc truòng Gauge va Yang ~ Mills, trong ly thuyét chuyén pha va

khào sàt phàn bó cùa nhùng hat Quard (hat siéu vàt chat) Nò cùng ma ra nhùng phuang phàp mói giùp cho viéc giài càc bài toàn bién cùa he phuang

trình dao hàm riéng nhiéu bién vò'n truóc day gap nhiéu khó khan nhu bài toàn bién cùa hàm chinh hình nhiéu bién phùc tra nén de dàng hon

Tuy nhién, viéc nghién cùu ly thuyét hàm nhàn già tri trong mot dai so aifford cùng co nhùng han che do tinh chat qua tóng quàt cùa nò Trong mot

so nàm gàn day, nhiéu nhà toàn hoc nhu R Delanghe, Gentili, D Penici,

F Sommen, Le Hung Son, V Soucek, A Sudbery, dà bàt dàu xày dung ly thuyét hàm nhàn già tri trong mot dai so hep han dai so' Qifford nhung dù ma róng cho càc dai so' quan trong nhu dai so' Quaternion, dai so' Pauli va dac biét

là su ma róng cùa càc nhóm quay va nhóm Spin, thuòng gap trong càc ùng dung vat ly va ky thuat Dò là nói dung ca bàn cùa huóng nghién cùu mang tén

"Hình hoc va giài tich Spinor" Day là huóng nghién cùu mói ra dai, ké thùa nhùng dó'i tuong va phuang phàp cùa nhiéu llnh vuc nghién cùu quan trong khàc nhau cùa toàn hoc hién dai nhu giài tich phùc mot va nhiéu bién, giài tich diéu hoà, giài tich Oifford, ly thuyét dóng diéu, hình hoc Yang - Mills,

Ly thuyét hàm trén truòng Quaternion duac nghién cùu làn dàu tién boi Hamilton ([29]) vào cuòi théky 19 Bàn thàn Hamilton va nhùng nguòi kétuc chinh cùa óng là Tait ([71]) va Jolly ([33]) chi phàt trién ly thuyét hàm mot bién Quaternion bang càc phuang phàp chung cùa ly thuyét hàm so

Nàm 1935, R Fueter ([19]-[22]) dà dua ra khài niem hàm chinh quy, là nghiem cùa he phuang trình tuong tu he Cauchy - Riemann Òng chi ra ràng, hàm chinh quy co nhùng tinh chat tuang tu hàm chinh hình nhu dinh ly Cauchy, cóng thùc tich phàn Cauchy, su khai trién Laurent, dinh ly duy nhà't Muòi hai nàm sau, Fueter va càc cóng su dà phàt trién càc két qua trén va xày dung ly thuyét giài tich Quaternion va dà dat duac nhiéu két qua sau sàc Tuy nhién, co mot so' diém khóng tron ven trong ly thuyét này Nhiéu dinh ly nói trén hoac khòng tóng quàt, hoac khóng dugc chùng minh chat che nhu càc chuàn mire thóng thuòng ve su trình bay ma giài tich phùc dòi hòi

Nhùng nàm gàn day, giài tich Quaternion dà co nhùng buóc phàt trién mói nhò càc cóng trình nghién cùu cùa W W Adams, C A Berenstein, P

Loustaunau, I Sabadini, D C Struppa ([l]-[2]), S Adler ([4]), Deavours ([16]),

V R Palamodov ([42]), D Penici ([43]), Salamon ([50]-[51]), Le Hùng San ([57]) A Sudber\' ([68]),

Nàm 1978, A Sudbery dà bó sung mot so' két qua mói ve hàm chinh quy mot bién Quatemion dugc dinh nghia bòi R Fueter Su dung phép tinh vi phàn ngoài, A.Sudbery dà dua ra nhùng càch chùng mmh mói va don giàn cho hàu hét càc dinh ly co bàn va co thè xàc dinh dugc rò ràng mói quan he giùa giài tich Quatemion va giài tich phùc

Gàn day, D Pertici ([43]) dà nghién cùu ly thuyét hàm chinh quy nhiéu bién Quatemion va khài quàt mot so dinh ly tu giài tich phùc nhiéu bién cho lóp hàm này nhu cóng thùc Bochner - Matinelli, dinh ly thàc trién kiéu Hartogs,

Mot dang dac biét cùa hàm chinh quy nhan già tri trong dai so Qifford

là hàm song chinh quy cùng dugc nghién cùu boi F Brackx, W Pincket va Le Hùng San Trong ([55]), Le Hùng San dà dua ra khài niem hàm da chinh quy

Dò là su tóng quàt cùa hàm chinh quy trong khóng gian nhiéu chiéu Ben canh

dò, khài niém hàm song chinh quy suy róng cùng dugc xét trong ([55]) Mot

so két qua quan trong cùa lóp hàm này nhu cóng thùc tich phàn Cauchy, dinh

ly duy nhàt, nguyèn ly modul cuc dai, dinh ly thàc trién kiéu Hartogs, dà dugc chùng minh ([55])

Mot trong nhùng vàn de quan trong cùa huóng nghién cùu này là bài toàn thàc trién va bài toàn Cousin dó'i vói càc lóp hàm nói trén Càc két qua chù yéu dugc the hién trong càc cóng trình cùa Le Hùng San ([54]-[67])

Mot huóng nghién cùu khàc là ma róng toàn tu Cauchy-Riemann cùng

dà dugc mot so tàc già quan tàm Nàm 1986 Dang Vàn Khài xét toàn tu

trong dò £; = ± 1, càc vecta e^ thòa man diéu kién Uén hgp

e-A^^A, + eA^eA, = 2^ij-eo, i,j = L ,/c

va nhàn dugc két qua: mgi hình chinh quy theo nghia Tf-0 cùng co nhùng

tinh chat tuong tu nhu hàm chinh quy theo nghia cùa R Delanghe ([9]) hay cùa F Sommen ([53])

Nàm 1994, Tran Quyé't Thàng dà xét phuang trình dang

trong dò D^ là toàn tu Cauchy-Riemann, J:^-> ^ là toàn tu myén tinh va

dà ma róng mot so két qua cùa ly thuyét L N Vekua ve hàm giài tich suy róng mot bién phùc cho lóp nghiem cùa phuang trình nói trén Ngoài ra, tàc già dà

chùng minh dugc dinh ly thàc trién kiéu Hartogs trong truòng hgp W{x, t) là hàm chinh quy phài theo tham so' t va giài bài toàn kiéu Cousin cho lóp hàm

nói trén

Tiép theo, nàm 1996, Nguyèn Cành Luang dà chi ra diéu kién càn va dù

de tón tai he vecta thoà man diéu kién lién hgp cùa toàn tu T l à

Luàn àn dugc chia làm ba chuang :

Chuang 1 xét bài toàn thàc trién dó'i vói nghiem cùa mot he phuong

trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot tóng quàt dang:

L(')(n) = j : X ; a ! ? ^ , / = 1, ,L (1.1)

Nhu dà biét, trong thuc té, tón tai nhùng hàm chinh hình mot bién phùc

co diém kì di co làp chàng han hàm W(z ) = ~ Day là hàm chinh hình tai

mgi diém z ;^ 0 nhung khóng the thàc trién giài tich vào diém z = 0 Nói càch

khàc day là mot hàm chinh hình co ky di compact Hién tugng này khóng con

dung vói hàm chinh hình nhiéu bién phùc (dinh ly thàc trién Hartogs ([30]) dà

chi ra ràng, hàm chinh hình nhiéu bién phùc khóng co ky di compact) Do

phàn thuc va phàn ào cùa hàm chinh hình là nghiem cùa he Cauchy - Riemarm

nén dinh ly thàc trién Hartogs thuc chat là dinh ly thàc trién nghiem cùa mot

he phuang trình dao hàm riéng co dang dac biét Vàii de dugc dat ra mot càch

tu nhién là dinh ly nói trén co dung dó'i vói he phuang trình dao hàm riéng

dang (1.1) khòng? Vói diéu kién nào thì viéc thàc trién nghiem thuc hién

dugc? Diéu này dà dugc Le Hùng San de cap trong ([61])

Nói dung cùa Chuang 1 là nghién cùu khà nàng ma róng Dinh ly thàc

trién Hartogs dó'i vói nghiem cùa he (1.1)

Muc 1.1 su dung két qua cùa Le Hùng San ([61]) de nghién cùu hién

tugng thàc trién dó'i vói nghiem cuà mot so he phuang trình dao hàm riéng quan

trong nhu he Riesz, he Maxwell, he Vinogradov va he Moisil-Theodorescu, dóng

thòi xày dung mot lóp vi du àp dung

Dinh ly thàc trién dó'i vói nghiem cùa he dang

È ^ | | = / (1.32)

2 = 1

dugc néu ò phàn cuòi cùa Muc 1.1 Càn nhàn manh ràng, càc he so cùa he này

khòng nhàt thiét phài là hàng so Dò là sii khàc nhau ca bàn giùa két qua này vói

két qua trong ([61]) Muc 1.2 ma róng dinh ly thàc trién Hartogs dó'i vói nghiem

cùa he (1.1) vói he so hàm

Chuang 2 nghién cùu bài toàn thàc trién dó'i vói hàm chinh quy bién

Quatemion va bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm song chinh quy va hàm chinh

quy^phu thuóc diéu hòa vào tham so, nhàn già tri trong dai so Quatemion

Muc 2.0 trình bay mot so khài niem ca bàn cùa dai so Quatemion

Muc 2.1 de cap tói hién tugng thàc trién nghiem cùa he phuang trình

Tu day ta nhan dugc dinh ly thàc trién doi vói hàm chinh quy nhiéu

bién Quatemion, dac biét là thu dugc dinh ly thàc trién kiéu Hartogs dó'i vói

hàm chinh quy nhiéu bién Quatemion Diéu khàc biét ca bàn ve phuang

phàp so vói Chuang 1 là a day su dung cóng thùc tich phàn Cauchy - Fueter

doi vói hàm chinh quy

Trong ly thuyét hàm chinh hình mot bién phùc, dinh ly Mittag - Leffler

dà khàng dinh ràng, co the xày dung mot hàm phàn hình tu càc cuc diém cho

truóc Két qua này dà dugc tóng quàt cho hàm chinh hình nhiéu bién Dò

chinh là nói dung bài toàn Cousin cóng tinh, cho phép xày dung mot hàm

phàn hình vói kì di dia phuang cho truóc Tié'p tue y tuong dò, dinh ly Mittag

- Leffler dugc ma róng cho hàm chinh quy phu thuóc diéu hoà vào tham so

trong Muc 2.2 va cho hàm song chinh quy trong Muc 2.3 Càc bài toàn trén

déu dàn tói viéc giài he phuang trình khóng thuàn nhà't Tuy nhién, khàc vói

giài tich phùc, Quatemion là dai so khóng giao hoàn nén càc phép tình thóng

thuòng ve dao hàm khòng con dung trong dai so Quatemion Vi le dò, co

nhiéu buóc trong phép chùng minh càc dinh ly a day khóng thùa huóng dugc

càch chùng minh truyén thóng dà co trong giài tich phùc

Chuang 3 trinh bay bài toàn thàc trién doi vói hàm da chinh quy va bài

toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc tham so, nhàn già tri trong

dai so Qifford

Muc 3.1 ma róng dinh ly thàc trién kiéu Hartogs dó'i vói hàm da chinh

quy Phuang phàp chùng minh dinh ly nói trén hoàn toàn khàc phuang phàp

dà dugc su dung trong chuang 2 Truòng hgp này khóng the àp dung cóng

thùc tich phàn Cauchy dó'i vói hàm da chinh quy (xem nhàn xét 3.1) Vi tich

hai hàm chinh quy nói chung khóng phài là mot hàm chinh quy nén tich hai

hàm da chinh quy nói chung cùng khóng phài là mot hàm da chinh quy Chinh

vi vay, de giài quyét dugc vàn de này phài giài dugc he phuang trình khóng

thuàn nhàt dang

D^(H)g^fH, / ? - l , , n , n > 2 (3.21)

0 day càn phài su dung ky thuàt hoàn toàn mói trong viéc chùng minh

càc bó de, dinh ly co hén quan, tu dò thu dugc dinh ly kiéu Hartogs Muc 3 2

nghién cùu bài toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich

thuc vào tham so De phuc vu cho muc dich này, phài chùng minh dinh ly kiéu

Runge dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thuc vào tham so Vi vay,

càn xày dung càc hàm xà'p xì ma dinh ly Runge dòi hòi Càch làm a day hoàn

toàn khàc vói ky thuat dà su dung trong Chuang 2

Bài toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc chinh hình vào

tham so, nhan già tri trong dai so Cliffford phùc dugc xét trong Muc 3.3 Chù y

ràng, khài niém hàm chinh quy dugc nói dén a day hiéu theo nghia cùa F

Sommen, gàn lién vói toàn tu Dirac, khòng hoàn toàn gióng nhu khài niém hàm

chinh quy theo nghia cùa R Delanghe, là nghiem cùa toàn tu Cauchy - Riemann

Phàn cuòi Chuang 3 giói thiéu hai bài toàn ma trong dai so Quatemion

va dai so Qifford

Càc kél qua chinh cùa luàn àn dà dugc dang va nhàn dàng trong [1-5]

va dà dugc bào cao tai càc hgi nghi khoa hoc va càc xemina sau:

- Hói nghi quoc té làn thù 7 "Finite or infinite dimensionai complex analysis and apphcations"tai Nhàt Bàn, 8-1999 do PGS TSKH Le Hùng San trình bay

- Hòi nghi quóc té làn thù 9 "Finite or infinite dimensionai complex analysis and applications" tai Ha Nói, 8-2001

- Hói nghi phuang trình dao hàm riéng va ùng dung, Vién Toàn hoc, 12-1999

- Hòi nghi vàt ly ly thuyét toàn quóc làn thù 24, 8 - 1999

- Hòi nghi vat ly ly thuyét toàn quóc làn thù 26, 8 - 2001

- Xemina phuang trình dao hàm riéng lién truòng Dai hoc Bach khoa

Ha Nói va Dai hoc Khoa hoc Tu nhién

- Xemina giài tich - dai so Khoa Toàn - Ca - Tin hoc, Dai hoc Khoa hoc

Tu nhién, Dai hoc Quóc già Ha Nói

- Hòi nghi khoa hoc ky niém 50 nàm thành lap Dai hoc Su pham Ha Nói 1 , 9 - 2 0 0 1

- Hói nghi khoa hoc ky niém 45 nàm thành làp Dai hoc Bach khoa Ha Nói

- Hòi nghi ùng dung toàn hoc toàn quóc làn thù nhàt, 12-1999

Chtromg 1 BÀI TOÀN THÀC TRIÉN DOI VÓI NGHIEM

CÙA HE P H U a N G TRÌNH DAO HÀM RIÉNG

TUYEN TINH CAP MOT

Nhu dà biét, trong Toàn hoc ùng dung va trong Vat ly ly thuyét co nhiéu

bài toàn dàn dén viéc nghién cùu hién tugng thàc trién nghiem cùa mot he

phuang trình dao hàm riéng Tiéu chuan ma tran cho viéc thàc trién nghiem

cùa he phuang trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot voi he so hàng dà

dugc Le Hùng San chùng minh trong [61]

Phàn mò^ dàu cùa 1.1 trình bay càc tiéu chuàn dò dong thòi dua ra mot

so khài niém va dinh nghia dugc su dung trong Chuong 1

Su dung càc tiéu chuàn này, ta chùng minh dinh ly thàc trién nghiem

cùa càc he phuong trình Ma:x:well, he Riesz, he Moisil - Theodorescu va he

Vinogradov trong muc 1.1.1 - 1.1.4 Muc 1.1.5 trình bay dinh ly thàc trién

duoi mot dang khàc Cuoi cùng, dinh ly thàc trién cho truòng hgp he so bién

thién dugc mò róng trong muc 1.2

1.1 BÀI TOÀN THÀC TRIEN DOI VÓI NGHIEM CÙA HE

PHUONG TRÌNH DAO HÀM RIÉNG TUYEN TÌNH GAP MOT,

HE SO HÀNG VA GAG ÙNG DUNG CÙA NO Xét he phuang trình dao hàm riéng

L(^)(n) = 5 : 5 : a i 5 ) | ^ = /(^), e=l, ,L (1.1)

i = l j = l 3

trong do Ui = -Ui(xi, , x^) là càc hàm giài tich thuc theo càc bién x i , , , x„

vàii = ( u i , , U m ) là hàm chua biét, / ^ = / ( ^ ) ( x i , ,2:^) là càc hàm giài

tich thuc cho truóc theo càc bién x i , , x^, a[f là càc hàng so thuc hoac

càc hàm giài tich thuc theo X i , ,Xn

Dinh nghia 0 1 Già s é u = (lii(x), ,u^(x)) va ù :- ( ù i j x ) , , ùm{x))

là hai nghiem cùa he (1.1) trong càc mién tuong ung G vk G trong dò G C

(7 C R" Néu ù = u trong G thì ù dugc ggi là thàc trién cùa u trong G

D i n h ly 0 1 (Dinh ly duy nhàt cho h à m giài tich thuc)

Già su u là mot nghiem giài tich thuc theo x i Xr, cua he (1.1) trong

mièn G C E " , a Za mot tap ma khàc rong cùa G Néu u = G trong a thì

u = 0 trong toàn G ([30])

Trong Chuong 1 t a luòn su dung nhan xét sau

N h a n x é t 0 1

1) Néu he (1.1) là elhptic vói he so giài tich t h u c thì moi nghiem thuóc

lóp C^ déu là hàm giài tich t h u c ([31]) Trong t r u ò n g hgp n à y khi nói dén

nghiem cùa he, t a hiéu dò là càc nghiem dù tron

2) Néu he (1.1) khóng phài là elhptic thì ta chi xét càc nghiem giài tich

thuc

Vi v a y Dinh ly 0.1 dung cho càc nghiem cùa he theo nghia nói trén Nói

càch khàc, thàc trién ù cùa u trong G néu co là duy nhàt

Già su G là mot mién cùa R", S là mot làn càn ma bàt ky cùa dG Ky

Khi do, mot nghiem cùa he (1.1) trong E deu thàc trién thành mot

nghiem cùa chinh he dò trong toàn G

D i n h ly 0.3 [61] Già su m, n bdt ky va ton tai m vecta A i , , A^ sao cho

1 RankD^^) = 1, ? rz: l , , m ,

2 Rank B = m,

3 Rank C = 1

Khi dò, mèi nghiem cùa he (1.1) trong E dèu thàc trién thành mot

nghiem cùa chinh he dò trong toàn G

N h u dà biét, nghiem cùa he Riesz, he Maxwell, he Moisil -

Theodo-rescu hay he Vinogradov nói chimg là khòng thàc trién dugc, chàng han hàm

u = grad ( - j vói r = ^Jx\ -\- xi^^- x\ là mot nghiem cùa he Riesz

du\ , du2 duz _ dx\ dx2 dxs du^ duj

dxj dxi = 0, i , j - 1 , 2 , 3 trong làn càn m ó bàt ky cùa dG vói G là mot mién tùy y cùa K^ co chira

diém 0 nhung khòng the thàc trien (tham chi thàc trién lién tue) thành mot

nghiem cùa he trong toàn G

Ta sé bo sung vào mòi he dò mot so diéu kién thich hgp sao cho viéc thàc

trién nghiem t h u c hién dugc

(a(i))'Q(2)/3(2)n(i) + a(i) (/3(i))'/?(2)m(2)

Khi dò, moi nghiem cùa he (1.6), (1.7) trong E dèu thàc trién duac thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G

0

pw

0

m d ) ,(1) 771 (1)

thì B* va C* tuong ung là ma tran con cùa ma tran B va C, xàc dinh bòi (1.5)

Rò ràng Rank Dd) = Rank D^^) = R^nj^ pO) ^ i_

Tir dièu kién (3) va (4), de dàng thày det B* 7^ 0, det C* 7^ 0

Tir dò, Rank B = Rank C = 3 = m Nhu vay, càc dièu kién cùa Dinh

ly 0.2 duac thòa man

Dinh ly dugc chung minh

Dinh ly 1.2 Già sii càc so trong (1.8) thóa man càc dièu kién

trong dò il, Ì2 là nghiem cùa phuong trình

t' - ( 4 y - 4 V ) ^ - ái^â^ + [â^ - a[\^) ( 4 ^ - a[\^) = 0

va

^(3) _ xắ) - X^Q(^^ + «(^2^

-^1 ;IT1 '

^^2 ~ *^21 ~ ^ ' ^ 1 ) r(3) _ f2) xgW - 4^,) + gf^,) A3 - a a i - y ^^^^^^ ,

Af ) = x^(2) - 42) - x / ^ ^ ' ^ - "22^ + ^ n

^•^ a;2 + i

Ap dung Dinh ly 0.2, t a nhàn dirgc Dinh ly 1.2

D i n h ly 1.3 Già su càc so trong (1.8) thóa man càc dièu kién

pw

1

m (1)

p ( i ) nd)

• 7 • 2 )

Tir càc dièu kién cùa dinh ly, t a nhàn duoc

R a n k B = R a n k B * : = R a n k C = R a n k C * = 3 = m

Àp dung Dinh ly 0.2 ta co dièu phài chùng minh

N h a n x é t 1.1 Néu bo sung vào he (1-6) ba phu-ong trình dang

31

1 {i) -J-)^Ji) ^23 + ^ 32

(0 (0

m ' ' = aòo — a n' a

22 (^)

ir/7? 5o 77ZOZ nghiem cùa he (1.6), (1.9) trong S <ìèu i/idc i n e n dugc thành mot nghiem cùa he trong toàn G _ _

ì-t!.-'.'

•t-ol

:XkM

ad)

a(2) a(3)

)

pw

0(2) Pi3)

t = 1,2,3

thì B* và C* là càc ma tran con tuong ung cùa càc ma tran B và C Hon

nira Rank B = Rank B* =^ 3, Rank C = Rank C* = 1

Ap dung Dinh ly 0.3, ta nhan dugc Dinh ly 1.4

Vi du 1.1 Xét he phirong trình (1.6) vói dièu kién bo sung

du2 du3 dxi

du2

-f

dxi du2 du2 du^

De dàng kiém tra dugc ràng, he (1.6), (1.11) thòa man Dinh ly 1.1 Do

dò, moi nghiem cùa he (1.6), (1.11) trong S dèu thàc trién dugc thành mot

nghiem cùa chinh he dò trong toàn G

Vi d u 1.2 Néu bó sung vào he (1.6) dièu kién

du2 du2

dxs du2 du- dxi dxi

= 0

= 0

1.12)

thì he (1.6), (1.12) co nghiem (chang han li^ = xi + X3, U2 = C = const,

U3 = X i - X 3 )

De dàng kiém tra dugc ràng he (1.6) (1.12) thóa man Dinh ly 1.2 Vi

vay, moi nghiem cùa he (1.6), (1.12) trong E dèu thàc trién dugc vào toàn G

Vi d u 1.3 Chgn ma tran càc he so cùa (1.9) nhu sau

21 (1)

11 (1)

23 (1)

21 (3)

13 a

" 1 2

" 1 1 (3) ^ ( 3 )

dxi du2 du 8x2 dxi

De dàng kiém tra ràng, he (1.6), (1.13) t h ò a man t à t cà càc già thièt cùa Dinh ly 1.4 Do dò, co thè àp dung dinh ly này cho nghiem cùa he (1-6) (1.13) hay chinh he (1.6), (1.14)

1.1.2 Bài t o à n t h à c trién doi véri n g h i e m cùa he M a x w e l l

Già su G là mot mièn cùa khòng gian Mincopxki M , E là mot làn càn

m ó cùa 8G

Xét he phuong trình Maxwell

div£^ = 0

xotE = 8H àìvH = {}

+

8x2 8U3 8x2 8us 8x1

+ +

+

5X3

8u4 8x4 8us 8x4

8115 5U3 8x1 8x4

= 0

= 0

dxi du5

Xét he (1.16) vói dièu kién phu

(6) (6) (6)

ad)

Q ( 2 )

a(3) a(4)

Q ( 5 )

a(6)

)(i) =

pil) P{2)

•

0

0

0 /3(0

P

n(0 6)

R ò r à n g , RankD^^^ = 1, z = 1 , 6 ,

Rank B = Rank B* = 6 = m Rank C = Rank C*

Càc già thiét cùa Dinh ly 0.3 dèu dugc thòa man

Dinh Iv d u o c chuns minh

^41

"13

"23 (2)

32

" 3 4 (3)

34 C3) j _ C 3 )

a C3) 21

W _ , C 3 ) , (3) , ^ ( 3 ) ^ ( 3 ) , ^ ( 3 )

trong dò A^ ^ 2 a - - a - + a - + a ^ ^ , ^ ai^.^+a^,^ / 0; a\'^-a'^^+a^^)-^af^ ^ 0

23

C4)

11 (4) (4)

52

—a C5) 14

C5)

" 4 2 C5)

Sau day, t a xét mot vi du cu the

dt dEs dHi dHo OH- dx2

dEs dxi 8x2 dxi 8x3

8H1 dHi

+

+

8t 8H1 8t

8t 8H2 8t +

8t 8t

He (1.18) t u o n g duong vói he

' 8Eo 8E:, 8H2 dxi

8E2 8x2 dEs

2 9^3

+ + + +

8x1

8x2 dEs 8x3 8H1 8x3 8H2 8x3 dH3

Ei — 2 x i -\- X2 — X3^t

E2 = Xi - X2+ X3^t

E3 = ~Xi + X2 - X3 + i

Hi — 3x1 + 2:2 — X3 H2 = 2 x i - X2 - X3

H3 = - 2 x 1 + 2 x 2 - 2 x 3

N h à n x é t 1.2 Néu cho truóc càc hàm Ei, E2, E3, thì he (1.16), (1.19) gòm

8H 8M

12 p h u o n g trình và 12 an ^p-^ , —^ ^ hj — I5 2,3 Ta co the giài he de tìm 8H, 8H^ ^^ 8E.,

va ^^— theo

8xj 8E, 8xj dt 8xj ' dt va

2 du

+

9X2

du3 8x3 8U2 8x3 8U2

8x3 8U4

Bo sung vào he (1.20) diéu kién

21 C4)

33 X4) _ ( 4 ) _ C4)

Dinh ly 1.6 Già su càc he so cùa (1.21) và càc so trong (1.22

man càc dièu kién

-h) p^ n^'i + m'^'i = p Y'', 1 = 1 , , 4, (0

Z.dJ a-^2 — " 4 1 ' "^13 <^3l'i O-ii Xi) Ji)

pn(^) -m^)

a(4)

0

Mz dò, mot nghiem cùa he (1.20), (1.21) trong E ^eu thàc trien dugc

thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G

Chumg minh Chon

Ai = A2 = A3 =

A =

1) (1)

^2l' ' ^11 ' (2) (2:

De dàng kiém tra dugc rang, Rank B = Rank B* = ??x — 4 và Rank C = Rank C* =: 1

Nhu vay, càc già thiet cùa Dinh ly 0.3 dèu thòa man

Dinh ly dugc chung minh

Vi d u 1.5 Ta xày dung mot lóp vi du àp dung Dinh ly 1.6, bang càch chgn càc ma tran càc he so cùa (1.21) nhu sau:

/ a['^

Ad) a

a

1 (1)

21 CI)

13 CI)

22 CI)

24

\

-'•34 (1) „(1)

42 44 /

De dàng kiem t r a rang, he (1.21) dugc cho bòi càc ma t r a n A^^),

thòa man Dinh ly 1.6

Sau day là m o t he cu the

He (1.24) tirong duong vói he

du2 du2

(9X2

du3 dX2 du4

+ +

<9X3

du3 dX3 du4 dx2

^du2 8X9

8x3 8U3 8x1 dxi

1.1.4 B à i t o à n t h à c t r i é n doi vói n g h i e m cùa he V i n o g r a d o v

Già su G là mot mièn trong R^, E là mot làn càn m ó cùa dG

Xét he Vinogradov

f dui du2 du3 dx

dxi dui

-h

(9X2

du2

dx2 dxi dui du2

5x3 5n4

(1) (1)

^ Ì 2 ' ~ ^^43 ' ^ 3 1 ~ ^^42 ' (1)

( - a

l " 2 2 1

(3)

22 ' (4)

Tir cóng thuc (1.4), ta co càc ma tran

D ( i ) = 0

0 0

pil) p(2)

thì B* và C* là càc ma tran con tuong ù'ng cùa càc ma tran B và C,

De dàng nhan thày Rank D^^^ = 1, i — 1 , , 4 và

Rank B = Rank B* = m = 4; Rank C = Rank C* = 1

Ap dung Dinh ly 0.3, ta nhan duoc Dinh ly 1.7

Vi d u 1.6 Chon ma tran càc he so cùa he (1.27) nhir sau

14

C4

C4)

^ 1 2 C4)

De dàng kiém t r a dugc ràng, he (1.27) vói ma t r a n càc he so Ấ^\

thòa man Dinh ly 1.7 Ta co mot lóp càc vi du àp dung dinh ly n à y

Sau day, t a chon mot vi du cu thẹ

5 X 4

du3 8x4 8u4 8x1 8x3

8x3 8x4 dxi 8x2 8x1 8x:

=.f(2)

- / ( 3 ) - / ( 2 )

1.31)

Cho /^^^ = ••• = /(^) = 0 thì he (1.26), (1.31) co nghiem (chang han

Ui = - 2 X 2 + 2X3 - 2X4, U2 = X3 - X4, ^ 3 ^ 2 x i + 5X2 + X3 - X4, U4 = — 2 x i + 3 x 2 + X3 - X4)

1.1.5 Nhan xét Muc này trình bay mot so tiéu chuan ma tran cho viéc

thàc trién nghiem cùa he phu-ong trình dao hàm riéng tuyén tinh co dang

tp.#-/ 1 = 1 (1.32)

trong dò P , = ("15)Lxni' ^ ^ "^, ^ S = '^^^^ ^°^^ ^^ ^^™ Si^i tich

thuc cho trtróc trong E U G,

Khi dò, mot nghiem cùa he (1.32) trong E dèu thàc trién dugc thành mot nghiem cùa chinh he dò trén toàn G

Chirng minh Chon càc vecto

Tu già thiét (2) suy ra Rank B = Rank C = m

Nhu' vay, càc già thiét cùa Dinh ly 0.2 dèu dugc thòa man Dinh ly dugc chùng minh

Rank A^^^ = Rank A^^^ = 1

De dàng nhan thày, Rank B = Rank C = m = 2,

Ta co he tuong ùng

f dui dui 8xi 8x2 du2 du2 dxi

Rò ràng, Rank A^^^ = Rank A^^) = 1, Rank B = Rank C - 2 = m

Do dò, Dinh ly 1.8 àp dung dugc cho he sau

8ui 8ui 8ui 8xi

8u2 8xi 8ui

8X2 8u2 8xo +

du2

5X3

dU2 dx3 dui du2 dui du[

dxi dxi dx2 5x2 5x3 ^ ^ 3 5ui 5u2 5 u i dui

Rank A^^^'^ - 1, j = l , , m

2 Rank B = m, Rank C = 1 trong dò

B= [ A t ^ ^ \ , A ( ^ - ) ] , C

ACn ACim

Khi dò, moi nghiem cùa he (1.32) trong S dèu thàc trién dugc thành mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G

De dàng t h à y R a n k A ^ ) = Rank A^^) = 1, Rank B = 2 = m, Rank C

2 = m néu C42 = — 1 và Rank C = 1 néu C42 = 1

Vi vay co the à p dung Dinh ly 1.8 (hoac 1.9) cho he

8ui 8ui dui dxi

du2

dX2 5X3

5'U2 5xi 5x2 5x3

Nhu vay, co the àp dung Dinh ly 1.9 cho he

f dui 8u2 du3 dxi

c.du2

dxi ' dxi dU3 dxi 5 x i

Do dò co the àp dung Dinh ly 1.9 cho he

Càc he (1.35), (1.36) là elliptic con (1.37) - (1.40) khóng phài là he elliptic

Tuy nhién, do nhan xét 0.1 nén bài toàn thàc trién nghiem vàn dugc dat

mot càch dùng dàn

1.2 BAI TOAN THAC TRIEN DOI VOI NGHIEM CUA

HE PHUONG TRÌNH DAO HÀM RIÉNG

VÓI HE SO HÀM

Già su G là mot mièn cùa W^ ^ G — Gì x G2 x • • • x Gn trong dò Gj =

aj.bj) C M, S là mot làn càn mò^ bàt ky cùa dG

vói -u,, /(^^ dugc dinh nghia nhu trong phan mò dàu Chuong 1, a[^^ là càc

hàm giài tich thuc cho truóc trong S U G

Sau day, ta nhàc lai mot so ky hiéu

(1.44)

(1.45)

Dinh ly 1.10 Già sé m < n và ton tai m vecto A, sao cho

1 Vói moi i, ton tai d^^] / 0 khàp nai trong mjG và sao cho

ii'/ii dò, moi nghiem cùa he (1.41) trong E (leu t/idc trien dugc thành

mot nghiem cùa chinh he dò trong toàn G

C h i r n g m i n h Truóc hét, xét ma tran D^-^^

Tu' già thiét (1) cùa dinh ly, ton tai 4j-^ 7^ 0 vói Vx G E U G Khóng mat

tinh tóng quàt, co the già thiét d^^^ 7^ 0 Do diéu kién (1), dòng thù nhàt cùa

S U G sao cho hàng thù- k (k = 2, ,m) cùa D^^) co dang

[4V, 4 2 , • • •, 4 3 - O'I'^ [a(V(^)an, 4 V ( ^ ) ' ^ 2 i , , a(V(x)a„i] (1.47)

Dat 7^ ^a\-( = aik thì dL = ^ijtctji vói aifc(x) là hàm giài tich thirc,

jf = l , , n

Nhur vay, ton tai bo ( a i i ( x ) , ^aimix)) càc hàm giài tich thuc và bg

( a i i , a 2 i ) • • • ^<^ni) càc hang so, sao cho

4i^ =^ik{x)aji, fc = l , , m ; j ^ l , , n (1.48)

Tuong tu, do già thiét (1) và (2), ton tai bó ( a n ( ^ ) , • ,aim{x)) càc hàm

giài tich thuc và bg ( a i ^ , , ani) càc hàng so, sao cho

4 i ^ ^ik{x)aji, i = 2, ,m (1.49)

Do Rank B = m, do cóng thuc xàc dinh B (xem (1.45)) dong thòi do

Rank D^'^ = 1, nén trong moi ma tran D*'), ton tai mot cgt sao cho khi ghép